Aceleração Constante

Aceleração Constante
Objetivos:
●
●
Encontrar as equações do movimento a
aceleração constante e traçar uma
metodologia para resolução destes
problemas;
Detalhar o movimento de Queda Livre para
um corpo próximo à superfície da Terra.
Aceleração Constante
Algumas considerações sobre Aceleração Constante:
●
●
A equação da posição no tempo é uma equação de
2º grau;
A aceleração do movimento é igual a aceleração
média em qualquer intervalo;
̄a=a=const.
●
A velocidade média é igual a média aritmética de
duas velocidades no mesmo intervalo.
Δ x v f +v i
=
̄v =Mv ⇒
Δt
2
Aceleração Constante
Considere o problema a aceleração constante
esquematizado abaixo:
ti
xi
tf
a
vi
xf
vf
Para simplificar o estudo será assumido:
●
●
●
O problema inicia no instante 0s (ti = 0);
A velocidade inicial será chamada de v0 e final de
v.
Por conveniência: Δ x=x f −x i
Aceleração Constante
Observe que se trata de um problema de 5 possíveis
variáveis:
●
Variação da posição - Δ x=x f −x i
●
Velocidade inicial -
v i=v 0
●
Velocidade final -
v f =v
●
Aceleração -
●
Tempo -
a
t f =t ; t i=0
Aceleração Constante
Equações disponíveis para tratar o problema:
Condições de Movimento a
Aceleração Constante
Definições aplicáveis a
qualquer problema:
(a) a=̄a =const.
Δv
(c) ̄a =
Δt
Δx
(d) ̄v =
Δt
(b) ̄v =Mv
v f + vi
(e) Mv=
2
Aceleração Constante
Inicialmente utilize as equações (a) e (c):
(a) e (c):
a=ā
Δ v v f −v i v−v 0
a=
=
=
Δ t t f −t i t−0
v−v 0
⇒ a t=v−v 0
a=
t
v=v 0+ a t
(eq-01)
Aceleração Constante
Utilizando as demais equações:
(b), (d) e (e):
̄v =Mv
Δ x v f +v i
=
Δt
2
Δ x v+ v 0
=
t
2
(v+ v 0)t
Δ x=
2
v f +v i
Δx
⇒
=
t f −t i
2
(eq-02)
Aceleração Constante
Como todas as equações já foram usadas, isto leva a
duas constatações:
●
●
existe apenas duas equações linearmente
independentes para resolver este problema;
num problema de aceleração constante pode ter
apenas duas incógnitas.
Aceleração Constante
O próximo passo é gerar outras três equações
(linearmente dependentes) a partir das duas
encontradas.
(eq-01) → (eq-02)
(v + v 0)t [(v 0 +a t )+ v 0 ] t
t
t2
=2 v 0 +a
Δ x=
=
2
2
2
2
1 2
Δ x=v 0 t+ a t
2
(eq-03)
Aceleração Constante
Agora resolve a (eq-01) para v0 e substitui na (eq-02)
v 0 =v−a t
2
(v+v 0)t
t
t
t
=[v +(v−a t )] =2 v −a
Δ x=
2
2
2
2
1 2
Δ x=v t− a t
2
(eq-04)
Aceleração Constante
Agora resolve a (eq-01) para t e substitui na (eq-02)
v−v 0
t=
a
(v+v 0)t
(v+ v 0 )
(v+v 0 ) (v−v 0)
Δ x=
=
t =
⋅
2
2
2
a
2
2
0
(v −v )
2
2
⇒ 2 a Δ x=v −v 0
Δ x=
2a
2
2
v =v 0 + 2 a Δ x
(eq-05)
Aceleração Constante
As 5 equações para movimento a Aceleração
Constante e algumas considerações:
Grandeza ausente
v=v 0+ a t
(v+ v 0)t
Δ x=
2
1 2
Δ x=v 0 t+ a t
2
1 2
Δ x=v t− a t
2
2
2
v =v 0 + 2 a Δ x
Δx
a
v
v0
t
Aceleração Constante
●
●
●
existem 5 grandezas em um problema a aceleração
constante: (Δ x ; v 0 ; v ; a ; t )
existem 5 equações com um conjunto de diferentes
4 grandezas cada, ou seja cada equação possui
uma grandeza ausente;
somente 2 equações são linearmente
independentes ⇒ o problema pode ter apenas 2
grandezas desconhecidas;
–
Já que apenas 2 grandezas podem ser
desconhecidas ⇒ o enunciado do problema
deve apresentar 3 grandezas.
Aceleração Constante
Como de fato existe apenas duas equações
linearmente independente, em um problema de
Aceleração Constante se pode empregar uma
estratégia simples para resolvê-los:
1.leia a questão e localize 3 grandezas conhecidas;
2.localize a 4ª grandeza solicitada;
3.escolha uma equação que não possua a grandeza
não mencionada.
Aceleração Constante
Ex 1: Um veículo se move em uma pista linear quando
é obrigado a desacelerar a uma taxa constante até
atingir a velocidade de 50km/h, em um espaço de
100m. Se a desaceleração ocorreu em apenas 5,0s,
qual a velocidade inicial deste movimento?
Conhecido:
Solicitado:
v=50km /h=13,89 m/ s
Δ x=100m
t=5,0 s
v 0 =?
Usar a equação que não possui a aceleração, já que
esta não foi mencionada da questão:
Aceleração Constante
Utilizando a equação 2:
(v+ v 0)t
(13,89+ v 0 )5,0
Δ x=
⇒ 100=
2
2
200
=13,89+ v 0 ⇒ v 0=26,11 m/ s=94 km/ h
5
Queda Livre
O movimento de Queda Livre é um movimento de
Aceleração Constante desde que:
●
●
●
a queda ocorra em curtas distâncias ou
os efeitos do atrito com o ar sejam suprimidos e
pouco relevantes para o movimento;
a queda ocorre próximo à superfície da Terra
(distâncias muito menores que o raio terrestre)
Nestas circunstâncias a aceleração de um corpo em
queda livre pode ser considerada constante, de
módulo:
g=9,8 m/ s
2
Queda Livre
Para este movimento será utilizado o eixo-y como
eixo vertical, apontando sempre para cima:
y
a y =−g
Observe que não
importando o movimento
a aceleração da
gravidade aponta
SEMPRE para baixo!
Queda Livre
Neste contexto, as grandezas do movimento são:
a y =−g
aceleração da gravidade
Δy
variação da posição vertical
v 0y
velocidade inicial vertical
vy
velocidade final vertical
t
tempo
g=9,8 m/ s
2
módulo da aceleração da gravidade
Aceleração Constante
Alterando as equações para Queda Livre:
Movimento horizontal
Queda Livre
v=v 0+ a t
v y =v 0y −g t
(v+ v 0)t
Δ x=
2
1 2
Δ x=v 0 t+ a t
2
1 2
Δ x=v t− a t
2
2
2
v =v 0 + 2 a Δ x
(v y + v 0y )t
Δ y=
2
1 2
Δ y=v 0y t− g t
2
1 2
Δ y=v y t+ g t
2
2
2
v y =v 0y −2 g Δ y
Aceleração Constante
Algumas observações sobre resolução de problemas
de Queda Livre:
●
●
●
2ª equação se torna dispensável, uma vez que não
possui uma grandeza conhecida, g;
o texto deve conter apenas duas grandezas, uma
vez que g é conhecido;
muita atenção às grandezas velocidade inicial, final
e variação da posição vertical. Estas são
especialmente sensíveis ao referencial adotado.
Aceleração Constante
Ex 01: Uma esfera é arremessada para o alto,
retornando a mão do lançador 3,0s após.
(a) qual a velocidade com que a esfera atinge a mão
do lançador?
2
yi
yf
g=9,8 m/ s
t=3,0 s
Δ y= y f − y i=0
v y =?
Equação que envolva as
quatro grandezas:
1 2
Δ y=v y t + g t
2
2
0=v y⋅3+ 4,9⋅3
v y =−14,7 m/ s
Aceleração Constante
(b) Qual a maior altitude alcançada pela esfera?
yi
g=9,8 m/ s
2
t '=3,0 s /2=1,5 s
v y =−14,7 m/ s
yf
Δ y '=?
Equação que envolva as
quatro grandezas:
1
2
Δ y '=v y t '+ g t '
2
2
Δ y '=−14,7⋅1,5+ 4,9⋅1,5
Δ y '=−11,0 m