O moinho de vento de Euclides - MAT-UnB

O moinho de vento de Euclides
Euclides publicou na Proposição número 47, do livro I, de sua obra Os Elementos, a demonstração
do Teorema de Pitágoras conhecida como moinho de vento, porque a ilustração correspondente à
demonstração de Euclides (II) assemelha a um “moinho de vento” ou também foi chamada de
“cadeira da noiva”.
I
II
A demonstração de Euclides é a seguinte:
- Nos quadrados BCDE e ABFG temos
área(BCDE) = 2 área(BCD)
e
área(ABFG) = 2 área(ABG)
- área(BCD) = área(ACD)
área(ABG) = área(ACG)
(os triângulos têm base comum
CD e mesma altura porque AB é
paralelo a CD)
(os triângulos tem base comum
AG e mesma altura pois
BC é paralelo a AG)
- Os triângulos Δ(ACD) e Δ(BCJ)
Por demonstração idêntica
são triângulos congruentes porque
segue que são congruentes os
eles têm dois pares de lados corres-
triângulos Δ(ACG) e Δ(ABH)
pondentes congruentes: CD, BC e
AC, CJ. Os ângulos compreendidos
̂ e 𝐵𝐶𝐽
̂ são
entre eles 𝐷𝐶𝐴
̂ = 𝐷𝐶𝐵
̂ + 𝐵𝐶𝐴
̂ = 𝐴𝐶𝐽
̂ + 𝐵𝐶𝐴
̂ = 𝐵𝐶𝐽
̂
congruentes porque 𝐷𝐶𝐴
Logo, área (ACD) = área(BCJ)
e
área(ACG) = área(ABH)
- área(BCJ) = área(KCJ)
área(ABH) = área(AKC)
(os triângulos têm base comum
CJ e mesma altura porque BK
é paralelo a CJ)
(os triângulos têm base comum
AH e mesma altura, pois BK é
paralelo a AH)
Nesses retângulos é:
- área(CJLK) = 2 área(CKJ)
e
área(AKLH) = 2 área(AKL)
Finalmente, resulta
(*)
área(BCDE) = área(CJLK)
e área(ABFG) = área(AKLH),
ou seja que os quadrados BCDE e ABFG são respectivamente equivalentes aos retângulos CJLK e
AKLM.
O quadrado ACJH é formado pela equicomposição dos retângulos CJLK e AKLH, portanto
(**)
área(ACJH) = área(CJLK) + área(AKLH)
Substituindo (*) em (**) obtemos
área(ACJH) = área(BCDE) + área(ABFG),
onde o primeiro membro da igualdade é a área do quadrado sobre a hipotenusa do triângulo
retângulo e o segundo membro é a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.
̅̅̅̅ = b e ̅̅̅̅
Se os lados do triângulo retângulo dado Δ(ABC) medem ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = a, 𝐵𝐶
𝐶𝐴 = c,
então, da equação acima segue que
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 .
As diferentes demonstrações do teorema de Pitágoras são basicamente classificadas por E. S.
Loomis em provas aritméticas e provas geométricas. As demonstrações geométricas estão
relacionadas a comparações de áreas, a disseccões de polígonos e a equicomposições de polígonos.
Duas figuras são congruentes por decomposição ou por divisão se elas podem ser dissecadas
ou cortadas em pares correspondentes de peças congruentes.
Duas figuras são congruentes por adição se pares correspondentes de peças congruentes
podem ser adicionadas as duas figuras para obter duas novas figuras congruentes.
Muitas demonstrações do teorema de Pitágoras provam que o quadrado sobre a hipotenusa
do triângulo retângulo é congruente por decomposição ou é congruente por adição à combinação
dos dois quadrados sobre os catetos desse triângulo.
Exemplos de demonstrações do teorema de Pitágoras usando congruência por decomposição
são as demonstrações de Bhaskara, de Perigal e de Dudeney, entanto que a demonstração do próprio
Pitágoras e a de Leonardo da Vinci estão entre as que aplicam congruência por adição.
Demonstração dinâmica do teorema de Pitágoras
Uma demonstração experimental e dinâmica do teorema de Pitágoras é realizada com um
tabuleiro que consta de três quadrados de madeira construídos sobre os três lados de um triângulo
retângulo. Os quadrados sobre os catetos estão cobertos por um fino pô de cor laranja e de cor verde
o outro. Um vidro transparente segurado por uma moldura sobre o tabuleiro completa o quadro e
mantém os elementos em posição. O quadrado maior está dividido em dois retângulos por um vidro
transparente. Colocando o quadro em pé, com os quadrados sobre os catetos na parte superior, o pô
começa a escoar em direção aos compartimentos no quadrado sobre a hipotenusa que se encontra na
parte inferior. Depois de um breve espaço de tempo todo o pô passa dos quadrados sobre os catetos
e cobre todo o quadrado sobre a hipotenusa do triângulo retângulo. Virando a posição do tabuleiro e
colocando o quadrado sobre a hipotenusa na posição superior o pô que ele contém escoa pelos
orifícios na parte posterior do triângulo, retornando aos quadrados sobre os catetos do triângulo
retângulo.