Notas de aulas e Listas de exercícios - SOL
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA I Goiânia - 2013 ELETROMAGNETISMO As ciências da eletricidade e do magnetismo se desenvolveram separadamente durante séculos. Em 1820 Hans Christian Oersted verificou que uma corrente elétrica em um fio consegue defletir a agulha magnética de uma bússola, encontrando uma ligação entre as duas ciências e dando origem a uma nova ciência o eletromagnetismo. Nesta disciplina iremos estudar os fenômenos eletromagnéticos. CARGA ELÉTRICA Na antiguidade os filósofos gregos já sabiam que ao se esfregar um pedaço de âmbar (resina de árvore fossilizada) com pele de animal ele adquiria a propriedade de atrair objetos leves. Descrevendo esta propriedade nos dias de hoje, diz-se que o âmbar está eletrizado ou que possui uma carga elétrica ou, ainda, que está eletricamente carregado. Estes termos são derivados da palavra grega elektron, que significa âmbar. A carga elétrica, assim como a massa, é uma propriedade fundamental e característica intrínseca das partículas elementares que constituem a matéria; ou seja, é uma propriedade associada à própria existência dessas partículas. Com efeito, toda matéria é composta de átomos, estes por sua vez são compostos por prótons (possuem carga positiva), nêutrons (não possuem carga) e elétrons (possuem carga negativa). Os termos usados para nomear os dois tipos de cargas (positiva e negativa) foram escolhidos arbitrariamente por Benjamim Franklin. CORPO ELETRIZADO Um corpo em seu estado normal, não eletrizado, possui um número de prótons igual ao número de elétrons. Se este corpo perder elétrons, estará com excesso de prótons, isto é, apresentar-se-á eletrizado positivamente. Se ele receber elétrons, possuirá um excesso destas partículas e estará eletrizado negativamente. A unidade de carga elétrica no SI é o coulomb (C), sendo comum o uso dos submúltiplos seguintes: 1 mC (milicoulomb ) = 10-3 C 1 C (microcoulomb ) = 10-6 C 1 nC ( nanocoulomb ) = 10-9 C 1 pC ( picocoulomb ) = 10-12 C A CARGA ELÉTRICA É QUANTIZADA Na época de Benjamin Franklin, imaginava-se que a carga elétrica era um fluído contínuo. Experimentos mostram que a carga elétrica só pode ter valores discretos, sendo que estes valores são sempre múltiplos da carga elementar ( e 1,6 1019 C ). Quando uma grandeza Física, tal como a carga, só pode ter valores discretos em vez de qualquer valor, dizemos que esta grandeza é quantizada. A carga elementar (e) é uma das importantes constantes da natureza. A carga do elétron é - e , e a carga do próton é + e. Para a determinação da quantidade de carga elétrica (q) que um corpo possui, utiliza se a expressão: q ne onde: e 1, 6 1019 C carga elementar n é a diferença entre o número de elétrons e prótons do corpo PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA PRINCÍPIO DA ATRAÇÃO E REPULSÃO Corpos carregados interagem exercendo forças uns sobre os outros, sendo que, corpos com cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais opostos se atraem. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DAS CARGAS ELÉTRICAS A carga elétrica não pode ser criada, nem destruída. A carga total de um sistema isolado não pode variar, sendo que as cargas podem ser reagrupadas e combinadas de modos diferentes. Todavia, podemos estabelecer que a carga líquida é conservada num sistema isolado, ou seja, num sistema eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas positivas e negativas é constante. qT 1 qT 2 CONDUTORES Os sólidos que, como os metais, possuem elétrons livres em seu interior, permitem o deslocamento de carga elétrica através deles, sendo, por este motivo, denominados “condutores de eletricidade”. ISOLANTES Ao contrário dos condutores, existem sólidos nos quais os elétrons estão firmemente ligados aos respectivos átomos. Portanto, “não será possível“ o deslocamento de carga elétrica através destes corpos, os quais são denominados isolantes elétricos, ou dielétricos. SEMICONDUTORES Os semicondutores, dentre os quais citamos o silício e o germânio, são materiais que pertencem a uma classe intermediária entre os condutores e os isolantes. A revolução da microeletrônica se deve principalmente aos dispositivos construídos usando materiais semicondutores. SUPERCONDUTORES Os supercondutores não oferecem resistência ao movimento da carga elétrica através deles. Se for estabelecida uma corrente elétrica, em um anel supercondutor, ela permanecerá “para sempre”, sem necessidade de uma bateria ou outra fonte de energia para mantê-la. TIPOS DE ELETRIZAÇÃO ELETRIZAÇÃO POR ATRITO Experiências bem simples podem ser feitas para verificar a eletrização por atrito. Como exemplo podemos citar o fato de um canudo de refresco, após ser atritado com um pedaço de lã, atrair pequenos pedaços de papel. Na eletrização por atrito os corpos adquirem cargas de mesmo módulo e sinais opostos. Série Triboelétrica ELETRIZAÇÃO POR CONTATO Na eletrização por contato os corpos ficam com cargas de mesmo sinal, o valor da carga de cada um dos corpos, após o contato, depende da capacidade de cada um deles armazenar cargas. Observações: I - Para condutores de mesmas dimensões e mesma forma e mesmo material, após o contato eles terão cargas iguais. II - Se ligarmos um condutor eletrizado à Terra, o mesmo ficará praticamente descarregado. ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO Na eletrização por indução, não há contato direto entre os corpos. Basta aproximar um corpo carregado (indutor) de um corpo neutro a ser carregado (induzido). O induzido deve ser ligado temporariamente à Terra ou a um corpo maior que lhe forneça elétrons ou que dele os receba. Na eletrização por indução, o induzido eletriza-se com carga de sinal contrário à do indutor. A carga do indutor não se altera. OBS: devido ao fenômeno da indução pode ocorrer atração entre um corpo neutro e outro eletrizado. CARGA ELÉTRICA PUNTIFORME (OU PONTUAL) Uma carga puntiforme ou pontual é aquela que está distribuída em um corpo cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as demais dimensões envolvidas no problema. Nosso próximo assunto será um estudo sobre a força elétrica entre cargas puntiformes. Sendo a força uma grandeza vetorial, este estudo exige um conhecimento sobre operações vetoriais, portanto consideramos importante uma revisão sobre a representação e a soma de vetores. SOMA DE VETORES Para o caso particular de dois vetores, a e b , de mesma direção e mesmo sentido, a soma, s , é um vetor na mesma direção e sentido dos vetores dados e o seu modulo é igual à soma dos módulos de a e b . Se, a e b têm a mesma direção e sentidos contrários, o módulo do vetor soma é dado pela diferença dos módulos de a e b sendo a sua direção e sentido, as mesmas do vetor de maior módulo. Estes casos estão representados nas figuras abaixo. s=a+b Se dois vetores não possuírem a mesma direção, a soma dos vetores pode ser dada pela regra do paralelogramo, que consiste em juntar as origens dos vetores e fechar um paralelogramo, o vetor resultante será dado pela diagonal deste paralelogramo, como está representado na figura abaixo. O módulo do vetor resultante da soma entre os dois vetores a e b , pode ser calculado pela seguinte formula: s = a 2 + b2 + 2ab cos s2 = a 2 + b2 + 2ab cos a b onde : s, a, b são os módulos dos vetores s , a e b . é o angulo entre os vetores a e b . Quando = 90o, temos que: s = a 2 + b2 SOMA DE VETORES POR MEIO DE SUAS COMPONENTES A componente de um vetor, segundo uma direção, é a projeção ( ortogonal ) do vetor naquela direção. Por exemplo, V x é a componente do vetor V sobre o eixo x e V y é a componente ao longo do eixo y. DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR Ao determinarmos as componentes retangulares de um vetor V , encontramos dois vetores V x e V y que , em conjunto , podem substituir o vetor V , pois , V = V Temos que: sen = Vy / V cos = Vx / V tg = Vy / Vx Vy = V sen Vx = V cos x + V y. Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes V x e V y quando conhecemos o módulo do vetor V e o ângulo que ele forma com o eixo OX. Quando conhecermos os valores das componentes V x e V y, o módulo do vetor V poderá ser obtido por. V = Vx 2 + Vy 2 VETORES UNITÁRIOS: Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo exatamente igual a um e que aponta uma direção particular. O vetor unitário não possui unidade, e seu único propósito é especificar uma direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamados de i , j e k . A disposição dos eixos da figura abaixo é chamada de sistema de coordenadas dextrogiro. O sistema permanece dextrogiro se ele for girado rigidamente até uma nova orientação. Usaremos exclusivamente tal sistema de coordenadas nesta disciplina. Os vetores podem ser escritos em função dos vetores unitários, por exemplo, um vetor V pode ser escrito como: V Vx i Vy j Vz k . A soma de dois vetores A e B , cada um representado por suas componentes, pode ser escrita em termos dos vetores unitários da seguinte forma: S Ax Bx i Ay By j Az Bz k Observação: As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas. EXERCÍCIO 1. Na figura abaixo estão representadas os vetores A, B e C . Determine, em termos de vetores unitários, e como um módulo, direção e sentido os vetores resultantes R : Dados os módulo dos vetores: A = 9 cm; B = 8 cm; C = 6 cm a) b) c) d) A B AC BC A B C RESPOSTA: a). ˆ R1 = (0,27iˆ + 7,25j)cm; 7,25cm c). ˆ R3 = (-10,52iˆ - 2, 46j)cm; 10,80cm y y x R1 87,87º 13,16º R3 x ˆ 4,84cm b). R2 = (4,79iˆ - 0,7j)cm; ˆ 3, 41cm d). R 4 = (-2,73iˆ + 2,04j)cm; R4 y y x 8,3º 36,77º x R2 LEI DE COULOMB Em 1785, o Francês Charles Augustin de Coulomb realizou experimentos que comprovaram que a força elétrica entre cargas puntiformes obedecia a seguinte relação (chamada de lei de Coulomb): A força elétrica, de atração ou repulsão, entre duas cargas puntiformes atua na direção da linha reta que passa pelas cargas. Ela é diretamente proporcional ao produto destas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A equação matemática que representa esta lei, no vácuo, é a seguinte: F K0 Q1 Q1.Q2 d2 Q2 d onde: K0 8,99 109 Nm2 / C 2 ( é a constante eletrostática no vácuo ) A força que a carga Q1 exerce em Q2 ( F12 ) e a força que a carga Q2 exerce em Q1 ( F21 ) formam um par ação e reação (3o lei de Newton). A direção da força sobre cada partícula é sempre ao longo da linha que as liga, puxando uma de encontro à outra, no caso de forças atrativas em cargas de sinais diferentes, e empurrando-as para fora, no caso de forças repulsivas em cargas de sinais iguais. Observe que F12 e F21 possuem mesmo módulo F12 F21 . A constante eletrostática K 0 pode ser escrita como 1 / (40), onde 0 é outra constante. Embora isto pareça uma complicação, na verdade, essa mudança simplifica algumas fórmulas a serem encontradas mais tarde. A lei de Coulomb torna-se então: F 1 Q1.Q2 4 0 d2 onde: o = 8,85 10 –12 C 2 / N. m2 (Constante de permissividade no vácuo). Suponhamos, agora, que as cargas fossem colocadas no interior de um meio material qualquer (por exemplo, poderiam estar mergulhadas em água, em óleo etc.). Verifica-se, neste caso, que a força de interação entre elas sofre uma redução maior ou menor, dependendo do meio. Este fator de redução denomina-se constante dielétrica do meio. Como exemplo, podemos citar a água, cuja constante dielétrica é 81. Então, se as cargas forem levadas do vácuo para a água, a força de interação elétrica entre elas torna-se 81 vezes menor do que no vácuo. A força eletrostática obedece ao princípio da superposição. Quando duas ou mais cargas exercem forças simultânea sobre uma dada carga, observa-se que a força total sobre esta ultima é a soma vetorial das forças que as várias cargas exerceriam individualmente sobre ela. CONDUTORES ESFÉRICOS Qualquer excesso de carga colocado numa casca esférica feita de um material condutor se espalhará uniformemente sobre a superfície (externa) da casca. Por exemplo, se colocarmos elétrons em excesso sobre uma casca metálica esférica, esses elétrons repelem-se uns aos outros e tendem a se afastar, espalhando-se sobre a superfície disponível até que eles estejam uniformemente distribuídos. Para o caso de condutores não esféricos, a carga em excesso também se espalhará em sua superfície externa, mas, não de maneira uniforme (poder das pontas). Uma casca esférica uniformemente carregada atrai ou repele uma partícula carregada, exterior à casca, como se toda a carga estivesse concentrada em seu centro. Uma casca esférica uniformemente carregada não exerce nenhuma força eletrostática resultante sobre uma partícula carregada que esteja localizada em seu interior. EXERCÍCIOS 2. 3. Corpos neutros podem ser atraídos por uma barra eletrizada. Como isso é possível? (a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objeto suspenso por um fio não condutor. Podemos concluir que o objeto está com carga negativa? (b) Uma barra de vidro positivamente carregada repele um objeto também suspenso por um fio não condutor. Podemos concluir que esse objeto está positivamente carregado? 4. Experiências eletrostáticas simples, como atrair pedaços de papel com barras eletrizadas, não funcionam tão bem em dias chuvosos (alta umidade relativa do ar) como nos dias secos (baixa umidade do ar). Por quê? 5. Caminhões de transporte de combustível às vezes são dotados de corrente penduradas na extremidade traseira, que se arrastam pelo solo. Qual o motivo deste procedimento? 6. Um elétron (carga = - e) gira ao redor de um núcleo de hélio (carga = + 2 e) em um átomo de hélio. A força elétrica que o elétron exerce sobre o núcleo é maior, menor ou igual à força elétrica que o núcleo exerce sobre o elétron? 7. O esquema abaixo mostra três cargas puntiformes fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q2 (b) Que atua na carga Q3. R: a) 1,29 N, na direção horizontal e sentido para direita. R: b) 3,6 10-2 N, na direção horizontal e sentido para direita. Q1 =36C Q2= 16C 2m Q3= 2C 4m horizontal 8. A figura abaixo mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas a uma distância fixa d uma da outra. (a) Qual é o módulo da Força eletrostática que atua sobre q1? Suponha q1 = q2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma terceira carga q3 = 20,0 C é trazida e colocada na posição mostrada na Fig.01b. Qual é agora o módulo da força eletrostática que atua sobre q1? R: 1,6N; 2,77 N 9. Duas esferas condutoras idênticas e isoladas, 1 e 2, possuem quantidades iguais de carga e estão separadas por uma distância grande comparada com seus diâmetros (figura a). A força eletrostática que atua sobre a esfera 2 devida à esfera 1 é F . Suponha agora que uma terceira esfera idêntica 3, dotada de um suporte isolante e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera 1 (figura b), depois a esfera 2 (figura c) e, em seguida, seja afastada (figura d). Em termos de esfera 2? R: 10. F , qual a força eletrostática F ' que atua agora sobre a F ' ’ = 3 F /8 Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d, como mostra a figura abaixo. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3, que é livre para mover-se, encontra-se em equilíbrio (nenhuma força eletrostática líquida atua sobre ela). Determine q1 em termos de q2. R: q1 4q2 11. As cargas q1 e q2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x = -a e x =+a, respectivamente. (a) qual deve ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática líquida sobre a carga + Q, colocada no ponto x = +a/2, seja nula? (b) Repita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto x =+3a/2. R: a) q1 = 9q2 ; b) q1 = - 25q2 12. Na figura abaixo, quais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante que atua sobre a carga no vértice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10-7 C e a = 5,0 cm? R: 0,169N 0,047N 13. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da terceira carga. R:-4q/9, L/3 de +q, entre as duas cargas. 14. Uma carga Q é dividida em duas partes q e (Q – q), que são, a seguir, afastadas por certa distância entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima. R: q=Q/2 15. Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha tão pequeno que tan possa ser substituída por sen com erro desprezível. (a) Mostre que, para o equilíbrio, q2L x 2 0 mg 1/ 3 , Onde x é a separação entre as bolas. (b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm. Qual o valor de q? R: 2,4 . 10 –8 C 16. Um nêutron consiste em um quark “up” de carga +2e/3 e dois quarks “down” cada um tendo carga de – e/3. Se os quarks down estiverem a uma distância de 2,6 x 10-15 m um do outro, dentro do nêutron, qual será o módulo da força eletrostática entre eles? R: 3,79 N 17. Qual deve ser a distância entre dois prótons pra que o módulo da força eletrostática atuando sobre qualquer um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton = 1,67 x 10-27 kg. R: 0,12 m CAMPO ELÉTRICO É fácil verificar experimentalmente que existe força elétrica entre dois corpos, mesmo estando eles separados por certa distância. O conceito de campo elétrico está relacionado com a necessidade de explicar este fenômeno de ação à distância. Quando aproximamos duas cargas uma da outra, cada carga gera um campo elétrico na região onde está localizada a outra e este campo é o responsável pela força elétrica entre elas. Em outras palavras, consideramos que a força elétrica que atua entre as cargas é devido à ação do campo elétrico e não à ação direta entre as cargas. Dizemos que em um ponto do espaço existe um campo elétrico quando uma carga q, colocada neste ponto, sofrer a ação de uma força de origem elétrica. Se colocarmos uma carga de prova q, num ponto A, onde existe um campo elétrico E , a carga de prova sofre ação de uma força elétrica dada por: F qE E F q Devemos observar que a relação entre os módulos destas grandezas é: F q E . Sendo o campo elétrico uma grandeza vetorial, suas propriedades são determinadas quando, tanto a intensidade quanto sua direção são especificadas. Com base na equação vetorial F qE , obtemos a relação entre a direção e o sentido dos vetores F e E . A direção do campo E é sempre a mesma da força F . - Se q > 0, F e E têm o mesmo sentido. - Se q < 0, F e E têm sentidos opostos. Em resumo: Uma carga positiva, colocada em um ponto onde existe um campo elétrico E , tende a se deslocar no sentido deste campo, e uma carga negativa tende a se deslocar em sentido contrário ao do campo. Observação: É importante salientar que a existência do campo elétrico em um ponto não depende da presença da carga de prova naquele ponto, então, o sentido do campo elétrico num ponto não depende do sinal da carga de prova colocada nesse ponto. A unidade do campo elétrico no SI, é o newton por coulomb ( N / C ). CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR CARGAS PUNTIFORMES. Para determinarmos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme Q (ou partícula carregada) em qualquer ponto a uma distância d da carga Q, colocamos uma carga de teste positiva q nesse ponto. Usando a lei de Coulomb e a relação entre força e o campo elétrico, podemos encontrar a equação que nos permite calcular o valor do campo elétrico, gerado pela carga Q, num ponto A, a uma distância d da carga Q. Q A d E F q mas : F K 0 Q q d2 então : E Onde: K0 Q q d2 E K Q 0 q d2 E é o campo elétrico, gerado pela carga Q, no ponto A. d é a distância da carga Q até o ponto A. O módulo do campo elétrico também pode ser escrito como: E Q 4 0 d 2 1 onde: o = 8,85 10 –12 C 2 / N. m2 (Constante de permissividade no vácuo) Na equação acima, podemos verificar que a intensidade do campo elétrico, gerado por uma carga puntiforme, em um dado ponto, é diretamente proporcional à intensidade da carga que gera o campo e inversamente proporcional ao quadrado da distância da carga até o ponto considerado. Observe nesta equação, que o campo elétrico não depende da carga de prova q. DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPO ELÉTRICO: Podemos recorrer novamente à carga de prova q, para determinarmos a direção e o sentido do campo elétrico em qualquer ponto ao redor da carga Q. Se colocarmos a carga de prova positiva q em qualquer ponto próximo a Q, ela sofrerá uma força de atração se Q for negativa e de repulsão se Q for positiva. Como a força elétrica que atua nesta carga de prova q, tem a mesma direção e sentido do campo elétrico em cada ponto. Podemos deduzir que a direção do campo elétrico E em qualquer ponto, é a mesma da reta que contém Q e este ponto, sendo que o sentido de E , é de afastamento de Q, se Q > 0, e de aproximação de Q, se Q < 0. Observe que usamos uma carga de prova positiva, mas poderíamos usar uma carga de prova negativa para chegar à mesma conclusão (o campo elétrico em um ponto não depende da carga de prova colocada neste ponto). Resumindo: Se a carga for positiva, teremos o sentido do campo elétrico se afastando da carga geradora, se a carga for negativa, teremos o sentido do campo elétrico aproximando da carga geradora. CAMPO ELÉTRICO DE VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES O campo elétrico resultante, gerado por várias cargas puntiformes num determinado ponto, é dado pela soma vetorial dos campos gerados por cada uma das cargas neste ponto. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO (OU LINHAS DE FORÇA) O conceito de linhas de campo elétrico foi introduzido por Michael Faraday (1791 – 1867), para ajudar a visualizar o campo elétrico. A relação entre as linhas de campo e os vetores que representam o campo elétrico é a seguinte: As linhas de campo são traçadas de tal modo que, em cada ponto, o vetor E seja tangente a ela. Em qualquer ponto, o campo elétrico resultante tem uma única direção, portanto, somente uma linha de campo pode passar em cada ponto do campo. Em outras palavras, linhas de campo elétrico nunca se interceptam. O número de linhas de campo, por unidade de área, medido em um plano perpendicular às linhas, é proporcional à intensidade de E , ou seja, as linhas de campo são traçadas mais próximas umas das outras nas regiões onde o campo elétrico é mais intenso. Devemos observar que as linhas de campo elétrico são muito úteis para visualizar as configurações de campo elétrico, mas não são eficientes no cálculo dos valores desse campo. CAMPO ELÉTRICO UNIFORME Dizemos que um campo elétrico é uniforme, em uma dada região do espaço, quando ele apresentar o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido em todos os pontos desta região. As linhas de força que representam um campo elétrico uniforme são retas paralelas e equidistantes. Na figura abaixo estão representadas algumas configurações de cargas com suas respectivas linhas de campo elétrico. Carga pontual positiva Esfera com carga negativa Duas cargas pontuais de mesmo módulo e sinais opostos – dipolo Duas cargas pontuais positivas Campo elétrico uniforme COMPORTAMENTO DE UM CONDUTOR ELETRIZADO. Se um condutor eletrizado estiver em equilíbrio eletrostático, as cargas elétricas em excesso estarão distribuídas em sua superfície externa. O campo elétrico no interior de um condutor, em equilíbrio eletrostático, é nulo, e em pontos externos e próximos da superfície deste condutor E será perpendicular a ela. O interior de um condutor fica blindado contra influências elétricas, provenientes de cargas situadas no exterior desse condutor. A carga elétrica distribuída na superfície de um condutor que apresenta pontas tem a tendência de se acumular nessas pontas. Essa propriedade é denominada “poder das pontas”. EXERCÍCIOS 18. As linhas de campo elétrico nunca se cruzam. Por quê? 19. Duas cargas puntiformes de módulos e sinais desconhecidos estão separadas por uma distância d. O campo elétrico é nulo num ponto do segmento que une as cargas. O que se pode concluir sobre essas cargas? 20. Duas cargas puntiformes de sinais e módulos desconhecidos estão fixas sobre um eixo a uma distância L uma da outra. Podemos ter o campo elétrico resultante nulo para pontos fora do eixo (excluindo o infinito)? Explique. 21. Duas cargas, uma positiva e outra negativa, de módulos iguais, estão situadas sobre uma linha reta. Qual a direção e o sentido do campo elétrico criado por essas cargas em pontos sobre a linha, e que estejam (a) entre as cargas, (b) fora da região entre as cargas e próximos da carga positiva, e (c) fora da região entre as cargas e próximos da carga negativa? (d) Qual a direção e o sentido de E para pontos fora da linha e no plano mediano das cargas? 22. Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 50 cm, tem módulo igual a 2,0 N/C? R: 5,5x 10-11 C 23. Seja E o módulo do campo elétrico, gerado por uma carga puntiforme Q, e r a distância da carga até um ponto. Represente os seguintes gráficos: a) E Q ; 24. b) E r; c) E (1 / r2). O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 108 N/C, na direção horizontal e sentido para a direita. a) No ponto A. b) No ponto B. Q1 = 64 .10- 6 C 2 cm 25. Q2 = 64 . 10- 6 C A 2 cm B 4 cm horizontal Duas cargas puntiformes de módulos Q1 = 2,0 x 10-7 C e Q2 = 8,5 x 10-8 C estão separadas por uma distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde está a outra? (b) Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas? R: a) E1 = 1,25 . 10 5 N/C e E2 = 5,31 . 10 4 N/C ; b) 1,1 . 10 -2 N 26. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo 2,0 10-7 C) são mantidas a uma distância de 15 cm uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia distância entre as cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que atuaria sobre um elétron colocado nesse ponto? R: a) 6,4x10 5 N/C na direção da carga negativa; b) 1,024x10 –13 N na direção na carga positiva. 27. Na figura abaixo, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo elétrico resultante é nulo. R:1,72a, à direita da carga + 2q. 28. Na figura abaixo, as cargas +1,0q e –2,0q estão fixas a uma distância d uma da outra. (a) Determine E nos pontos A, B e C. (b) Esboce as linhas do campo elétrico. R: E A K0q 2d , para a esquerda ; EB 2 12 K0 q d2 , para a direita ; EC 7 K0 q 4d 2 , para a esquerda 29. Duas cargas q1 = 2,1x10-8 C e q2 = -4 q1 estão fixas a uma distância de 50 cm uma da outra. Determine, ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero. R: 0,5 m de q1 e a 1,0 m de q2 30. Na figura abaixo, qual o campo elétrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q1 = +5q, q2 = +5q, q3 = +3q e q4 = -12q. R: ER = 0 31. Determine o módulo do campo elétrico resultante, gerado pelas cargas q1=q2= e e q3=2e, no ponto P da figura abaixo. Adote a 6,00 10 R: 6 m 1 4e ; 160 N/C. Este campo aponta em 45°, em relação ao eixo x. 4 0 a 2 32. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da figura abaixo, sabendo que q1 =+1,0 10-8 C, q2 =-2,0 10-8 C, q3 =+2,0 10-8 C e q4 = -1,0 10-8 C e a = 5,0 cm. R: 1,02x105N/C 33. Um elétron é liberado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,00 x 102 N/C. Calcule a aceleração do elétron. (Ignore a gravidade.) me = 9,11 x 10 -31 kg. R: 3, 2 10 34. 17 N ; 3,5 1013 m / s 2 Ar úmido sofre ruptura elétrica (suas moléculas tornam-se ionizadas) num campo elétrico de 3,0 x 106 N/C. Nesse campo, qual é o módulo da força eletrostática que atua sobre (a) um elétron e (b) um íon em que falta um elétron? R: 4,8 10 13 N ; 4,8 1013 N CAMPO ELÉTRICO GERADO POR DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS Vimos que o campo elétrico gerado por várias cargas puntiformes pode ser calculado por meio da soma vetorial do campo elétrico gerado por cada uma das cargas num determinado ponto. Em situações práticas, os campos elétricos são frequentemente criados por cargas distribuídas sobre superfície de condutores de dimensões finitas, em vez de cargas puntiformes. O campo elétrico para estas distribuições contínuas de cargas, em determinado ponto, pode ser calculado subdividindo a carga total em quantidades infinitesimais de cargas dq e somando vetorialmente um número infinito das contribuições do campo elétrico gerado por cada um dos elementos de carga dq naquele ponto. Esta soma é feita usando uma integral vetorial. No cálculo do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de cargas é comum expressar a carga de um objeto em termos de uma densidade de carga (linear, superficial ou volumétrica). A densidade linear de carga (λ), a densidade superficial de carga (σ) e a densidade volumétrica de carga (ρ) são dadas respectivamente por: q s q A q V Onde: s representa o comprimento, A a área e V o volume. Como exemplo do cálculo de campo de uma distribuição contínua de carga, vamos calcular o campo elétrico a uma distância z sobre o eixo central de um anel fino, não condutor e uniformemente carregado com uma carga positiva q. As componentes horizontais se anulam e as verticais se somam. Como: dq ds , temos: dq ds K0 2 2 r r 2 2 2 mas : r R z então : ds dE K 0 2 R z2 dE K 0 Mas temos ainda: cos z cos r dE cos z R2 z 2 K0 então: z K0 z R z 2 ds ds 2 2 2 2 3/2 R z R z 2 Integrando: 2 R ET dE cos 0 ET K0 z R2 z 2 3/2 2 R K0 z R2 z 2 3/2 ds 0 2 R q ET K 0 2 R z R 2 z2 3/2 K 0 qz ET 2 2 3/2 R z Na expressão acima, se considerarmos o caso de z>>R, podemos considerar que R 2 z 2 tem um valor próximo de z 2 , resultando em: ET z R R K 0 qz 2 z 2 3/2 K 0 qz z 2 3/2 K0 q z2 Este resultado é razoável, já que, para z>>R podemos considerar o anel como uma carga pontual. Para z 0 (o ponto considerado está no centro do anel) a expressão determinada anteriormente nos indica que o campo elétrico é nulo. Este resultado também é razoável, pois, se observarmos que para cada elemento de carga existente teremos outro elemento no lado oposto de maneira que os campos gerados pelos dois elementos se anulam no centro do anel. EXERCÍCIOS 35. Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva +q uniformemente distribuída ao longo dela. Mostre que o módulo do campo elétrico no ponto P sobre a mediatriz da barra (como está representado na figura abaixo) é dado por: E = q / [2oR(L2 + 4R 2) ½ 36. Uma barra fina não condutora, de comprimento L, tem uma carga negativa q uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. Mostre que o campo elétrico no ponto P, sobre o eixo da barra, a uma distância a de sua extremidade é dado por: E = q / [4oa(L+a)] 37. Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio R. Uma carga +Q está uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre que o campo elétrico no centro do círculo, gerado pelo semicírculo que se encontra à esquerda do eixo y, é dado por: E = Ko Q/π R2. (observe que a carga de cada semicírculo é +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda barra circular no centro do círculo. 38. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. uma carga +q está uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga –q está uniformemente distribuída ao longo da metade inferior, como mostra a figura abaixo. Determine o campo elétrico E em P, o centro do semicírculo. R: E 2 E y 39. 4 K 0Q r2 Na experiência de Millikan, uma gota de raio 1,64 10-6 m e densidade de 0,851 g/cm3 fica suspensa na câmara inferior quando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a 1,92 105 N/C e aponta verticalmente para baixo. Determine a carga da gota em termos de e. R: q 5e DIPOLO ELÉTRICO Um sistema formado por duas partículas carregadas com cargas de mesmo módulo q e sinais opostos, separadas por uma distância d pode ser chamada de dipolo elétrico. Uma grandeza que está relacionada as característica do dipolo é o momento de dipolo elétrico. O momento de dipolo elétrico é uma grandeza vetorial p cujo módulo é dado por p = qd, sua direção é a do eixo do dipolo e o sentido é orientado da carga negativa para a positiva. Cálculo do campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto P, situado a uma distância z do centro do dipolo, sobre o eixo do dipolo. Considerando a = d/2, temos: E E1 E2 q E1 K 0 z a E2 K 0 E K0 2 q z a q z a 2 2 K0 q z a 2 1 1 K0q 2 2 z a z a z a 2 z a 2 z 2 2 za a 2 z 2 2 za a 2 E K0q K q 0 2 2 z a z a z a z a z a z a 4 za E K0q z 2 a 2 2 2 como : z a z a 2 z 2 , então : 2d 4 za 4a E K0q K0q 3 2 z2 z momento _ dipolo p E 2K0 E 2K0 p z3 qd z 3 UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO EXTERNO O comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo pode ser descrito em termos deste campo elétrico e do momento do dipolo elétrico. Para calcular o torque exercido por um campo elétrico externo sobre um dipolo vamos considerar um dipolo no interior de um campo elétrico uniforme. Neste caso o campo elétrico uniforme não exerce força resultante sobre o dipolo, porém temos um torque que tende a girar o dipolo de maneira que seu momento de dipolo fique alinhado com o campo elétrico externo. O torque pode ser escrito como o produto vetorial entre o momento de dipolo p e o campo elétrico E . A seguir vamos mostrar esta relação. O valor do torque resultante ( ) em relação ao centro do dipolo é: F d d sen F sen 2 2 ang / dipolo / campo Fdsen qEdsen sent / horário p E pEsen Devemos observar que o torque é nulo para θ = 0 ou θ = 180o e seu valor é máximo para θ = 90o. Uma energia potencial pode ser associada ao dipolo na presença de um campo elétrico externo. Se considerarmos que esta energia potencial é nula para θ = 90o podemos escrevê-la como um produto escalar entre o momento de dipolo p e o campo elétrico E : U pE . Devemos observar que a energia potencial é mínima para θ = 0 (U = - pE), máxima para θ = 180o (U = pE) e nula para θ = 90o. O estudo do dipolo elétrico pode ser justificado pelo fato de algumas moléculas se comportarem como dipolo elétrico. A molécula de água (H 2O) é um exemplo de molécula que se comporta como um dipolo na presença de um campo elétrico externo. Esta propriedade é aproveitada nos fornos de micro-ondas para o aquecimento dos alimentos. Quando ligamos o forno de micro-ondas, um campo elétrico alternado é aplicado nas moléculas de água (por exemplo). Com isso um torque é aplicado ao momento de dipolo da molécula fazendo com ele se alinhe com o campo elétrico. Como o campo elétrico é alternado, o torque faz com que o dipolo fique oscilando produzindo energia térmica, e com isso aquecendo os alimentos. EXERCÍCIO 40. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) devido a um dipolo elétrico em um ponto localizado a uma distância r >>d sobre a mediatriz do segmento que une as cargas como na figura abaixo. Expresse sua resposta em termos do momento de dipolo p .
