Física Geral I - F 128 Aula 8: Energia Potencial e Conservação de Energia 2o Semestre 2012 Q1: Trabalho e força Analise a seguinte afirmação sobre um corpo, que partindo do repouso, move-se de acordo com a força mostrada abaixo: “A velocidade deste corpo é negativa em x = 3 m” A. Verdadeiro B. Falso F128 – 1o Semestre de 2012 2 Relembrando… Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e permanece útil também na mecânica quântica, relatividade, eletromagnetismo, etc. A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza. 1 2 Energia Cinética: K= mv 2 “O trabalho da força resultante que atua sobre uma partícula entre as posições x1 e x2 é igual à variação da energia cinética da partícula entre estas posições”. F128 – 1o Semestre de 2012 3 Energia Potencial A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de objetos, que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, a energia potencial também pode mudar. Vamos começar discutindo o caso unidimensional. Depois generalizaremos para mais dimensões. Dois tipos de energia potencial com os quais estaremos lidando são a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica. F128 – 1o Semestre de 2012 4 Energia Potencial em 1D Variação de energia potencial (caso unidimensional): x ΔU ( x0 → x ) = U ( x ) − U ( x0 ) = −W = − ∫ F ( x)dx x0 É usual tomar x0 como uma configuração de referência fixa. Assim, a energia potencial da partícula na configuração x é: x U ( x ) = U ( x0 ) − ∫ F ( x )dx x0 dU F =− dx Notem que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração). Não se pode definir U(x) em outros casos (a força de arraste dependente da velocidade, por exemplo): ver mais detalhes adiante. Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência: U ( x0 ) = 0 F128 – 1o Semestre de 2012 5 Conservação da Energia Mecânica Do teorema do trabalho-energia cinética para uma força que só depende da posição: W = ΔK Como U ( x f ) − U (xi )= −W 1 2 1 2 U ( xi ) − U ( x f ) = mv f − mvi 2 2 1 2 1 2 mvi + U ( xi ) = mv f + U ( x f ) 2 2 1 2 E = mv + U ( x ) = constante 2 F128 – 1o Semestre de 2012 ( a energia mecânica total não varia). 6 Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme) Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por mg. Tomando como referência para U o ponto y = 0 (U(0)=0): y U ( y) = 0 − ∫ (−mg )dy = mgy U ( y ) = mgy 0 Conservação da energia: 1 E = mv 2 + mgy = constante 2 F128 – 1o Semestre de 2012 7 Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme) Exemplo: Qual é a mínima altura h para que o corpo deslizando complete o loop? m • h r No limiar: N = 0 v2 mg = m ⇒ v 2 = gr r Por conservação de energia mecânica: mg •N 1 E =mghmin =mg 2r + mv 2 = 2 1 5 mg 2r + mgr = mgr 2 2 hmin = 2,5r F128 – 1o Semestre de 2012 8 Energia Potencial Elástica x 1 2 Configuração de referência: x0= 0 ⇒ U ( x) = 0 − ∫ (− k ) xdx = kx 2 0 1 1 E = mv 2 + kx 2 = constante 2 2 1 v = 0 e x = A ⇒ E = kA2 2 1 2 v = −vmax e x = 0 ⇒ E = mvmax 2 1 v = 0 e x = − A ⇒ E = kA2 2 1 2 v = vmax e x = 0 ⇒ E = mvmax 2 1 v = 0 e x = A ⇒ E = kA2 2 F128 – 1o Semestre de 2012 9 Energia Potencial em mais de uma dimensão Como no caso unidimensional, só é possível definir a energia potencial para forças conservativas. Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que se desloca entre dois pontos não depende da trajetória seguida pelo corpo, mas apenas das posições inicial e final. Equivalentemente, uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero. Exemplos de forças conservativas: 1. força gravitacional 2. força elástica 3. qualquer força unidimensional que só dependa da posição: F(x) Com técnicas de cálculo mais avançadas, é possível estabelecer um critério matemático simples para determinar se uma força é conservativa. F128 – 1o Semestre de 2012 10 Forças Conservativas Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito fechado A→ B → C indicado: L B d A θ C WA + WB + WC = −mgd + mgLsenθ + 0 = 0 F128 – 1o Semestre de 2012 11 Forças Não-Conservativas Forças não-conservativas: seu trabalho depende da trajetória. Exemplos: força de atrito e força de arraste. Watr ( A→B) = ∫ f atr ⋅ ds = − f atr LA→B = C = − µc m g d reta − µc m gπ d / 2 semi − circunferê ncia Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo. F128 – 1o Semestre de 2012 12 Energia Potencial em mais de uma dimensão Generalizando, sempre se pode associar uma energia potencial a uma força conservativa: r U (r ) − U (r0 ) = − W (r0 → r ) = − ∫ F ⋅ dr r0 r Note que não é preciso dizer qual trajetória tomar entre 0 e r , pois nesse caso o trabalho independe da trajetória. Se só há forças conservativas, então a energia mecânica total (potencial + cinética) é conservada: E = K + U = constante F128 – 1o Semestre de 2012 13 Energia mecânica na presença de forças nãoconservativas Entretanto, se há forças não-conservativas: W = Wnão −cons + Wcons = ΔK ⎫ ⎬ ⇒ Wnão−cons = ΔK + ΔU = ΔEmec Wcons = −ΔU ⎭ No caso de forças como de atrito e de arraste, o trabalho é sempre negativo (a força é sempre no sentido oposto ao deslocamento): Watrito = − f atrito L < 0 ⇒ ΔEmec < 0 Como o trabalho forças dissipativas é sempre negativo, a energia mecânica do sistema sempre diminui na presença delas. F128 – 1o Semestre de 2012 14 Forças dissipativas e energia interna O trabalho das forças dissipativas (e a consequente diminuição da energia mecânica) é acompanhado de um aumento da temperatura dos corpos em contato (aumento da agitação térmica das moléculas): ® variação da energia interna = - trabalho das forças dissipativas Watrito = −ΔEint ⎫ ⎬ ⇒ ΔEint + ΔEmec = Δ ( Eint + Emec ) = 0 Watrito = ΔEmec ⎭ Etotal = Eint + Emec = constante A energia total de um sistema isolado, mecânica mais interna, é conservada. Em geral, há outras formas adicionais de energia (elétrica, magnética,...) que, uma vez adicionadas acima, fornecem uma quantidade que se conserva. F128 – 1o Semestre de 2012 15 Forças dissipativas e energia interna Exemplo: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é sua velocidade em x = 0? a) Sem atrito 1 2 ⎫ mv − 0 ⎪ ⎪ 2 ⎬ ⇒ ΔK = −ΔU 1 ΔU = 0 − kd 2 ⎪ ⎪⎭ 2 ΔK = F d 1 2 1 2 k mv = kd ⇒ v = d 2 2 m b) Com atrito ΔE = ΔK + ΔU = Watr = − µc mgd F d F128 – 1o Semestre de 2012 1 2 1 2 mv = kd − µc mgd 2 2 fa kd 2 v = − 2µc gd m 16 Relação entre Força e Energia Potencial x U ( x) − U ( x0 ) = − W ( x0 → x) = − ∫ F ( x) dx x0 dU F ( x) = − dx ⎛ dU ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ x = xo F128 – 1o Semestre de 2012 F(x0) = 0 U(x0): Mínima ou Máxima 17 Exemplo: Ligação Química Exemplo de ligação representada por um potencial Lenard - Jones F>0 repulsão F F<0 atração U Mínimo de energia ε ⎡⎛ a ⎞ 13 ⎛a⎞ F (r )=12 ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ a ⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ F128 – 1o Semestre de 2012 7 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 18 Diagramas de Energia Energia potencial de um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k : U(x) 1 2 U ( x) = k x 2 Conservação de energia: 1 2 1 2 E = mv + kx = constante 2 2 ∴ K = E − U (x) E K U -xm 0 xm x Desta relação e do diagrama, vemos que o movimento do bloco é limitado a pontos x compreendidos no intervalo − xm ≤ x ≤ xm . De fato, para pontos x fora deste intervalo, teríamos U ( x ) > E , e portanto K < 0 , o que é obviamente impossível. xm e − xm são os pontos de retorno, onde a velocidade é nula: 2 E kx 2 v ( x) = ± − m m F128 – 1o Semestre de 2012 19 Diagramas de Energia Ponto de retorno ou reversão: a velocidade se anula e troca de sinal Ponto de equilíbrio instável: F(x) = 0 e U(x) é máximo K U F =− dU dx F128 – 1o Semestre de 2012 Pontos de equilíbrio indiferente: F(x) = 0 e U(x) não é máximo nem mínimo Pontos de equilíbrio estável: F(x) = 0 e U(x) é mínimo 20 Q2: Energia Potencial e Força A energia potencial gravitacional da Terra pode ser descrita e exemplificada pelo equação abaixo. Para qual distância r a força do potencial gravitacional é nula? U(r) A. r = RTerra B. r = 0 C. r = infinito F128 – 1o Semestre de 2012 0 − R GMm R r 21 Energia Potencial Gravitacional Força gravitacional: GMm F =− 2 rˆ r r F ds ∝ r U ( r ) − U ( r0 ) = − ∫ F ⋅ dr = ∫ F ( r ) dr , pois dr = − dr rˆ r r0 r = r0 GMm ∫r r 2 dr 0 Tomando a configuração de referência U ( r0 → ∞) =0 : r GMm GMm U (r ) = ∫ 2 dr = − r r ∞ F128 – 1o Semestre de 2012 22 Energia potencial gravitacional: campo uniforme ⎡ 1 1⎤ U ( R + y ) − U ( R) = −GMm ⎢ − ⎥= ⎣R+ y R⎦ y ⎛ GM ⎞ = GMm ≅ ⎜ 2 ⎟ my = mgy R (R + y) ⎝ R ⎠ U(r) g ≅ 9,8 m/ s 2 0 R R+y r y Pode-se estimar g a uma altura de 400 km: g´( h = 400 km ) = GMm − R R≅ 6,37×10 3 km F128 – 1o Semestre de 2012 GM ( R + h) 2 GM = 2 R 2 ⎛ R ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ R+h⎠ 2 ⎛ 6, 4 ⎞ = 9,83 × ⎜ ≅ 8, 7 m/s 2 ⎟ ⎝ 6,8 ⎠ 23 Velocidade de Escape v = vesc v=0 ∝ Velocidade limiar para escapar da atração gravitacional de um astro: ® velocidade de lançamento tal que chegue ao infinito com velocidade nula. Por conservação de energia mecânica: E = K ( R ) +U ( R)= K (∞) +U (∞) = 0 1 2 1 2 GMm mvesc + U ( R ) = U (∞) = 0 ⇒ mvesc = 2 2 R 2GM GM vesc = = 2 2 R = 2 gR R R vesTerra = 11, 2 km/s c E= F128 – 1o Semestre de 2012 24 Buracos Negros Velocidade de escape igual à velocidade da luz: vesc = c = 3,0 × 10 8 m/s Raio de um buraco negro de massa M vesc = 2GM 2GM =c⇒R= 2 R c Raio de Schwarzschild Para a Terra, Terra RSchw = 8,8 mm Se a Terra se transformasse num buraco negro, seu raio diminuiria para 8,87 mm ! F128 – 1o Semestre de 2012 25 Buracos Negros Velocidade de escape igual à velocidade da luz: vesc = c = 3,0 × 10 8 m/s Raio de um buraco negro de massa M vesc = 2GM 2GM =c⇒R= 2 R c Raio de Schwarzschild Embora esse resultado da mecânica newtoniana seja igual ao que é obtido na Teoria da Relatividade Geral, isso é apenas uma coincidência! F128 – 1o Semestre de 2012 26