MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar para apanhar uma bola? CAPÍTULO 4 Posição, velocidade e aceleração: Vetores Posição e velocidade: O vetor posição r de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula: r (3m)i (2m) j (5m)k Vetor deslocamento (r ) A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento (r ) r r2 r1 Exemplo 1: 1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente r1 (3m)i (2m) j (5m)k , e depois passa a ser r2 (9m)i (2m) j (8m)k . Qual é o deslocamento r da partícula. Exemplo 2 2. Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados havia sido desenhado. As coordenadas da posição do coelho em função do tempo t são dadas por x 0,31t 2 7, 2t 28 y 0, 22t 2 9,1t 30 Com t em segundos e x e y em metros Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo? r x(t )i y(t ) j Velocidade média (vméd ) O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo t t 2 t1 vméd r t Velocidade instantânea (v ) Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor deslocamento quando (t 0) r dr v lim t 0 t dt r xiˆ yˆj x ˆ y ˆ v lim lim lim i lim j t 0 t t 0 t 0 t t t 0 t ou dx ˆ dy ˆ v i j v x iˆ v y ˆj dt dt Exemplo7 7. Para o coelho do exemplo anterior encontre a velocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo. dx vx dt dy vy dt v vx i v y j Aceleração média (a méd ) O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo t t t a méd v t 2 1 A aceleração instantânea é o limite desta razão quando (t 0) v dv a lim dt t 0 t dv x ˆ dv y ˆ dv z a i j k a x iˆ a y ˆj a z kˆ dt dt dt Exemplo8 8. Para o coelho do exemplo anterior encontre a aceleração vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo. dvx ax dt a ax i a y j ay dv y dt Exemplo 9: 9. A posição de uma bola de beisebol é dada por r 1,5miˆ (12m / siˆ 16m / sjˆ)t 4,9m / s 2 ˆjt 2 . Obtenha sua velocidade e sua aceleração. Re sp.: v (12m / s)iˆ [16m / s (9,8m / s 2 )t ] ˆj; a (9,8m / s 2 ) ˆj Movimento de Projéteis: O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical. As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente. v0 x v0 cos v0 y v0 sen A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate. Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística. • O fato de uma bola estar em se movendo horizontalmente enquanto está caindo não interfere o seu movimento vertical, ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes. Análise do movimento de um projétil Movimento Horizontal ax 0 x(t ) x0 v0 x t v0 x v0 cos x x0 (v0 cos )t Movimento vertical Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo. ay g A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo: vy v0 sen gt O deslocamento y será dado por: 1 2 y(t ) y0 v0 y t gt 2 Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão: 2 0 v R sen2 g •O alcance será máximo quando θ=450; •Na altura máxima Vy=0 •Vx é constante em todo o movimento Animação 10. Na figura um avião de salvamento voa a 198km/h, a uma altura de 500m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa. a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa? b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade? 11. A fig. Mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade de 82m/s. a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão? 12. Com que velocidade inicial o jogador d basquete da Fig. Deve arremessar a bola, com um ângulo de 550 acima da horizontal, para converter o lance livre? As distancias horizontais são d1 = 1,0 ft e d2 = 14 ft e as alturas são h1 = 7 ft e h2 = 10 ft. 13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo 36,9 0 em relação a horizontal. (a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará quando o pacote atingir a água? 1 2 gt 2 x v0 xt (v0 cos )t y(t ) y0 v0 yt y(t ) y0 v0 yt Movimento Circular Uniforme É o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação: 2 v a ac r Para uma volta completa: v 2r T , em que T é o período. Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por: dv at dt Animação Exemplo 14: 14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da aceleração da gravidade)? Exemplo 15: Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular? Exemplo 16: 16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2 m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m? (ignore a resistência do ar)