Lei das Malhas (KVL) Lei dos Nós (KCL) - Moodle @ FCT-UNL

Lei das Malhas (KVL)
Lei dos Nós (KCL)
Electrónica
Arnaldo Batista
2005/2006
Electrónica_biomed_ef
1
KCL (Kirchhoff Current Law)
•Nó é o ponto de ligação de dois ou mais elementos de circuito
•Ramo é uma porção do circuito contendo um elemento simples,
limitado por dois nós.
•O número de equações KCL linearmente independentes, num
circuito com N nós, é N-1 (é o número de equações necessárias
para calcular as tensões em todos os nós dos circuitos).
vm − v N
Lei de Ohm i =
R
i'
Lei de Ohm i ' =
v N − vm
R
i =−i'
Nó de referência, onde o potencial
é nulo.
Electrónica_biomed_ef
2
Nó de Referência
ƒ É o nó onde se considera que o potencial é zero. Pode ser o nó que está ligado à terra (que está ao
nosso potencial) e que se considera zero.
ƒ Em sistemas que não estão ligados à terra (p. ex. telemóveis) é o nó relativamente ao qual todos os
potenciais estão referidos e que igualmente se considera com potencial nulo. Neste caso é comum
chamar-se “nó de massa”.
ƒPara ambos os casos anteriores as regras de KCL ou KVL são as mesmas.
I5
I4
+
4V
−
I3
V1 − V3 = 4 V mas V3 = 0 (nó de referência)
−
2V
logo V1 = 4 V
Igualmente
V2 − V3 = −2V ⇒ V2 = −2 V
+
I1
Os potenciais de todos os nós estão referidas ao nó de
referência, ou seja V1=4V significa que este nó está a 4
Volt acima do potencial do nó 3 que é zero volt ou seja:
Também
V1 − V2 = 4 − (− 2 ) = 6V
I2
V2 − V1 = −2 − (+ 4 ) = −6V
Corrente Eléctrica
A corrente eléctrica (convencional) desloca-se
dos potenciais maiores para os menores, pelo
que na figura, I1, I2 e I3 têm os sentidos
indicados. Pela lei de Ohm:
I1 =
I2 =
I3 =
Electrónica_biomed_ef
V1 − V3 4 − 0 4
=
=
R1
R1
R1
V 3 − V 2 0 − (− 2 ) 2
=
=
R3
R3
R3
V1 − V2 4 − (− 2 ) 6
=
=
R2
R2
R2
3
KCL (Kirchhoff Current Law) revisitada
A soma das correntes que sai de um nó é igual à soma das correntes que chega ao nó.
Ou de outra forma:
A soma de todas as correntes que sai de um nó é zero (neste caso uma ou mais correntes vão ser
necessariamente negativas).
VS
Va
Vb
Nó de Referência
@ Va : − I1 + I 2 + I 3 = 0
@ Vb : − I 3 + I 4 + I 5 = 0
@ Vc : − I5 + I 6 = 0
Vc
Pretendemos calcular os potenciais em
todos os nós do circuito. Tendo
anteriormente definido nó como a junção de
dois ou mais elementos de circuito existem 5
nós neste circuito. Desses 5 nós 2 têm
potenciais conhecidos: VG=0 e VS=12 V.
Restam portanto Va ,Vb e Vc.para calcular (três
equações).
VG
V a − 12 V a − 0 V a − V b
+
= 0
+
9k
6k
3k
Escrever directamente
estas equações
Vb − Va Vb − 0 Vb − Vc
+
+
= 0
3k
4k
9k
Vc − Vb Vc
+
=0
9k
3k
Electrónica_biomed_ef
4
Nota importante: Os sentidos das correntes em cada nó podem
ser arbitrados, independentemente dos sentidos arbitrados para
os outros nós.
Vb
R1
a
Va
b
R3
c
a
Va
Vc
I1
Vd
I 1'
I3
R2
I2
− I1 + I 2 + I 3 = 0 ⇒ −
∑
Va − Vb Vb − Vd Vb − Vc
+
+
=0
R1
R2
R3
Vb − Va Vb − Vd Vb − Vc
+
+
=0
R1
R2
R3
R1
Va
I
''
1
Vb
b
I 3''
R2
Vd
R3
R3
I 3'
I 2'
c
Vc
d
(correntes no nó ) = 0
I 1' + I 2' − I 3' = 0 ⇒
Vb − Va Vb − Vd Vc − Vb
+
−
=0
R1
R2
R3
V b − Va V b − V d Vb − V c
+
+
=0
R1
R2
R3
c
Vc
I 2''
d
Neste caso arbitrou-se que todas as correntes abandonam o
nó. É claro que uma ou mais correntes serão negativas
Qualquer que seja o sentido das
correntes arbitradas no nó a
equação final é a mesma!
no nó ) = 0
V − Va Vb − Vd Vb − Vc Electrónica_biomed_ef
+
+
=0
I 1'' + I 2'' + I 3'' = 0 ⇒ b
R1
R2
R3
∑
b
R2
Vd
d
∑ (correntes no nó ) = 0
a
R1
Vb
(correntes
5
Exemplo 1 (KCL)
O Circuito tem 4
nós.
Em v2, v3 e v4 os
potenciais são
conhecidos:
PSpice
V2=3V
V3=15V
V4=0V (terra)
Fica apenas um
potencial por calcular
v4
V1 − 0 V1 − 3 V1 − 15
+
+
=0
2k
1k
1k
V1 = 7.2V ; V2 = 3V ; V3 = 15V
@ V1 :
V1=?
1 equação para 1 incógnita
3 − 7. 2
7.2 − 15
= −7.8mA
= −4.2mA; I R 20 =
1k
1k
7.2 − 0
=
= 3.6mA
2k
I R18 =
I R17
Electrónica_biomed_ef
6
Exemplo 2 (KCL)
Necessidade de utilização de uma corrente de auxílio IS
Os potenciais
desconhecidos
correspondem aos
nós assinalados a
cor vermelha
IS
Torna-se
necessário utilizar
uma corrente de
auxilio IS
V1 − 3 V1 − V2 V1 − 0
+
+
=0
2k
1k
2k
V2 − V1
@ V2 :
+ Is = 0
1k
V −0
@ V3 : − I s + 3
=0
1k
V2 − V3 = 3V
@ V1 :
4 eqs, 4 incógnitas
V1 = 2V ; V2 = 2.5V
V3 = −0.5V
V2 − V1 2.5 − 2
=
= 0.5mA
1k
1k
= .....
I R12 =
I R14
Electrónica_biomed_ef
7
Exemplo 3 (KCL)
Número de nós: 3
O nó 3 tem zero volts.
Nó 3
− iA +
iB +
v1 − v 2 v1 − 0
+
=0
R2
R1
2 eqs, 2 incógnitas v1 e v2
v 2 − v1 v 2 − 0
+
=0
R2
R3
Electrónica_biomed_ef
8
Exemplo 4 (KCL)
6mA
@ V1 :
@ V2 :
2mA +
V1 − 0
+ 6mA = 0
2k
− 6mA +
V2 − 0 V2 − 0
+
=0
6k
3k
V1 = −16V
V2 = 12V
2 eqs, 2 incógnitas
Electrónica_biomed_ef
9
KCL
Exemplo 5 (KCL)
IS
@V_1
@V_2
V1
− 6 mA +
+ IS = 0
6k
V2
− IS + 4mA+
=0
12k
V1 −V2 = 6 V
3 eqs, 3 incógnitas
Electrónica_biomed_ef
10
Exemplo 6 (KCL)
v1 − 0 v1 − v 2
+
− iA = 0
R1
R3
v − v3
v − v1
+ αv x + 2
=0
iA + 2
R2
R1
4 eqs
4 incógnitas
v3 − v2 v3 − 0
+
− iB = 0
R2
R4
v x = v2 − v3
Electrónica_biomed_ef
11
Exemplo 7 (KCL)
vg
vO (t )
Obter G =
v i (t )
vo
v g (t ) − v i (t ) v g (t ) − 0
+
=0
R1
R2
gm v g ( t ) +
vO ( t ) − 0
=0
RL
Electrónica_biomed_ef
12
Exemplo 8 (KCL)
@v 1
β io +
v1 v1 − v2
+
=0
R1
R2
@v 2
− iA +
v2 v2 − v1
+
=0
R3
R2
3 equações, 3 incógnitas
β é uma constante
io =
v2
R3
Re-arrajando
⎛β
⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞
⎜⎜ +
⎟⎟v 1 + ⎜⎜
− ⎟⎟v 2 = 0
⎝ R1 R2 ⎠
⎝ R 3 R2 ⎠
⎛ 1
1
1 ⎞
−
+ ⎟⎟v2 = i A
v1 + ⎜⎜
R2
⎝ R2 R3 ⎠
1
⎡1
+
⎢R R
2
⎢ 1
⎢ − 1
R2
⎣⎢
β
1⎤
R3 R2 ⎥
⎥
1
1⎥
+
R2 R3 ⎥⎦
Electrónica_biomed_ef
−
⎡ v1 ⎤
⎢v ⎥ =
⎣ 2⎦
⎡0⎤
⎢i ⎥
⎣ A⎦
13
KCL (Kirchhoff Voltage Law) revisitada
A soma das quedas de potencial ao longo de uma malha fechada é zero
Para um dado circuito com:
B
Número de Ramos
N
Número de Nós
O número L de correntes de malha necessário para resolver o circuúito é
L = B − ( N − 1)
Electrónica_biomed_ef
14
Exemplo 1 (KVL)
B=7
N =6
L = 7 − (6 − 1) = 2
São necessárias duas
malhas
Começa-se por estabelecer em cada
malha uma corrente chamada fictícia (de
sentido arbitrário). A corrente em cada
ramo da malha é igual à corrente fictícia se
esse ramo não for também percorrido por
nenhuma outra corrente fictícia. É o caso
da corrente em R1 e R2 que é igual a i1.
A corrente que passa por ramos que são
percorridos por várias correntes fictícias
obtêm-se pela soma destas tendo em
consideração o seu sentido. É o caso de
R3 onde a corrente vale i1- i2.
1-Em primeiro lugar escolhem-se as correntes fictícias
2-Para facilitar assinala-se a polaridade da queda de potencial em
cada elemento passivo.
3- Nos elementos passivos percorridos por mais do que uma corrente
fictícia considera-se, para efeitos de polaridade, que a corrente da
malha onde estamos é superior às outras correntes fictícias que
percorrem o mesmo ramo, embora isto possa não corresponder à
realidade do circuito.
Electrónica_biomed_ef
15
v S 1 − R1i 1 − R 3 (i 1 − i 2 ) − R 2 i 1 = 0
!
!
− v S 2 − R 4 i 2 − R 5 i 2 − R 3 (i 2 − i 1 ) = 0
[R] [I ] = [V ]
Electrónica_biomed_ef
16
Exemplo 2 (KVL)
Ramos = 8
Nós
= 7
Malhas = 2
v S 1 − R1i 1 + v S 2 − R 2 (i 1 − i 2 ) = 0
− R 3 i 2 − R 2 (i 2 − i 1 ) − R 5 i 2 − R 4 i 2 − v S 3 = 0
Electrónica_biomed_ef
17
Exemplo 3 (KVL)
As correntes fictícias podem ser escolhidas de modo a facilitar os cálculos
No circuito abaixo, calcular I0 .
1ª Opção
KVL @ I1
KVL @ I2
_
KVL @ I1
_
_
I1 = 5
2ª Opção
_
4
I2 = 1
I 0 = I1 − I 2 = 3
_
KVL @ I2
_
_
_
_
I1 = 3
2
_
4
I 0 = I1 = 3
4
4
Electrónica_biomed_ef
Mais eficiente
18
Circuitos com fontes de corrente independentes
Exemplo 4 (KVL)
Calcular V1 e V0 usando KVL
Para efeitos de simplificação, nas malhas
que contêm uma fonte de corrente,
consideramos apenas uma corrente
fictícia. Deste modo a corrente nessa
malha fica calculada e assim se reduz o
número de equações necessárias para
resolver o circuito.
I = 2mA
1
Malha 2 : 2 − 6kI − 2k ⎛⎜ I − I ⎞⎟ = 0
2
1⎠
⎝ 2
I = 3 mA
4
2
V = 3 mA × 6kΩ = 4.5V
0 4
Malha 1:
Outro processo:
Malha 1 : I 1 = 2mA
Malha 2 : − 2 + 6k ( I 2 + 2mA ) + 2kI 2 = 0
I1
I 2 = − 5 mA
4
5
⎛
⎞
V0 = ⎜ 2mA − mA ⎟ × 6k = 4.5V
4
⎝
⎠
Electrónica_biomed_ef
19
Exemplo 5 (KVL)
Malha 1 : I 1 = 4mA
Malha 2 :
Malha 3 :
I 2 = −2mA
- 4k (I 3 − I 2 ) − 2k (I 3 − I 1 ) − 6kI 3 + 3 = 0
I 3 = 1 mA
4
1
3
V0 = 6k mA − 3 = − V
4
2
Electrónica_biomed_ef
20
•Conceito de circuito
equivalente
•Teorema de Thévenin
Electrónica_biomed_ef
21
RTH
vOC
+
_
i
A
Regras para obtenção do Equivalente de Thevenin entre
dois pontos A e B de um circuito.
+
v OC é a tensão entre os pontos A e B
R TH É a razão entre v OC e i SC , a
vO
_
B
R TH =
v OC
i SC
corrente que passa entre A e B
quando estes terminais são “curtocircuitados”.
Electrónica_biomed_ef
22
Regras Práticas para obtenção do Equivalente de
Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.
Tensão de Thevenin entre A e B (v OC ): calcula-se usando qualquer dos métodos
disponíveis : KCL, KVL, etç.
Resistência de Thevenin ( R TH ):
• Circuitos c\ fontes dependentes e independentes: Calcula-se a corrente
que passa no curto-circuito entre A e B i SC . Tira-se:
R TH =
v OC
i SC
Nota: Se o circuito contiver apenas fontes independentes R TH obtémse mais facilmente calculando a resistência vista ente A e B após se
terem anulado essas fontes (fontes de tensão “fechadas” e fontes
de corrente “abertas”)
Electrónica_biomed_ef
23
Exemplo 1Thévenin
Obter os Equivalentes de Thevenin e Norton, entre A e B
Resolução:
A tensão entre A e B pode calcular-se de
diversos modos. Aplicamos p. ex. KVL para obtenção da
tensão de Thevenin:
12 − 4k (I ) − 4k (I ) + 4 = 0
I
I1
I = 2mA
v oc = V AB = −4 + 4k (2mA) = 4V
I SC
I SC
Para calcular a Resistência de Thevenin vamos obter ISC,
a corrente de curto-circuito entre A e B. Por exemplo
podemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC
⎧12 − 4k (I 1 ) − 4k (I 1 − I SC ) + 4 = 0
⎨
⎩ − 4 − 4k (I SC − I 1 ) = 0
donde
I SC = 2mA
e
RTH =
v OC
4V
=
= 2k
I SC
2mA
Thevenin
Electrónica_biomed_ef
24
Como o circuito anterior apenas tem fontes independentes R TH poderia
ser calculada anulando as fontes de tensão e calculando a resistência vista
entre A e B. As fontes de tensão anulam-se removendo-as do circuito e
fazendo um curto-circuito entre os pontos de onde foram removidas. Se
existissem fontes de correntes estas anular-se-iam removendo-as e
deixando os terminais de onde foram removidas em circuito aberto.
R TH = 4k // 4k = 2k
Electrónica_biomed_ef
25