capítulo v

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CAPÍTULO V
I. INTRODUÇÃO
Em um corpo que está submetido a um sistema de forças ativas e reativas ,
isto é, que está em equilíbrio ocorre:
1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é
deformação.
2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do
corpo: Isto é tensão.
É claro que podemos entender que a capacidade que um material tem de resistir
as solicitações que lhe são impostas é limitada, isto é, pode ocorrer a ruptura do
corpo quando o carregamento for excessivo, portanto é necessário conhecer esta
capacidade para que possamos projetar com segurança.
II. TENSÕES
Suponhamos um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este
corpo por uma seção qualquer "S" ao separarmos as partes cortadas podemos
observar as forças distribuídas que atuam na seção do corte e equilibram cada uma
das partes da barra. Estas forças distribuídas são as tensões. Os esforços
solicitantes são obtidos pela redução das tensões no centro de gravidade da seção
transversal onde atuam .
ρ
S
Sejam:∆ A → elemento de área ∆ F → elemento de força
ρ
= tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto
ρ = lim
∆A → 0
∆F
dF
=
∆A
dA
ou graficamente:
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Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser
decomposta no espaço segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto
escolheremos como referência de costume 2 direções contidas pelo plano da seção
de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este plano (n).
Isto nos permite
categorias:
-
dividir as componentes da tensão do ponto em duas
Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (ττ) - contidas pela
seção de referência
Tensão Normal (σ
σ) - perpendicular à seção de referência
III. TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL- TENSÃO NORMAL
Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal
constante de área A. Quando sob ação de duas forças iguais e opostas,
coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de todas as seções transversais)
originam-se esforços no seu interior. Neste caso, apenas a solicitação de esforço
normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para
manter o equilíbrio.Por meio deste artifício (corte) os esforços internos
transformaram-se em externos e o seu cálculo se fez aplicando-se uma equação
de equilíbrio.
Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que
atua(A), ficando a tensão definida pela expressão:
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sendo:
N
σ =
A
N → Esforço Normal desenvolvido
A→ Área da seção transversal
Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a
visualização simplificada como:
ΣFy = 0
Σ Ms = 0
Σ Fx = 0
N=F
∴
∴
∴
Q=0
M=0
N-F=0
Deformação específica longitudinal (εε)
Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela
deformação específica longitudinal que é a relação que existe entre a deformação
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medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na
direção da tensão.
Seja:
li → comprimento inicial da barra
lf → comprimento final da barra
∆l →deformação total
∆l = l f - l i
ε =
∆l
li
Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε > 0 (alongamento)
Poderíamos mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0
(encurtamento)
Neste exemplo ∆ l 0
portanto
ε 0
b. sinal:
(+) - alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva
(-) - encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será
negativa
c. Unidade:
- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li
-Taxa milésima (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).
IV. CISALHAMENTO CONVENCIONAL - TENSÕES TANGENCIAIS (
τ)
Consideremos inicialmente um sistema formado por duas chapas de
espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado
abaixo.A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma
carga de tração "P".
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Considerando-se o método das seções, se cortarmos a estrutura por uma
seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas,
nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o
sistema isolado pelo corte. Então:
Isolando:
Aplicando as equações de equilíbrio:
Σ Fx = 0
Q-P=0
∴
Q=P
Σ MS = 0
M - P.t/2 =0 ∴
M = P.
t
2
Vimos então que as solicitações que se desenvolvem na seção de corte do
pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.
Podemos, nestes casos, fazer uma aproximação, desprezando o efeito do
momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.
Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente
não é exato pois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas:
dM
Q=
dx
Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente
aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta
solução simplificada nos leva a resultados práticos bastante bons, e então
adotaremos nestes casos, o cisalhamento aproximado, também chamado de
cisalhamento convencional.
Conceito: O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real,
onde o efeito do momento é desprezado.
Como teríamos apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e
passando pelo seu centro de gravidade, para o cálculo das tensões desenvolvidas
adotaríamos a da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área
de atuação da mesma, área esta denominada de ÁREA RESISTENTE, que deveria
então ser o objeto da nossa análise.
A distribuição uniforme nos diz que em cada ponto desta área a tensão
tangencial teria o mesmo valor dada por:
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τ =
Q
Aresist
A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para
os outros casos em que o cisalhamento convencional não é adotado.
Distorção Específica ( γ )
Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.
Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões
tangenciais em suas faces. Para melhor visualizarmos a deformação vamos
considerar fixa a face compreendida pelas arestas A e B.
tg γ =
CC' DD'
=
CA DB
Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas
deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem :
γ ≅
CC' DD'
=
CA DB
a. Conceito:
Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a
distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa
fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de
cisalhamento.
b. Unidade:
As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica
longitudinal: adimensional ou taxa milésima, ressalvando-se que quando
adimensional representa um arco expresso em radianos.
IV. LEI DE HOOKE
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de
funcionamento dos corpos em regime elástico.
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"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são
proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."
Expressões analíticas:
σ
= E(mod. de elasticidade longitudinal)
ε
τ
= G( mod. de elasticidade transversal)
γ
Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são
determinados experimentalmente.
VI.LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)-εt
Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem
nas direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal.
Conceito:
Deformação específica transversal é a relação entre a deformação
apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção
perpendicular à da tensão.
∆D
D
Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal nos levam as
seguintes conclusões:
1. ε e εt tem sempre sinais contrários
2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em
um mesmo material
εt
= −µ
ε
O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também
determinada experimentalmente.
εt =
3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para
qualquer direção perpendicular ao eixo.
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∆ a ∆b
= ε t = cons tan te
=
a
b
4. As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão:
G=
E
2( 1 + µ )
VII. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são
realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de
corpos de prova.O ensaio de tração axial é o que discreveremos a seguir.Ele
consiste em submeter-se uma barra de aço a duas forças axiais iguais e opostas
nas extremidades da barra Com a realização destes ensaios podemos separar os
materiais em dois grupos
Materiais dúcteis : são aqueles que sofrem grandes deformações antes da
ruptura.
Materiais Frágeis: são materiais que se caracterizam por pequenas
deformações anteriores a ruptura.
1. Dúctil com escoamento real:
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados
através de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).
No caso de material dúctil com escoamento real a forma deste diagrama
segue o seguinte modelo:
reta
AB
Indica
a
proporcionalidade entre
σ x ε , portanto o período em
que o material trabalha em
regime elástico (lei de
Hooke).
Deformações
reversíveis.
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σp - Tensão de proporcionalidade
Representa o limite do regime elástico.
curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime
plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente
do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que
graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à
do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda
pequenas mas irreversíveis.
σe - Tensão de escoamento
Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente
(a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido,
aumenta grandemente a deformação que ele apresenta.
trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a
aparecer falhas no material , ficando o mesmo invalidado para a função resistente.
curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão
em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais.
σR - Tensão de ruptura
2. Dúctil com escoamento convencional
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar
de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações
residuais se convenciona em 2 o/oo este limite, ficando a tensão correspondente
convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO.
B. MATERIAIS FRÁGEIS
São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a
ruptura. O diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de
Hooke.
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σT = Limite de ruptura a tração
σC = Limite ruptura a compressão
Em geral estes materiais resistem melhor a
compressão do que a tração.
VIII. ANÁLISE PLÁSTICA E ANÁLISE ELÁSTICA
O dimensionamento das estruturas pode ser realizado no domínio elástico do
material ou no domínio plástico. Atualmente a maioria das normas construtivas
permitem que os elementos estruturais sofram deformações plásticas objetivando
economia de material.
Por outro lado, até não muito tempo atrás, todas as normas construtivas
trabalhavam com os materiais no domínio elástico.A análise elástica é ainda usada
para uma aproximação inicial das dimensões necessárias as estruturas. Na análise
elástica, as propriedades mecânicas relativas a resistência, permitem que se fixe
uma tensão admissível do material, que nada mais são do que as tensões de
escoamento dividida por um coeficiente se segurança nos materiais dúcteis e a
tensão de ruptura dividida por um coeficiente de seguranças nos materiais frágeis.
EXERCÍCIOS :
1. Uma barra de latão de seção circular de diâmetro 3 cm está tracionada com uma
força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do
material o módulo de elasticidade longitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu
coeficiente de Poisson 0,3.
R: 5,89 . 10-4 cm
2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm
suporta uma força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e ν =
0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?
R: 0,000133
3. Suponha a barra do problema anterior submetida à uma força axial de tração.
Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica
longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33,
pergunta-se qual o volume final desta barra?
R: 625,212 cm3
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4. Uma barra de alumínio de seção circular de diâmetro 1. 1/4" está sujeita à uma
força de tração de 5.000 kgf. Determine:
a. Tensão normal
(a) 651,89 kgf/cm2
b. Deformação específica longitudinal
(b) 0,000815
c. Alongamento em 8"
(c) 0,163 mm
d. Variação do diâmetro
(d) - 0,006 mm
e. Variação da área da seção
(e) ≅ -0,3 mm2
f. Variação de volume em um comprimento de 200 mm
(f)≅ 65 mm3
Admita-se
E = 0,8 . 106 kgf/cm2
ν = 0,25
1" = 25 mm
5. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio
de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante
a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da
barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm.O diâmetro sofreu uma
diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu
módulo de elasticidade longitudinal.
R: ν = 0,33
E =0,7 . 104 kN/cm2
6. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na
figura.Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm
no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar
lateralmente, e despresa-se o peso próprio das barras.
Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2
EAl = 0,7 . 104 kN/cm2
OBS : medidas em cm
R : P ≅ 1.900 kN
7.
A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira
por intermédio de uma arruela de diâmetro interno 25 mm e de diâmetro externo
"d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35
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MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela
não deve exceder 5MPa, calcule o diâmetro "d" necessário para a arruela.
R: 6,32 cm
8. Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se
que Eaço é de
2,1.104 kN/cm2. Determinar o diâmetro "d" da parte BC para a
qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.
R: 21,8 mm
9. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de
alumínio com módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diâmetro
da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na
extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8
mm. Sabe-se que a tensão de escoamento admissível para o alumínio é de 16,5
kN/cm2.
R: P ≅ 84 kN
10. O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem seu comprimento ajustado para que
sem nenhum
carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a
extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar
em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a
causar contato entre B e E.
Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.
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R: x = 10 cm
11. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas
forças axiais indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos
trechos da barra.
R: trecho 1 : 1.000 kgf/cm2
trecho 2 : 700 kgf/cm2
trecho 3 : 900 kgf/cm2
12. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento
quando
suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:
E = 2,1 . 104 kN/cm2
γ = 80 kN/m3
R: 0,004763 mm
13.Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de
corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda
a largura para as chapas :
R: (a) 0.10 cm
a. Aço ( τ = 220 MPa )
b. Cobre ( τ = 130 MPa )
(b) 0.17 cm
c. Alumínio ( τ = 70 MPa )
(c) 0.32 cm
14.As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P'
se na solda usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine
também o menor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.
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R: P ≤ 356.16 kN
g ≥ 14 cm
15.Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P"
igual à 37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme.
Qual o valor destas tensões nos planos a-a' e b-b'.
R: 1.528 Kgf/cm2
16.De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1)
deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no
plano de contato entre as duas peças?
R: 4,71 kN/cm2
1. O aço de baixo teor de carbono usado
em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se
a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma
chapa deste aço com 3/8" de espessura.
R: 231,91 kN
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17.Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5
cm, usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3
kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento
mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos
encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é
de 10,4 kN.
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