Velocidade Escalar Média

Cinemática I
Teoria
Unidade 1
Velocidade Escalar Média ...................................................... 3
Unidade 2
Movimento Uniforme ............................................................ 7
Unidade 3
Diagramas do M.U. ................................................................ 9
Unidade 4
Velocidade Relativa Unidimensional .................................... 11
Unidade 5
Aceleração Escalar Média .................................................... 13
Unidade 6
Movimento Uniformemente Variado ................................... 15
Unidade 7
Queda Livre e Lançamento Vertical ..................................... 18
Unidade 8
Diagramas do M.U.V. ........................................................... 20
Atividades
Exercícios de Apoio
Unidade 1 ................................... 23
Unidade 1 ................................... 38
Unidade 2 ................................... 25
Unidade 2 ................................... 39
Unidade 3 ................................... 27
Unidade 3 ................................... 41
Unidade 4 ................................... 29
Unidade 4 ................................... 42
Unidade 5 ................................... 30
Unidade 5 ................................... 43
Unidade 6 ................................... 31
Unidade 6 ................................... 44
Unidade 7 ................................... 33
Unidade 7 ................................... 46
Unidade 8 ................................... 35
Unidade 8 ................................... 47
MÓDULO 1
Autor: Takeshi Kamieda
UNIDADE
1
Velocidade Escalar Média
PRÉ-REQUISITOS
Resolução de equações de 1o grau.

Potência de dez.
Introdução
A cinemática é o ramo da Física responsável pela descrição dos movimentos, sem se preocupar com suas causas.
Vivenciamos esse estudo diariamente; a todo instante estamos analisando e descrevendo os movimentos que nos
cercam: observamos o movimento de carros, aviões, pássaros, pessoas, formigas. Para cada caso, pode ser necessária
a escolha entre diferentes tipos de descrição de movimento.
Durante um passeio de carro, por exemplo, percebemos carros mais rápidos e outros mais lentos; fazemos parte de
ultrapassagens; vemos a paisagem se movendo. São esses os fenômenos com os quais trabalharemos nesta unidade.
Repouso e movimento
Como podemos afirmar que uma pessoa está ou não em movimento? Poderíamos pensar em observar seu movimento
em relação a um objeto parado, como uma mesa, por exemplo. Assim, a pessoa que se aproximar ou se afastar da mesa
certamente estará em movimento. No entanto, se uma segunda pessoa caminhar ao seu lado, em direção à mesa, ela
estará parada em relação à primeira e ambas estarão em movimento em relação à mesa.
Outro exemplo semelhante: imagine-se sentado dentro de um ônibus que transita por uma avenida. Para as pessoas
paradas na rua, o ônibus e seus passageiros estão em movimento. Já para um passageiro, os demais passageiros estão
parados e as pessoas na rua, as casas e os postes estão em movimento.
Esses exemplos levam-nos a dizer que os estados de movimento e repouso são relativos, ou seja, dependem de como
são analisados, ou melhor, dependem de qual referencial se adota.
Não existe repouso ou movimento absoluto, todo movimento é relativo. A descrição de qualquer movimento deve
ser feita em relação a um referencial.
fi1-1-1
3
De modo geral, chamaremos “móvel” o nosso objeto de
estudo. Podemos classificá-lo em duas categorias:
Deslocamento escalar
 Corpo puntiforme ou ponto material: as dimensões
Um móvel em movimento está continuamente mudando
sua posição. Chamamos deslocamento à diferença entre
a posição final e a posição inicial do móvel. Algebricamente temos:
do móvel são muito pequenas quando comparadas às
demais grandezas estudadas. Exemplo: um automóvel
de 5 metros que percorre uma distância de 200 km
pode ser considerado um corpo puntiforme.
 Corpo extenso: as dimensões do móvel não são desprezíveis quando comparadas às demais grandezas
estudadas. Exemplo: uma carreta de 25 metros de
comprimento atravessando uma ponte de 60 metros
de extensão deve ser considerada um corpo extenso.
Espaço ou posição
Para fazer a descrição do movimento é preciso conhecer a
posição do móvel ao longo do tempo. Para tanto, podemos
analisar a sua trajetória e escolher, arbitrariamente, uma
origem e uma orientação. Assim, sua posição ou espaço
será a distância medida desde a origem até o corpo ao
longo da trajetória.
Sendo a escolha da origem e da orientação arbitrária, o
móvel pode encontrar-se em uma posição tanto positiva
quanto negativa. Observe a figura:
A
-20
B
-10
0
10
20
Δs = s – so
O letra grega Δ (delta) significa variação, portando
Δs significa variação da posição, também chamada
deslocamento.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), o deslocamento é medido em metros (m), mas há muitas outras
unidades, tais como:
 quilômetro (km): 1 km = 103 m
 milímetro (mm): 1 mm = 10−3 m
 centímetro (cm): 1 cm = 10−2 m
 milha (mi): 1 mi 1 609 m
O deslocamento do corpo pode, ainda, ser positivo
(quando o deslocamento ocorre a favor da orientação da
trajetória), ou negativo (quando o deslocamento ocorre
contra a orientação da trajetória).
s(m)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Utilizamos a letra s para indicar a posição do corpo. Assim:
 A origem dos espaços, arbitrariamente escolhida,
corresponde à posição zero ⇒ s = 0.
 O móvel A encontra-se na posição –20 m, pois se
localiza a 20 m da origem, contra a orientação da
trajetória ⇒ sA = –20 m.
 O móvel B encontra-se na posição 10 m, pois se
localiza a 10 m da origem, a favor da orientação da
trajetória ⇒ sB = 10 m.
Nas estradas e rodovias existem placas, denominadas
marcos quilométricos, que indicam sua posição. A origem
dos espaços pode ser uma de suas
extremidades, a divisa de estados ou,
ainda, a Praça da Sé, no caso de rodovias paulistas (observe que, nesse caso,
a origem localiza-se fora da rodovia),
e as distâncias envolvidas são medidas
em quilômetros.
BR-101
km
Marco quilométrico de uma rodovia,
indicando sua posição em relação à
origem da trajetória.
4
236
01
Numa viagem, um automóvel parte do quilômetro
125 e se dirige ao marco quilométrico 275 km.
Depois de permanecer 2 horas no quilômetro 275,
retorna ao marco quilométrico 125 km. Determine
seu deslocamento na ida e na volta.
SOLUÇÃO:
Ida:
Δs (ida) = s – s o ⇒ Δs (ida) = 275 km – 125 km
⇒ Δs(ida) = 150 km
O deslocamento positivo indica que o móvel se deslocou a favor da orientação da trajetória.
Volta:
Δs(volta) = s – so ⇒ Δs(volta) = 125 km – 275 km
⇒ Δs(volta) = −150 km
O deslocamento negativo indica que o móvel se
deslocou contra a orientação da trajetória.
fi1-1-1
Observação:
Em seu trajeto completo, o automóvel partiu do quilômetro 125 e retornou ao mesmo ponto; portanto, o
deslocamento total da viagem é:
Δs (total) = s – s o ⇒ Δs (total) = 125 km – 125 km
⇒ Δs(total) = 0
Esse resultado também pode ser encontrado fazendo
a soma dos deslocamentos de ida e volta:
Δs(total) = Δs(ida) + Δs(volta)
⇒ Δs(total) = 150 km + (−150 km) ⇒ Δs(total) = 0
É preciso observar que o deslocamento e a distância
percorrida não possuem necessariamente o mesmo
valor. O deslocamento mede apenas a distância entre
dois pontos e informa seu sentido. No exemplo anterior,
como o móvel percorre 150 km tanto na ida quanto na
volta, a distância total percorrida foi de 300 km, cujo
valor é diferente do deslocamento total sofrido.
A velocidade indicada em um velocímetro é chamada
velocidade instantânea e geralmente fornece a velocidade em quilômetros por hora (km/h). Vejamos como
converter para m/s:
1 km h 1 km
1000 m
1
m s
1h
3600 s
3, 6
Para simplificar,
podemos dizer que:
÷ 3,6
km/h
m/s
x 3,6
De km/h para m/s: divide-se por 3,6.
De m/s para km/h: multiplica-se por 3,6.
No SI, a unidade da velocidade é o metro por segundo
(m/s), mas há muitas outras unidades, tais como:
 milímetros por segundo (mm/s)
 centímetros por ano (cm/ano)
 milhas por hora (mi/h ou mph), utilizada em países
Velocidade escalar média
Um corpo, quando se move, altera sua posição ao longo
do tempo. Logo, ele realiza um deslocamento durante
certo intervalo de tempo. Quanto menos tempo ele gastar
para se deslocar, mais rápido será seu movimento. Essa
medida da rapidez é chamada velocidade.
Definimos velocidade escalar média como o deslocamento sofrido na unidade de tempo.
Velocidade média =
vm =
deslocamento
tempo
s - s0
$s
=
t - t0
$t
de origem inglesa, como os Estados Unidos, por
exemplo:
1 mi/h 1,61 km/h
 nó (kn): utilizada em navegação:
1 kn 0,51 m/s
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02
Um automóvel parte do quilômetro 120 de uma
rodovia e gasta 2 h para chegar ao quilômetro
300. Determine:
a) o deslocamento sofrido pelo automóvel;
b) a velocidade média desse automóvel.
SOLUÇÃO:
Durante o percurso, o valor da velocidade pode mudar;
entretanto, essa equação informa um valor médio para
a velocidade do móvel, ou seja, representa o valor da
velocidade que o móvel deveria ter desenvolvido, de
forma constante, para sofrer o mesmo deslocamento no
mesmo intervalo de tempo.
As unidades do Sistema Internacional são:
a) Δs = s – so = 300 km – 120 km ⇒ Δs = 180 km
b) v m =
180 km
$s
=
œ v m = 90 km h
2h
$t
ROTEIRO DE ESTUDOS
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
vm: velocidade média
metro por segundo (m/s)
o que são Repouso e Movimento;
Δs: deslocamento
metro (m)
o que são Trajetória, Origem, Orientação e Posição;
Δt: tempo
segundo (s)
fi1-1-1
qual a diferença entre Deslocamento e Distância
Percorrida;
5
o que é Velocidade Escalar Média;
qual a relação entre km/h e m/s.
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
Após responder às perguntas:
refaça os exercícios resolvidos que constam da
Teoria;
reescreva as equações estudadas;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
ANOTAÇÕES
6
fi1-1-1
UNIDADE
2
Movimento Uniforme
PRÉ-REQUISITOS
Deslocamento escalar.
Velocidade escalar média.
Equação horária do espaço
do M.U.
Movimento Uniforme – M.U. – é aquele em que um corpo
mantém sua velocidade constante, diferente de zero, ao longo de seu deslocamento. Em muitas situações do cotidiano,
encontramos esse tipo de movimento, por exemplo:
 o movimento de um trem entre duas estações (des-
considerando a saída e a chegada);
 o movimento dos ponteiros de um relógio;
 um automóvel que mantém a indicação do velocímetro
constante.
Se um corpo, além de manter a velocidade constante,
realizar uma trajetória em linha reta, seu movimento
é denominado Movimento Retilíneo e Uniforme
(M.R.U.).
Um corpo em movimento uniforme, conforme visto, apresenta velocidade constante e percorre, portanto, distâncias
iguais em intervalos de tempo também iguais. Assim, todo
o seu movimento pode ser previsto facilmente.
Tomemos como exemplo um automóvel que trafega em
uma rodovia mantendo sua velocidade constante em 80
km/h. Supondo que tenha saído do marco quilométrico
30 km, qual será sua localização na rodovia após 4 horas
de viagem?
Uma velocidade constante de 80 km/h significa que, em
1 hora de viagem, o automóvel terá percorrido 80 km.
Em 2 horas terá percorrido uma distância de 160 km.
Finalmente, em 4 horas percorrerá 320 km, o que poderia
ser calculado através da seguinte equação:
fi1-1-1
$s
km
œ $s vm • $t 80
• 4h
$t
h
⇒ Δs = 320 km
vm Como o móvel partiu do marco quilométrico 30 km:
Δs = s – so ⇒ 320 km = s – 30 km ⇒ s = 350 km
Portanto, após 4 h de viagem, passará pelo marco quilométrico 350 km.
Para simplificar a solução de problemas como o anterior e
determinar a relação entre a posição do móvel e o tempo
decorrido em um movimento uniforme, temos:
v = constante = vm $s
⇒ Δs = v Δt
$t
⇒ s – so = v (t – to)
Considerando-se to = 0, s – so = v t
⇒
s = so + v ∙ t
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
s: espaço (no instante t)
metro (m)
so: espaço inicial (no instante t = 0) metro (m)
v: velocidade
m/s
t: tempo
segundo (s)
Essa expressão é conhecida como equação ou função
horária do espaço do movimento uniforme e descreve
o movimento de um corpo em M.U.
Classificação dos movimentos
Movimento Progressivo: o móvel desloca-se no mesmo
sentido da orientação da trajetória. Nesse caso, Δs > 0,
portanto, v > 0.
7
v
vm progressivo
Movimento Retrógrado ou Regressivo: o móvel
desloca-se contra a orientação da trajetória. Nesse caso,
Δs < 0, portanto, v < 0.
v
retrógrado
$s
50 cm – 20 cm
œ v a
$t
6s – 0
œ aa v 30 cm
œ v = 5 cm s
6s
c) Para escrever a equação horária do espaço, basta
substituir os valores da velocidade e da posição
inicial na equação:
s = so + v ∙ t ⇒ s = 20 + 5∙t
d) O instante em que a gota passará pela posição
80 cm pode ser encontrado substituindo-se esse
valor na equação horária:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01
Uma gota de óleo dentro de um tubo de 1 metro
com água é observada por alguns estudantes
curiosos. A posição da gota é medida com o passar
do tempo gerando a seguinte tabela.
POSIÇÃO (cm)
TEMPO (s)
20
0
30
2
40
4
50
6
Com bases nessas informações responda.
a) O movimento é uniforme?
b) Determine a velocidade da gota.
c) Escreva a equação horária que descreve o
movimento da gota.
d) Determine o instante em que ela passará pela
posição 80 cm.
SOLUÇÃO:
a) Sim, o movimento da gota é uniforme, pois a cada
2 segundos ela percorre 10 cm e essa relação é
observada em todos os dados.
b) Como o movimento é uniforme, podemos encontrar
a velocidade através da equação da velocidade
média:
s = 20 + 5 ∙ t ⇒ 80 = 20 + 5 ∙ t ⇒ 60 = 5 ∙ t
⇒ t = 12 s
ROTEIRO DE ESTUDOS
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
o que é Movimento Uniforme e Movimento Retilíneo e Uniforme;
qual a diferença entre Movimento Progressivo e
Movimento Retrógrado.
Após responder às perguntas:
deduza a equação horária do espaço do M.U. a
partir da equação da velocidade média;
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
refaça o exercício resolvido que consta na Teoria;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
ANOTAÇÕES
8
fi1-1-1
UNIDADE
Diagramas do M.U.
3
$s
60 – 0
œ v = 2 cm/s
$t
30 – 0
(uniforme e progressivo neste trecho)
$s 100 – 60
œv 1,33 cm/s
De 30 s a 60 s: v $t
60 – 30
(uniforme e progressivo neste trecho)
$s 100 – 100
De 60 s a 90 s: v œ v = 0
$t
90 – 60
(repouso neste trecho)
$s
80 – 100
De 90 s a 120 s: v œv −0,67 cm/s
$t
120 – 90
(uniforme e retrógrado neste trecho)
$s
50 80
œ v −1 cm/s
De 120 s a 150 s: v $t
150 120
(uniforme e retrógrado neste trecho)
De 0 a 30 s: v PRÉ-REQUISITOS
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Classificação do M.U.
Como vimos, o estudo do movimento pode ser feito
por meio da descrição, de tabelas e de equações. Agora,
utilizaremos os gráficos que serão muito úteis para a
compreensão e a solução de muitos problemas.
Diagrama espaço versus
tempo
Vamos começar pelo diagrama da posição em função do
tempo (s x t). Primeiramente, vamos analisar o movimento de uma formiga que deixa o formigueiro em busca de
folhas para seu estoque de alimento. Consideremos o
formigueiro como a origem dos espaços; portanto, sua
posição é zero.
Observe que a inclinação da reta nos indica a
velocidade. Quanto maior a inclinação do diagrama
s x t, maior a velocidade do móvel.
Posição (cm)
120
Se considerarmos, agora, o intervalo de 0 a 60 s, como
o movimento não é uniforme neste intervalo, pode-se
determinar a velocidade média:
100
80
60
vm 40
20
0
0
30
60
90
120
150
180
210
Tempo (s)
240
O diagrama s x t de um movimento uniforme é uma reta,
pois a equação horária s = so + v t é uma função de 1o
grau, que pode ser:
$s 100 0
œ vm 1, 67 m s
$t
60 0
Vamos considerar, agora, que, enquanto uma formiga se
dirigia do formigueiro até o alimento, uma outra formiga
se movia do alimento ao formigueiro.
Posição (cm)
120
Formiga 1
100
crescente para v > 0 (movimento progressivo) ou;
80
decrescente para v < 0 (movimento retrógrado).
60
40
Pelo diagrama acima, podemos observar que o movimento da formiga não foi uniforme em todo o intervalo;
porém, podemos analisar pequenos trechos:
fi1-1-1
20
0
Formiga 2
0
15
30
45
60
75
90
Tempo (s)
9
Muitas coisas podem ser observadas neste diagrama,
entre elas:
de 0 a 30 s: a formiga 1 estava mais rápida que a for-
Para qualquer diagrama v x t, a área entre o diagrama
e o eixo horizontal (abscissa) é numericamente igual
ao deslocamento sofrido pelo móvel.
miga 2, pois a inclinação da reta da primeira é maior
que a da segunda formiga;
no instante 45 s: as duas formigas se encontram, pois
estão na mesma posição no mesmo instante (posição
70 cm, aproximadamente).
Diagrama velocidade versus
tempo
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01
Um corpo se desloca em uma trajetória retilínea e
sua velocidade ao longo do tempo é mostrada no
diagrama abaixo:
v(m/s)
O diagrama da velocidade em função do tempo (v x t)
para o movimento uniforme é uma reta horizontal, haja
vista que a velocidade é constante.
v
15
v
0
0
v>0
10
t(s)
t
Determine o deslocamento do corpo de 0 a 10 s.
v<0
SOLUÇÃO:
t
0
O primeiro diagrama refere-se a um movimento progressivo, pois a velocidade é positiva ao longo do tempo, enquanto o segundo refere-se a um movimento retrógrado,
pois a velocidade é negativa.
Uma outra informação pode ser obtida através do diagrama v x t. Consideremos um corpo movendo-se com
velocidade constante de 20 m/s:
O deslocamento é numericamente igual à área sob
o diagrama v x t:
$s = área do triângulo =
⇒ Δs = 75 m
b •h
10 • 15
œ $s =
2
2
ROTEIRO DE ESTUDOS
v(m/s)
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
20
qual é a forma do diagrama s x t do M. U.;
0
5
t(s)
Sendo a velocidade constante, podemos encontrar o
deslocamento sofrido:
$s
Entre 0 e 5 s: vm œ $s v • t 20 • 5
$t
v(m/s)
œ $s 100 m
Para determinar o deslo- 20
camento, multiplicamos a
Δs
velocidade pelo intervalo de v
tempo. Voltando ao diagrama
0
Δt
5
t(s)
e analisando-o geometricamente, observamos que tal multiplicação corresponde à
área sob a reta da velocidade.
10
qual é a diferença entre os diagramas s x t do M.U.
para os movimentos progressivo e retrógrado;
o que indica a inclinação do diagrama s x t;
qual é a forma do diagrama v x t do Movimento
Uniforme;
qual é a diferença entre os diagramas v x t do M.U.
para os movimentos progressivo e retrógrado.
Após responder às perguntas:
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
refaça o exercício resolvido que consta na
Teoria;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
fi1-1-1
UNIDADE
4
Velocidade Relativa Unidimensional
PRÉ-REQUISITOS
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Classificação do M.U.
Velocidade relativa
Vimos, em unidades anteriores, que todo movimento é
relativo em relação a um determinado sistema de referência, ou seja, o estudo de um movimento depende do
referencial adotado.
Imaginemos dois automóveis que estejam se movendo
lado a lado numa estrada, ambos com velocidade de
80 km/h. Para um observador que se encontra à beira
da estrada, os dois automóveis estão se movendo com
velocidade de 80 km/h, mas, para o passageiro de um
dos veículos, o outro está em repouso.
Se um dos automóveis aumentar sua velocidade para
90 km/h, este estará se afastando do outro a uma velocidade de 10 km/h. Essa velocidade, que é diferente das
que os velocímetros indicam, é a velocidade relativa de
um carro em relação ao outro.
Numa visão mais ampla, todas as velocidades são relativas, até mesmo a indicação do velocímetro que se
faz em relação ao solo. Porém, quando as velocidades
são medidas em relação ao solo ou a outros referenciais
chamados “fixos”, normalmente não utilizamos o termo
velocidade relativa, mas chamamos apenas “velocidade” para fim de simplificação.
Um outro exemplo é o da escada rolante. Quem nunca
tentou subir pela escada que desce? Para conseguir chegar à outra extremidade, é preciso ser mais rápido que a
escada. Se for usada a mesma velocidade, não se sairá
do lugar. Nesse caso, embora a velocidade relativa da
pessoa em relação ao solo seja nula, a velocidade relativa
da pessoa em relação à escada não é nula.
fi1-1-1
Quando dois corpos se deslocam no mesmo sentido, a
velocidade relativa é determinada pela diferença entre
as velocidades individuais, medidas em relação ao solo,
enquanto, ao se deslocarem em sentidos opostos, a velocidade relativa é determinada pela soma das velocidades
de cada um.
De modo geral, obedecendo aos sinais das velocidades:
v1,2 = v1 – v2
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
v1,2: velocidade relativa do móvel 1
em relação ao móvel 2
m/s
v1: velocidade do móvel 1 em
relação ao solo
m/s
v2: velocidade do móvel 2 em
relação ao solo
m/s
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01
Um automóvel move-se por uma estrada retilínea com velocidade de 60 km/h, enquanto uma
motocicleta movimenta-se, pela mesma estrada,
com velocidade de 80 km/h em sentido contrário.
Determine a velocidade relativa entre:
a) o automóvel e a motocicleta;
b) a motocicleta e o automóvel.
SOLUÇÃO:
Considerando positivo o sentido de movimento do
automóvel:
vauto,moto = vauto – vmoto = 60 – (–80)
⇒ vauto,moto = 140 km/h
vmoto,auto = vmoto – vauto = –80 – 60
⇒ vmoto,auto = −140 km/h
11
Após responder à pergunta:
ROTEIRO DE ESTUDOS:
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
o que é velocidade relativa.
reescreva a equação estudada;
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
refaça o exercício resolvido que consta na Teoria;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
ANOTAÇÕES
12
fi1-1-1
UNIDADE
Aceleração Escalar Média
5
v(m/s)
PRÉ-REQUISITOS
30
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Classificação do M.U.
20
Aceleração escalar média
Nas unidades anteriores, estudamos detalhadamente os
movimentos com velocidade constante; agora passaremos
aos movimentos com velocidade variável.
A velocidade escalar média, conforme estudado, foi definida como a variação da posição na unidade de tempo.
Denominamos aceleração a grandeza que provoca mudança de velocidade. Assim, de forma análoga, definimos
aceleração escalar média como a variação da velocidade
na unidade de tempo.
am
θ
0
Δt
1
2
3
t(s)
De forma análoga ao diagrama s x t do M.U., a inclinação da reta indica a aceleração média do móvel, ou seja,
quanto maior a inclinação, maior a aceleração.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01
$v
=
$t
Δv
10
Um carro esportivo moderno consegue ir de 0 a
108 km/h em cerca de 4 s. Determine a aceleração
média produzida pelo motor.
SOLUÇÃO:
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
am: aceleração escalar média
m/s2
Δv: variação da velocidade
(Δv = v – vo)
m/s
Δt: intervalo de tempo
segundo (s)
No SI, a unidade da aceleração é o m/s2, mas também são
unidades de aceleração: km/h2; cm/min2 etc.
É importante perceber que a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Assim, podemos dizer que, se um
carro aumenta sua velocidade em 5 m/s a cada segundo,
sua aceleração é de 5 m/s2.
Através do diagrama v x t é possível encontrar a aceleração média:
fi1-1-1
vo = 0
v = 108 km/h (÷3,6) = 30 m/s
Δt = 4 s
am =
30 – 0
$v
=
œ a m = 7,5 m s2
4
$t
ROTEIRO DE ESTUDOS
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
o que a aceleração faz;
o que é Aceleração Escalar Média;
o que indica a inclinação do diagrama v x t.
13
reescreva a equação estudada;
refaça o exercício resolvido que consta na
Teoria;
refaça os exercícios feitos por seu(sua) professor(a);
faça os demais exercícios referentes à unidade.
Após responder às perguntas:
ANOTAÇÕES
14
fi1-1-1
UNIDADE
Movimento Uniformemente Variado
6
Classificação dos movimentos
PRÉ-REQUISITOS
Movimento acelerado: é aquele em que o módulo da
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Aceleração escalar média.
velocidade aumenta com o passar do tempo. Nesse
caso, a aceleração está a favor do movimento, logo, a
velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal.
a
Equação horária da
velocidade do M.U.V.
Denomina-se Movimento Uniformemente Variado
– M.U.V. todo movimento em que a velocidade varia
de forma uniforme. Nesse movimento, sua aceleração
é constante e não nula, o que permite uma variação
linear da velocidade. Através da equação para o cálculo
da aceleração média, supondo a aceleração constante,
podemos escrever:
a = constante = a m ⇒ v – vo = a (t – to)
$v
⇒ ∆v = a ∆t
$t
Considerando to = 0, ⇒ v – vo = a t
⇒
v = vo + a ∙ t
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
v: velocidade (no instante t)
m/s
vo: velocidade inicial
(no instante t = 0)
m/s
a: aceleração
m/s2
t: tempo
segundo (s)
V
Movimento retardado: é aquele em que o módulo
da velocidade diminui com o passar do tempo. Nesse
caso, a aceleração está no sentido oposto ao do movimento, logo, a velocidade e a aceleração possuem
sinais contrários.
a
V
Equação horária
do espaço do M.U.V.
O cálculo da distância percorrida em um movimento
uniformemente variado não é tão intuitivo quanto no
movimento uniforme, pois a velocidade varia continuamente. Porém, assim como no movimento uniforme,
podemos utilizar o diagrama da velocidade em função
do tempo para encontrar o deslocamento.
Podemos verificar que o diagrama da velocidade em função do tempo para o M.U.V. é uma reta, pois a equação da
velocidade é de 1o grau. Sabemos também que a área sob
o diagrama v x t é numericamente igual ao deslocamento.
Desta forma, podemos ter o seguinte gráfico:
v
v
vo
Essa equação recebe o nome equação horária da velocidade do M.U.V.
fi1-1-1
0
Δs =N Área
t
t
15
A figura geométrica sob o gráfico é um trapézio. Sua
área é dada por:
B b
$s Área do trapézio œ $s œ $s v
v0 •t
2
Como v = vo + a.t, ⇒ $s t œ $s 2 •
v0
2
Nesse caso, a função horária do espaço ganharia mais
um complemento ficando assim:
•h
a • t v0 •
2
v0 a • t • t œ s s 0 v0 • t 2
s s 0 v0 • t B • t3
a0 • t2
2
6
E assim, sucessivamente, poderíamos ter um movimento em que β variasse uniformemente com o
tempo...
Equação de Torricelli
GRANDEZA FÍSICA
UNIDADE (SI)
Em alguns casos, não dispomos da informação sobre o
tempo em problemas envolvendo M.U.V. Nesse caso,
podemos eliminar o tempo substituindo convenientemente a equação horária do espaço na equação horária
da velocidade. Vejamos:
s: espaço (no instante t)
metro (m)
Equação horária do espaço do M.U.V.:
so: espaço inicial
(no instante t = 0)
metro (m)
s s 0 v0 • t vo: velocidade inicial
(no instante t = 0)
m/s
t: tempo
segundo (s)
Equação horária da velocidade do M.U.V.:
v = vo + a t
a: aceleração
m/s2
t œ s = s0 + v0 • t +
a • t2
2
Essa equação é chamada função horária do espaço do
M.U.V.
a • t2
a • t2
œ $s v0 • t 2
2
Elevando os dois membros ao quadrado:
v2 = (vo + a t)2 ⇒ v2 = vo2 + 2 vo a
¤
a • t2 ³
⇒ v2 v20 2 • a • ¥ v0 • t ´
2 µ
¦
t + a2
t2
Para ler e pensar
⇒
Podemos observar que, se a aceleração for nula, a
equação horária do espaço do M.U.V. transforma-se
na equação horária do espaço do M.U.:
Essa equação é conhecida como a Equação de Torricelli.
s s 0 v0 • t 2
v = vo2 + 2 ∙ a ∙ Δs
a • t2
2
Para a = 0 ⇒ vo = v = constante ⇒ s = so + v . t
a • t2
é responsável
2
pelo acréscimo ou decréscimo do deslocamento cau-
Conclui-se, portanto, que o termo
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01
Uma esfera de aço desce por uma rampa com
aceleração constante de 4 m/s2. Em determinado
instante sua velocidade é de 10 m/s. Determine:
a) sua velocidade após 3 s;
b) a distância percorrida nesses 3 s.
sado pela mudança de velocidade.
SOLUÇÃO:
Avançando neste raciocínio, podemos ter um movimento em que a aceleração varie uniformemente
com o tempo. Essa variação da aceleração poderia
ser chamada, por exemplo, beta (β) e seria assim
$a
calculada: B .
$t
16
a) v = vo + a∙t ⇒ v = 10 + 4∙3 ⇒ v = 22 m/s
b) s = s0 + v 0 • t +
a • t2
œ s – s0 = 10 • 3 +
2
4 • 32
2
œ $s = 48 m
fi1-1-1
02
Um caminhão inicia a travessia de uma ponte com
uma velocidade de 25 m/s. Ao sair da ponte sua
velocidade é de 5 m/s; a distância percorrida foi
de 300 metros. Calcule a desaceleração sofrida
pelo caminhão, supondo-a constante.
SOLUÇÃO:
v2 = vo2 + 2∙a∙Δs ⇒ 52 = 252 + 2∙a∙300
⇒ 25 = 625 + 600∙a ⇒ −600 = 600∙a ⇒ a = −1 m/s2
ROTEIRO DE ESTUDOS
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de responder:
o que é Movimento Uniformemente Variado;
qual a diferença entre Movimento Acelerado e
Movimento Retardado.
Após responder às perguntas:
deduza a equação horária da velocidade do M.U.V.
a partir da equação da aceleração média;
reescreva as equações estudadas;
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
refaça os exercícios resolvidos que constam na
Teoria;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
ANOTAÇÕES
fi1-1-1
17
UNIDADE
Queda Livre e Lançamento Vertical
PRÉ-REQUISITOS
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Aceleração escalar média.
Movimento uniformemente variado.
Um pouco de história
A queda dos corpos foi estudada por muitos cientistas.
Por volta de 300 a.C. viveu Aristóteles, que afirmava
que corpos de massas diferentes, quando soltos de certa
altura, chegariam ao solo em tempos diferentes: os mais
pesados chegariam primeiro. Nessa época não se faziam
experimentos, as teorias eram aceitas apenas pelo raciocínio lógico.
Essa explicação perdurou até o século XVII, quando Galileu Galilei se aprofundou no assunto e fez experimentos
minuciosos. Galileu foi pioneiro ao introduzir o método
experimental. Ele acreditava que corpos de diferentes
massas caíam ao mesmo tempo. Conta-se que ele soltou, do alto da Torre de Pisa, várias esferas de diferentes
massas, comprovando, que corpos de massas diferentes
caem ao mesmo tempo.
Podemos facilmente fazer um experimento que, aparentemente, refuta a teoria de Galileu. Se deixarmos cair uma
folha de papel e um caderno de uma mesma altura e ao
mesmo tempo, certamente o caderno chegará primeiro. O
fato de a folha de papel demorar a cair deve-se à presença
do ar. Este causa uma força de resistência que, quando
comparada ao “puxão” causado pela gravidade, não pode
ser desprezada e atrasa a descida da folha. Ainda assim
podemos fazer a folha e o caderno chegarem juntos ao
solo. Para isso, basta colocar a folha sobre o caderno e
soltá-los junto. O ar não poderá atrapalhar a queda do
papel, pois este está protegido pelo caderno. Uma outra
maneira é amassar a folha, reduzindo sua área de contato
com o ar. Experimente!
18
As ideias de Galileu não foram prontamente aceitas.
Seu famoso livro Diálogos foi condenado pela Igreja e
Galileu foi considerado um herege. Para escapar de ser
queimado na fogueira, teve de se retratar perante o Santo Conselho da Igreja. Mesmo assim, foi condenado
por heresia e obrigado a viver o resto de sua vida preso
em sua casa perto de Florença. Galileu Galilei morreu
completamente cego em 8 de janeiro de 1642.
A aceleração da gravidade
Qualquer movimento próximo à superfície da Terra é
acelerado para baixo por uma aceleração denominada
aceleração da gravidade (g), que vale aproximadamente
9,8 m/s2 ao nível do mar.
Esse valor depende da massa do astro (planeta, estrela,
asteroide, luas) e da distância até seu centro. Assim, seu
valor diminui com a altitude. Na superfície da Lua, a
aceleração da gravidade é cerca de 1/6 da aceleração da
gravidade terrestre.
Corpos abandonados de uma certa altura ou lançados
verticalmente, desprezada a resistência do ar, estarão
sujeitos apenas à aceleração da gravidade que, para pequenas alturas, pode ser considerada constante. Assim,
esses corpos realizarão M.U.V. (aceleração constante)
e seus movimentos poderão ser descritos através das
equações já estudadas.
Devemos tomar cuidado, no entanto, ao escolher uma
orientação para a trajetória:
Queda Livre
vo = 0
orientação
7
a= g
v
fi1-1-1
Lançamento Vertical para Baixo
orientação
vo ≠ 0
a=g
solo para que chegue com velocidade nula ao
segundo andar, podendo assim, ser pego pelo
pedreiro. Considere g = 10 m/s2.
SOLUÇÃO:
Orientando a trajetória para cima teremos:
v
Δs = 5 m; v = 0; a = − g = −10 m/s2
Lançamento Vertical para Cima
v2 = vo2 + 2 ∙ a ∙ Δs ⇒ 02 = vo2 + 2 ∙ (−10) . 5
orientação
⇒ vo2 = 100 ⇒ vo = 10 m/s
v
a=–g
ROTEIRO DE ESTUDOS
vo ≠ 0
A orientação da trajetória pode ser escolhida arbitrariamente, mas ela deve ser estabelecida e os sinais devem
ser respeitados.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01
O mestre de obras de um edifício em construção
deixa cair um tijolo que leva cerca de 3 segundos
para atingir o solo. Por sorte, ninguém foi atingido.
Determine a velocidade do tijolo ao chegar ao solo
e a altura da qual caiu. Adote g = 10 m/s2.
SOLUÇÃO:
Escolhendo a orientação para baixo teremos:
vo = 0; Δt = 3 s; a = g = 10 m/s2
v = vo + a∙t ⇒ v = 0 + 10 ∙ 3 ⇒ v = 30 m/s
10 • 32
a • t2
⇒ Δs = 0 ∙ 3 +
s = so + vo ∙ t +
2
2
⇒ Δs = 45 m
02
fi1-1-1
Muitas vezes, quando se constrói o segundo andar
de uma casa, os pedreiros levam os blocos para
cima lançando-os do solo até o segundo andar.
Para isso, um deles fica no solo, o outro no piso
do segundo andar e o bloco deve ser lançado de
tal forma que chegue às mãos do pedreiro com
velocidade praticamente nula. Numa construção,
o desnível entre o solo e o segundo andar é de
5 m. Determine a velocidade do bloco ao sair do
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
se uma bolinha de gude e uma bola de boliche
forem abandonadas do alto de uma escada, qual
chegará primeiro ao solo;
se o experimento anterior fosse feito com uma
pena de passarinho e a bola de boliche haveria
diferença entre os resultados e por quê;
quais as diferenças entre Queda Livre e Lançamento Vertical.
Após responder as perguntas:
represente um objeto em queda livre.
Orientando a trajetória para baixo, diga quais
os sinais (+ ou −) de Δs, vo e a;
repita o exercício anterior orientando a trajetória
para cima;
represente um objeto lançado verticalmente para
baixo. Orientando a trajetória para baixo, diga
quais os sinais de Δs, vo e a;
repita o exercício anterior orientando a trajetória
para cima;
represente um objeto lançado verticalmente
para cima. Orientando a trajetória para cima,
diga quais os sinais de Δs enquanto o corpo
sobe, vo e a;
repita o exercício anterior orientando a trajetória
para baixo;
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
refaça os exercícios resolvidos que constam na
Teoria;
faça os demais exercícios referentes à unidade.
19
UNIDADE
Diagramas do M.U.V.
8
No exemplo:
PRÉ-REQUISITOS
Velocidade escalar média.
Movimento uniforme.
Aceleração escalar média.
Movimento uniformemente variado.
Assim como no movimento uniforme, os diagramas do
movimento uniformemente variado trazem informações
valiosas. Veremos três diagramas: a x t; v x t; s x t.
Diagrama aceleração versus
tempo
No M.U.V., a aceleração escalar é constante, podendo
tanto ser positiva quanto negativa, dependendo de seu
sentido em relação à orientação da trajetória. Assim, o
diagrama da aceleração em função do tempo (a x t) será
uma reta horizontal, paralela ao eixo do tempo.
a
a>0
1o trecho (t = 0 a t = 3 s):
Δv1 = área = (−2) 3 ⇒ Δv1 = −6 m/s
2o trecho (t = 3 s a t = 7 s):
Δv2 = área = 3 4 ⇒ Δv2 = 12 m/s
Δvtotal = Δv1 + Δv2 ⇒ Δvtotal = −6 + 12 ⇒ Δvtotal = 6 m/s
Ou seja, de t = 0 a t = 7 s, o móvel sofreu uma variação
de 6 m/s em sua velocidade.
Diagrama velocidade versus
tempo
O diagrama v x t é construído a partir da equação horária da velocidade (v = vo + a.t), que é uma função de 1o
grau (o expoente de “t” é 1). Sendo assim, o diagrama
v x t será uma reta oblíqua. Essa reta será crescente, se a
aceleração for positiva, ou decrescente, se a aceleração
for negativa.
v
v
t
v0
a>0
a<0
t
Observando o diagrama da aceleração e a equação da
aceleração média, podemos concluir que, ao multiplicar
a aceleração pela variação do tempo, encontramos a
área formada no gráfico que corresponde à variação da
velocidade.
O diagrama v x t pode informar-nos o valor da aceleração.
Para tanto, acompanhe o exemplo abaixo que mostra a
variação de velocidade de dois corpos:
v (m/s) I
3
$v
$t
$v a m • $t
am -2
20
t
v0
a (m/s2)
0
a<0
3
7 t(s)
II
4
0
2
8 t(s)
fi1-1-1
Ambos iniciam o movimento com velocidade inicial nula
(vo = 0). O corpo I atinge 4 m/s em 2 s, enquanto o corpo
II atinge 4 m/s em 8 s. Assim,
a a $v
4 0
œ aI = 2 m s2
œ aI $t
2 0
$v
4 0
œ a II = 0, 5 m s 2
œ a II $t
8 0
Observe que a inclinação do diagrama v x t do corpo I é
maior que a do corpo II. Logo, aI > aII.
Agora vamos analisar o diagrama abaixo:
v(m/s)
20
0
10
15 t(s)
-10
2o trecho (t = 10 s a t = 15 s):
$s 2 área Para o exemplo acima, temos:
1o trecho (t = 0 a t = 10 s):
$s1 área fi1-1-1
10
0 • 20 0 2
œ $s1 = 100 m
œ $s 2 = – 25 m
Observe que a distância total percorrida foi de:
D = 100 + 25 ⇒ D = 125 m
Diagrama espaço versus
tempo
O diagrama s x t é construído a partir da equação horária
a • t2
do espaço (s = so + vo.t +
), que é uma função de
2
2o grau (o expoente de “t” é 2). Sendo assim, o diagrama
s x t será uma parábola. A parábola terá concavidade
para cima, se a aceleração for positiva, e concavidade
para baixo, se a aceleração for negativa.
s
s
a>0
Para 0 ≤ t < 10 s, a velocidade é positiva e, portanto,
Conforme estudado para o M.U., esse diagrama permite,
ainda, calcular o deslocamento através da área sob o
gráfico.
2
Δstotal = Δs1 + Δs2 ⇒ Δstotal = 100 − 25 ⇒ Δstotal = 75 m
A reta é decrescente, portanto a aceleração é negativa:
temos um movimento progressivo, ou seja, a favor da
orientação da trajetória. Nesse intervalo ainda, o módulo da velocidade diminui, portanto seu movimento
é retardado. Assim, de 0 a 10 s, o corpo realiza um
Movimento Progressivo Uniformemente Retardado.
No instante t = 10 s, a velocidade do corpo é nula.
Imediatamente antes, a velocidade é positiva (movimento progressivo); imediatamente após, a velocidade
é negativa (movimento retrógrado). Assim, no instante
10 s, houve uma inversão de sentido de movimento.
Para t > 10 s, a velocidade é negativa e, portanto,
temos um movimento retrógrado, ou seja, contra a
orientação da trajetória. Percebe-se, ainda, que o módulo da velocidade aumenta; portanto seu movimento
é acelerado. Assim, após o instante 10 s, o corpo
realiza um Movimento Retrógrado Uniformemente
Acelerado.
15 10 • –10 0 a<0
t
0
t
0
Observe o diagrama s x t abaixo:
s(m)
80
10
0
5
15
t(s)
-20
A partir do diagrama, podemos obter a posição inicial
so = 80 m (posição em t = 0).
Para 0 ≤ t < 10 s, o corpo movimenta-se contra a orien-
tação da trajetória. Assim, o movimento é retrógrado.
Para t > 10 s, o corpo movimenta-se a favor da orientação da trajetória. Assim, o movimento é progressivo.
Em t = 10 s, ocorre a mudança de sentido no movimento.
Em t = 5 s e t = 15 s o móvel passa pela origem da
trajetória (s = 0).
21
Podemos encontrar, ainda, os valores da velocidade
inicial e da aceleração, através da equação horária do
espaço para esses dois instantes em que a posição do
corpo é zero:
a • 52
a • t2
⇒ 0 = 80 + vo 5 +
2
2
(eq. I)
⇒ 0 = 80 + 5 vo + 12,5 a
s = so + vo t +
a • t2
s = so + v o t +
⇒ 0 = 80 + vo
2
⇒ 0 = 80 + 15 vo + 112,5 a (eq. II)
a • 15 2
15 +
2
Multiplicando-se a equação I por 3:
0 = 240 + 15 vo + 37,5 a
Subtraindo-se da equação II:
0 80 15 • v0 112, 5 • a
0 240 15 • v0 37, 5 • a œ a 2,13 m s 2
0 160 75 • a
Substituindo na equação II:
0 = 80 + 15 vo + 112,5 a ⇒ 0 80 + 15 vo + 112,5 2,13
⇒ vo −21,3 m/s
ROTEIRO DE ESTUDOS
Após a leitura da Teoria, você deve ser capaz de
responder:
qual é a forma do diagrama a x t do Movimento
Uniformemente Variado;
qual é a forma do diagrama v x t do Movimento
Uniformemente Variado;
o que indica a inclinação do diagrama v x t;
qual é a forma do diagrama s x t do Movimento
Uniformemente Variado.
Após responder às perguntas acima:
refaça os exercícios feitos por seu(sua)
professor(a);
faça os demais exercícios referentes à unidade.
ANOTAÇÕES
22
fi1-1-1
UNIDADE
1
Velocidade Escalar Média
1.
Sobre uma reta, há 5 pontos: A, B, C, D e E. Os segmentos de reta definidos possuem as seguintes dimensões:
AB 7 m , BC 5 m , CD 6 m , DE 9 m .
Considere a trajetória definida pela reta.
a) Estabeleça a origem no ponto C e a orientação da
trajetória de A para E. Quais as posições dos pontos
A, B, C, D e E?
b) Estabeleça a origem no ponto B e a orientação da
trajetória de E para A. Quais as posições dos pontos
A, B, C, D e E?
2.
Os marcos quilométricos das entradas de algumas cidades ao longo da Rodovia Castelo Branco, em São Paulo,
estão indicados na figura abaixo.
TEMPO (horas)
0
1
2
3
4
5
POSIÇÃO
(quilômetros)
65
145
205
255
165
130
Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
O deslocamento entre os instantes 0 e 1 h;
O deslocamento entre os instantes 1 h e 3 h;
O deslocamento entre os instantes 2 h e 4 h;
O deslocamento entre os instantes 3 h e 5 h;
O deslocamento total sofrido;
A distância total percorrida, considerando que o carro tenha invertido o sentido de percurso em t = 3 h;
g) A distância percorrida entre os instantes 2 h e 4 h,
considerando a inversão de sentido em t = 3 h.
4.
Uma formiga caminha sobre uma fita métrica e um estudante cronometra seu tempo a cada 10 cm. Com as
anotações, montou a tabela abaixo.
km 50, São Roque
Araçariguama, km 45
POSIÇÃO (cm)
100
90
80
70
80
90
TEMPO (s)
0
5
7
10
14
19
km 20, Aldeinha
Determine:
km 19, Carapicuíba
km 15, Osasco
SP
280
Rio Tietê
São Paulo, km 0
Caso a cidade de Aldeinha seja considerada a nova origem da trajetória, mantendo-se a mesma orientação, quais
seriam os novos marcos quilométricos dessas cidades?
3.
Em uma viagem de carro, um estudante anota sua posição na estrada a cada hora. Com as anotações, montou
a tabela a seguir:
fi1-1-1
a) O deslocamento entre os instantes 0 e 7 s, 7 s e 14 s,
10 s e 19 s;
b) O deslocamento total sofrido;
c) A distância total percorrida, considerando que a formiga tenha invertido seu movimento na posição 70 cm.
5.
A respeito do movimento, julgue os itens abaixo em
verdadeiro (V) ou falso (F).
(
(
) Um corpo parado sobre uma mesa certamente estará em repouso.
) A Terra sempre está em movimento, não importando o referencial adotado.
23
(
(
(
) Um corpo pode estar em movimento para um certo referencial, mas em repouso em relação a outro
referencial.
) A distância percorrida pelo corpo somente pode
ser medida em metros.
) A unidade do Sistema Internacional para distâncias é o metro.
6.
Um atleta percorre 100 m em aproximadamente 10 segundos. Qual a velocidade média desse atleta?
7.
Um automóvel saiu de uma cidade situada no km 30
de uma rodovia chegando em uma cidade no km 150
da mesma rodovia. Sabendo que a viagem demorou 2
horas, determine a velocidade média desse automóvel:
anotadas na tabela abaixo. Determine a velocidade média do móvel:
t (s)
s (m)
a) Que distância esse ônibus percorre em 2 h?
b) Quanto tempo esse ônibus demoraria para percorrer
um trecho de 45 km?
9.
A figura abaixo mostra a posição de um objeto sobre
uma superfície horizontal. Considere t = 0 para a primeira posição (s = 15 m).
47
63
79 s(m)
O intervalo de tempo entre duas posições consecutivas
é de 2 s.
a) Determine o deslocamento entre t = 0 e t = 4 s.
b) Determine a velocidade média entre t = 2 s e t = 6 s.
10.
Uma esfera de aço é solta do alto de um prédio e percorre até o chão 45 m em 3 s. Determine a velocidade
média da esfera em km/h.
11.
Uma moto faz uma viagem de 400 km. O motociclista
percorre os primeiros 160 km em 2 h e o restante em 4 h.
Qual sua velocidade média na viagem toda?
12.
Um móvel se desloca em uma trajetória e suas posições
(em metros) ao longo do tempo (dado em segundos) são
24
2
0
3
5
4
10
5
17
6
24
7
31
8
38
13.
Durante um treinamento, um ciclista percorre uma praça
com o seguinte formato:
A
0,9 km
B
2,4 km
1,2 km
8.
Um ônibus em determinado percurso nas ruas de uma
cidade viaja com velocidade média de 15 km/h.
31
1
-5
a) entre t = 1 s e t = 3 s;
b) entre t = 4 s e t = 7 s;
c) entre t = 0 s e t = 8 s.
a) em km/h;
b) em m/s.
15
0
-10
D
C
1,5 km
Sabendo que ele completa uma volta em 10 minutos,
determine:
a) a distância percorrida em 1 volta;.
b) a velocidade média da volta completa em m/s;
c) a velocidade média, em m/s, do trecho CDA, sabendo que o trecho ABC é realizado em 5 minutos.
14.
Um trem-bala poderia cobrir a distância entre São Paulo
e Rio de Janeiro em cerca de 1h30min. Considerando que
a distância entre as duas cidades é de cerca de 450 km,
determine a velocidade média desse trem.
15.
Um móvel passa pela cidade A no instante t = 3 h e passa
pela cidade B no instante t = 4 h.
A
130
150
B
170
190
210
s (km)
a) Determine a sua velocidade média.
b) Determine em que instante o móvel chegará na posição s = 270 km, considerando que a velocidade média permaneça inalterada.
16.
Um avião percorre uma distância de 3000 km em 5 h.
a) Determine a velocidade média desse avião em km/h
e em m/s.
b) Se esse avião partisse às 14 h de uma cidade, a que
horas chegaria em uma cidade distante 1800 km?
fi1-1-1
17.
Pessoas numa fila de banco se deslocam com velocidade
média de 2 m/min. Supondo-se que, ao chegar ao banco,
a fila tenha 15 m, quanto tempo uma pessoa esperará
para ser atendida?
21.
Um automóvel deslocou-se durante 1 h com velocidade
constante de 60 km/h e, a seguir, por mais 30 min, com
velocidade constante de 42 km/h. Calcule a velocidade
média desse automóvel em todo o percurso.
18.
Uma partícula mantém sua velocidade constante em
54 km/h. Após 25 s, a distância percorrida será de:
22.
Numa viagem, um automóvel passou pelo marco quilométrico 125 km às 8h20min e depois pelo marco
quilométrico 275 km às 9h50min. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
250 m.
275 m.
350 m.
375 m.
400 m.
a) o deslocamento sofrido;
b) o tempo de viagem;
c) a velocidade média do automóvel.
19.
O movimento de um carrinho foi fotografado a cada 5 s
como mostra a figura abaixo.
10 m
30 m
50 m
Determine a velocidade média do carrinho.
20.
Um foguete espacial precisa ter uma velocidade de
cerca de 12 km/s para conseguir escapar da atração
gravitacional da Terra (velocidade de escape). Saindo
às 11 h da Terra, a que horas chegaria à Lua, distante
450 000 km?
a)
b)
c)
d)
e)
21h25min.
20h50min.
20h15min.
19h30min.
18h55min.
UNIDADE
23.
Um automóvel percorre uma estrada ABC da seguinte
maneira: trecho AB com velocidade média de 60 km/h
durante 2 horas; trecho BC com velocidade média de
90 km/h durante 1 hora. Determine a velocidade média
do automóvel no percurso AC.
24.
A unidade de medida de velocidade utilizada em navios
é o nó (1 nó = 1,8 km/h). Um navio cargueiro desenvolve uma velocidade média de 8 nós durante 1 dia. Determine a distância percorrida por esse cargueiro.
DESAFIO
25. Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada
automóvel demora para percorrer um trecho de
100 m. Certo automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 150 km/h. Se
a velocidade máxima permitida for de 90 km/h,
qual deverá ser a velocidade média do automóvel
na segunda metade do trecho, para que não seja
multado?
2
Movimento Uniforme
1.
Obtenha a posição inicial e a velocidade das seguintes
equações de movimento. As unidades estão no SI.
2.
Escreva a equação horária para os seguintes movimentos. Veja os exemplos.
a) s = 20 + 10 t
d) x = 20 t + 18
b) s = −15 + 12 t
e) y = −2 t + 10
c) x = 5 + 2 t
f) y = 25 t – 135
I. Um automóvel passa pela posição 30 km, quando um
cronômetro é acionado, em direção ao km 100 com
velocidade constante de 80 km/h.
s = 30 + 80 t (s em km; t em h)
fi1-1-1
25
II. Um objeto com velocidade constante de 10 m/s,
desloca-se da posição 250 m, quando t = 0, até a
posição 100 m.
s = 250 – 10 t (SI)
Obs.: A velocidade é negativa, pois o movimento é
retrógrado.
Essa varredura termina quando o aparelho encontra um
sinal. Vamos supor que estejamos num local onde existam poucas estações, o aparelho faz a varredura percorrendo 2 MHz a cada segundo. A tecla é pressionada na
estação 95,7 MHz e a busca demora 3,2 s. Qual foi a
estação sintonizada pelo rádio?
a) Uma bola rola a partir da posição 12 m, quando um
cronômetro é zerado, com uma velocidade constante
de 5 m/s, atingindo a posição 60 m.
b) Um jogador de beisebol arremessa a bola horizontalmente com uma velocidade constante de 30 m/s,
no instante em que t = 0. Considere a base como a
posição zero, e o movimento progressivo.
c) Um automóvel trafega numa estrada, passando pelo
quilômetro 128, quando t = 0, com velocidade constante de 90 km/h no sentido dos marcos quilométricos crescentes.
d) Um cronômetro é disparado quando um corpo passa pela posição 10 m com velocidade constante. O
cronômetro indica 10 s quando o objeto passa pela
posição 60 m.
e) Uma bolinha de gude sai da mão de uma criança
com uma velocidade constante de 25 cm/s. A mão
da criança é a origem dos espaços e o movimento é
progressivo.
f) Uma esfera vai da posição 375 m até a posição 125 m
em 25 s, com velocidade constante.
6.
Ao longo de um rio com correnteza, um barco motorizado desenvolve uma velocidade total de 7 m/s. O pescador mantém essa velocidade por 5 minutos quando
o motor para de funcionar. O barco continua se movimentando devido à correnteza com uma velocidade de
2 m/s. Tendo que percorrer uma distância total de 3 km,
quantos minutos o pescador terá de esperar para chegar
ao seu destino, após o motor ter parado?
3.
O movimento de um corpo obedece a seguinte equação
horária: s = −50 + 25t (SI). Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
sua posição inicial;
sua velocidade;
sua posição no instante 5 s;
o instante em que passará pela posição 100 m;
o instante em que passará pela origem dos espaços.
4.
A tabela a seguir mostra os espaços ocupados por um
objeto em função do tempo.
s (m)
10
40
70
100
Z
160
t (s)
0
3
6
9
12
15
Em relação a esse movimento responda:
a) o movimento do objeto é uniforme? Justifique;
b) determine sua função horária;
c) determine o valor de Z.
5.
Quando a tecla search de um rádio FM é pressionada
inicia-se uma varredura através das estações de rádio.
26
7.
Numa estrada de ferro há uma ponte de 250 m de comprimento. Uma composição de trem, com comprimento
total de 150 m e velocidade constante de 36 km/h, inicia
a travessia da ponte em um certo instante. Determine o
tempo necessário para que todo o trem termine de atravessar a ponte.
8.
Uma carreta gasta 12 s para atravessar completamente
um túnel com 155 m de extensão, desenvolvendo uma
velocidade constante de 54 km/h. Determine o comprimento dessa carreta.
9.
Um ciclista percorre um trecho de 500 m com velocidade constante de 10 m/s e desenvolve, num segundo
trecho, velocidade constante de 20 m/s durante 75 s. Determine a velocidade média de todo o percurso.
10.
Certo objeto se move obedecendo a seguinte equação
horária: s = 12 + 25t (SI). A respeito desse movimento é
correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
o objeto passa pela origem dos espaços.
o movimento é retilíneo.
a velocidade é variável.
o objeto passará pela posição 135 m quando t = 5 s.
o objeto passará pela posição 237 m no instante
t = 9 s.
11.
A atmosfera do planeta Vênus é muito densa e não permite a visualização de seu relevo. Para conhecer sua topografia, foi utilizado um satélite em órbita, emitindo ondas
eletromagnéticas que, ao refletirem no solo, retornavam
ao satélite. Medindo o intervalo de tempo entre a emissão
fi1-1-1
e a recepção do sinal, foi possível fazer um mapeamento de todo o planeta. Vamos supor que, para uma dada
região, o intervalo de tempo medido foi de 2 ms (dois
milissegundos = 2 10−3 s). Sabendo-se que a velocidade
das ondas eletromagnéticas é de 3 105 km/s, determine a
distância entre o satélite e a superfície analisada. Se logo
à frente, o tempo medido for menor, isso indicará a existência de uma montanha ou de um vale? Justifique.
12.
Dois automóveis movimentam-se em uma rodovia e,
em determinado momento, estão nas posições indicadas na figura.
A
B
30 m
345 m
Sabendo-se que a velocidade do móvel A é constante de
25 m/s e a velocidade do móvel B, também constante e
de sentido oposto, é de 10 m/s, determine o instante e a
posição em que se encontram.
13.
Dois carros trafegam na mesma avenida com velocidades iguais a 72 km/h e 54 km/h. Num certo instante a
distância entre eles é de 350 m. Determine o intervalo de
tempo necessário para que eles se encontrem caso:
a) estejam se movendo no mesmo sentido;
b) estejam se movendo em sentidos opostos.
14.
Uma nave sai de uma estação espacial, em percurso retilíneo, com velocidade constante de 5,0 km/s. 600 km à
frente, uma segunda nave movimenta-se, na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidade constante de
3,0 km/s. Sabe-se que a 10 km de distância já é possível
avistar a segunda nave.
UNIDADE
a) Em quanto tempo após sua partida a primeira nave
conseguirá avistar a segunda?
b) Desde a partida da primeira nave, qual a distância
percorrida pela segunda nave até o momento em que
foi observada?
15.
Marque V (verdadeiro) ou F (falso) para as sentenças
abaixo.
a) (
) Num movimento uniforme a trajetória é sempre
retilínea.
b) ( ) Um móvel que tem uma velocidade média de
35 km/h percorrerá em 3 horas uma distância de
105 km.
c) ( ) Quando dizemos que a velocidade média de
um carro foi de 50 km/h, afirmamos que em
nenhum momento ele esteve acima ou abaixo
dessa velocidade.
d) ( ) Se dois automóveis mantiverem suas velocidades
sempre constantes em 60 km/h e 70 km/h, sempre
haverá encontro entre eles, não importando a
distância inicial nem o sentido dos movimentos.
e) ( ) O movimento do ponteiro dos segundos de um relógio de parede pode ser considerado uniforme.
16.
A viagem de Nei começou em São Paulo com destino a
Natal, RN. Ao se aproximar da cidade de Governador Valadares, em Minas Gerais, no km 430 da rodovia BR-116,
um amigo liga, dizendo que está no km 30 da mesma rodovia, seguindo em sentido contrário. Supondo que Nei e
seu amigo mantenham velocidades constantes de 70 km/h
e 90 km/h, respectivamente, determine:
a) em quanto tempo os dois se encontrarão;
b) em que posição ocorrerá o encontro;
c) qual será a distância percorrida por cada um.
3
Diagramas do M.U.
1.
O diagrama a seguir representa os movimentos de dois
caminhões, A e B, que se deslocam na mesma rodovia.
s(km)
450
A
150
B
0
fi1-1-1
1 2 3 4 5 6
t(h)
27
d) escreva a equação horária do movimento;
e) Determine a posição do móvel no instante 8 s.
Com base no diagrama, responda:
a) quais são as posições iniciais de cada caminhão?
b) qual foi a duração da viagem dos caminhões?
c) os caminhões se deslocam no mesmo sentido ou em
sentidos contrários? Justifique.
d) qual o espaço e qual o instante em que os caminhões
se cruzam?
e) os caminhões se deslocaram em movimento uniforme? Justifique.
f) observando o diagrama, sem utilizar dados numéricos, é possível determinar qual dos caminhões desenvolveu maior velocidade? Justifique.
g) determine a velocidade de cada caminhão.
h) determine a equação horária dos dois caminhões.
i) encontre algebricamente o instante e a posição de
encontro dos dois caminhões.
j) determine a posição em que chegou o caminhão B
após 6 h de viagem.
2.
O diagrama a seguir representa a velocidade de um carro
em função do tempo.
v(km/h)
40
Enunciado para as questões 4 e 5:
Duas ondas sísmicas, A e B, são geradas em um epicentro
em comum e propagam-se conforme o diagrama abaixo:
x(km)
B
A
2500
2000
1 500
1000
500
0
0
1
2
3
4 5
6 7
8
t(min)
4.
Uma cidade localizada a 1500 km de distância sente os
abalos causados pela onda sísmica A. Quanto tempo depois sentirá os efeitos da onda sísmica B?
5.
Quanto tempo após a onda A atingir uma cidade a
3500 km de distância do epicentro, a onda B atingirá
a mesma cidade?
6.
Um automóvel A e um caminhão C movimentam-se em
uma pista de testes e um diagrama da posição em função
do tempo foi construído:
0
0,10
t(h)
x(m)
Determine o deslocamento escalar do carro entre os
instantes:
A
90
80
C
a) t = 0 a t = 0,05 h?
b) t = 0,05 h a t = 0,08 h?
c) t = 0 a t = 0,10 h?
70
60
50
3.
Com base no gráfico abaixo:
40
s(m)
30
22
20
10
7
0
0
0
3
2
3
4
5
t(s)
t(s)
a) Determine a posição inicial;
b) Responda: o movimento é uniforme? Justifique;
c) Determine a velocidade;
28
1
a) determine as equações horárias do automóvel e do
caminhão;
b) encontre, algebricamente, o instante e a posição de
encontro dos dois móveis.
fi1-1-1
7.
Dois ciclistas, A e B, treinam em uma pista de ciclismo
na qual a reta principal, com 50 m de extensão, é numerada a cada metro. Quando um cronômetro é acionado,
o ciclista A passa pela indicação de 5 m, enquanto o
ciclista B passa pelo marco 40 m, pedalando com velocidades constantes de módulos 3 m/s e 4 m/s respectivamente, em sentidos opostos, um de encontro ao outro.
DESAFIO
8. Um móvel desloca-se em M.R.U. segundo o dia-
grama abaixo:
x (m)
2
0
a) Escreva a equação horária dos dois ciclistas.
b) Determine o instante em que o ciclista B passará pela
origem da trajetória.
c) Determine o instante e a posição de encontro.
d) No mesmo gráfico v x t, represente as velocidades
dos dois ciclistas entre os instantes 0 e 10 s.
e) Utilizando o diagrama v x t, calcule os deslocamentos sofridos pelos ciclistas entre os instantes 6 e 8 s.
f) No mesmo gráfico s x t, represente as posições dos
dois ciclistas entre os instantes 0 e 10 s, indicando o
instante e a posição de encontro.
UNIDADE
t(s)
-20
-30
Determine:
a) a função horária do movimento;
b) o instante em que o móvel passará pela origem
da trajetória.
4
Velocidade Relativa Unidimensional
1.
Dois automóveis, A e B, deslocam-se no mesmo sentido, em linha reta, um ao lado do outro, ambos a 80 km/h,
medidos em relação ao solo. Determine:
a) a velocidade do carro B em relação ao motorista do
carro A;
b) a velocidade do carro A em relação ao motorista do
carro B;
c) a velocidade do carro A em relação a um observador
sentado em um banco de uma praça.
2.
Um ônibus movimenta-se em uma avenida com velocidade de 30 km/h. Nesse mesmo instante, uma motocicleta
move-se, na mesma avenida, com velocidade de 90 km/h.
Considerando positivo o sentido de movimento do ônibus, determine:
a) a velocidade relativa do ônibus em relação à motocicleta, caso estes movimentem-se no mesmo sentido;
b) a velocidade relativa do ônibus em relação à motocicleta, caso estes movimentem-se em sentidos
opostos;
c) a velocidade da motocicleta em relação ao ônibus,
caso estes movimentem-se no mesmo sentido;
fi1-1-1
d) a velocidade da motocicleta em relação ao ônibus,
caso estes movimentem-se em sentidos contrários.
3.
Duas formigas, 1 e 2, deslocam-se em linha reta, ambas
com velocidade de 3 cm/s, medidos em relação ao solo.
Determine:
a) o módulo da velocidade da formiga 1 em relação à
formiga 2, caso estejam se movimentando no mesmo sentido;
b) o módulo da velocidade da formiga 2 em relação à
formiga 1, caso estejam se movimentando em sentidos opostos.
4.
Um avião caça voa em linha reta com velocidade de
1500 km/h em relação ao solo. Nesse mesmo instante,
um míssil voa, na mesma direção, contra o avião, com
velocidade de 6 000 km/h, também medida em relação
ao solo. Considerando o sentido de movimento do míssil
como positivo, determine:
a) a velocidade relativa do avião em relação ao míssil,
caso estes se movimentem no mesmo sentido;
b) a velocidade relativa do avião em relação ao míssil,
caso estes se movimentem em sentidos opostos;
29
c) a velocidade do míssil em relação ao avião, caso estes se movimentem no mesmo sentido;
d) a velocidade do míssil em relação ao avião, caso estes se movimentem em sentidos contrários.
5.
Uma gazela corre, em linha reta, com velocidade de
52 km/h, fugindo de um leão que a persegue, na mesma direção e sentido, com velocidade de 70 km/h.
Sendo a distância que os separa de 45 m, determine o
tempo necessário para que o leão alcance a gazela.
6.
Um caminhão trafega por uma rodovia com velocidade constante de 54 km/h, enquanto um automóvel
percorre a mesma rodovia com velocidade constante
de 90 km/h. Em determinado instante, a distância que
os separa é de 250 m. Determine o intervalo de tempo
até o encontro se:
a) estiverem se movendo no mesmo sentido;
b) estiverem se movendo em sentidos contrários.
UNIDADE
DESAFIO
7. Um grupo de amigos viaja por uma rodovia
retilínea em dois carros. Para poderem se comunicar durante a viagem, levam, um em cada
carro, um par de rádios comunicadores que
possui alcance de 1,5 km, ou seja, podem conversar enquanto a distância entre esses rádios
não supere 1,5 km. Em determinado instante,
quando a distância entre eles é de 2,1 km, o
carro da frente trafega com velocidade constante de 50 km/h, enquanto o de trás trafega
com velocidade de 104 km/h. Responda:
a) Quanto tempo demorará até que a comunicação entre eles seja possível?
b) Após o início das comunicações, por quanto
tempo ainda será possível conversarem?
5
Aceleração Escalar Média
1.
Um automóvel, em uma pista de testes, atinge a velocidade máxima de 252 km/h em 10 s a partir do repouso.
Mantém durante algum tempo essa velocidade e então
o acelerador é solto. O carro, desengrenado, continuará
a andar, parando naturalmente após 35 s. Determine a
aceleração escalar média:
a) nos primeiros 10 s;
b) do momento em que o acelerador é solto, até atingir
o repouso;
c) em todo o percurso descrito.
2.
Um foguete, partindo do repouso, atinge a velocidade
de 15 km/s em apenas 100 s. Determine a aceleração
média sofrida em:
a) km/s2
b) m/s2
3.
Determine a aceleração média sofrida por um automóvel
que diminui sua velocidade de 108 km/h para 36 km/h
em um intervalo de tempo de 5 s.
30
4.
Analise o gráfico abaixo e responda:
v(m/s)
20
15
10
0
1
4
5
8
t(s)
a) em qual(is) intervalo(s) de tempo o objeto desenvolveu movimento uniforme;
b) determine a aceleração escalar média no intervalo de
0 a 8 s;
c) determine a aceleração escalar média no intervalo de
3 s a 5 s.
5.
Um corpo, inicialmente em repouso, sofre uma aceleração média de 5 m/s2 durante 10 s. Determine a velocidade final do corpo.
6.
Uma motocicleta, inicialmente em repouso, aumenta
sua velocidade em 18 km/h a cada 2 s. Após 10 s de
fi1-1-1
aceleração, mantém sua velocidade constante por mais
10 s. Determine:
a) sua aceleração média nos primeiros 2 s;
b) sua velocidade após 10 s de movimento;
c) sua aceleração média nos 20 s descritos.
7.
Um navio de cruzeiro mantém sua velocidade praticamente constante em 15 nós (1 nó ≈ 1,8 km/h). Uma
pane nos motores causa o desligamento das hélices e
lentamente o navio perde velocidade até parar. Calcule
o tempo decorrido entre a pane dos motores e a parada
do navio, sabendo que a desaceleração média causada
pela água foi de 0,05 m/s2.
a)
b)
c)
d)
O movimento é uniforme? Justifique.
Determine a aceleração média de t = 0 a t = 20 s.
Determine a aceleração média de t = 20 s a t = 60 s.
Determine a aceleração média de t = 60 s a t = 80 s.
9.
Um gráfico típico da velocidade em função do tempo de
um carro em uma avenida com controle de velocidade é
mostrado abaixo:
v(km/h)
90
8.
O movimento de um automóvel em uma rodovia é mostrado no seguinte gráfico:
v(m/s)
20
15
10
5
0
5
0
20
40
UNIDADE
60
80
t(s)
10
15
20
25
30
35
t(s)
Podemos notar que a velocidade tende a um valor máximo que é a máxima permitida na avenida. Calcule a
aceleração média do carro entre t = 0 e t = 35 s.
6
Movimento Uniformemente Variado
1.
Um móvel tem função da velocidade v = 80 + 10 t (unidades do SI). Determine:
a)
b)
c)
d)
sua velocidade inicial e sua aceleração;
sua velocidade no instante t = 5 s;
a classificação do movimento no instante t = 5 s;
em que instante sua velocidade atingirá 200 m/s.
2.
Um ponto material em movimento adquire velocidade
que obedece à expressão v = 20 – 2 t (unidades no SI).
Pede-se:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sua velocidade inicial e sua aceleração;
a velocidade no instante t = 8 s;
a classificação do movimento no instante t = 8 s;
o instante em que o móvel muda de sentido;
a velocidade no instante t = 15 s;
a classificação do movimento no instante t = 15 s.
fi1-1-1
3.
Um móvel realiza um M.U.V. que tem função da velocidade v = −120 + 5 t, onde a velocidade é dada em m/s
e a aceleração em m/s2. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sua velocidade inicial e sua aceleração;
a velocidade no instante t = 10 s;
a classificação do movimento no instante t = 10 s;
o instante em que o móvel muda de sentido;
a velocidade no instante t = 30 s;
a classificação do movimento no instante t = 30 s.
4.
Um objeto atirado verticalmente para cima tem função
da velocidade dada por v = 50 – 10 t (SI). Classifique
o movimento em progressivo ou retrógrado e em acelerado ou retardado nos instantes 3 s, 4 s, 7 s e 8 s.
5.
Um móvel tem sua velocidade variando com o tempo,
conforme a tabela a seguir:
31
t (s)
0
5
10
15
20
v (m/s)
50
40
30
20
10
Determine a função horária da velocidade desse móvel.
6.
Um carro tem velocidade de 15 m/s quando freia, parando após 3 segundos. Considerando t = 0 o instante em
que o freio é acionado, determine:
a) a aceleração sofrida pelo carro durante a frenagem,
supondo-a constante;
b) a equação horária da velocidade durante a frenagem;
c) a velocidade do carro decorridos 2 s após o início da
frenagem;
d) o instante em que sua velocidade é de 3 m/s.
7.
Um móvel parte do repouso acelerando uniformemente
à razão de 3 m/s2. Qual será a velocidade desse móvel
após 1 min de movimento?
8.
Um avião, em sua decolagem, acelera de 0 a 90 km/h
em 5 s. Determine quanto tempo é necessário para que a
aeronave perca o contato com o solo, considerando que
a aceleração seja constante e que sua velocidade seja de
360 km/h no momento da decolagem.
9.
Dois móveis, A e B, têm funções da velocidade iguais a
vA = −5 + 3 t e vB = 10 – 2 t (SI).
a) Em que instante os móveis têm velocidades iguais?
b) Qual o valor dessa velocidade?
10.
Considere as funções horárias dos espaços (todas com
unidades no SI):
I. s = 50 + 80 t – 5 t2
II. s = 10 t + 3 t2
III. s = t2 + 5 t − 30
IV. s = –5 t2 + 120 t
V. s = − t2 + 60
Determine, para cada uma das funções:
a) a posição inicial (so), a velocidade inicial (vo) e a aceleração (a);
b) a função horária da velocidade.
32
11.
Um corpo movimenta-se em M.U.V. com a função horária s = − 6 + t + t2 (unidades no SI). Determine, para
esse corpo:
a) a posição inicial (so), a velocidade inicial (vo) e a aceleração (a);
b) as posições do móvel nos instantes t1 = 5 s e t2 = 10 s;
c) o deslocamento escalar entre os instantes t1 e t2;
d) o instante em que o móvel passa pela origem das
posições;
e) a equação horária da velocidade;
f) o instante em que o móvel atinge velocidade de 43 m/s.
12.
Um móvel tem função horária s = 5 −12 t + 2 t2 (unidades no SI). Determine:
a) a posição do móvel após 5 s de movimento;
b) o deslocamento sofrido pelo móvel entre os instantes
5 s e 8 s;
c) os instantes em que o móvel passa pela posição – 11 m;
d) a posição inicial (so), a velocidade inicial (vo) e a aceleração (a);
e) a equação horária da velocidade;
f) o instante em que o móvel muda o sentido do
movimento.
13.
Se a função horária do movimento de um corpo é s = 4 t2
(SI), em quanto tempo terá velocidade 100 m/s?
14.
Um móvel parte do repouso da posição 10 m da trajetória com aceleração de 4 m/s2. Determine:
a) sua posição e sua velocidade no instante t = 5 s;
b) sua velocidade média entre 0 e 5 s.
15.
A função horária de um corpo é s = 30 + 10 t – t2 (SI).
Qual será a posição do móvel ao mudar de sentido?
16.
Dois móveis, A e B, partem do repouso, simultaneamente de um mesmo ponto, com acelerações de 4 m/s2
e 3 m/s2, respectivamente. Se os dois se movimentam
numa mesma trajetória, qual será a distância entre os
móveis após 10 s?
17.
Um carro tem velocidade de 20 m/s quando é freado,
parando depois de percorrer 100 m. Qual a aceleração
imposta ao carro pelos freios?
fi1-1-1
18.
Um móvel parte do repouso com aceleração de 3 m/s2.
Qual sua velocidade após ter percorrido 24 m?
19.
Um corpo passou pelo ponto A com velocidade de 20
m/s e por B, a 20 m de A, com velocidade de 12 m/s.
Determine sua aceleração.
20.
Um móvel com velocidade de 36 km/h é acelerado
a uma taxa de 2 m/s 2 . Que velocidade terá após
percorrer 50 m, supondo-se que ele mantenha
aceleração constante?
21.
Um automóvel entra em uma rua a 72 km/h e freia
até que sua velocidade atinja 54 km/h. Se a desaceleração imposta ao carro foi de 5 m/s2, quantos metros
o carro percorreu antes de chegar à velocidade de
54 km/h?
22.
O motorista de um automóvel a 108 km/h vê o sinal
fechado 56 m à frente. Durante 0,2 s o carro continua
com velocidade constante até que o motorista acione os
UNIDADE
freios. Qual a menor aceleração que deve ser imposta ao
carro para que ele pare antes do semáforo?
23.
Num teste de aceleração, um automóvel acelerou do
repouso até 108 km/h e manteve essa velocidade por
mais 7 s, percorrendo, ao todo, uma distância de 360 m.
Determine a aceleração do carro nesse teste.
24.
Um carro está parado em um semáforo. No exato momento em que o semáforo abre, o carro arranca com aceleração
de 2 m/s2 e passa por ele uma motocicleta com velocidade
constante de 72 km/h. Se o carro mantiver a aceleração,
depois de quanto tempo ele alcançará a moto?
25.
Dois corpos, A e B, partem a partir do repouso,
simultaneamente, de dois pontos da mesma trajetória,
separados por 160 m. Eles se movimentam um de
encontro ao outro com acelerações de 2 m/s2 e 3 m/s2,
respectivamente.
a) Em quanto tempo eles se encontrarão?
b) Qual é o módulo do deslocamento sofrido pelo móvel
B até o encontro?
7
Queda Livre e Lançamento Vertical
1.
Para determinar a altura de uma ponte, um aluno solta
do alto dela uma pedra e cronometra o tempo que essa
leva para atingir o rio que passa abaixo. Se ele mediu
um tempo de 3 s, qual é a altura da ponte? Despreze a
resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
2.
Um corpo é lançado verticalmente para baixo, com
velocidade inicial de 5 m/s, a partir de um ponto situado a
100 m de altura em relação ao solo. Adotando g = 10 m/s2
e desprezando a resistência do ar, determine:
a) as funções s(t) e v(t);
b) a velocidade com que atinge o solo;
c) o tempo de queda.
3.
Um corpo é lançado para cima, a partir do solo, com
velocidade inicial de 30 m/s. Adotando g = 10 m/s2 e
desprezando a resistência do ar, determine:
fi1-1-1
a)
b)
c)
d)
e)
a função horária dos espaços;
a equação horária da velocidade;
o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima;
a altura máxima atingida pelo corpo;
o intervalo de tempo entre o lançamento e o retorno
ao solo;
f) o módulo da velocidade do corpo ao tocar o solo;
g) os instantes em que passa por um ponto situado a
40 m de altura.
4.
Um tijolo cai, a partir do repouso, do alto de um prédio de 125 m de altura em relação ao solo. Adotando
g = 10 m/s2, determine:
a) as funções s(t) e v(t);
b) o tempo gasto para atingir o solo;
c) a velocidade do corpo ao atingir o solo.
5.
Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir
33
do solo, com velocidade de 40 m/s. Adote g = 10 m/s2
e determine:
a) o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima;
b) a altura máxima atingida;
c) o tempo gasto pelo corpo desde seu lançamento até
atingir novamente o solo;
d) o módulo da velocidade do corpo ao tocar o solo;
e) os instantes em que o corpo se encontra a 75 m do
solo. Explique por que são esperados dois valores.
6.
Um pedreiro desastrado deixa cair um martelo do alto
de um edifício em que trabalha. O martelo passa, então,
com velocidade de 10 m/s diante de um morador que
observa a paisagem de sua janela, vindo a atingir o solo
com velocidade de 50 m/s. Desprezando a resistência do
ar e considerando g = 10 m/s2, responda:
a) Em que altura estava o morador em relação ao solo?
b) De que altura o martelo caiu?
c) Qual é o tempo de queda do martelo?
7.
Um helicóptero, parado no ar, deixa cair uma caixa de
suprimentos de uma altura de 3125 m. O paraquedas,
que deveria frear a caixa, falha e ela cai sem resistência
do ar. Considere g = 10 m/s2 e responda:
a) Em quanto tempo a caixa chega ao solo?
b) Com que velocidade a caixa chega ao solo?
8.
Quando seu time marcou um gol, um torcedor esticou
seu braço para fora da janela do edifício no qual mora,
a 35 m do solo, e disparou um rojão, verticalmente para
cima. Este atingiu a altura máxima a 180 m do ponto
de lançamento e, durante sua queda, 8 s após o disparo,
veio a explodir. Considerando g = 10 m/s2 e desprezando
os efeitos do ar, determine:
a) a velocidade com que o rojão foi disparado;
b) a altura, em relação ao solo, em que ocorreu a
explosão.
9.
De um foguete, subindo verticalmente a 300 m/s, desprende-se uma peça quando ele está a 1625 m de altura.
Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.
a) Quanto tempo essa peça levará para chegar ao
solo?
b) Qual é a altura máxima atingida pela peça, em relação ao solo?
34
10.
Um pacote de mantimentos é abandonado de um helicóptero de carga. Um segundo depois, um paraquedas
é aberto, fazendo com que o pacote passe a descer com
velocidade constante até atingir o solo 12 s após deixar
o helicóptero. Desprezando a resistência do ar durante a
queda livre e considerando g = 10 m/s2, determine:
a) a velocidade com que o pacote atinge o solo;
b) a altura do helicóptero em relação ao solo.
11.
Um lançador, no solo, consegue disparar uma esferinha de
aço verticalmente para cima com velocidade de 30 m/s.
No mesmo instante de lançamento, uma segunda esferinha
é abandonada de uma altura de 150 m, na mesma vertical
do movimento da primeira. Considere g = 10 m/s2.
a) Em quanto tempo após o lançamento as esferas se
chocam?
b) A que distância do solo ocorre a colisão?
c) A primeira esfera estava subindo ou descendo no
momento da colisão? Justifique.
DESAFIOS
12. Um estudante abandona uma pedra na boca de
um poço e 4,25 s após ouve o som produzido pela
sua queda no fundo. Desprezando a resistência
do ar e considerando a velocidade do som no ar
320 m/s e g = 10 m/s2, determine a profundidade
do poço.
13. Uma partícula é abandonada do repouso, em queda
livre, de uma altura H. Sabendo que a partícula
percorre três quartos da altura total de queda no
último segundo, determine o tempo total de queda.
Despreze a resistência do ar e utilize g = 10 m/s2.
EXPERIMENTANDO
Teste seus reflexos
Uma experiência simples, realizada com a participação de duas pessoas, permite medir o tempo de reação
de um indivíduo. Para isso, uma delas segura uma régua
por uma de suas extremidades, mantendo-a pendente na
direção vertical. Em seguida, um(a) colega coloca os
dedos polegar e indicador em torno do zero da régua, em
forma de pinça, sem tocá-la. Ele(a) deve agarrá-la com
esses dedos, tão logo perceba que a régua foi solta, sem
movimentar a mão verticalmente. Em que posição o(a)
colega segurou a régua?
fi1-1-1
Essa posição indica a distância percorrida pela régua,
desde o instante em que foi abandonada, até o momento
em que foi parada pelos dedos do(a) colega.
A posição indicada pela régua foi o seu deslocamento (Δs). Não se esqueça de convertê-la para metro.
O tempo de reação pode ser obtido pela equação horária
Inicialmente, a régua estava em repouso: vo = 0.

A aceleração sofrida pela régua foi a própria
aceleração da gravidade, pois podemos considerar
desprezível a resistência do ar para essa situação.
Considerando a orientação da trajetória para baixo:
UNIDADE
a = g = 10 m/s2 (ou 9,8 m/s2).
do espaço do M.U.V.: s s 0 v0 • t a • t2
.
2
Teste com vários colegas e verifique quem possui o
melhor reflexo.
8
Diagramas do M.U.V.
1.
O diagrama abaixo representa o movimento retilíneo de
uma partícula.
v(m/s)
v(m/s)
A
12
B
8
30
4
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16 18
30
t(s)
t(s)
- 10
- 20
- 30
a) Em que trecho(s) a aceleração é constante? Justifique
e calcule seu(s) valor(es).
b) Determine o deslocamento sofrido pelo móvel entre os instantes 0 e 6 s, entre 6 s e 14 s e entre 14 s
e 18 s.
c) Determine o deslocamento total sofrido pelo móvel.
d) Classifique o movimento nos instantes 3 s, 8 s, 12 s
e 16 s.
e) O que ocorre com o móvel nos instantes t = 6 s e
t = 14 s?
2.
As velocidades desenvolvidas por dois móveis são representadas no diagrama a seguir:
fi1-1-1
15
a) Classifique os movimentos em M.U. ou M.U.V. para
os dois móveis.
b) Determine a aceleração do móvel A no instante
t = 10 s.
c) Determine a aceleração do móvel B nos instantes
t = 10 s e t = 20 s.
d) Determine os deslocamentos sofridos pelos móveis
A e B entre os instantes 0 e 30 s.
3.
O diagrama a seguir mostra como varia a velocidade de
um móvel em função do tempo:
v(m/s)
+4
0
2
4
8
t(s)
-4
35
a) Determine a aceleração do móvel nos instantes t = 2 s
e t = 7 s.
b) Classifique os movimentos nos instantes t = 1 s, t = 3 s
e t = 5 s.
c) Determine o deslocamento sofrido entre os instantes
t = 0 e t = 8 s.
a) Determine a posição inicial do móvel.
b) Determine o(s) instante(s) em que o móvel passa
pela origem da trajetória.
c) Escreva a equação horária do espaço do movimento.
d) Determine o instante e a posição em que o móvel
inverte o sentido de movimento.
4.
A velocidade de um objeto que se move ao longo de
uma linha reta horizontal está representada em função
do tempo na figura a seguir.
6.
Um móvel, inicialmente em repouso, passa a mover-se
com aceleração constante conforme o diagrama espaço
x tempo abaixo:
v(m/s)
x(m)
6
3
50
0
1
2
3
4
5
6
7
t(s)
8
-3
-6
0
a) Em que intervalos o móvel desenvolve M.U.?
Justifique.
b) Em que intervalos o móvel desenvolve M.U.V.?
Justifique.
c) Entre os instantes em que desenvolve M.U.V., em
qual intervalo o módulo da aceleração é menor? Qual
é o seu valor?
d) Em que intervalo o módulo da aceleração é maior?
Qual é o seu valor?
e) Qual é o deslocamento sofrido de 0 a 8 s?
f) Qual é a aceleração média entre 0 e 8 s?
g) Qual é a velocidade média entre 0 e 8 s?
h) Classifique o movimento nos instantes t = 1 s; t = 2,5 s;
t = 3,5 s; t = 4,5 s; t = 7 s.
t(s)
5
a) Determine a aceleração sofrida pelo móvel.
b) Escreva a função horária do espaço para o movimento.
c) Classifique o movimento.
7.
O diagrama abaixo representa a posição de um corpo em
função do tempo:
s(m)
0
2
5
t(s)
5.
Uma partícula movimenta-se em linha reta segundo o
diagrama da posição em função do tempo abaixo:
s(m)
-10
15
0
36
1,0
2,0
3,0
4,0
t(s)
a) Determine a posição inicial do móvel.
b) Determine o(s) instante(s) em que o móvel passa
pela origem da trajetória.
c) Escreva a equação horária do espaço do movimento.
d) Determine o instante e a posição em que o móvel
inverte o sentido de movimento.
e) Classifique o movimento no instante t = 2 s e no instante t = 5 s.
fi1-1-1
v(m/s)
DESAFIOS
8. O diagrama a seguir ilustra as velocidades de
dois móveis, A e B, em função do tempo. Sabe-se
que, no instante t = 0, os móveis estavam lado
a lado. Em que instante eles voltam novamente
a se encontrar?
O arco representa 1/4
de uma circunferência.
10,0
0
B
v(m/s)
A
10
10,0
t(s)
a) O movimento em questão é um M.U.V.?
Justifique.
b) Determine a velocidade média entre os instantes 0 e 10 s.
10. Dado o diagrama s x t abaixo, determine a equa-
ção horária do espaço do movimento.
s(m)
6
6
0
2
t(s)
2,5
9. O diagrama a seguir representa como a velocidade
de um móvel variou ao longo do tempo:
0
-0,25
t(s)
ANOTAÇÕES
fi1-1-1
37
UNIDADE
1
Velocidade Escalar Média
1.
(Cefet/PR) Imagine um ônibus escolar parado no ponto
de ônibus e um aluno sentado em uma de suas poltronas.
Quando o ônibus entra em movimento, sua posição no
espaço se modifica: ele se afasta do ponto de ônibus.
Dada esta situação, podemos afirmar que a conclusão
errada é:
a) o aluno que está sentado na poltrona, acompanha
o ônibus, portanto também se afasta do ponto de
ônibus.
b) podemos dizer que um corpo está em movimento em
relação a um referencial quando a sua posição muda
em relação a esse referencial.
c) o aluno está parado em relação ao ônibus e em movimento em relação ao ponto de ônibus.
d) neste exemplo, o referencial adotado é o ônibus.
e) para dizer se um corpo está parado ou em movimento, precisamos relacioná-lo a um ponto ou a um conjunto de pontos de referência.
2.
(UFV/MG) Um aluno, sentado na carteira da sala, observa os colegas, também sentados nas respectivas carteiras, bem como um mosquito que voa perseguindo o
professor que fiscaliza a prova da turma. Das alternativas abaixo, a única que retrata uma análise correta do
aluno é:
a) a velocidade de todos os meus colegas é nula para
todo observador na superfície da Terra.
b) eu estou em repouso em relação aos meus colegas,
mas nós estamos em movimento em relação a todo
observador na superfície da Terra.
c) como não há repouso absoluto, não há nenhum referencial em relação ao qual nós, estudantes, estejamos
em repouso.
d) a velocidade do mosquito é a mesma, tanto em relação
aos meus colegas, quanto em relação ao professor.
e) mesmo para o professor, que não para de andar pela
sala, seria possível achar um referencial em relação
ao qual ele estivesse em repouso.
38
3.
(Cesgranrio/RJ) Uma formiga movimenta-se sobre um
fio de linha. Sua posição varia com o tempo.
s(cm)
6,0
4,0
2,0
0
2,0
4,0
6,0
t(s)
O deslocamento entre os instantes t = 0 e t = 5,0 s é
a) 0,5 cm.
b) 1,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 2,0 cm.
e) 2,5 cm.
4.
(UFRJ) Nas Olimpíadas de 2004, em Atenas, o maratonista brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima liderava a
prova quando foi interceptado por um fanático. A gravação cronometrada do episódio indica que ele perdeu
20 segundos desde o instante em que foi interceptado
até o instante em que retomou o curso normal da prova.
Suponha que, no momento do incidente, Vanderlei corresse a 5,0 m/s e que, sem ser interrompido, mantivesse
constante sua velocidade. Calcule a distância que nosso
atleta teria percorrido durante o tempo perdido.
5.
(Fatec/SP) O motorista de um automóvel deseja percorrer
40 km com velocidade média de 80 km/h. Nos primeiros
15 minutos, ele manteve a velocidade média de 40 km/h.
Para cumprir seu objetivo, ele deve fazer o restante do
percurso com velocidade média, em km/h, de
a) 160.
b) 150.
c) 120.
d) 100.
e) 90.
fi1-1-1
6.
(Unicamp/SP) Os carros em uma cidade grande desenvolvem uma velocidade média de 18 km/h, em horários
de pico, enquanto a velocidade média do metrô é de 36
km/h. O mapa adiante representa os quarteirões de uma
cidade e a linha subterrânea do metrô.
8.
(Fuvest/SP) Um passageiro, viajando de metrô, fez o registro de tempo entre duas estações e obteve os valores
indicados na tabela. Supondo que a velocidade média entre duas estações consecutivas seja sempre a mesma e que
o trem permaneça parado o mesmo tempo em qualquer
estação da linha, de 15 km de extensão, é possível estimar
que um trem, desde a partida da Estação Bosque até a
chegada à Estação Terminal, leva aproximadamente
CHEGADA
0h 00min
5h 00min
Vila Maria
Felicidade
São José
Bosque
100 m
a) Qual é a menor distância que um carro pode percorrer entre as duas estações?
b) Qual é o tempo gasto pelo metrô (Tm) para ir de uma
estação a outra, de acordo com o mapa?
c) Qual é a razão entre os tempos gastos pelo carro (Tc)
e pelo metrô (Tm) para ir de uma estação a outra, Tc/
Tm? Considere o menor trajeto para o carro.
7.
(PUC/SP) Durante uma tempestade, uma pessoa viu
um relâmpago e, após 3 segundos, escutou o barulho do
trovão. Sendo a velocidade do som igual a 340,0 m/s,
a que distância a pessoa estava do local em que caiu o
relâmpago?
a)
b)
c)
d)
Central
a) 20 min.
b) 25 min.
c) 30 min.
2 km
Terminal
Felicidade
Vila Maria
d) 35 min.
e) 40 min.
9.
(Fuvest/SP) Um automóvel e um ônibus trafegam em
uma estrada plana, mantendo velocidades constantes em
torno de 100 km/h e 75 km/h, respectivamente. Os dois
veículos passam lado a lado em um posto de pedágio.
Quarenta minutos (2/3 de hora) depois, nessa mesma estrada, o motorista do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, que o automóvel deve ter realizado,
nesse período, uma parada com duração aproximada de
a)
b)
c)
d)
e)
113,0 m.
1130 m.
1 020 m.
102,0 m.
UNIDADE
Arcoverde
PARTIDA
1h 00min
6h 00min
4 minutos.
7 minutos.
10 minutos.
15 minutos.
25 minutos.
2
Movimento Uniforme
1.
(UFSC) Dois trens partem, em horários diferentes, de
duas cidades situadas nas extremidades de uma ferrovia,
deslocando-se em sentidos contrários. O trem Azul parte
da cidade A com destino à cidade B, e o trem Prata da
cidade B com destino à cidade A. O gráfico representa
as posições dos dois trens em função do horário, tendo
como origem a cidade A (d = 0).
fi1-1-1
Trem Prata
d(km)
720
Trem Azul
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
t(h)
39
Considerando a situação descrita e as informações do
gráfico, assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) O tempo de percurso do trem Prata é de 18 horas.
(02) Os dois trens gastam o mesmo tempo no percurso: 12 horas.
(04) A velocidade média dos trens é de 60 km/h.
(08) O trem Azul partiu às 4 horas da cidade A.
(16) A distância entre as duas cidades é de 720 km.
(32) Os dois trens se encontram às 11 horas.
2.
(PUC/SP) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são
sincronizados de tal forma que os carros, trafegando
a uma determinada velocidade, encontram sempre
os sinais abertos (onda verde). Considerando-se que
a distância entre sinais sucessivos é de 175 m e que
o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a
abertura do sinal seguinte é de 9,0 s, a velocidade média
com que os veículos devem trafegar nessa avenida para
encontrar os sinais sempre abertos é
DESAFIOS
4. (Fuvest/SP) João está parado em um posto de
gasolina quando vê o carro de seu amigo passando por um ponto P, na estrada, a 60 km/h.
Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu
carro e passa pelo mesmo ponto P, depois de
4 minutos, já a 80 km/h. Considere que ambos
dirigem com velocidades constantes. Medindo
o tempo, a partir de sua passagem pelo ponto
P, João deverá alcançar seu amigo, aproximadamente, em
a)
b)
c)
d)
e)
4 minutos.
10 minutos.
12 minutos.
15 minutos.
20 minutos.
5. (Uerj) Observe, na figura adiante, que a região
a)
b)
c)
d)
60 km/h.
50 km/h.
70 km/h.
40 km/h.
3.
(Cefet/MG) As figuras a seguir representam as posições
sucessivas, em intervalos de tempo iguais e fixos, dos
objetos I, II, III e IV em movimento.
de tecido encefálico a ser investigada no exame é limitada por ossos do crânio. Sobre um
ponto do crânio se apoia o emissor/receptor
de ultrassom.
(Dado: velocidade do ultrassom no cérebro =
1 540 m/s.)
emissor receptor
de ultrassom
10
cm
sentido do
movimento
A
I
II
III
IV
O objeto que descreveu um movimento retilíneo uniforme foi
a)
b)
c)
d)
40
I.
II.
III.
IV.
(Adaptado de The Macmillan visual dictionary.
New York: Macmillan, 1992.)
a) Suponha a não existência de qualquer tipo
de lesão no interior da massa encefálica.
Determine o tempo gasto para registrar o eco
proveniente do ponto A da figura.
b) Suponha, agora, a existência de uma lesão.
Sabendo que o tempo gasto para o registro
do eco foi de 0,5 10-4 s, calcule a distância
do ponto lesionado até o ponto A.
fi1-1-1
UNIDADE
3
Diagramas do M.U.
1.
(Cefet/CE) Observe o gráfico a seguir:
3.
(Vunesp) Os gráficos na figura representam as posições
de dois veículos, A e B, deslocando-se sobre uma estrada retilínea, em função do tempo.
x in m
2
1 200
800
posição
3
1
veículo A
400
t in s
200
400
600
A
800
1000
B
1200
1400
1600
veículo B
1800
C
0
0
(http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica8/)
Procure associar os pontos 1, 2 e 3 do gráfico com as
figuras A, B e C. A correspondência verdadeira é:
a)
b)
c)
d)
e)
1C – 2A – 3B.
1B – 2C – 3A.
1A – 2C – 3B.
1C – 2B – 3A.
1B – 2A – 3C.
2.
(PUC/PR) O gráfico mostra a variação da posição de
uma partícula em função do tempo.
s(cm)
200
0
tempo
t
A partir desses gráficos, é possível concluir que, no intervalo de 0 a t,
a)
b)
c)
d)
a velocidade do veículo A é maior que a do veículo B.
a aceleração do veículo A é maior que a do veículo B.
o veículo A está se deslocando à frente do veículo B.
os veículos A e B estão se deslocando um ao lado
do outro.
e) a distância percorrida pelo veículo A é maior que a
percorrida pelo veículo B.
4.
(Cefet/CE) O gráfico v x t representa os movimentos
de dois automóveis, com velocidades v1 e v2. A área hachurada representa a distância entre os automóveis no
instante t, medida ao longo da mesma trajetória, no seguinte caso:
v
10
20
t(s)
-200
v1
v2
Analisando o gráfico, é correto afirmar:
a) é nulo o deslocamento da partícula de 0 a 15 s.
b) a velocidade da partícula é negativa entre 0 e 10
segundos.
c) a aceleração da partícula vale 20 m/s2.
d) a velocidade da partícula é nula no instante 10 s.
e) a velocidade da partícula é constante e vale 20 m/s.
fi1-1-1
0
t
t
a) Os dois automóveis partiram da mesma posição e em
instantes diferentes.
b) os dois automóveis partiram do mesmo instante e de
posições diferentes.
41
c) Os dois automóveis partiram em instantes diferentes
e de posições diferentes.
d) Os dois automóveis partiram da mesma posição e no
mesmo instante.
e) qualquer dos casos acima.
6. (Vunesp) Duas carretas, A e B, cada uma com
25 m de comprimento, transitam em uma
rodovia, no mesmo sentido e com velocidades constantes. Estando atrás de B, porém
movendo-se com velocidade maior que a
de B, a carreta A inicia uma ultrapassagem
sobre B. O gráfico mostra o deslocamento de
ambas as carretas em função do tempo.
DESAFIOS
5. (Mack/SP)
250
x(m)
225
x(m)
200
175
150
125
100
75
25,00
50
0
30,00
t(s)
25
0
Correndo com uma bicicleta, ao longo de um
trecho retilíneo de uma ciclovia, uma criança
mantém a velocidade constante de módulo igual
a 2,50 m/s. O diagrama horário da posição para
esse movimento está ilustrado na figura. Segundo
o referencial adotado, no instante t = 15,00 s, a
posição x da criança é igual a
a) – 37,50 m.
b) – 12,50 m.
c) 12,50 m.
UNIDADE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 t(s)
Considere que a ultrapassagem começa em t = 0,
quando a frente da carreta A está alinhada com a
traseira de B, e termina quando a traseira da carreta A está alinhada com a frente de B. O instante
em que A completa a ultrapassagem sobre B é
a)
b)
c)
d)
e)
d) 37,50 m.
e) 62,50 m.
2,0 s.
4,0 s.
6,0 s.
8,0 s.
10,0 s.
4
Velocidade Relativa Unidimensional
1.
(UFRS/RS) Um automóvel que trafega em uma autoestrada reta e horizontal, com velocidade constante, está
sendo observado de um helicóptero. Relativamente ao
solo, o helicóptero voa com velocidade constante de 100
km/h, na mesma direção e no mesmo sentido do movimento do automóvel. Para o observador situado no helicóptero, o automóvel avança a 20 km/h. Qual é, então, a
velocidade do automóvel relativamente ao solo?
42
a)
b)
c)
d)
e)
120 km/h.
100 km/h.
80 km/h.
60 km/h.
20 km/h.
2.
(UFSM/RS/Adaptada) A história da maioria dos municípios gaúchos coincide com a chegada dos primeiros
fi1-1-1
portugueses, alemães, italianos e de outros povos. No
entanto, através dos vestígios materiais encontrados nas
pesquisas arqueológicas, sabemos que outros povos,
anteriores aos citados, protagonizaram a nossa história.
Diante da relevância do contexto e da vontade de valorizar o nosso povo nativo, “o índio”, foi selecionada a
área temática CULTURA e a questão seguinte foi construída com base na obra Os primeiros habitantes do Rio
Grande do Sul (CUSTÓDIO, L. A. B. (Org.) Santa Cruz
do Sul: Edunisc / Iphan, 2004).
3.
(UFMG) Um pequeno bote, que navega a uma velocidade de 2,0 m/s em relação à margem de um rio, é alcançado por um navio, de 50 m de comprimento, que
se move paralelamente a ele, no mesmo sentido, como
mostrado nesta figura:
“Os habitantes dos campos cobertos por gramíneas
construíam abrigos, utilizavam rochas e cavernas, trabalhavam a pedra e caçavam através de flechas.”
No instante em que um índio dispara uma flecha contra
a sua presa, que se encontra a 14 m de distância, a presa
corre, tentando fugir. Se a flecha e a presa se deslocam
na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidades
de módulos 24 m/s e 10 m/s, respectivamente, o intervalo de tempo levado pela flecha para atingir a caça, em
segundos, é
a) 0,5.
b) 1.
c) 1,5.
d) 2.
e) 2,5.
UNIDADE
Esse navio demora 20 segundos para ultrapassar o bote.
Ambos movem-se com velocidades constantes. Nessas
condições, a velocidade do navio em relação à margem
do rio é de, aproximadamente,
a) 0,50 m/s.
b) 2,0 m/s.
c) 2,5 m/s.
d) 4,5 m/s.
5
Aceleração Escalar Média
1.
(Fatec/SP) Uma revista especializada em automóveis
anuncia que, no teste de um determinado modelo de
carro, a velocidade deste foi de 0 a 100 km/h em 5 segundos. Se esse resultado estiver correto, o valor aproximado de sua aceleração média nesse intervalo de tempo
de 5 segundos foi, em m/s2,
0
5
10
15
20
25
30
35
40
10,78 KA xr 1.6
4,0 Corvette Z06
13,44 Palio Adventure 1.6 16V
17,25 Corsa Super
28,11 Gol 1.0 8V
31,34 Gol 1.0 16V
33,35 Parati 1.0 16V
a)
b)
c)
d)
e)
1.
3.
6.
9.
10.
2.
(Cefet/CE) A seguir, apresentamos um quadro para a
comparação da aceleração de alguns veículos. Para todos os casos, o teste foi realizado com os veículos acelerando de 0 a 100 km/h. Observe o tempo necessário para
que todos tenham a mesma variação de velocidade:
fi1-1-1
9,09 Mercedez-Benz C320
11,9 Opala 4100
5,4 Stock Car
5,4 Porsche 911 Turbo
8,05 BMW 330itop
Tomando como referência o gráfico apresentado, marque
a alternativa que indica corretamente o veículo que possui
maior aceleração e indique qual a relação, aproximada, entre a sua aceleração e a do veículo de menor aceleração.
a) Parati e 8 vezes maior.
b) Parati e 8 vezes menor.
43
Um observador faz as seguintes afirmações relativas ao
trajeto apresentado:
c) Corvette e 8 vezes maior.
d) Corvette e 8 vezes menor.
e) Corvette e 10 vezes maior.
3.
(PUC/RJ) Um carro viajando em uma estrada retilínea e
plana com uma velocidade constante v = 72 km/h passa
por outro que está em repouso no instante t = 0. O segundo carro acelera para alcançar o primeiro com aceleração a2 = 2,0 m/s2. O tempo que o segundo carro leva
para atingir a mesma velocidade do primeiro é
a) 1,0 s.
b) 2,0 s.
c) 5,0 s.
d)
e)
10,0 s.
20,0 s.
4.
(UFV/MG) O gráfico a seguir representa a posição em
função do tempo de um automóvel e de um ônibus que
se movem por uma via plana e reta.
I. O automóvel move-se com velocidade constante.
II. Acontecem duas ultrapassagens.
III. O ônibus apresenta aceleração.
Podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
apenas as afirmações I e II estão corretas.
todas as afirmações estão corretas.
apenas as afirmações I e III estão corretas.
apenas as afirmações II e III estão corretas.
apenas a afirmação I está correta.
DESAFIO
5. (PUC/RS) Um jogador de tênis recebe uma bola
com velocidade de 20,0 m/s e a rebate na mesma
direção e em sentido contrário com velocidade de
30,0 m/s. Se a bola permanecer 0,100 s em contato com a raquete, o módulo da sua aceleração
média será de
x(m)
Ônibus
Automóvel
t(s)
UNIDADE
a)
b)
c)
d)
e)
100 m/s2.
200 m/s2.
300 m/s2.
500 m/s2.
600 m/s2.
6
Movimento Uniformemente Variado
1.
(UTF/PR) Sobre os movimentos Retilíneo Uniforme
e Retilíneo Uniformemente Variado é correto afirmarmos que
a) no MRU a velocidade é constante e diferente de zero.
No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado a
aceleração é constante e diferente de zero.
b) no Sistema Internacional de Unidades, medimos a
velocidade em km/h e a aceleração em m/s2.
c) na equação horária x = 8 + 2 t (S.I.) o espaço inicial
vale 2 m.
d) quando a velocidade é negativa, o móvel está andando em marcha ré.
e) no MRUV, a velocidade varia devido à aceleração
ser variável.
44
2.
(Unifesp) A velocidade em função do tempo de um ponto
material em movimento retilíneo uniformemente variado,
expressa em unidades do SI, é v = 50 – 10.t. Pode-se afirmar que, no instante t = 5,0 s, esse ponto material tem
a) velocidade e aceleração nulas.
b) velocidade nula e daí em diante não se movimenta
mais.
c) velocidade nula e aceleração a = −10 m/s2.
d) velocidade nula e a sua aceleração muda de sentido.
e) aceleração nula e a sua velocidade muda de sentido.
3.
(Vunesp) Um corpo parte do repouso em movimento
uniformemente acelerado. Sua posição em função do
fi1-1-1
tempo é registrada em uma fita a cada segundo, a partir
do primeiro ponto à esquerda, que corresponde ao instante do início do movimento. A fita que melhor representa esse movimento é:
a)
b)
c)
a) Um veículo aproxima-se da praça de pedágio a 40
km/h. A cancela recebe os sinais quando o veículo
se encontra a 50 m de distância. Qual é o tempo
disponível para a completa abertura da cancela?
d)
e)
4.
(Cefet/SC) Um móvel efetua um movimento retilíneo
uniformemente variado, obedecendo à função horária
s = t2 + 5, onde o espaço s é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante
t = 10 s vale
a)
b)
c)
d)
e)
7.
(Unicamp/SP) Em muitas praças de pedágio de
rodovias, existe um sistema que permite a abertura
automática da cancela. Ao se aproximar, um veículo
munido de um dispositivo apropriado é capaz de
trocar sinais eletromagnéticos com outro dispositivo
na cancela. Ao receber os sinais, a cancela abrese automaticamente e o veículo é identificado para
posterior cobrança. Para as perguntas a seguir,
desconsiderar o tamanho do veículo.
15 m/s.
10 m/s.
5 m/s.
2 m/s.
20 m/s.
5.
(PUC/RJ) Considere o movimento de um caminhante
em linha reta. Este caminhante percorre os 20,0 s iniciais à velocidade constante v1 = 2,0 m/s. Em seguida,
ele percorre os próximos 8,0 s com aceleração constante
a = 1 m/s2 (a velocidade inicial é 2,0 m/s). Calcule:
a) a distância percorrida nos 20,0 s iniciais;
b) a distância percorrida nos 28,0 s totais;
c) a velocidade final do caminhante.
b) O motorista percebe que a cancela não abriu e aciona
os freios exatamente quando o veículo se encontra
a 40 m da mesma, imprimindo uma desaceleração
de módulo constante. Qual deve ser o valor dessa
desaceleração para que o veículo pare exatamente
na cancela?
8.
(Unicamp/SP) As faixas de aceleração das autoestradas devem ser longas o suficiente para permitir que
um carro, partindo do repouso, atinja a velocidade
de 100 km/h em uma estrada horizontal. Um carro
popular é capaz de acelerar de 0 a 100 km/h em 18 s.
Suponha que a aceleração seja constante.
a) Qual é o valor da aceleração?
b) Qual é a distância percorrida em 10 s?
c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de
aceleração?
DESAFIO
9. (Unicamp/SP) Um corredor de 100 metros per-
6.
(Vunesp) A mola de uma trena permite que 4,0 m de fita,
estirados, sejam recolhidos rapidamente para o interior da
caixa da trena com aceleração constante de módulo 2,0 m/s2.
O limitador, que se encontra na extremidade da fita, golpeia
a caixa com velocidade de módulo, em m/s, igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 2
4,0
6,0
8,0
fi1-1-1
corre os 20 primeiros metros da corrida em 4,0 s
com aceleração escalar constante. A velocidade
escalar atingida ao final dos 4,0 s é então mantida
constante até o final da corrida.
a) Qual é a velocidade escalar média do corredor
nos primeiros 20 m da corrida?
b) Qual é a velocidade escalar atingida no final
dos primeiros 20 m?
c) Qual é o tempo total gasto pelo corredor em
toda a prova?
45
UNIDADE
7
Queda Livre e Lançamento Vertical
1.
(Vunesp) Um corpo A é abandonado de uma altura de
80 m no mesmo instante em que um corpo B é lançado
verticalmente para baixo com velocidade inicial de módulo 10 m/s, de uma altura de 120 m. Desprezando-se a
resistência do ar e considerando-se o módulo da aceleração da gravidade como sendo 10 m/s2, é correto afirmar,
sobre o movimento desses dois corpos, que
(Quino, “Toda Mafalda”)
a) os dois chegam ao solo no mesmo instante.
b) o corpo B atinge o solo 2 s antes que o corpo A.
c) o tempo gasto para o corpo A chegar ao solo é 2 s
menor que o tempo gasto pelo corpo B.
d) o corpo A atinge o solo 4 s antes que o corpo B.
e) o corpo B atinge o solo 4 s antes que o corpo A.
2.
(Mack/SP) Uma pequena esfera é abandonada do repouso, de uma altura de 2,00 m em relação ao solo, e
se choca contra ele com uma velocidade de módulo V.
Em seguida, retorna segundo a mesma vertical e atinge
a altura máxima de 1,28 m. Desprezando os efeitos da
resistência do ar, o módulo da velocidade com que essa
esfera iniciou seu movimento de subida
a)
b)
c)
d)
e)
foi igual a 0,64 V.
foi igual a 0,75 V.
foi igual a 0,8 V.
foi igual a V.
somente pode ser determinado se conhecermos o
módulo da aceleração gravitacional local.
3.
(UFPE) Uma pedra é lançada para cima, a partir do
topo de um edifício de 60 m com velocidade inicial de
20 m/s. Desprezando a resistência do ar, calcule a velocidade da pedra ao atingir o solo, em m/s. (g = 10 m/s2)
4.
(FGV/SP)
Após o lançamento, o foguetinho de Miguelito atingiu a
vertiginosa altura de 25 cm, medidos a partir do ponto em
que o foguetinho atinge sua velocidade máxima. Admitindo
o valor 10 m/s2 para a aceleração da gravidade, pode-se
estimar que a velocidade máxima impelida ao pequeno
foguete de 200 g foi, em m/s, aproximadamente,
a)
b)
c)
d)
e)
0,8.
1,5.
2,2.
3,1.
4,0.
5.
(PUC/MG) Uma bolinha de borracha é solta do alto de um
edifício de 40,0 m de altura e choca-se com o solo em uma
superfície rígida e lisa. Observa-se que, quando a bolinha
se choca com o solo, ela sempre sobe a uma altura que é
metade da altura anterior. O módulo da velocidade com
que a bolinha abandona o solo, imediatamente após o terceiro toque no solo, vale, aproximadamente, em m/s:
(Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.)
a)
b)
c)
d)
e)
5,0.
7,0.
10,0.
20,0.
25,0.
DESAFIO
6. (UFC/CE) Em uma fábrica de produtos químicos
existe um grande tanque cheio de um certo líquido que está sendo testado pelo engenheiro. Para
isso, ele deixa uma esfera de aço cair através
do líquido, partindo do repouso na superfície do
líquido. A queda da esfera é observada através
de uma janela quadrada de vidro, com 2,00 m
46
fi1-1-1
de lado, situada a 6,75 m do fundo do tanque,
conforme a figura ao lado. O engenheiro, por
meio de suas observações, conclui que a esfera
cai com uma aceleração constante de módulo
2 m/s2 e leva 1,0 segundo para passar completamente pela janela. Com esses dados, calcule:
2,00 m
6,75 m
6,75
m
a) a altura do líquido acima da janela;
b) o módulo da velocidade da esfera ao chegar
ao fundo do tanque.
UNIDADE
8
Diagramas do M.U.V.
1.
(PUC/RS) Um corpo parte do repouso e move-se em
linha reta com aceleração constante. Nessa situação,
a velocidade é diretamente proporcional ao tempo e a
distância é diretamente proporcional ao quadrado do
tempo. O par de gráficos “posição (x) e velocidade (v)
versus tempo (t)” correspondente à situação descrita é:
a) x
v
2.
(Vunesp) O motorista de um veículo A é obrigado a frear
bruscamente quando avista um veículo B à sua frente,
locomovendo-se no mesmo sentido, com uma velocidade constante menor que a do veículo A. Ao final da
desaceleração, o veículo A atinge a mesma velocidade
que B, e passa também a se locomover com velocidade
constante. O movimento, a partir do início da frenagem,
é descrito pelo gráfico da figura.
v(m/s)
t
35
t
30
b) x
v
A
25
20
B
15
t
t
c) x
10
v
5
0
t
d) x
t
2
3
4
5
6
Considerando que a distância que separava ambos os
veículos no início da frenagem era de 32 m, ao final dela
a distância entre ambos é de
t
v
t
fi1-1-1
1
t
v
e) x
t(s)
0
a)
b)
c)
d)
e)
1,0 m.
2,0 m.
3,0 m.
4,0 m.
5,0 m.
t
47
técnico constrói o gráfico onde se registra a posição x do veículo em função de sua velocidade
v. Através desse gráfico, pode-se afirmar que a
aceleração do veículo é
3.
(UFU/MG) O gráfico a seguir representa a velocidade em função do tempo (em segundos) de um
automóvel que parte do repouso. A velocidade máxima permitida é de 72 km/h. No instante t, quando
o motorista atinge essa velocidade limite, ele deixa
de acelerar o automóvel e passa a se deslocar com
velocidade constante.
a) 1,5 m/s2.
b) 2,0 m/s2.
c) 2,5 m/s2.
d) 3,0 m/s2.
e) 3,5 m/s2.
Enunciado para as questões 5 e 6:
Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de
um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir:
20
12
t
0
90
Sabendo-se que o automóvel percorreu 1,2 km em 90
segundos, o valor do instante t é
a) 80 s.
b) 30 s.
Velocidade (m/s)
10
8
6
4
2
c) 60 s.
d) 50 s.
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (s)
12
14
16
DESAFIO
5.
(Enem) Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo
a VELOCIDADE do corredor é aproximadamente
constante?
4. (Unifesp)
x (m)
9
a)
b)
c)
d)
e)
8
7
6
5
Entre 0 e 1 segundo.
Entre 1 e 5 segundos.
Entre 5 e 8 segundos.
Entre 8 e 11 segundos.
Entre 12 e 15 segundos.
4
6.
(Enem) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta
ACELERAÇÃO máxima?
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6 v(m/s)
Em um teste, um automóvel é colocado em movimento retilíneo uniformemente acelerado a partir
do repouso até atingir a velocidade máxima. Um
48
a)
b)
c)
d)
e)
Entre 0 e 1 segundo.
Entre 1 e 5 segundos.
Entre 5 e 8 segundos.
Entre 8 e 11 segundos.
Entre 9 e 15 segundos.
fi1-1-1