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Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
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Problemas
Radiação de corpo negro, f.e.m. termoelétrica,
dependência da resistência com a temperatura.
1. Medir a resistência do filamento da lâmpada
incandescente à temperatura ambiente e determinar a
resistência do filamento R0 à zero graus centígrados.
Princípio
De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, a energia
emitida por unidade de tempo e por unidade de área por
um corpo negro é proporcional à potência quatro da
temperatura absoluta do corpo. A lei de StefanBoltzmann também é válida para os corpos conhecidos
como corpos “cinza”, cuja superfície exibe um coeficiente
de absorção menor que um e independente do
comprimento de onda. No experimento, o corpo “cinza” é
representado pelo filamento de uma lâmpada
incandescente cuja emissão de energia é investigada em
função de sua temperatura.
Equipamento
Termopilha, do tipo moll
08479.00
Tubo de blindagem para termopilha 08479.01
Amplificador de medida universal 13626.93
Fonte variável 15VAC/12VDC/5A 13530.93
Suporte haste para lâmpada
06175.00
Lâmpada de filamento 6V/5A
06158.00
Conector haste para resistor
06030.23
Resistor plug-in de 100 Ohms
06057.10
Trilho óptico l = 60 cm
08283.00
Base ajustavel p/trilho óptico
08284.00
Suporte deslizante p/trilho óptico 08286.01
Multímetro digital
07134.00
Fio para conexão, azul
07361.04
Fio para conexão, vermelho
07361.01
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
4
4
2. Medir a densidade do fluxo de energia da lâmpada em
diferentes
voltagens
de
alimentação.
A
correspondente corrente elétrica de aquecimento
obtendo a resistência associada ao filamento para
cada voltagem de alimentação. Admitindo-se uma
dependência de segunda ordem com a temperatura
para a resistência do filamento, pode-se calcular a
temperatura do filamento a partir dos dados medidos
para a resistência.
Montagem e procedimentos
Monta-se inicialmente o circuito da Fig. 2 para medida da
resistência do filamento à temperatura ambiente. Um
resistor de 100 ohms é conectado em série com a
lâmpada para permitir um ajuste fino da corrente. Medese a queda de potencial V no filamento para correntes de
até 200 mADC, obtendo a resistência à temperatura
ambiente. As intensidades de corrente nessa faixa sâo
suficientemente pequenas de modo a desprezar efeitos
de aquecimento.
Prepara-se a montagem experimental da Fig. 1. O
resistor de 100 ohms é retirado do circuito. O filamento
agora é alimentado por uma fonte de tensão VAC
variavel em série com um amperímetro que permita
medidas de corrente alternada de até 6 A. O voltímetro é
conectado aos terminais do filamento e a voltagem
alternada é aumentada em intervalos de 0,5 ou 1,0 volt
até o limite de 8 VAC.
Fig. 1: Montagem experimental para verificação da lei de radiação de Stefan-Boltzmann.
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1
Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
Fig. 2: Circuito para medida da resistência do filamento à temperatura ambiente.
Integrando a equação (1) sobre todo o espectro de
comprimentos de onda, obtemos a potência total
irradiada à temperatura T (Lei de Stefan-Boltzmann):
∞
P(T ) = A∫ RT (λ )dλ = AσT 4
0
(2)
com:
5 4
2 3
–8
–2. –4
σ = 2π .k /15c .h = 5,67 × 10 W.m K
Nota:
A voltagem de alimentação da lâmpada
incandescente é de 6 VAC. Valores de até 8 VAC
podem ser aplicados, desde que por curtos
períodos de poucos minutos.
Com a termopilha montada a uma distância de 30 cm
do filamento aplica-se inicialmente uma tensão de 1
VAC. Em seguida gira-se (com a base fixada) a
termopilha para esquerda e direita procurando o valor
máximo para a f.e.m. termoelétrica. O eixo do filamento
cilindrico deve estar perpendicular ao eixo do banco
óptico. Como a f.e.m. termoelétrica é da ordem de
poucos milivolts, deve-se usar um amplificador para
medidas mais acuradas. O fator de amplificação deve
estar na faixa de 102 ou 103 com o voltímetro ligado ao
amplificador na escala de 1 ou 10 VDC. Antes de iniciar
a leitura da f.e.m. termoelétrica deve-se ajustar um
“zero” apropriado. Isto pode ser feito afastando-se a
lâmpada em seu suporte da frente da termopilha por
alguns minutos. O amplificador deve ser usado no modo
LOW DRIFT (104 ohm) com uma constante de tempo de
1 s.
Após a lâmpada ser colocada de volta no trilho óptico
podem ser tomados os dados, aguardando sempre
alguns minutos entre cada medida para que a
termopilha alcance o equilíbrio. Deve-se tomar cuidado
para que nenhuma radiação de fundo prejudique as
medidas.
A relação de proporcionalidade entre P(T) e T4 continua
válida para os chamados corpos “cinza”, cuja superfície
exibe um coeficiente de absorção ε, menor que um e
independente do comprimento de onda.
Para testar a validade da Lei de Stefan-Boltzmann
medimos a radiação emitida pelo filamento de uma
lâmpada incandescente que se comporta muito
proximamente a um corpo “cinza”. Para uma distância
fixa entre o filamento e a termopilha, o fluxo de energia
φ que a atinge é proporcional a P(T).
φ ∝ P(T)
E como φ também é proporcional à f.e.m. Uth da
termopilha, podemos estabelecer que:
Uth ∝ T4
caso a termopilha esteja à temperatura de zero Kelvin.
Mas como a termopilha está à temperatura ambiente Ta
4
ela também irradia segundo a lei T de modo que
devemos escrever:
4
4
Uth ∝ (T – Ta )
Nas circunstâncias da experiência podemos desprezar
Ta4 em comparação a T4 de modo que podemos
esperar uma relação linear, de coeficiente “4”, quando
representada a função Uth(T) em escala di-logarítimica.
Log Uth = 4 log T + const.
(3)
Teoria e Desenvolvimento
Considere a radiância espectral RT(λ) para um corpo
negro com uma área de superfície A. Podemos
expressar a energia emitida por unidade de tempo e de
área, à temperatura T e comprimento de onda λ no
intervalo dλ pela equação de Planck:
h
1 dΕ
2πc
dλ
= RT (λ )dλ = 5
hc
A dt
λ ⎛⎜ e λkT − 1⎞⎟
⎝
⎠
A temperatura absoluta T = t + 273 do filamento de
tungstênio pode ser calculada pelas medidas de
rsistência R(t) do filamento (t é a temperatura em
centígrados). Para a resistência de um filamento de
tungstênio temos a seguinte relação:
2
R(t) = R0 (1 +αt + βt )
2
sendo R0 a resistência a 0 oC e,
α = 4,82 × 10-3 C-1
(1)
onde:
(4)
β = 6,76 × 10-7 C-2
A resistência R0 pode ser calculada usando a relação:
8
c = 3,00 × 10 m/s (velocidade da luz)
h = 6,62 × 10
–34
J.s (constante de Planck)
k = 1,381 × 10–23 J.K–1 (constante de Boltzmann)
R0 =
R (t a )
1 + α .t a + β .ta2
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(5)
2
Lei de Radiação de Stefan-Boltzmann
Resolvendo a eq. (4) para temperatura T, chega-se a:
T = 273 +
Tanto R(ta) quanto R(t) são obtidas pela lei de Ohm, ou
seja, pelas medidas de voltagem e corrente através do
filamento.
⎤
⎛ R(t ) ⎞
1 ⎡ 2
⎢ α + 4 β ⎜⎜
− 1⎟⎟ − α ⎥
2β ⎢
⎥⎦
⎠
⎝ R0
⎣
(6)
Fig. 3: F.e.m. termoelétrica da termopilha em função da temperatura absoluta do filamento.
1.
Usando a saida de voltagem DC da fonte de
tensâo, uma corrente contínua de 100 mA e de 200
mA foram aplicadas ao filamento em série com um
resistor de 100 ohm. As voltagens correspondentes
lidas no voltímetro foram de 16,5 mV e 33,0 mV
respectivamente. Nota-se que dobrando a corrente
a voltagem também dobra. Isto mostra que a
influência da temperatura na resistência do
filamento já é insignificante para os valores DC
escolhidos. Encontramos nesse caso:
R(ta) = 0,165 ohm
(7)
2.
Aumentando-se a voltagem de aquecimento AC em
intervalos de 1 VAC desde 0 até 8 VAC obteve-se os
seguintes resultados:
VAC (V)
1
2
3
4
5
6
7
8
IAC (A)
2,20
2,80
3,45
4,00
4,45
4,90
5,30
5,70
Uth (mV)
0,15
0,62
1,30
2,20
3,20
4,45
5,90
7,50
T (K)
672
983
1160
1300
1430
1540
1630
1720
e consequentemente:
R0 = 0,15 ohm
(8)
Pequenas variações em R0 influenciam de forma
insignificante o coeficiente S.
A representação gráfica di-logarítimica do fluxo de
enrgia em função da temperatura absoluta é mostrado
na Fig. 3. O coeficiente S da reta ajustada pelo método
dos mínimos quadrados é:
S = 4,19 ± 0,27
(9)
O valor teórico de S, que é 4 , se encontra dentro dos
limites da incerteza calculada.
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