06 FORCA E MOVIMENTO II

Como os antigos
egípcios
levantaram os
gigantescos blocos
de pedra para
construir a grande
Pirâmide?
Força de Atrito
• A importância do atrito na vida diária:
• Cerca de 20 % da gasolina usada em um
automóvel são consumidos para vencer o atrito
no motor e da caixa de transmissão
Atrito
Blocos em repouso (a, b e c)
a) A força normal FN (N) se equilibra com
a força gravitacional Fg (P).
b) Em resposta à força F exercida sobre
o bloco uma força de atrito f dirigida para
o sentido oposto equilibra F.
fe é chamada de força de atrito estático.
c) A medida que aumenta a intensidade
de F, a intensidade da força de atrito fe
estático também aumenta e o bloco
permanece em repouso.
Força de Atrito
Blocos em movimento
d) Acelerado
e) Com velocidade constante
d) Quando a força aplicada F atinge uma
certa intensidade o bloco começa a deslizar.
A força de atrito que passa a se opor ao
movimento é a força de atrito cinético fc.
e) Como fe > fc, para manter o bloco em
movimento com velocidade constante
deve-se diminuir F até que F = fc.
Resultado experimental no qual a força
sobre o bloco foi aumentada até ocorrer
o deslizamento
Força de Atrito
Propriedades do Atrito
• Propriedade 1. Se o corpo não se move,
 então a força de
atrito estático f s é a componente de F
que é paralela à
superfície se equilibram. Elas possuem o mesmo módulo e
está na mesma direção mas com sentido contrário ao da
componente de F .

• Propriedade 2. O módulo de f s possui um valor máximo
que é dado por
f s ,máx   s N
Onde μs é o coeficiente de atrito estático.
• Propriedade 3. Se o corpo começar a deslizar ao longo da
superfície, o modulo da força de atrito diminui rapidamente
para um valor dado por
f  N
k
Onde μk é o coeficiente de atrito cinético.
k
Exemplo 1
1. Uma força horizontal F = 12N comprime um bloco pesando P = 5N
contra uma parede vertical. O coeficiente de atrito estático entre a parede e
o bloco é μe = 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é μc = 0,40 . Suponha
que inicialmente o bloco esteja em repouso.
a) O bloco se moverá?
b) Qual a força exercida pela parede sobre o bloco, em notação de vetores
unitários?
Exemplo 2
Um menino puxa um caixa de brinquedo com massa m = 75 kg ao
longo de uma superfície horizontal com velocidade constante. O
coeficiente de atrito cinético μc entre a caixa e o piso é igual a 0,10, e
o ângulo θ vale 42º.
Qual a intensidade da força T que a corda exerce sobre a caixa de
brinquedos?
(Resp.: a) 91N)
Exemplo 3
Na figura a seguir, A e B são blocos com pesos de 44N e 22N , respectivamente.
a) Determine o menor peso (bloco C) que deve ser colocado sobre o bloco A
para impedi-lo de deslizar, sabendo-se que μE entre o bloco A e a mesa é 0,20.
b) Se o bloco C for repentinamente retirado, qual será a aceleração do
bloco A, sabendo-se que μC entre A e a mesa é 0,15 ?
Exemplo 4
Embora muitas estratégias engenhosas atribuídas aos construtores das
pirâmides, os blocos de pedra foram provavelmente içados com auxílio de
cordas. A fig. Mostra um bloco de 2000kg no processo de ser puxado ao longo
de um lado acabado(liso) da grande Pirâmide, que constitui um plano inclinado
comum ângulo de 520. O bloco é sustentado por um trenó de madeira e
puxado por várias cordas. O caminho do trenó é lubrificado com água para
reduzir o coeficiente de atrito estático para 0,4.
Suponha que o atrito no ponto no
qual a corda passa pelo alto da
pirâmide seja desprezível. Se cada
operário puxa com uma força de
686N, quantos operários são
necessários para que o bloco
esteja preste a se mover?
Para saber um pouco mais!
A Força de Arrasto e a Velocidade Terminal
Força de Arrasto e Velocidade Terminal
Quando há uma velocidade relativa entre um fluidoe
um corpo, o corpo experimenta uma Força de Arrasto D.
Quando o fluido é o ar, temos:
1
2
D  CAv
2
m massa

V volume
densidade
ρ = densidade do ar;
A = área da seção transversal efetiva do corpo (área da seção
transversal tomada perpendicularmente à velocidade);
C = coeficiente de arrasto.
D  bv
b = constante
2
1
b  CA
2
A Força de Arrasto e a Velocidade
Terminal
A Força de Arrasto e a Velocidade
Terminal
Fres, y  ma y
D  Fg  ma  0
O corpo então passa a cair com uma velocidade constante,
chamada de velocidade terminal
.
vt
1
CAv t2  Fg  0
2
vt 
2 Fg
CA
.
A Força de Arrasto e a Velocidade Terminal
Movimento Circular Uniforme
A partícula está em movimento
circular com o módulo da velocidade
constante. Porém possui uma
aceleração dada por:
v2
ac 
aceleração centrípeta
r
v = velocidade
r = raio da trajetória circular
A aceleração centrípeta
tem o papel de mudar
constantemente a direção da velocidade, mas não o módulo.
Em um movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem
módulo constante e aponta sempre para o centro do círculo
Força Centrípeta
• Força que causa a aceleração centrípeta
m.v
 Fr  m.ac  r
2
Uma força centrípeta acelera um corpo modificando a direção de sua
velocidade, sem no entanto alterar o módulo da velocidade do corpo.
Movimento Circular Uniforme
Sem a força centrípeta o corpo passa a
se mover em linha reta ao invés de se
mover em um círculo.
O tempo necessário para a partícula dar uma volta completa (2πr) é
denominado período de evolução T, dado por:
2r
T
v
Movimento Circular Uniforme
• Exemplo: Carro fazendo curva plana.
Fc = fe
É a força de atrito exercida pelo chão
sobre os pneus que faz com que a
trajetória curvilínea seja possível!
 
N  P  N  mg
Na vertical a força normal e o peso se anulam.
Na horizontal temos apenas a força centrípeta, que é devido à força de atrito.
v2
Fc  mac  m
R
2
v
m  mge
v
R
f e  Ne  mge
Fc = fe
Rge velocidade em uma curva plana
Quanto mais “aberta” a curva maior a velocidade atingida pelo
carro sem que derrape na pista.
Movimento Circular Uniforme
• Exemplo: Globo da morte
No ponto mais alto:
Fres  N  P  mac
2
v
N  mg  m
R
A velocidade mínima que o motociclista deve ter na parte
mais alta do globo poder ser obtida por:
2
vmín
N mín  mg  m
R
vmín  N mín  0 (eminência da perda de contato)
2
vmín
mg  m
R
vmín  gR
Exemplo 6:
6. Em 1911, em um espetáculo de
circo, Allo Diavolo apresentou pela
primeira
vez
um
número
acrobático que constituía em
descrever
um
loop
vertical
pedalando uma bicicleta. Suponha
que o loop seja um circulo de raio
R=2,7m, qual é a menor
velocidade v que Diavolo podia ter
no alto do loop para permanecer
em contato com a pista?
Exemplo 7:
• 7. Um dublê dirige um carro sobre o alto de uma montanha
cuja seção reta é aproximadamente um círculo de 250m de
raio, conforme a figura a seguir. Qual a maior velocidade que
pode dirigir o carro sem sair da estrada, no alto da
montanha? 178,19km/h
Exemplo 8:
8. Se o coeficiente de atrito estático dos pneus numa rodovia é
0,25 , com que velocidade máxima um carro pode fazer uma
curva plana de 47,5m de raio, sem derrapar?
Exemplo x+1:
Uma curva de 30m de
raio é inclinada de um
ângulo θ. Isto é, a
normal da superfície
da estrada forma um
ângulo de θ com a
vertical. Encontre θ
para que o carro
percorra a curva a
40km/h, mesmo se a
estrada está coberta
de gelo, o que torna
praticamente
sem
atrito.
Exemplo 9
9. Um pêndulo cônico é formado por uma massa de 50g presa a uma cordão
de 1,2m. A massa gira formando um círculo horizontal de 25cm de raio.
a) Qual a sua aceleração?
b) Qual a sua velocidade?
c) Qual a tensão no cordão?
Exemplo 10:
10 - Na figura a seguir um trabalhador cuidadoso aplica uma força F ao longo
do cabo de um esfregão. O cabo faz um ângulo com a vertical, θ sendo μE e
μC os respectivos coeficientes de atrito estático e cinético entre o esfregão e
o chão. Despreze a massa do cabo e suponha que toda a massa m esteja no
esfregão.
a) Qual o valor de F, se o
esfregão se move pelo
chão com velocidade
constante?
b) Mostre que se θ é menor
que um determinado valor θ0
então F (ainda aplicada ao
longo do cabo) é incapaz de
mover o esfregão. Determine
θ0 .
Força de Atrito
Exercício 11
11. Um bloco de 3,5 kg é empurrado ao longo de um piso horizontal por
uma força F de intensidade 15N em um ângulo de θ = 40º com a
horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é
igual a 0,25. Calcule os módulos (a) da força de atrito que o piso
exerce sobre o bloco e (b) da aceleração do bloco.
(Resp.: a) 11N, b) 0,14 m/s2)
Movimento Circular Uniforme
•
Exercícios
1. Igor é um astronauta da Estação Espacial Internacional, em órbita
circular em torno da Terra, a uma altitude h de 520 km e com uma
velocidade escalar constante v de 7,6 x103m/s. A massa de Igor é 79
kg. (Raio da Terra (RT=6,37x106 m)
a) Qual é sua aceleração em m/s2?
b) Qual é a força que a Terra exerce sobre Igor?
(Resp.: a) 8,4m/s2, b) 664N)
2. Um gato cochila sobre um carrossel em repouso, em um raio de 5,4 m
a partir do seu centro. O operador então inicia o passeio o carrossel à
sua taxa de rotação própria de uma volta completa a cada 6,0s. Qual
será o menor coeficiente de atrito estático entre o gato e o carrossel
que permitirá ao gato permanecer no seu lugar sem deslizar? (Resp.:
0,61)
3. Qual deve ser o menor raio de uma pista sem elevação (plana) que
permitirá a um ciclista se deslocar com velocidade de 8,1 m/s, se μe
entre os pneus e a pista vale 0,32. (Resp.: 21m)