Potências de 10 – Ordem de Grandeza

Potências de 10 – Ordem de Grandeza
Extraído e adaptado do Livro Curso de Física Vol 1, A. Máximo e B. Alvarenga, Ed. Scipione
Por que usamos as potências de 10
Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000000005cm ou que uma dada célula tem
cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias. Isto ocorre porque
estes números estão afastados dos valores que os nossos sentidos estão acostumados a perceber – estão fora do
nosso quadro de referências.
No estudo da Física encontraremos, freqüentemente, grandezas como estas que são expressas por números
muito grandes ou muito pequenos. A apresentação escrita ou oral desses números, da maneira habitual, tal como
foram escritos acima, é bastante incômoda e trabalhosa. Para contornar o problema, é usual apresentar estes
números em forma de potências de 10, como veremos a seguir. Este tipo de notação, além de mais compacta, nos
permite uma rápida comparação destes números entre si e facilita a realização de operações matemáticas com elas.
Como escrevemos os números na notação de potências de 10 (notação científica N. C. )
Consideremos um número qualquer como, por exemplo, 842. Seus conhecimentos, das propriedades de
números e operações em Matemática, lhe permitirão compreender que este número pode ser expresso da seguinte
maneira:
842 = 8,42 × 100 = 8,42 × 102
Observe que o número 842 foi expresso como produto de 8,42 por uma potência de 10 (no caso 10 2).
Tomemos outro número; por exemplo, 0,0037. Podemos escrever:
0,0037 =
3,7
3,7
=
= 3,7 × 10 −3
1000
103
Novamente, temos o número expresso pelo produto de um número compreendido entre 1 e 10 (no caso,
3,7) por uma potência de 10 (no caso, 10-3).
Baseando-nos nestes exemplos, chegamos à seguinte conclusão:
Um número qualquer pode sempre ser expresso como o produto de um número
compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10 adequada.
Procure exercitar-se no uso desta regra, analisando os dois exemplos seguintes:
62300 = 6,23 × 10 000 = 6,23 × 104
0,00002 =
2
2
=
= 2 × 10 −5
100 000
105
1
Observação
Uma regra prática para se obter a potência de 10 adequada é a seguinte:
a) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a esquerda; este número nos
fornece o expoente de 10 positivo. Assim:
62 300 = 6,23 × 104
4 casas
b) Conta-se o número de casas que a vírgula deve ser deslocada para a direita; este número nos
fornece o expoente de 10 negativo. Assim:
0,00002 = 2× 10 −5
5 casas
Nesta representação de potências de 10, os números citados no início desta seção poderão ser escritos,
compactamente, e de maneira mais cômoda, do seguinte modo:
Raio do átomo de hidrogênio = 5 × 10−9cm
Número aproximado de átomos de uma célula = 2 × 1012
Operações com potências de 10
Você pode perceber facilmente que seria complicado e trabalhoso efetuar operações com os números muito
grandes, ou muito pequenos, quando escritos na forma comum. Quando estes números são escritos na notação de
potências de 10, estas operações tornam-se bem mais simples, seguindo as leis estabelecidas na Matemática, para
as operações com potências. Os exemplos seguintes o ajudarão a recordar estas leis:
a) 0,0021 × 30 000 000 = (2,1 × 10−3 ) × (3 × 107 ) = (2,1 × 3) × (10−3 × 107 ) = 6,3 × 104
b)
7,28 × 105 7,28 105
=
× 8 = 1,82 × 10−3
4 × 108
4
10
c) (5 × 10−3 ) 3 = 53 × (10−3 ) 3 = 125 × 10−9
d) √2,5 × 105 = √25 × 104 = √25 × √104 = 5 × 102
2
Observe como se procede na adição
Nos exemplos apresentados, só apareceram as operações de multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação. Quando estivermos tratando com adição e subtração, devemos ter o cuidado de, antes de efetuar a
operação, expressar os números com os quais estamos lidando na mesma potência de 10.
Considerando os exemplos seguintes:
𝑎) 6,5 × 103 − 3,2 × 103
Neste caso, como os números já estão expressos na mesma potência de 10, poderemos efetuar a operação
diretamente, como segue:
6,5 × 103 − 3,2 × 103 = (6,5 − 3,2) × 103 = 3,3 × 103
𝑏) 4,23 × 107 + 1,3 × 106
Devemos, inicialmente, expressar as parcelas em uma mesma potência de 10. Isto pode ser feito escrevendo
a primeira parcela como uma potência de 106 , da seguinte maneira:
4,23 × 107 + 1,3 × 106 = 42,3 × 106 + 1,3 × 106 =
= (42,3 + 1,3) × 106 = 43,6 × 106 = 4,36 × 107
O cálculo pode ser efetuado de outra maneira, expressando a segunda parcela como uma potência de 107 :
4,23 × 107 + 0,13 × 107 = (4,23 + 0,13) × 107 = 4,36 × 107
Ordem de grandeza (O. G.)
Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, não há necessidade ou interesse em conhecer, com
precisão, o valor da grandeza. Nesses casos, é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de seu
valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa sua medida, isto é:
Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima deste número.
Portanto, a ordem de grandeza de 92 é 102 porque 92 está compreendido entre 10 e 100, mas está mais
próximo de 102 . Da mesma forma, a ordem de grandeza de 0,00022 = 2,2 × 10 −4 é 10−4 .
Assim, conhecendo as ordens de grandeza de diversas medidas, é fácil compará-las e podemos rapidamente
distinguir a menor ou a maior entre elas e aquelas que são aproximadamente iguais.
Freqüentemente temos condição de obter a ordem de grandeza sem cálculos laboriosos, mesmo não
possuindo o valor da grandeza medida, como veremos no exemplo 2 a seguir.
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Exemplo 1
São dadas as seguintes medidas de comprimento:
3 × 10−3 m
4 × 102 m
7 × 106 m
7 × 10−6m
a) Qual a ordem de grandeza de cada uma delas?
Na medida 7 × 10−6 , considerando apenas o algarismo 7, sabemos que sua ordem de grandeza é 10. Logo, a
ordem de grandeza de 7 × 10−6 será:
10 × 10−6 = 10−5
Podemos proceder da mesma forma para determinar a ordem de grandeza das outras medidas:
3 × 10−3 → 1 × 10−3 = 10−3
4 × 102 → 10 × 102 = 103
7 × 106 → 10 × 106 = 107
b) Qual a ordem crescente das medidas fornecidas?
É evidente, observando a ordem de grandeza de cada uma, que temos:
7 × 10−6 < 3 × 10 −3 < 4 × 102 < 7 × 106
Exemplo 2
Determine a ordem de grandeza do número de gotas de água que cabe em uma banheira.
Devemos, inicialmente, determinar a ordem de grandeza do volume de uma banheira comum.
Evidentemente, o comprimento da banheira estará compreendido entre 1m e 10m, isto é, entre as seguintes
potências de 10: 100 m e 101 m. É fácil perceber, também, que esse comprimento está mais próximo de 1m. Logo, a
ordem de grandeza do comprimento é 1m ou 100 m.
Com raciocínio semelhante, concluímos que as medidas, tanto da largura, quanto da profundidade da
banheira, estão mais próximas de 1m, isto é, a ordem de grandeza de ambas é 1m ou 100 m. Logo, a ordem de
grandeza do volume da banheira é:
1m × 1m × 1m = 1m3
Para encontrar a ordem de grandeza do volume da gota de água, vamos imaginar que essa gota tem a forma
de cubo. A aresta desse cubo está compreendida entre 1mm (10−3 m) e 1cm (10−2 m), mas é claro que, para uma
gota comum, essa aresta estará mais próxima de 1mm. Logo, a ordem de grandeza da gota é:
10 −3 m × 10−3 m × 10−3 m = 10−9 m³
A ordem de grandeza do número de gotas que cabe na banheira será, portanto:
1m³
= 109 gotas
10−9 m³
Isto é, 1 bilhão de gotas!
Na aula teórica veremos outro método para determinar essa ordem de grandeza.
Se você compreendeu a leitura, responda a chamada da próxima aula com a palavra ALEGRIA. Caso contrário
diga ESPERANÇA.
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Exercícios de fixação
1) Cite duas vantagens de escrever os números na notação de potências de 10.
2) Complete em seu caderno as igualdades seguintes, conforme o modelo.
Modelo: Cem = 100 = 10²
a)
b)
c)
d)
Mil
Cem mil
Um milhão
Um centésimo
e) Um décimo
f) Um décimo de milésimo
g) Um milionésimo
3) Complete em seu caderno as igualdades seguintes, conforme o modelo.
Modelo: 3,4 × 105 = 340 000
a) 2 × 103
c) 7,5 × 10−2
6
b) 1,2 × 10
d) 8 × 10−5
4) Usando a regra prática sugerida no texto, escreva em seu caderno os números
seguintes em notação de potência de 10.
a) 382
b) 21 200
c) 62 000 000
d) 0,042
e) 0,75
f) 0,000069
5) a) Dados os números 3 × 10−6 e 7 × 10−6 , qual deles é o maior?
b) Coloque os números a seguir, 4 × 10−5 , 2 × 10−2 e 8 × 10−7, em ordem crescente
de seus valores.
6) Efetue as operações indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
102 × 10−5
1015 × 10−11
2 × 10−6 × 4 × 10−2
1010 : 104
1015 ∶ 10 −11
4,8 × 10−3 ∶ 1,2 × 104
g) (102 ) 3
h) (2 × 10−5 ) 2
i)
√16 × 10−6
7) Efetue as operações indicadas:
a) 5,7 × 10 −4 + 2,4 × 10−4
b) 6,4 × 107 − 8,1 × 107
8) Para adicionar ou subtrair dois números expressos em potências de 10, cujos
expoentes são diferentes, o que deve ser feito antes de efetuar a operação?
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9) Efetue as operações indicadas:
a) 1,28 × 105 + 4 × 103
b) 7,54 × 108 − 3,7 × 107
10) A massa da Terra é 5 980 000 000 000 000 000 000 000 Kg.
a) Escreva esse número usando a notação de potência de 10.
b) Qual é a ordem de grandeza da massa da Terra?
11) O índice de leitura no Brasil é de apenas 2 livros por pessoa por ano, enquanto em
países desenvolvidos esse índice chega a 15 livros.
a) Qual a ordem de grandeza do número de livros lidos, por ano, no Brasil? Considere
uma população de 180 milhões de habitantes.
b) Qual será essa ordem de grandeza quando atingirmos o índice dos países
desenvolvidos?
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