ficha - Associação de Professores de Matemática

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Resolução de sistemas com a calculadora CASIO CFX 9850 GB
No menu inicial das calculadoras Casio podemos ver o item EQUA (pode
ser seleccionado pela letra A), no qual podemos resolver equações polinomiais,
sistemas de 2 a 6 incógnitas e equações não polinomiais. Ver figura ao lado.
O sistema de equações 2 x  y  z  1 , 5 x  3 y  2 z  5 , 4 x  3 y  7 z  7 é possível e determinado e
apenas este tipo de classificação de sistemas é resolvido no item EQUA. Ver figuras abaixo ilustradas.
Escolha a instrução SIML
Escreva os coeficientes do sistema
Seleccione SOLV para obter a solução Escreva a solução (x, y, z) = (-2, -5, 0)
O sistema de equações x  y  z  0 , x  y  z  0 , 3 x  3 y  z  0 tem pelo menos a solução (0,0,0)
mas apresenta uma infinidade de pontos do espaço, situados na recta de equação ( x, y, z )  k (0,1,1) com k   . A
calculadora apresenta a mensagem Mem Error pois não sabe indicar um número infinito de soluções, mas vai ser
possível resolver o sistema por meio do item MAT (matrizes são quadros de números reais), utilizando o método da
adição ordenada de equações. Ver imagens abaixo ilustradas.
Escrita dos coeficientes de x, y e z
O sistema não é determinado
Item das matrizes de números reais
Definição do número de equações
Após ter definido a dimensão da matriz (3 = número de equações, 4 = número de coeficientes) podemos
efectuar as operações do método da adição ordenada. Vamos eliminar a variável y do sistema, adicionando as linhas 1
e 2, para obter a equação 2x  0 cujos coeficientes (2, 0, 0, 0) indicam a nova linha 2. Multiplicando a linha 1 por -3
e adicionando-a com a linha 3 obtemos a equação  2 y  2 z  0 cujos coeficientes (0, -2, 2, 0) indicam a nova linha
3. O sistema de equações x  y  z  0 , 2x  0 ,  2 y  2 z  0 é equivalente ao sistema de equações
x  0, z  y,0  0 pois a substituição de x = 0 e y = z em x  y  z  0 dá 0 =0. O sistema é possível e
indeterminado de grau 1 pois apenas com uma das coordenadas (y ou z) indicamos uma solução do sistema.
Escrita dos coeficientes das equações
Adição ordenada –1  L1 + L2
Adição ordenada –3  L1 + L3
Adição ordenada –1  L2 + L3
Podemos verificar saber se o sistema é possível ou não, de acordo com o número de soluções da equação da
terceira linha (uma solução indica sistema possível determinado, infinitas soluções indica sistema possível e
indeterminado e zero soluções indica sistema impossível). Ver a resolução de dois sistemas de equações com uso das
matrizes.
Sistema impossível: x  2 y  6 z  4 , 2 x  2 y  3 z  4 e x  8 y  21z  6
Escrita dos coeficientes das equações
Adição ordenada –2  L1 + L2
Adição ordenada –1  L1 + L3
Adição ordenada L2 + L3
Sistema determinado: x  y  z  3 , 2 x  y  2 z  2 e x  10 y  3 z  5
Escrita dos coeficientes das equações
Adição ordenada –2  L1 + L2
Adição ordenada –1  L1 + L3
Adição ordenada –11  L2 + L2
A resolução de sistemas de 2 ou mais equações de grau 1 com 2 ou mais incógnitas, pode ser feita na
calculadora gráfica CASIO, utilizando operações matemáticas numa lista de números (cada número identifica o
coeficiente correspondente à variável na equação). As figuras seguintes ilustram a resolução do sistema de equações
4 x  3 y  z  4 , 2 x  3 y  2 z  2 e 2 x  12 y  7 z  2 .
Adição ordenada L1 –2  L2
Coeficientes de  9 y  5 z  0 Adição ordenada L1 –2  L3
Coeficientes de  7 y  15z  0 Adição –3  L2 + L3
O sistema de equações 4 x  3 y  z  4 , 2 x  3 y  2 z  2 e 2 x  12 y  7 z  2 é equivalente ao sistema
de equações 4 x  3 y  z  4 ,  9 y  5 z  0 e 0 = 0, cuja classificação é possível e indeterminado de grau 1. As
operações das listas devem ser apoiadas com o registo no papel dos resultados pois perdemos a informação das
equações iniciais do sistema, mas podemos colmatar esta falha se utilizarmos as listas de dados no item da Estatística,
presente no menu inicial da calculadora gráfica CASIO. Ver imagens abaixo ilustradas.
Escrita dos coeficientes das equações
Adição ordenada L1 – 2  L2 em L4
Adição ordenada L1 – 2  L3 em L4
Adição ordenada –3  L2 +L3 em L4
O uso das capacidades das calculadoras gráficas não devem ficar apenas por usar a representação de gráficos
de funções, e na determinação de características destes, pois caso contrário não estamos a usufruir das imensas
utilizações em diferentes temas da Matemática, quer no ensino básico ou secundário.
O professor José Luís Freitas