Princípio de Circuitos Elétricos

Universidade Federal de Lavras – Departamento de Ciência da Computação
Princípio de Circuitos Elétricos
Material desenvolvido para a
Disciplina de Eletrônica Básica
do Curso de Ciência da Computação
Prof. João C. Giacomin – Ms.C.
Circuitos Elétricos
Princípio de Circuitos Elétricos
Este texto foi elaborado a partir de cópia de partes do livro:
Tucci & Brandassi – Circuitos Básicos em Eletricidade e Eletrônica,
Artigos obtidos na internet, e alguns textos escritos por mim mesmo.
Algumas modificações, resumos, comentários e colagem de figuras, foram feitos por mim.
Este texto, eu estarei utilizando como material de leitura complementar para os alunos de
eletrônica do curso de Ciência da Computação da UFLA.
Se os autores do livro forem contrários à utilização deste material, escrevam para mim e eu
retirarei de circulação.
Para aqueles que querem entender as bases e alguns conceitos na teoria de circuitos
elétricos, eu indico o livro. Há alguns exemplares na nossa biblioteca.
e-mail: [email protected]
1. INTRODUÇÃO
Na Grecia antiga, cerca de 600 anos A.C., Tales de Mileto, conseguiu atrair certos
corpos leves com um pedaço de uma resina denominada âmbar, em grego ηλεκτρσν
(eléctron), após atritá-la em pele de gato.
Este fato foi confundido com as ações magnéticas que já eram do conhecimento geral
desde a descoberta da magnetita, pelos gregos. Mais tarde descobriu-se que outras substâncias
adquiriam as mesmas características do âmbar atritado.
No século XVI, William Gilbert introduziu o termo eletricidade e estabeleceu critérios
para diferenciar os fenômenos de ações elétricas dos de ações magnéticas e estabeleceu
também os princípios do magnetismo. Foi descoberto por Dufay, em l733 que as ações
puramente elétricas são ora atrativas ora repulsivas; reconheceu-se a existência de duas
espécies de eletricidade; Franklin propôs os estados elétricos positivo e negativo e Coulomb,
em fins do século XVIII, estabeleceu uma lei quantitativa entre as ações elétricas.
O estudo da corrente elétrica foi inicialmente feito nos fins do século XVIII por Galvani
e Volta, e mais tarde no século XIX, Faraday e Rowland reconheceram que a corrente elétrica
era eletricidade em movimento.
No final do século XIX, Thomson descobriu o elétron, Becquerel descobriu e estudou a
radioatividade e, no começo do século XX, Millikan mediu a carga do elétron; em 1911,
Rutherford apresentou seu modelo atômico que foi complementado por Bohr e Sommerfeld
em 1913; a teoria quântica de Schrodinger e Heisenberg, a relatividade de Einstein e o
eletromagnetismo de Maxwell abriram novos horizontes nos campos da Física e, em 1932,
Anderson descobriu o pósitron (o elétron positivo), o primeiro passo da antimatéria.
Paralelamente, em l884, Edison utilizou seu fenômeno termoeletrônico e desenvolveu a
lâmpada; em 1904 o professor J.A.Fleming desenvolveu, a partir do efeito Edison, a primeira
válvula, o Diodo.
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Em 1906, Dr. Lee de Forest modificou o diodo, introduzindo um eletrodo internamente e
produziu um tipo revolucionário de válvula, o triodo, duramente discriminado e criticado; foi
com Forest, praticamente, que nasceu a Eletrônica.
Com Bardeen e Brettain, em dezembro de 1947, no Bell Laboratory, surgiu um novo
componente o transistor palavra formada pelos vocabulos “transfer” e “resistor”. Anos mais
tarde, apareceram os circuitos integrados, permitindo uma prodigiosa miniaturarização dos
aparelhos e fazendo a Eletrônica tornar-se necessária e fundamentalmente básica em todos os
ramos das Ciências.
2. PARÁGRAFO DOS RESISTORES
Os resistores ou resistências, como são popularmente conhecidos, são usados
basicamente para controlar e corrente em um circui to elétrico.
O carbono e alguns tipos de ligas como e manganina, o constantam e o níquel-cromo são
os materiais mais utilizados para a fabricação de resistores. A maior parte dos resistores
usados atualmente são construídos segundo uma das seguintes técnicas: composição, fio e
película.
Os resistores construídos segundo a técnica da composição são constituídos por um
elemento de carvão pulverizado e misturado com uma resina aglutinante, uma resina fenólica
para proteção do elemento resistivo e terminais metálicos para a fixação.
De acordo com as porcentagens nas misturas de carbono e do aglutinante, são obtidos os
vários valores de resistências encontrados comercialmente. As vantagens que essa técnica
apresenta são baixo custo final e pequeno volume, porém esses resistores são sujeitos a
“ruídos” (interferências), por apresentarem partículas de carbono com pequena área de contato
entre si.
Sem dúvida, os mais antigos resistores usados eu Eletrônica são os resistores de fio, que
são feitos utilizando fios de materiais de resistividade considerada e enrolados sobre um tubo
de porcelana.
Após as fixações dos terminais, o conjunto é recoberto por uma mistura de pó de
cerâmica com aglutinante. Os resistores de fio são utilizados para grandes dissipações que
obviamente, geram grande quantidade de calor e portanto apresentam normalmente grandes
proporções. São fabricados desde alguns ohms a algumas dezenas de kiloohm e com potências
variáveis desde 5W até 50W. Para resistores de alta precisão e alta resistência, nesta técnica de
fabricação, as dificuldades encontradas são grandes e requerem sofisticações que elevam o
custo final do resistor.
Aliando tamanho reduzido, solidez e baixo custo com precisão e estabilidade, os
resistores de película são fabricados utilizando-se película de carbono ou película metálica.
Os resistores de película de carbono ou “carbon film resistor" são constituídos por um
cilindro de porcelana sobre o qual é aplicada uma fina película de carbono. Para resistências
elevadas faz-se um sulco sobre a película de carvão tal que a resistência, especificamente
falando, seja uma faixa helicoidal sobre o cilindro de porcelana.
Pode-se controlar os vários valores de resistência, alternando a espessura da película de
carbono ou mudando o passo da faixa helicoidal sobre o cilindro cerâmico.
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Para a aplicação em equipamentos profissionais utilizam-se os resistores de película
metálica ou “metal film resistor”. Nesse resistor, uma película de níquel-cromo é depositada,
por meio de vaporização e a vácuo, sobre uma barra de porcelana e as demais fases seguem as
seqüências do resistor de carvão. Não oferecem possibilidades de obtenção de valores maiores
que 1Mohm mas, além de apresentarem baixo coeficiente de variação térmica, apresentam alto
grau e confiabilidade, garantindo tolerâncias próximas a 1%. Sem dúvida, pela vaporização de
níquel-cromo e em ambiente a vácuo, o resistor de película metálica é mais caro que seu
semelhante de carbono.
É evidente notar que não seria possível, a nenhuma indústria especializada na fabricação
de resistores, colocar todos os valores de resistência, comercialmente falando. Segue-se, de um
modo geral, uma linha de valores preferenciais, a saber: 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56,
68, 82.
Podemos encontrar resistores de: 0,0lΩ ; 0,lΩ ; 1Ω ; 10Ω ; 100Ω ; 1kΩ ; l0kΩ; l00kΩ ;
lMΩ; ou 0,22Ω ; 2,2Ω ; 22Ω ; 220Ω ; 2,2kΩ ; 22kΩ; 220kΩ e 2,2MΩ , etc.
Um resistor, ao ser percorrido por uma determinada corrente elétrica, fará com que
apareça uma dissipação térmica através de seu corpo.
A quantidade de energia que o resistor consegue libertar é função da área livre do
resistor, que normalmente fica em contato com o ar. Desse modo, se o corpo do resistor for
muito pequeno, a quantidade de energia libertada será também pequena e vice-versa.
Os resistores de película são construídos com diferentes tamanhos correspondentes a
diferentes potências. A figura 2 mostra os tamanhos mais comumente fabricados, que são:
1/8W, 1/4W, 1/2W, 1W e 2W. Esses resistores são facilmente identificáveis pelo comprimento
e pelo diâmetro.
Figura 1 – Resistores de fio, e resistor de
filme de carbono
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Figura 2 – Resistores de várias potências
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Exemplo
Qual o menor tamanho que pode ter um resistor de 1kΩ suportar uma corrente de 25 mA?
Calculemos inicialmente a potência a ser dissipada:
P = R.I2
∴
P = 1kΩ (25 mA)2 = 625mW
O menor tamanho é 1W.
3. TERRA E POTENCIAL DE REFERENCIA
Já vimos anteriormente que tensão é a medida da diferença de potencial entre dois
pontos. Desse modo, quando dizemos que a tensão do resistor é 10V, estamos dizendo que a
diferença de potencial entre seus terminais é 10V, isto é, o potencial do ponto A é 10V em
relação ao ponto B ou o potencial de B e – 10V em relação ao ponto A.
Na figura 3, a tensão em A, com relação a B, é 10V e a tensão em C, com relação a
A, é –50V.
A
1A
10Ω
10V
B
40Ω
40V
C
Figura 3 – Ramo de circuito elétrico
Sempre que formos medir potencial, necessitamos de um ponto de referência.
A referência padrão é o potencial terra, normalmente confundido e feito coincidir com
massa e chassi.
É comum, durante ensaios ou experiências, pedir-se a tensão no ponto A ou no ponto B,
por exemplo. É claro que nessas condições, o ponto de referência é a massa ou terra.
O potencial padrão, potencial terra, é 0V, e é erro freqüente imaginarmos que qualquer
componente ou circuito ligado ao terra se anula ou se descarrega.
O que acontece não é bem assim. Se um ponto, A, de um circuito elétrico estiver ligado
à terra, dizemos que ele está ligado no potencial zero, VA = 0V. Um outro ponto, B, do
mesmo circuito estará num potencial VB. Portanto a diferença de potencial entre A e B é
VBA = VB – VA = VB – 0 = VB. Se o ponto A não estivesse ligado à terra, apenas poderíamos
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dizer que a diferença de potencial entre os pontos B e A é VBA, nada poderíamos afirmar sobre
o pontecial de A ou o potencial de B.
Exemplo
Imaginemos uma pilha comercial de 1,5V conectada conforme a figura 4, abaixo.
A tensão entre os pontos A e B é 1,5V por fabricação.
Analisando a figura a, concluímos que não é possível sabermos o potencial do ponto A
e do ponto B, pois não existe nenhuma referência, porém sabemos o potencial de um ponto em
relação ao outro.
Na figura b, o potencial de A é +1,5V e o de B é 0V e na figura c o potencial de A é 0V
e o de B é – 1,5V.
Figura 4 – Ligações de uma pilha de 1,5V
Nos três casos analisados, como podemos reparar, a diferença de potencial entre A e B
ou a tensão da pilha se manteve, evidentemente, igual a 1,5V.
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4. LEIS DE KIRCHHOFF
4.1. INTRODUÇÃO
O estudo dos problemas que envolveram os circuitos elétricos simples, permite-nos
determinar valores de tensões e correntes em vários componentes como também
determinarmos valores específicos e caracterizantes de dispositivos incógnitos.
Entretanto, no caso de circuitos mais complexos, que constituem redes elétricas, a
solução de valores de tensão, corrente e determinados dispositivos fica mais trabalhosa.
As Leis de Kirchhoff formam a base de toda a teoria de redes elétricas que, para uma
análise mais ampla e geral, apresenta vários teoremas gerais como, por exemplo, de Norton,
Thevenin, Superposição, etc.
Trataremos exclusivamente, aqui, das Leis de Kirchhoff aplicadas a circuitos lineares
resistivos.
4.2. ALGUMAS DEFINIÇÕES
De um modo geral, os circuitos elétricos não se apresentam de maneira simples mas sob
o aspecto de redes elétricas.
Rede elétrica é qualquer associação de bipolos elétricos, ativos ou passivos, interligados
de formas quaisquer, por meio de malhas elétricas.
A figura 5 mostra uma rede elétrica, que é constituída por malhas, ramos e nós.
Figura 5 – Exemplo de rede elétrica
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Nós (nodos ou vértices): sáo os pontos de três ou mais bipolos, por exemplo: B, F, H,
etc. Os pontos A e I não são nós.
Ramo: todo trecho do circuito compreendido entre dois nós consecutivos, por exemplo:
BF; HD; etc. GA não e ramo, mas sim G(A)B e ainda C(I)D.
Malha: todo percurso fechado constituído por dois ou mais ramos, por exemplo: GFHG;
FBECF; CEDIC; etc.
Devemos lembrar que, na maioria dos casos, o estudo de uma rede elétrica fica facilitado
se a redesenharmos de forma simples, sempre que possível.
4.3. LEIS DE KIRCHHOFF
Muitas vezes denominadas regras, lemas ou ainda corolários de Kirchhoff, são derivadas
de dois conceitos básicos da continuidade da corrente elétrica e o da distribuição energética.
4.3.1 – PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF
A primeira lei de Kirchhoff, também denominada lei dos nós, apresenta o seguinte
enunciado:
Em um nó, é nula a soma algébrica das intensidades das correntes.
A figura 6 esquematiza um nó qualquer de um circuito qualquer, no qual as correntes
que chegam são I2 e I5 e as que partem são I1 I3 e I4. Atribuindo sinais positivo e negativo às
que chegam e às que partem, respectivamente podemos escrever:
I2 +I5 – I1 – I3 – I4 = 0
(1)
I2 + I 5 = I 1 + I 3 + I 4
ou matematicamente
n
∑I
j−1
j
=0
A lei dos nós pode ser ainda formulada assim:
“
A soma das intensidades das correntes que chegam a um nó, é igual à soma das
intensidades das correntes que partem desse nó”.
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Figura 6 – Primeira Lei de Kirchhof
4.3.2 – SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF
Também denominada lei das malhas, a segunda lei de Kirchhoff apresenta o seguinte
enunciado:
É nula a soma algébrica das tensões ao longo de uma malha.
A figura 7 mostra uma malha evidenciada de uma rede elétrica. É constituída por três
ramos, AB, BC e CA, alguns resistores e algumas pilhas.
Figura 7 – Malha de um circuito elétrico
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Antes de analisarmos a 2a lei, vamos abrir um parêntese e lembrar que, ao percorrermos
um ramo e depararmos com um bipolo, este apresentará dois pontos de potenciais diferentes.
Vejamos a situação da figura 8a; ao percorrermos o bipolo 1 no sentido indicado,
diremos que houve, perda de potencial, isto é, saímos do potencial do ponto A em direção ao
potencial (menor) do ponto B e portanto estamos “vendo” a tensão do bipolo 1 com sinal
negativo.
Na figura 8b, ao sairmos do ponto C em direção ao ponto D, experimentamos uma
elevação de potencial e portanto dizemos que a tensão do bipolo 2 é positiva.
Figura 8 – Tensões em um ramo de circuito
De um modo geral, utilizando uma linguagem técnica a figura 8a mostra uma queda de
tensão e a figura 8b uma elevação de tensão.
Retornemos à análise da malha evidenciada pela figura 7 e representemos as tensões dos
componentes, conforme mostra a figura 9. Partindo do nó A e percorrendo a malha no sentido
horário, escrevemos:
– E 1 – U1 + E3 + U2 – E2 =0
(2)
Assim, ao percorrermos uma malha e ao voltarmos ao ponto de partida, todas as quedas
e todas as elevações de tensão se compensaram. Um outro enunciado para a lei das malhas é o
seguinte:
“A soma das elevações de tensão é igual à soma das quedas de tensão
ao longo de um percurso fechado.”
A segunda lei não depende do sentido de percurso da malha. É evidente que, se
percorrermos a malha da figura 7 no sentido anti-horário, as quedas se transformarão em
elevações e as elevações em quedas, trocando-se todos os sinais negativos por positivos e os
positivos por negativos na expressão 2.
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Figura 9 – Tensões em uma malha de circuito elétrico
Matematicamente a lei das malhas e expressa por:
n
∑U
j−1
j
=0
4.3.3 – APLICAÇOÕES DAS LEIS DE KIRCHHOFF
Para aplicarmos corretamente as leis de Kirchhoff, devemos seguir o seguinte roteiro:
a) isolar a malha em estudo;
b) indicar um sentido arbitrário da corrente em cada ramo do circuito e indicar a polaridade
dos resistores seguindo o sentido proposto para as correntes;
c) colocar as setas que representam as tensões sobre os componentes do circuito;
d) escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso, por exemplo, sentido
horário, e aplicar a segunda lei.
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5. TEOREMAS de THEVENIN, NORTON e da SUPERPOSIÇÃO
5.1 – TEOREMA DE THEVENIN
O teorema da Thevenin, como também o de Norton e da superposição que veremos
adiante, são utilizados para simplificar a análise de circuitos com varias fontes e vários
resistores.
O teorema de Thevenin estabelece que qualquer estrutura linear ativa com terminais de
saída, como PQ da figura 10, pode ser substituída por uma única fonte de tensão E’ (ou Eth ou
Vth), em série com uma resistência R’ (ou Rth) como mostra a figura 11.
Figura 10 – Circuito elétrico linear
Figura 11 – Equivalente Thevenin
A tensão equivalente de Thevenin, E’, é a tensão em circuito aberto medida nos
terminais PQ. A resistência equivalente, R’, é a resistência da estrutura, vista dos terminais
PQ, quando todas as fontes forem anuladas, sendo substituídas pelas respectivas resistências
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internas. A polaridade da tensão E’ equivalente de Thevenin deve ser escolhida de modo que a
corrente através de uma carga, que seria ligada ao circuito equivalente de Thevenin, tenha o
mesmo sentido que teria com a carga ligada à estrutura ativa original.
Para esclarecer melhor o assunto, vamos resolver o exemplo da figura 10
numericamente, como mostrado na figura 12.
Figura 12 – Cálculo do circuito equivalente Thevenin
Vamos determinar inicialmente a tensão equivalente de Thevenin E’ que é a tensão em
circuito aberto, medida nos terminais PQ.
A resistência total do circuito será:
R = R1 + R2 + R3 + R4 = 50Ω
A corrente no circuito será:
I=
E 2 − E1 30 − 10
=
= 0,4 A
R
50
A tensão nos terminais PQ pode então ser determinada por:
E’ = E2 – R2 I – R4I = E2 – I(R2+R4)
E’ =
30 – 0,4 (10 + 20) = 18V
Para determinar a resistência equivalente R’, devemos anular as fontes, como mostrado
na figura 13. Aqui desprezamos as resistências internas das fontes de tensão. A resistência R’
sará a vista dos terminais PQ.
Desta forma, R’ será encontrada por:
R' =
(R 1 + R 3 )(R 2 + R 4 )
R1 + R 2 + R 3 + R 4
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=
20 × 30
= 12Ω
50
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Figura 13 – Cálculo da Resistência equivalente
Assim, o circuito equivalente de Thevenin será o apresentado na figura 5.
Figura 14 – Equivalente Thevenin do circuito da figura 12
Se conectarmos nos pontos PQ uma carga R L, a corrente que passa por ela será dada por:
IL =
E'
R'+ R L
Seja, por exemplo, RL = 6Ω, então:
IL = 1A
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5.2 – TEOREMA de NORTON
O teorema de Norton estabelece que qualquer circuito linear ativo de terminais de saída
tais como PQ na figura 15a pode ser substituído por uma única fonte de corrente I’ em
paralelo com uma resitência R’ como mostra a figura 15b.
Figura 15 – (a) Circuito Linear – (b) Equivalente Norton
A corrente equivalente de Norton estabelece que qualquer circuito linear, I’, é a corrente
através do curto-circuito aplicado aos terminais da estrutura, P e Q. A resistência R’ é a
resistência vista dos terminais PQ, quando todas as fontes forem anuladas, sendo substituídas
pelas respectivas resistências internas. Portanto, dado um circuito qualquer, as resistências R’
dos circuitos equivalentes de Thevenin e Norton são iguais. A corrente através de uma carga
ligada aos terminais PQ do circuito equivalente de Norton deve ter o mesmo sentido que a
corrente através da mesma carga, ligada à estrutura ativa original.
Como ilustração, vamos determinar o circuito equivalente de Norton para o circuito já
apresentado na figura 12. Para determinar a corrente I’, devemos curto-circuitar os terminais
PQ da estrutura, como mostrado na figura 16.
Figura 16 – Cálculo da fonte de corrente Norton
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I1 =
E1
10
=
= 0,5 A I
R 1 + R 3 15 + 5
I2 =
E2
30
=
= 1,0 A
R 2 + R 4 10 + 20
I = I1 + I 2 = 0,5 + 1,0 = 1,5 A
Para determinar R’, devemos anular as fontes, como na figura 17. Aqui desprezamos as
resistências internas das fontes de tensão. A resistência R’ será a vista dos terminais PQ.
Figura 17 – Cálculo da resistência equivalente
Desta forma, R’ será encontrada por:
R =
(R 1 + R 3 )(R 2 + R 4 )
R1 + R 2 + R 3 + R 4
=
20 × 30
= 12Ω
50
que é o mesmo valor já encontrado para o circuito equivalente Thevenin.
Assim, o circuito equivalente de Norton será o apresentado na figura l8.
Se conectarmos nos pontos PQ uma carga R L, a corrente que passa por ela será dada por:
IL =
R
•I
R + RL
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Figura 18 – Circuito equivalente Norton
Seja, por exemplo, uma carga igual à do exemplo de Thevenin, ou seja, RL = 6Ω; então:
IL =
12
• 1,5 = 1A
12 + 6
que e o mesmo valor encontrado para IL no exemplo de Thevenin.
Cabe observar que os teoremas de Thevenin e Norton foram aplicados ao mesmo
circuito, obtendo-se, resultados idênticos. Segue-se, pois, que os circuitos de Thevenin e de
Norton são equivalentes entre si.
Na figura 19, tem-se a mesma resistência R’ em ambos os circuitos. Aplicando-se um
curto em cada circuito, a corrente de Thevenin é dada por E’/R’, enquanto que, no circuito de
Norton, esta corrente é I’. Como as duas correntes são iguais, tem-se uma relação entre a
corrente do circuito equivalente de Norton e a tensão do circuito equivalente de Thevenin, isto
é:
I'=
E'
R'
Obteremos a mesma relação se considerarmos a tensão de circuito aberto para cada
circuito. Para o circuito equivalente de Thevenin, esta tensão e E’ é para o de Norton, I’.R’.
Igualando as duas tensões, temos a mesma relação:
E’ = I’ . R’
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Figura 19 – Circuitos equivalentes
5.3 – TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS
O teorema estabelece que a corrente que circula por um ramo de um circuito, produzida
por várias fontes, é igual à soma algébrica das componentes tomadas separadamente,
considerando-se apenas uma das fontes de cada vez, substituindo-se as outras pelas suas
resistências internas.
Para a utilização do teorema, devemos eliminar todas as fontes menos uma de cada vez,
substituindo as outras pelas suas resistências internas. Calcula-se as correntes em cada ramo,
para cada configuração. O resultado será a soma das correntes calculadas para cada ramo, em
cada configuração.
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6. TENSÃO SENOIDAL
6.1. O QUE É TENSÃO SENOIDAL ?
A tensão de alimentação dos circuitos elétricos é que determina a forma e a intensidade
das correntes que percorrem este circuito. Inicialmente são estudados os circuitos alimentados
por tensões de valores constantes, que são chamados circuitos de corrente contínua (CC). Nos
circuitos de corrente contínua a tensão tem sempre o mesmo valor durante todo o tempo.
Dessa forma a corrente elétrica fluirá sempre em um mesmo sentido. Graficamente, a tensão e
a corrente do circuito CC pode ser representada como na figura 20.
V
t
I
t
Figura 20 – Tensão e corrente em circuito CC
De modo diferente se comportam os circuitos de corrente alternada (CA). Nestes a
tensão da fonte de alimentação assume valores ora positivos ora negativos, o que faz a
corrente circular ora em um sentido ora no sentido oposto. Graficamente, a tensão e a corrente
dos circuitos CA podem ser representadas como na figura 21.
V
t
I
t
Figura 21 – Tensão e corrente em circuitos CA
Existem várias formas de onda representativas de uma tensão CA. Ela pode ser
retangular, triangular, dente-de-serra, senoidal, ou assumir qualquer outro perfil, desde que
assuma valores ora positivos ora negativos.
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Na maioria das aplicações práticas e industriais a tensão senoidal é a forma de onda
empregada para alimentar os circuitos elétricos, devido a algumas características especiais
desta. A primeira característica importante é a facilidade de obtenção da tensão seonoidal.
Outra característica, é que as derivadas e as integrais de uma senoide são também senoides.
6.2. CARACTERÍSTICAS DAS TENSÕES E CORRENTES SENOIDAIS
Uma onda de tensão senoidal assume diferentes valores a cada instante descrevendo
uma curva de seno em função do tempo. Matematicamente podemos descrever uma tensão
senoidal conforme a equação abaixo:
v(t ) = Vp sen(ωt )
Para variáveis de componentes alternadas, sempre usaremos letras minúsculas,
diferentemente da variáveis de componentes contínuas que são indicadas com letras
maiúsculas.
Nesta equação, temos:
Vp = Tensão de pico. Máximo valor que a tensão v(t) assume. Isto quer dizer que os
valores possíveis para v(t) estão compreendidos entre –Vp e +Vp;
ω = freqüência angular. É o valor da freqüência multiplicado por 2π: ω = 2πf =2π/T
T = é o período com o qual a onda senoidal se repete. T = 1/f.
A senoide descrita acima foi desenhada tendo valor zero no instante t=0. De forma
diferente, se esta senoide tivesse um outro valor quando t=0, deveríamos colocar um outro
argumento na função seno, que demonstraria um deslocamento no eixo do tempo no gráfico.
Desta forma a descrição da onda senoidal seria:
v(t ) = Vp sen(ωt + θ )
Neste caso, quando t=0, o valor Vpsen(θ) será o valor inicial da tensão.
A figura 22 mostra duas ondas de tensão senoidal sobre o mesmo gráfico, tendo o
mesmo valor máximo e a mesma freqüência. Para a onda de v1, θ1=0o, e para v2 , θ2=30o=π/6.
O eixo das abcissas é marcado por valores de tempo (t) acima, e os correspondentes valores de
freqüência angular (ωt), abaixo.
Sobre essas ondas, dizemos que existe uma defasagem de θ2-θ1=30o de v1 em relação a
v2, ou seja, v2 está adiantada de 30o em relação a v1, e v1 está atrasada de 30o em relação a v2.
Podemos , então, dizer que o argumento θ representa a fase da onda senoidal. Em Engenharia
Elétrica, o ângulo de fase é normalmente escrito em graus e não em radianos. Por exemplo,
podemos descrever uma onda de amplitude 180V, freqüência 60Hz (período T=1/f = 0,0167
seg), e fase 30 o como:
v(t) = 180sen(2π60t + 30o) = 180sen(377t + 30o)
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Figura 22 – tensões senoidais defasadas.
Devemos sempre tomar o cuidado de transformar os valores dos ângulos para as mesmas
unidades antes de calcular o valor da tensão v(t). Por exemplo, no tempo t = 0,005seg, a tensão
será: v(0,005) = 180.sen (2π.60.0,005 + 30o) = 180.sen(0,6π + π/6) = 120,4V.
6.3. VALOR MÉDIO DE UMA TENSÃO SENOIDAL
O valor médio de uma tensão alternada senoidal será sempre zero em períodos inteiros
da onda. A demonstração é vista abaixo, utilizando o exemplo da onda da rede de alimentação
de 127V.
v(t) = 180sen(2π60t) = 180sen(377t)
Sendo a freqüência igual a 60 Hz, um período da onda será T=1/60 = 0,01667seg.
Então pode-se calcular a integral de v(t) para um período, e encontrar seu valor médio
dividindo o resultado pelo valor de T.
Vm =
1 T
180
180
T
180 sen(377t )dt =
[
cos(377t )]0 =
[cos(2π ) − cos(0)] = 0V
∫
T 0
377T
2π
De outra forma poderíamos apenas lembrar que a integral de uma senoide, ou
cossenoide em um período completo é igual a zero. Portanto o valor médio de qualquer tensão
ou corrente senoidal será igual a zero.
Vm = 0V
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20
Circuitos Elétricos
6.3. VALOR EFICAZ DE UMA TENSÃO SENOIDAL
Valor eficaz de uma corrente alternada é o valor de intensidade de uma corrente
contínua que produz o mesmo efeito calorífico da corrente alternada considerada. Uma
corrente alternada senoidal com I máx = 1 A não corresponde ao efeito (calorífico) de uma
corrente contínua de valor constante de 1A. O valor eficaz é o mais representativo da CA. Os
valores de corrente e tensão determinados pelos medidores são valores eficazes e são usados
para cálculos de potência (aparente, ativa e reativa). As tensões disponíveis nas tomadas das
residências (127 V e 220 V) são valores eficazes. Demonstraremos a seguir que:
Ief = Ip/√2
Vef = Vp/√2
Ip = √2 Ief
Vp = √2 Vef
ou
ou
Tomemos novamente o exemplo da onda de tensão senoidal da rede elétrica, e
calculemos a potência dissipada por uma resistência R ligada á rede:
p(t) = v(t) ∗ i(t) =
v 2 ( t ) 1802 sen 2 (377 t )
=
R
R
1 − cos( 2 ∗ 377 t) 
180 2 
 180 2 [1 − cos(2 ∗ 377 t)] Vp 2 [1 − cos(2ωt)]
2

p(t) =
=
=
R
2R
2R
Esta potência pode ser escrita como uma função de cosseno com o dobro da freqüência
da tensão v(t), conforme visto na figura 4:
Verifica-se que esta onda de potência varia do valor zero ao valor máximo, Pp, tendo
um valor médio igual a P m, onde:
Pp =
Vp
R
2
;
Pm =
Vp
2
2R
Para que a resistência R, ligada a uma fonte de tensão contínua, produzisse o mesmo
efeito calorífico, dissipasse a mesma potência, seria necessário que esta fonte tivesse uma
tensão Vc , tal que a potência Pc fosse de mesmo valor de Pm.
Vp2
Vc2
= Pm =
Pc =
R
2R
Portanto, Vc = Vp/√2
e por definição, Vef = Vc= Vp/√2.
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Circuitos Elétricos
No exemplo da rede elétrica, temos : Vef = 180V/1,41 = 127V.
Sendo que 1,41 = √2 .
Figura 23 – Tensão, corrente e potência numa rede senoidal
Assim se demonstrou a relação entre tensão eficaz e tensão de pico de uma onda senoidal.
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Circuitos Elétricos
7 . O TRANSFORMADOR
7.1. INTRODUÇÃO
A energia elétrica produzida nas usinas hidrelétricas é levada, mediante condutores de
eletricidade, aos lugares mais adequados para o seu aproveitamento. Ela iluminará cidades,
movimentará máquinas e motores, proporcionando muitas comodidades.
Para o transporte da energia até os pontos de utilização, não bastam fios e postes. Toda a
rede de distribuição depende estreitamente dos transformadores, que elevam a tensão, ora a
rebaixam. Nesse sobe e desce, eles resolvem não só um problema econômico, reduzindo os
custos da transmissão a distância de energia, como melhoram a eficiência do processo.
Figura 24 – Geração, distribuição e consumo de energia elétrica
Antes de mais nada os geradores que produzem energia precisam alimentar a rede de
transmissão e distribuição com um valor de tensão adequado, tendo em vista seu melhor
rendimento. Esse valor depende das características do próprio gerador, enquanto a tensão que
alimenta os aparelhos consumidores, por razões de construção e sobretudo de segurança, tem
valor baixo, nos limites de algumas centenas de volts (em geral, 127 ou 220). Isso significa
que a corrente, e principalmente a tensão fornecida, variam de acordo com as exigências.
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23
Circuitos Elétricos
Nas linhas de transmissão a perda de potência por liberação de calor é proporcional à
resistência dos condutores e ao quadrado da intensidade da corrente que os percorre (P =
R.i2). Para diminuir a resistência dos condutores seria necessário usar fios mais grossos, o que
os tornaria mais pesados e o transporte absurdamente caro. A solução é o uso do
transformador que aumenta a tensão, nas saídas das linhas da usina, até atingir um valor
suficientemente alto para que o valor da corrente desça a níveis razoáveis (P = U.i). Assim, a
potência transportada não se altera e a perda de energia por aquecimento nos cabos de
transmissão estará dentro dos limites aceitáveis.
Na transmissão de altas potências, tem sido necessário adotar tensões cada vez mais
elevadas, alcançando em alguns casos a cifra de 400.000 volts. Quando a energia elétrica
chega aos locais de consumo, outros transformadores abaixam a tensão até os limites
requeridos pelos usuários, de acordo com suas necessidades.
Figura 25 – Diagrama esquemático de um transformador
Figura 26 – Transformador real de baixa potência (15V / 1A)
Lado primário de 110 ou 220V
Dois enrolamentos secundário de 15V
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24
Circuitos Elétricos
Existe uma outra classe de transformadores, igualmente indispensáveis, de potência
baixa. Eles estão presentes na maioria dos aparelhos elétricos e eletrônicos encontrados
normalmente em casa, tais como, por exemplo, computador, aparelho de som e televisor.
Cabe-lhes abaixar ou aumentar a tensão da rede doméstica, de forma a alimentar
convenientemente os vários circuitos elétricos que compõem aqueles aparelhos.
Figura 27 – Princípio de Funcionamento de um transformador
O princípio básico de funcionamento de um transformador é o fenômeno conhecido
como indução eletromagnética: quando um circuito é submetido a um campo magnético
variável, aparece nele uma corrente elétrica cuja intensidade é proporcional às variações do
fluxo magnético.
Os transformadores, na sua forma mais simples, consistem de dois enrolamentos de fio
(o primário e o secundário), que geralmente envolvem os braços de um quadro metálico (o
núcleo).
Uma corrente alternada aplicada ao primário produz um campo magnético proporcional
à intensidade dessa corrente e ao número de espiras do enrolamento (número de voltas do fio
em torno do braço metálico). Através do metal, o fluxo magnético quase não encontra
resistência e, assim, concentra-se no núcleo, em grande parte, e chega ao enrolamento
secundário com um mínimo de perdas. Ocorre, então, a indução eletromagnética: no
secundário surge uma corrente elétrica, que varia de acordo com a corrente do primário e com
a razão entre os números de espiras dos dois enrolamentos.
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25
Circuitos Elétricos
Figura 28 – Fluxo magnético em um transformador
A relação entre as voltagens no primário e no secundário, bem como entre as correntes nesses
enrolamentos, pode ser facilmente obtida: se o primário tem Np espiras e o secundário Ns, a
voltagem no primário (Vp) está relacionada à voltagem no secundário (Vs) por Vp/Vs =
Np/Ns, e as correntes por Ip/Is = Ns/Np. Desse modo um transformador ideal (que não dissipa
energia), com cem espiras no primário e cinqüenta no secundário, percorrido por uma corrente
de 1 ampère, sob 110 volts, fornece no secundário, uma corrente de 2 ampères sob 55 volts.
Figura 29 – Transformador em linha de distribuição de energia elétrica
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26
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7.2. PERDAS NO TRANSFORMADOR
Graças às técnicas com que são fabricados, os transformadores modernos apresentam
grande eficiência, permitindo transferir ao secundário cerca de 98% da energia aplicada no
primário. As perdas - transformação de energia elétrica em calor - são devidas principalmente
à histerese, às correntes parasitas e perdas no cobre.
1. Perdas no cobre. Resultam da resistência dos fios de cobre nas espiras primárias e
secundárias. As perdas pela resistência do cobre são perdas sob a forma de calor e não podem
ser evitadas.
2. Perdashistérese.
por
Energia é transformada em calor na reversão da polaridade
magnética do núcleo transformador.
3. Perdas por correntes parasitas. Quando uma massa de metal condutor se desloca num
campo magnético, ou é sujeita a um fluxo magnético móvel, circulam nela correntes
induzidas. Essas correntes produzem calor devido às perdas na resistência do ferro.
7.3. FUNCIONAMENTO
Na sua forma mais simples, o transformador consiste num núcleo de ferro, com dois
enrolamentos. O enrolamento, no qual se aplica a potência elétrica, chamado de enrolamento
primário e o outro, que entrega a potência elétrica ao consumidor, é chamado de
enrolamento secundário.
Figura 30 – Princípio de funcionamento do transformador
Uma das vantagens do transformador é acoplar dois circuitos elétricos sem interligá-los
eletricamente. A primeira bobina ou enrolamento primário ou de entrada, recebe a corrente
alternada que deve ser transformada. A corrente alternada, atuando sobre o enrolamento, causa
o aparecimento de um campo magnético variável. O fluxo magnético atua sobre o segundo
enrolamento ou enrolamento secundário ou de saída, induzindo no mesmo uma força
eletromotriz. A intensidade da f.e.m. induzida depende da freqüência do fluxo magnético, de
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27
Circuitos Elétricos
sua intensidade e do número de espiras do enrolamento (lei da indução magnética). Assim, a
tensão induzida no secundário é proporcional ao fluxo magnético e, quanto maior for o fluxo,
maior será a indução e melhor sara o rendimento do transformador. Para conseguir um melhor
aproveitamento do fluxo magnético gerado no enrolamento primário, o transformador e
construído com um núcleo de ferro fechado, sobre o qual são montados os dois enrolamentos
primário e secundário, um sobre o outro, isolados entre si, conforme mostra a figura 31.
A transformação de energia por um transformador sempre está associada com algumas
perdas de energia dentro do próprio transformador. Estas perdas são causadas pela existência
da resistência ohmica dos próprios enrolamentos e pelas perdas no material ferromagnético do
núcleo que fica sujeito a constantes mudanças de polaridade do campo magnético. As tensões
induzidas no ferro causam correntes parasitas (chamadas correntes de Foucault) que circulam
no núcleo. Essas correntes causam um aumento nas perdas. Uma maneira de reduzir bastante
as correntes parasitas e portanto aumentar o rendimento do transformador é através da
construção do núcleo de ferro com chapas lamina das de aço-silicio, isoladas em um dos lados,
como mostrado na figura 32.
Figura 31 – Esquema de enrolamento de um transformador
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Figura 32 – Núcleo laminado de aço-silício
A liga de aço silício dá como resultado um material que apresenta elevada
permeabilidade e perde seu magnetismo logo após o desligamento da bobina indutora. Quando
empregado em altas freqüências, a laminação não é eficiente. Neste caso, é necessário
empregar materiais magnéticos especiais, chamados ferrite (figura 33).
Figura 33 – Núcleos de Ferrite (Thonton)
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Circuitos Elétricos
As perdas de energia dentro de um transformador moderno, feito de material de boa
qualidade, são muito pequenas, cerca de 3 a 5% de energia transformada. Este fato permite
desprezar as perdas, para fazer um cálculo simplificado, a fim de tratarmos um transformador
REAL (com perdas) como se fosse um transformador IDEAL (sem perdas). No caso dos
cálculos de transformadores pequenos, esta aproximação é bastante válida.
Cabe agora fazermos uma observação: quando o transformador estiver trabalhando com
carga, ou seja, quando o enrolamento secundário estiver alimentando um circuito consumidor,
irá circular uma corrente no secundário. Segundo as leis da indução, a tensão no secundário
tem sentido contrário à tensão no primário que a originou. Então, a corrente no secundário cria
um campo magnético no núcleo, cujo fluxo se opõe ao fluxo criado pelo primário. O fluxo
total é por isto enfraquecido e a f.e.m. primária tende a diminuir, o que não pode acontecer,
porque devemos manter a tensão do primário igual à tensão aplicada. Não podendo verificarse o desequilíbrio, o circuito primário absorve, da linha de alimentação, uma nova corrente
capaz de anular os efeitos da força magnetomotriz secundária. A esta corrente dá-se o nome de
corrente de reação primária. Uma vez neutralizado o efeito da força magnetomotriz
secundária, o valor do fluxo fica inalterado e o transformador continua trabalhando nas
condições em que se verifica o equilíbrio entre a tensão aplicada e a f.e.m., do primário.
7.4. RELAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO
A grandeza da tensão no secundário depende da relação entre o número de espiras no
enrolamento primário e o número de espiras no enrolamento secundário. Se o enrolamento
secundário tem o mesmo número de espiras que o enrolamento primário, então a tensão no
secundário é praticamente igual à tensão no primário (relação entre espiras 1:1). Desprezando
as perdas, podemos dizer que estas tensões são iguais. Se o enrolamento secundário tem o
dobro do número de espiras que o enrolamento primário, então a tensão secundária é duas
vezes maior que a tensão primária, se desprezarmos as perdas, se desprezarmos as perdas
(relação de espiras 1:2). Se o primário tiver o dobro do número de espiras que o enrolamento
secundário, então, desprezando-se as perdas, a tensão secundária gera a metade da tensão
primária (relação de espiras 2:1).
Assim, concluímos que, nos transformadores, as tensões são diretamente proporcionais
ao respectivo número de espiras, como mostra a expressão:
Ep Np
=
Es Ns
onde Ep =
Es =
(1)
tensão eficaz no primário,
tensão eficaz no secundário,
Np = número de espiras no primário e
Ns = número de espiras no secundário.
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30
Circuitos Elétricos
Se desprezarmos as perdas no transformador, podemos dizer que a potência entregue ao
primário é consumida na carga, ou seja:
Pp = Ps
(2)
onde Pp = potência no primário e
Ps = potência no secundário.
e desta relação chegamos a:
Ep x Ip = Es x Is
(3)
onde Ip = corrente no primário e
Is = corrente no secundário.
Das relações anteriores, obtemos que
Ip Ns
=
Is Np
(4)
Ou seja, as correntes são inversamente proporcionais ao número de espiras dos
respectivos enrolamentos. A quantidade de energia recebida pelo enrolamento primário é igual
(aproximadamente) à energia fornecida à carga pelo enrolamento secundário. Um
transformador não produz energia elétrica, mas transfere a energia recebida da fonte para o
consumidor quase sem perdas. Quanto maior a tensão fornecida pelo enrolamento secundário,
tanto menor será sua capacidade em corrente, já que, de acordo com a relação 3, o produto
tensão x corrente no secundário deve ser igual ao produto tensão x corrente no primário.
O rendimento de um transformador é definido, como sendo a relação entre a potência do
secundário e a potência do primário. Para simbolizar o rendimento usamos a letra grega “eta”
(η):
η=
Ps
Pp
(5)
É claro que, se considerarmos o transformador como ideal, isto é, sem perdas, a potência
no secundário será igual à potência no primário e portanto o rendimento será igual a 1 ou seja
100%.
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31
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7.5. IMPENDÂNCIA REFLETIDA
Quando uma carga for conectada no secundário, a impedância “vista” pelo primário não
é o valor da carga, dependendo esta da relação de espiras.
A figura 34 mostra um transformador, com uma carga RL no secundário, associado a um
gerador no primário.
Figura 34 – Efeito de carga no primário do transformador
Se substituirmos o transformador e a carga RL por uma carga equivalente RL’ o gerador
fornecerá a mesma potência.
Nessas condições, a carga RL’ é a “impedância refletida”, isto é, a impedância que é
“vista” do primário.
Para determinar a impedância refletida, temos:
PP = R L\ I 2P
Mas
PS = R L I S2
Pp = Ps
Então:
R I = RL I
\
L
2
P
2
S
Ou
N
R =  P
 NS

 R L

E ainda
R \L = n 2 R L
onde
n=
\
L
→
I
R =  S
 IP
\
L
2

 R L

2
NP
NS
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é a relação de espiras.
32
Circuitos Elétricos
7.6. TIPOS DE TRANSFORMADORES
1 – Autotransformador - Os autotransformadores distinguem-se dos transformadores normais
pelo fato de possuírem apenas um enrolamento que é ao mesmo tempo primário e secundário
(fig. 6). Apresentam grande vantagem quanto a sua maior potência (pois há economia de peras
no ferro e no cobre). Esta vantagem é tanto maior quanto mais próxima de 1 estiver a relação
de transformação. Vale a relação:
Pat = Ptr
Us
Us − Up
(9)
onde Pat = potência do autotransformador,
Ptr = potência plena do tipo de transformador,
Us = tensão superior e
Up = tensão inferior.
2 – Transformador regulador - É usado frequentemente parao ajuste luminoso de teatros,
cinemas e salas, assim como na partida de motores de c.a. monofásicos e trifásicos. O
enrolamento secundário apresenta um elevado número de derivações que permitem ajustar a
tensão secundária (figura 35). Em outros casos, o enrolamento secundário é dotado de um
dispositivo que efetua a regulagem continuamente, sem degraus. Além disto existem
transformadores reguladores com bobinas ajustáveis e com circuitos magnéticos paralelos
(transformadores de elevada dispersão e transformadores de solda).
Figura 35 – Transformador Regulador
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Circuitos Elétricos
3 – Transformadores de Proteção - Possuem dois enrolamentos, primário e secundário,
eletricamente separados. Geralmente ainda são separados, inclusive na sua posição sobre o
núcleo, não sendo montados sobre a mesma perna.
De acordo com sua potência de utilização, os transformadores podem ser classificados
em:
transformadores pequenos:
até 16 kVA;
transformadores de distribuição:
até 1600 kVA e
transformadores grandes:
de 2 000 kVA até a mais alta potência
Exemplo:
Um transformador e alimentado com 110V, possui dois enrolamentos secundários. Um
deles (II) deve fornecer 400V com 100 mA e outro (III) deve fornecer 6V com 3A. O
enrolamento primário (I) tem 770 espiras. Calcular a potência total do transformador e o
número de espiras dos dois enrolamentos secundários ( II e III ).
Figura 36 – Transformador com dois enrolamentos secundários
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Circuitos Elétricos
7.7. EXERCÍCIOS
1. Explique, em rápidas palavras, como funciona um transformador comum.
2. Pode o transformador ser utilizado para ‘transformar” tensões contínuas? Por que?
3. Um transformador tem 400 espiras no primário e 2 800 espiras no secundário. Sendo 115
Vef a tensão no primário, qual a tensão no secundário?
4. Um transformador tem rendimento de 85% e apresenta 150W de saída no secundário. Qual
a potência de entrada e qual a corrente no primário, se este estiver sendo alimentado com
110 Vef ?
5. O primário de um transformador apresenta 400 espiras. A tensão de entrada e 100 Vef e a
saída, 20 Vef e está ligada a uma carga R L.
a) Qual a relação de espiras?
b) Sendo 10W a potência no primário e 90% o rendimento, qual a corrente no secundário?
c) Qual o valor da carga?
6. A relação de espiras de um transformador é 10. A tensão no primário é 110Vef, a
resistência ligada no secundário é 4Ω. Determinar a corrente no secundário e a potência na
carga.
8. ANEXOS
A seguir são apresentadas duas tabelas, a primeira com valores das resistividades de
vários materiais comumente encontrados, e a segunda com os símbolos gráficos de vários
componentes de circuitos elétricos e eletrônicos.
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8.1. Resistividade de materiais
Material
Alumínio
Metais
Ligas
Semicondutores
Isolantes
Chumbo
Cobre
Ferro
Mercúrio
Platina
Prata
Ouro
Tungstênio
Constantan
Manganina
Latão
Nicromo
Niquelina
Germânio
Silício
Grafite
Solo
Água Pura
Mármore
Vidro
Porcelana
Mica
Ebonite
Baquelite
Borracha
Parafina
Resistividade ( ρ x 10-8Ω.m)
2,8
21
1,7
11
95,5
10,8
1,6
2,3
4,9
49 a 52
43
8
110
40
0,47
3000
0,005
103
2,5x103
108
1010
3x1012
1012
1016
2x1014
1015
5x1016
Fonte: Tucci & Brandassi, “Circuitos Básicos em Eletricidade e Eletrônica”, Ed. Nobel
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8.2. Símbolos Gráficos
Condutores não conectados
Condutores conectados
Corrente contínua, CC, DC
Corrente alternada, CA, AC
Resistor
Resistor ajustável
Potenciômetro
Fusível
Ligação à Massa e à Terra
Bateria
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Alto-Falante
Voltímetro
Amperímetro
Relé
Lâmpada
Lâmpada Neon
Capacitor
Capacitor Variável
Capacitor Eletrolítico
Bateria
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Indutor com núcleo de ar
Indutor com núcleo de ferro
Transformador
Diodo termoiônico
Triodo
Pentodo
Diodo semicondutor
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Fotodiodo
LED – Diodo Emissor de Luz
Diodo Zener
Tiristor – SCR – Retificador
Controlado de Silício
Transistor PNP
Transistor NPN
Fototransistor
9. Bibliografia
[1] Tucci & Brandassi, “Circuitos Básicos em Eletricidade e Eletrônica”, Ed. Nobel, 1984
[2] http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica7/funciona/transformador.htm
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