2009/1 - Instituto de Física / UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Física Médica
Primeira Prova de Conceitos de Mecânica Quântica
Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos
Não serão aceitas respostas sem justificativa:
2
1-(2,5) Uma partícula de massa m encontra-se no estado ψ(x,t)= A exp[ω(mx /ħ+it)], onde A e a são
constantes reais e positivas.
a- Normalize ψ(x,t);
2
2
b- Calcule os valores esperados para x, x , p e p ;
2 – (2,5) Uma partícula de massa m em uma caixa de comprimento 1 Å (potencial infinito) possui uma
função de onda em t = 0 dada por: ψ(x,0)= 3sen(3πx)+ 4sen(4πx)+ 5sen(5πx), onde x é dado em Å.
a- Normalize ψ(x,0);
b- Quais são os possíveis resultados experimentais para a energia do sistema?
c- Escreva ψ(x,t);
3- (2,5) Uma partícula no potencial do oscilador harmônico possui uma função de onda inicial dada por
ψ(x,0)=A [ψ1 + ψo]
a- Normalize ψ(x,0);
2
b- Encontre ψ(x,t) e |ψ(x,t)|
c- Encontre <x>;
d- Encontre <p>;
4- (2,5) Considere o potencial
∞ → x < 0;

V ( x) = 
onde a e α são constantes reais e
αδ ( x − a ) → x ≥ 0;
positivas com unidades apropriadas (Veja a Figura abaixo). A partícula inicialmente se encontra
confinada em 0< x< a, mas devido ao tunelamento, pode escapar da barreira.
a- Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para este potencial; imponha
condições de contorno apropriadas, e determine a “energia”, E.
b- Escreva E = Eo + iΓ (onde Eo e Γ são reais). Calcule em termos de Γ o tempo característico para
que a partícula atravesse o potencial (ou seja, o tempo que a probabilidade que a partícula
ainda esteja dentro do potencial caia a 1/e).
Dados:
∞
2 n − ax
∫ x e dx =
2
0
∞
∫x e
2 − x2
dx =
0
∞
∫ xe
0
− x2
dx =
1
2
1.3.5....( 2n − 1) π
2 n +1 a n
a
π
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Física Médica
Segunda Prova de Conceitos de Mecânica Quântica
Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos
Não serão aceitas respostas sem justificativa:
1- (2,5) Um elétron em um campo Coulombiano de um próton encontra-se no estado descrito
1/2
pela função de onda ψ(r) =1/6[4ψ100 (r) +3ψ211 (r) - ψ210 (r) +(10) ψ21-1(r)], onde ψnlm são os
autoestados do átomo de hidrogênio.
a- Qual o valor esperado para a energia?
b- Qual a probabilidade de encontrar o sistema no nível n =2?
c- Se o resultado de uma medida for n=2, qual a função de onda imediatamente após a
medida?
2- (2,5)a- Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar os seguintes
3
vetores:
−1
1
r1 = 1 ; r2 = 2 ; r3 = − 1
2
0
2
b-Escreva o operador que projeta na direção de |r1⟩
3- (2,5) Um operador A tem somente três autofunções |ψ1 ⟩,| ψ2 ⟩ e |ψ3 ⟩, com autovalores
correspondentes a1 =1 , a2= 2 e a3 = 3, respectivamente. O estado do sistema é |φ⟩, onde há
uma chance de 50 % de que resulte em a1 e iguais chances para a2 e a3.
a- Calcule ⟨A⟩
b- Expresse |φ ⟩ em termos das autofunções de A.
c- Seja um operador D, tal que D|ψi ⟩=| ψi+1 ⟩ (i = 1,2) ; D|ψ3 ⟩=| ψ1 ⟩. Escreva D em forma
matricial na base dos autovetores de A.
4 – (2,5) Considere uma partícula de massa µ e energia E em um poço de potencial tridimensional
esfericamente simétrico : V(r ) = - Vo para r< a e V (r) = 0 para r>a, onde (Vo < E) e a são constantes
positivas e reais.
a- Escreva o potencial efetivo para uma onda p;
b- Escreva a equação de Schrodinger radial para este potencial efetivo;
c- Escreva a solução na região r < a, para a onda p;
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Física Médica
Terceira Prova de Conceitos de Mecânica Quântica
Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos
Não serão aceitas respostas sem justificativa:
1- (2,5) Considere duas partículas com momenta angular l1 = 2 e l2 = 3.
a- (0,5) Quais os possíveis valores para o momentum angular total?
b- (0,5) Se as partículas estão em uma configuração na qual o momentum angular total é 5 e
a componente z é 3, calcule o ângulo que o vetor momentum angular total faz com o eixo z
c- (1,5) Se as partículas estão em uma configuração na qual o momentum angular total é 5 e
a componente z é 3. Se você medisse a componente z da segunda partícula, quais os
valores que poderia obter e as respectivas probabilidades?
3 0
2- (4,5) Considere o seguinte operador
Lz =
0
0
0
h0 1 0
, com autoestados |l, m⟩:
2 0 0 −1 0
0 0 0 −3
a- (0,5) Se Lz é medido, quais os possíveis resultados?
b- (1,5) Escrevas as matrizes correspondentes para L+ e L- (dica: L±|l, m⟩ =....)
c- (1,5) Escreva as matrizes correspondentes para Lx e Ly
1
d- (1,0) Se o estado do sistema em t = 0 era
ψ = 0 , quais os possíveis resultados para Lx e
0
com quais probabilidades?
3- (1,0) Quais das funções abaixo poderiam descrevem um sistema composto por dois prótons ?
justifique.
a- [ϕa(1)+ ϕb(2)][α(1)+α(2)]
b- [ϕa(1)- ϕb(2)][α(1)+α(2)]
c- [ϕa(1)+ ϕb(2)][α(1)-α(2)]
d- [ϕa(1)- ϕb(2)][α(1)-α(2)]
-(r1+r2)
e- ϕ=Ae
-(r1+r2)
f- ϕ=A(r1 +r2) e
-(r1+r2)
g- ϕ=A(r1 -r2) e
4- (2,0) Considere 5 (cinco) elétrons em estados |α⟩,|β⟩,|χ⟩,|δ⟩, e |φ⟩. Os estados são
normalizados e ortogonais entre si. Escreva a função de onda para este sistema.
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Curso de Física Médica
Prova Final de Conceitos de Mecânica Quântica
Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos
Não serão aceitas respostas sem justificativa:
1- (1,0) Um elétron em um campo Coulombiano de um próton está no estado descrito pela função
1/2 3/2
2 2
de onda: ψ (r )= (α/π ) exp(-α r /2). Qual a probabilidade de encontrá-lo no estado
fundamental do átomo de hidrogênio?
2
2
2
2- (1,0) Encontre as autofunções do operador –(ħ /2m)d /dx . Se as autofunções devem
permanecer finitas para x→±∞, quais são as energias permitidas?
3- (6,0) O operador Hamiltoniano de um certo sistema físico é representado pela matriz
1 0 0
H = hω 0 2 0 , enquanto dois outros observáveis A e B são representados pelas
0 0 2
0 λ
matrizes
A= λ
0
2µ
0
0
0 0 e B= 0
0 2λ
0
0
µ
µ
0
0
onde λ e µ são não números reais não nulos.
a- (1,5)Encontre os autovalores e autovetores de A e B;
b- (1,5)Se o sistema está em um estado descrito por ψ =c1u1+c2u2+c3u3, onde c1, c2 e c3 são
1
constantes e
0
0
u1 = 0 ; u2 = 1 ; u3 = 0 , encontre a relação entre c1, c2, e c3 tal que ψ
0
0
1
seja normalizado;
c- (1,5)Encontre os valores esperados de H, A e B;
d- (1,5) Quais os possíveis valores para a energia que podem ser obtidos em uma medida
quando o sistema é descrito por ψ ? Para cada resultado possível, encontre a função de
onda na representação matricial imediatamente após a medida.
4- (2,0) O Hamiltoniano de um sistema tem somente quatro autofunções ψi (i = 1,2,3,4), com
autovalores a1 =1, a2 =2, a3 =3, e a4 =4. A função de onda do sistema é |φ⟩ =
0,500|ψ1⟩+0,632|ψ2⟩+0,500|ψ3⟩+0,316|ψ4⟩.
a- Calcule ⟨A⟩ ;
b- Escreva a função de onda em função do tempo
c- Qual a probabilidade de medir a3 ?
d- Qual a função de onda imediatamente após uma medida que resulta em a3 ?
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Física Médica
Segunda Chamada de Conceitos de Mecânica Quântica
Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos
Não serão aceitas respostas sem justificativa:
1- (2,5) Considere o potencial
∞ → x < 0;

V ( x) = 
onde a e α são constantes reais e
αδ ( x − a ) → x ≥ 0;
positivas com unidades apropriadas (Veja a Figura abaixo). A partícula inicialmente se encontra
confinada em 0< x< a, mas devido ao tunelamento, pode escapar da barreira.
a- Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para este potencial; imponha
condições de contorno apropriadas, e determine a “energia”, E.
b- Escreva E = Eo + iΓ (onde Eo e Γ são reais). Calcule em termos de Γ o tempo característico para
que a partícula atravesse o potencial (ou seja, o tempo que a probabilidade que a partícula
ainda esteja dentro do potencial caia a 1/e).
2- (2,5) Suponha que uma partícula em uma caixa de comprimento L esteja em um estado
7 1/2 2
não estacionário ψ = (105/L ) x (L-x), para 0≤ x≤ L, no instante em que a energia é
medida. Dê os possíveis resultados e suas respectivas probabilidades.
3- (2,5) Uma partícula de momentum angular 3/2 e uma partícula de momentum angular 1/2
estão em repouso em uma configuração que o spin total é 2, e sua componente z é 0. Se
você medisse a componente z do momentum angular da partícula de spin 2, quais os
valores que você poderia obter e com quais probabilidades?
4- (2,5) A função de onda de um sistema é dada por: ϕ(x) = A para –a ≤ x ≤ + a; ϕ(x) = 0 para
qualquer outra região.
a- (0,5) Encontre A em termos de a;
2
2
b- (1,0) Calcule ⟨x⟩, ⟨x ⟩, ⟨x⟩ e ∆x;
2
2
c- (1,0) Caclule ⟨p⟩, ⟨p ⟩, ⟨p⟩ e ∆p;