Aula de ANOVA

Análise da Variância
Prof. Dr. Alberto Franke
(48) 91471041
Análise da variância

Até aqui, a metodologia do teste de hipóteses foi utilizada para tirar
conclusões sobre possíveis diferenças entre os parâmetros de dois
grupos.

Frequentemente, é necessário avaliar diferenças entre parâmetros de
vários grupos.

Podemos testar se há diferença significativa entre médias de c (c>2)
grupos de observações, sendo cada grupo formado pelos resultados de
um tratamento (experimento, teste, etc.).

Pode-se desejar comparar:






Materiais
Métodos ou tratamentos alternativos
Processos produtivos novos
Catalisadores de reações químicas
Drogas novas para tratamentos de doenças
Etc.
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Análise da variância

A empresa fabricante de Paraquedas:
Na fábrica de Paraquedas Perfect os paraquedas são tecidos com fibras
sintéticas adquiridas de um entre quatro diferentes fornecedores. Sabe-se que a
característica mais importante de um paraquedas é a resistência. Você como
gerente precisa decidir se as fibras sintéticas de seus quatro fornecedores
resultam em paraquedas de igual resistência. Além disto existem dois tipos de
teares na fábrica: o Chinês e o Coreano. Os paraquedas tecidos nos teares
Chinês e aqueles tecidos nos teares Coreano possuem resistência igual? Mais
ainda, existem quaisquer diferenças nas resistências dos paraquedas que
possam ser atribuídos aos quatro fornecedores, dependendo do tipo de tear
utilizado?
Para responder a estas perguntas, decidiu-se projetar um experimento para
testar a resistência de paraquedas tecidos com fibras sintéticas obtidas dos
quatro fornecedores e pelos dois tipos de teares.
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Análise da variância

Análise da variância de fator único

É fator único quando estamos querendo avaliar apenas uma causa da variação
entre grupos.

A análise estatística para comparação de c grupos independentes é
tradicionalmente feita por uma análise de variância (ANOVA), acompanhada de
um teste F, que, da mesma forma como o teste t, supõe:
1.
2.
3.

As observações devem ser independentes, ou seja, totalmente casualizadas;
As variâncias populacionais devem ser iguais nos c grupos; e
A distribuição das observações em cada grupo deve ser normal
Através da análise da variação nos dados, tanto entre grupos e quanto dentro
dos grupos, as conclusões podem ser tiradas sobre possíveis diferenças entre
médias aritméticas de grupos.

Grupo: fornecedores

Dentro dos grupos: variação nas repetições de cada fornecedor
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Análise da variância

Análise da variância de fator único



Em ANOVA, a variação total dos resultados é subdividida em
variações atribuídas a diferenças entre grupos e variações devidas ao
acaso ou atribuídas a variações dentro dos grupos.
A variação dentro dos grupos é considerada como erro experimental.
A variação entre os grupos é atribuída a efeitos de tratamento.
Variação entre os grupos
(SQE)
g.l. = c-1
Variação Total
(STQ)
g.l. = n-1
Variação dentro dos grupos
(SQD)
g.l. = n-c
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Admitindo que os c grupos que representam as populações, cujas
medidas são extraídas de maneira aleatória e independente, seguem
uma distribuição normal, e possuem variâncias homogêneas, então

A hipótese nula de nenhuma diferença nas médias aritméticas das
populações:


É testada em relação à hipótese alternativa de que nem todas as c
médias aritméticas das populações são iguais:


Ho: 1 = 2 = ... = c
H1: Nem todas as j são iguais (onde j = 1, 2, ...,c)
Para realizar um teste ANOVA de igualdade entre médias aritméticas
das populações, a variação total nas medidas é subdividida em duas
partes:


Aquela devida às diferenças entre os grupos (tratamentos)
Aquela devida à variação dentro dos grupos (erros ou resíduos)
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Variação Total

A variação total é representada através da soma total dos quadrados (STQ).

Como as médias aritméticas da população dos c grupos são assumidos como sendo
iguais no âmbito da hipótese nula.

A variação total é obtida através da soma das diferenças ao quadrado entre cada
observação individual e a média geral ou grande média.

É calculada pela equação:
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Variação entre grupos (tratamentos)

A variação entre grupos, usualmente chamada de soma dos quadrados
entre grupos (SQE) é medida através da soma das diferenças ao quadrado
entre a média aritmética da amostra de cada grupo, e a média geral ,
ponderada com base no tamanho da amostra em cada grupo.

É calculada pela equação:
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Variação dentro do grupo

A variação dentro dos grupos, conhecida como soma dos quadrados
dentro dos grupos (SQD), mede a diferenças entre cada observação e a
média aritmética de seu próprio grupo, e a com soma dos quadrados
dessas diferenças ao longo de todos os grupos.

É calculada pela equação:
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Graus de liberdade:

Uma vez que c níveis do fator estão sendo comparados, existem c-1 graus
de liberdade associados à soma dos quadrados entre grupos (SQE)

Como cada um dos c níveis contribui com n-1 graus de liberdade, existem
n-c graus de liberdade associados a soma dos quadrados dentro dos
grupos (SQD)

Além disto, existem n-1 graus de liberdade associados à soma total dos
quadrados, uma vez que cada observação está sendo comparada com a
média geral ou grande média, baseada em todas as n observações.

Assim:
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Quadrados da média aritmética:

Se dividirmos cada uma dessas somas de quadrados pelos seus graus de
liberdade associados, três variâncias, ou termos de quadrados da média
são obtidos.

Como a variância é calculada através da divisão da soma das diferenças ao
quadrado, pelos graus de liberdade, todos os termos de quadrados da
média correspondem a variâncias.

A estatística do teste F é calculada como sendo igual à razão entre duas
das variâncias, MQE e MQD
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Estatística do teste F:

A estatística do teste F segue uma distribuição F, com c-1 graus de liberdade,
correspondente a MQE no numerador e n-c graus de liberdade correspondente ao
MQD no denominador

Para um dado nível de significância, α, a hipótese nula é rejeitada, se estatística do
teste F calculada for maior do que o valor crítico da causa superior, Fs, a partir da
distribuição F, tendo c-1 graus de liberdade, no numerador e n-c graus de liberdade
no denominador


Rejeita-se Ho se F > Fs (Fc)
Caso contrário, não se rejeita Ho
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Tabela 1 – Tabela resumida da análise da variância um fator
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: medida de resistência à tração dos paraquedas

Deseja-se testar as hipóteses:


Ho: a resistência das fibras dos quatro fornecedores são iguais; e
H1: a resistência das fibras dos quatro fornecedores não são iguais.
Repetições
Grupos (tratamentos)
Fornecedor 1
Fornecedor 1
Fornecedor 1
Fornecedor 1
1
18,5
26,3
20,6
25,4
2
24,0
25,3
25,2
19,9
3
17,2
24,0
20,8
22,6
4
19,9
21,3
24,7
17,5
5
18,0
24,5
22,9
20,4
Média
Desvio-padrão
Grande média
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: medida de resistência à tração dos paraquedas
Repetições
Grupos (tratamentos)
Fornecedor 1
Fornecedor 1
Fornecedor 1
Fornecedor 1
1
18,5
26,3
20,6
25,4
2
24,0
25,3
25,2
19,9
3
17,2
24,0
20,8
22,6
4
19,9
21,3
24,7
17,5
5
18,0
24,5
22,9
20,4
Média
19,52
24,26
22,84
21,16
Desvio-padrão
2,69
1,92
2,13
2,98
Grande média
21,945
depois
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Análise da variância de fator único


Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas
Inspeção visual dos dados através do diagrama de dispersão
depoi
s
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Preenchimento da tabela ANOVA
Fonte de variação
Graus de
liberdade
Entre grupos
(tratamentos)
c–1=4-1=3
Dentro de grupos
(resíduos)
n – c = 20 – 4 = 16
Total
n – 1 = 20 - 1 = 19
Soma dos
quadrados

c = número de grupos (nº de fornecedores)

n = número de observações
Quadrados da
média
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F
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Análise da variância de fator único


Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas
Preenchimento da tabela ANOVA
Fonte de variação
Entre grupos
(tratamentos)
Graus de
liberdade
4-1 = 3
Soma dos
quadrados
SQE = 63,2855
Grupos (tratamentos)
Repetiç
ões
Forn 1
Forn 2
Forn 3
Forn 4
1
18,5
26,3
20,6
25,4
25,3F
25,2
19,9
Quadrados da
2 média24,0
3
17,2
24,0
20,8
22,6
4
19,9
21,3
24,7
17,5
5
18,0
24,5
22,9
20,4
Dentro de grupos
(resíduos)
20–4 = 16
SQD = 97,504
Média
19,52
24,26
22,84
21,16
Total
20-1 = 19
SQT = 160,7895 Desvio
2,69
1,92
2,13
2,98
Grande
21,945

= 5(19,52 - 21,945)² + ... + 5(21,16 - 21,945)² = 63,2855

= (18,5 – 19,52)²+ ... + (26,3-24,26)²+...+ (20,6-22,84)²+...+ (25,4-21,16)²= 97,504

= (18,5-21,945)² +...+ (20,4 – 21,945)² = 160,7895
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Preenchimento da tabela ANOVA
Fonte de variação
Graus de
liberdade
Soma dos
quadrados
Quadrados da
média
F
calculado
Entre grupos
(tratamentos)
4-1 = 3
SQE = 63,2855
MQE = 21,095
3,46
Dentro de grupos
(resíduos)
20–4 = 16
SQD = 97,504
MQD = 6,094
--
Total
20-1 = 19
SQT = 160,7895

= 63,2855/4-1 = 21,095

= 97,504/20-4 = 6,094

= 21,095/6,094 = 3,46
--
F crítico
tabelado
--
• Qual a conclusão?
• Aceitamos ou rejeitamos Ho?
• Há diferença entre as fibras dos
fornecedores quanto à resistência?
• Precisamos definir o F Crítico!
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Preenchimento da tabela ANOVA
Fonte de variação

Soma dos
quadrados
Quadrados da
média
F
calculado
F crítico
tabelado
3,24
Entre grupos
(tratamentos)
4-1 = 3
SQE = 63,2855
MQE = 21,095
3,46
Dentro de grupos
(resíduos)
20–4 = 16
SQD = 97,504
MQD = 6,094
--
Total
20-1 = 19
SQT = 160,7895
--
--
Valor crítico da cauda superior, Fc, a partir da distribuição F:


Graus de
liberdade
No exemplo existem 3 g.l. no numerador e 16 g.l. no denominador
Fc = 3,24
Como a estatística calculada do teste F = 3,46 é maior que F crítico, Fc = 3,24 a
hipótese nula é rejeitada e, conclui-se que existem evidências de uma diferença
significativa na média da resistência à tração das fibras dos fornecedores.
Prof. Franke, 2015
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Por que existem diferenças entre os valores?

Por que as observações não são todas iguais?

Depois de realizar o teste ANOVA de fator único, e encontrar uma
diferença significativa entre fornecedores, precisamos conhecer qual
fornecedor é diferente

Há pelo menos uma combinação de médias significativamente
diferente!

Para determinar exatamente quais fornecedores diferem entre si,
podem ser feitas todas as possíveis comparações, em pares de médias,
entre os fornecedores, utilizando o procedimento de Tukey (Teste
Tukey)
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Aplicação do teste de Tukey

1° - Ordenar as médias referente à resistência dos paraquedas:





24,26
f3 = 22,84
f4 = 21,16
f1 = 19,52
2° - Calcular a diferença absoluta entre todas as possíveis comparação de
médias
 1. |ẍf1 - ẍf2|= |19,52-24,26| = 4,74






f2=
2. |ẍf1 - ẍf3|= |19,52-22,84| = 3,32
3. |ẍf1 - ẍf4|= |19,52-21,16| = 1,64
4. |ẍf2 - ẍf3|= |24,26-22,84| = 1,42
5. |ẍf2 - ẍf4|= |24,26-21,16| = 3,10
6. |ẍf3 - ẍf4|= |22,84-21,16| = 1,68
3° - Obter o intervalo crítico em que há diferença significativa entre médias
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Aplicação do teste de Tukey

3° - Obter o intervalo crítico em que há diferença significativa entre médias




Onde: ∆ = intervalo crítico entre médias;
Qs = é o valor crítico da cauda superior a partir da distribuição de intervalos
de Student, com c g.l. no numerador e n-c g.l. no denominador;
MQD = quadrado da média dentro de grupos (tabela ANOVA);
n = número de repetições

Aplicando a equação acima obtém-se:

Que é a diferença mínima significativa, ou seja, toda diferença entre duas
médias igual ou superior a ∆ = 4,47, é significativa ao nível de 5% de
probabilidade.
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único

Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas

Aplicação do teste de Tukey

4° - Qual a conclusão?

Compara-se o intervalo crítico, ∆, calculado com as diferenças absolutas entre as
média que foi calculado no 2° passo









1. |ẍf1 - ẍf2|= |19,52-24,26| = 4,74
2. |ẍf1 - ẍf3|= |19,52-22,84| = 3,32
3. |ẍf1 - ẍf4|= |19,52-21,16| = 1,64
4. |ẍf2 - ẍf3|= |24,26-22,84| = 1,42
5. |ẍf2 - ẍf4|= |24,26-21,16| = 3,10
6. |ẍf3 - ẍf4|= |22,84-21,16| = 1,68
∆ = 4,47
Como 4,74 > 4,47, pode-se concluir que existe uma diferença significativa, ao
nível de ∝ = 5%, entre as médias dos fornecedores 1 e 2.
Todas as outras diferenças entre pares são pequenas o suficiente, e podem ser
atribuídas ao acaso.
Paraquedas feitos com fibras do fornecedor 1 possuem resistência menor do
que aqueles fabricados utilizando a fibra do fornecedor 2.
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Análise da variância (Anova)
Análise da variância de fator único


Exemplo: Medida de resistência à tração dos paraquedas
Inspeção visual dos dados através do diagrama de dispersão
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Premissas da ANOVA

Como é possível saber se o teste F de fator único foi um procedimento
apropriado?

Para aplicar o teste F ANOVA deve-se assumir as seguintes premissas:
1ª -
Aleatoriedade e independência
Sempre deve estar presente sob risco de afetar
2ª -
as inferências
Normalidade

Enquanto as populações não se afastarem muito da distribuição normal o teste F
ANOVA continua sendo robusto, especialmente para grandes amostras

Quando a premissa da normalidade é seriamente violada, deve-se usar alternativas
não-paramétricas (Kruskal-Wallis ou Wilcoxon)
3ª 


Homogeneidade da variância
A variância dentro de cada população deve ser igual para todas as populações
Se o tamanhos das amostras forem iguais em cada grupo, as inferências baseadas
no teste F não são seriamente afetadas em função de variâncias desiguais
Quando a 2ª e a 3ª premissa tiverem sido violadas, pode-se optar por:
 uma transformação apropriada dos dados pode ser utilizada, de modo a
normalizar os dados e reduzir as diferenças nas variâncias; ou,
 aplicar teste não-paramétricos
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Análise da variância (Anova)

Exercício: Um produtor de vinho queria saber se deveria eliminar, de seu parreiral, as
videiras infestadas pela virose do enrolamento da folha visto que suspeitava que
afetavam o teor de açúcar das uvas. Um enólogo fez um experimento para responder ao
produtor. Diferenciou três tipos de plantas: Plantas sadias, plantas com infecção média
da virose e plantas com infecção severa. Selecionou no parreiral, de forma aleatória, 10
plantas de cada tipo nas quais analisou os teores de açúcar. Obteve os resultados abaixo:
Repetições
Plantas
sadias
Infecção
média
Infecção
severa
Teores de açúcar (gramas/litro)
1
182
143
149
2
182
185
164
3
175
182
175
4
182
182
167
5
167
172
167
6
172
161
149
7
178
170
149
8
154
192
146
9
167
182
158
10
200
172
154
• Houve diferenças entre os tipos de
plantas quanto ao teor de açúcar nas
uvas?
• Qual deve ser a recomendação do
enólogo?
• Para saber, faça a análise da variância
e a comparação das médias entre os
grupos de plantas.
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