04 MOVIMENTO EM DUAS E TRES DIMENSOES

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MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar
para apanhar uma bola?
CAPÍTULO 4
Posição, velocidade e aceleração:

Vetores Posição e velocidade: O vetor posição r
de uma partícula
P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas
até a posição da partícula:
r  (3m)i  (2m) j  (5m)k

Vetor deslocamento (r )
A variação da posição
 da partícula no decorrer do tempo é o vetor
deslocamento (r )
r  r2  r1
Exemplo 1:
1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente r1  (3m)i  (2m) j  (5m)k , e
depois passa a ser
r2  (9m)i  (2m) j  (8m)k . Qual é o deslocamento r
da partícula.
Exemplo 2
2. Um coelho atravessa um
estacionamento, no qual, por
alguma razão, um conjunto de
eixos coordenados havia sido
desenhado. As coordenadas da
posição do coelho em função do
tempo t são dadas por
x  0,31t 2  7, 2t  28
y  0, 22t 2  9,1t  30
Com t em segundos e x e y em
metros
Em t=15s, qual é o vetor posição
do coelho na notação de vetores
unitários e na notação de módulo
- ângulo?
r  x(t )i  y(t ) j
Velocidade média

(vméd )
O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o
intervalo de tempo t  t 2  t1

vméd

r

t

Velocidade instantânea (v )
Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor
deslocamento quando
(t  0)



r dr
v  lim

t 0 t
dt


r
xiˆ  yˆj
 x  ˆ
 y  ˆ
v  lim
 lim
 lim  i  lim   j
t 0 t
t 0
t 0 t
t
  t 0 t 
ou
 dx ˆ dy ˆ
v i
j  v x iˆ  v y ˆj
dt
dt
Exemplo7
7. Para o coelho do exemplo
anterior
encontre
a
velocidade vetorial no tempo
t = 15s, na notação de vetores
unitários e na notação de
módulo – ângulo.
dx
vx 
dt
dy
vy 
dt
v  vx i  v y j
Aceleração média (a méd )
O vetor aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o
intervalo de tempo
t  t  t
a méd
v

t
2
1
A aceleração instantânea é o limite desta razão quando
(t  0)
v dv
a  lim

dt
t 0 t
 dv x ˆ dv y ˆ dv z 
a
i
j
k  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ
dt
dt
dt
Exemplo8
8. Para o coelho do
exemplo anterior encontre
a aceleração vetorial no
tempo t = 15s, na notação
de vetores unitários e na
notação de módulo –
ângulo.
dvx
ax 
dt
a  ax i  a y j
ay 
dv y
dt
Exemplo 9:
9. A posição de uma bola de beisebol é dada por
r  1,5miˆ  (12m / siˆ  16m / sjˆ)t  4,9m / s 2 ˆjt 2 .
Obtenha sua velocidade e sua aceleração.
Re sp.: v  (12m / s)iˆ  [16m / s  (9,8m / s 2 )t ] ˆj; a  (9,8m / s 2 ) ˆj
Movimento de Projéteis:
O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento:
movimento
uniforme
(MU)
na
horizontal
e
movimento
uniformemente variado (MUV) na vertical.
As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para
estes movimentos separadamente.
v0 x  v0 cos 
v0 y  v0 sen 
A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a
horizontal que é igual a do skate.
Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em
Uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.
• O fato de uma bola
estar em se movendo
horizontalmente
enquanto está caindo
não interfere o seu
movimento vertical, ou
seja, os movimentos
horizontal e vertical são
independentes.
Análise do movimento de um projétil
Movimento Horizontal
ax  0
x(t )  x0  v0 x t
v0 x  v0 cos 
x  x0  (v0 cos  )t
Movimento vertical
Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à
aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
ay  g
A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração,
logo:
vy  v0 sen  gt
O deslocamento y será dado por:
1 2
y(t )  y0  v0 y t  gt
2
Alcance horizontal (R):
É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as
elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance
pela expressão:
2
0
v
R
sen2
g
•O alcance será máximo quando θ=450;
•Na altura máxima Vy=0
•Vx é constante em todo o movimento
Animação
10. Na figura um avião de
salvamento voa a
198km/h, a uma altura
de 500m, rumo a um
ponto
diretamente
acima da vítima de um
naufrágio, para deixar
cair uma balsa.
a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima
no instante em que o piloto deixa cair a balsa?
b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?
11. A fig. Mostra um navio
pirata a 560m de um
forte que protege a
entrada de um porto.
Um canhão de defesa,
situado ao nível do
mar, dispara balas com
uma velocidade
de
82m/s.
a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser
disparadas para acertar o navio?
b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?
12. Com que velocidade
inicial o jogador d
basquete da Fig. Deve
arremessar a bola, com
um ângulo de 550
acima da horizontal,
para converter o lance
livre? As distancias
horizontais são d1 =
1,0 ft e d2 = 14 ft e as
alturas são h1 = 7 ft e
h2 = 10 ft.
13. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as
vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área
alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima
da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo
  36,9 0 em relação a horizontal.
(a) Durante quanto tempo o pacote permanece no ar?
(b) A que distância da balsa cai o pacote?
(c) Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará
quando o pacote atingir a água?
1 2
gt
2
x  v0 xt  (v0 cos  )t
y(t )  y0  v0 yt 
y(t )  y0  v0 yt
Movimento Circular Uniforme
É o movimento circular com velocidade constante. A aceleração
centrípeta pode ser calculada pela relação:
2
v
a  ac 
r
Para uma volta completa: v 
2r
T , em que T é o período.
Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a
trajetória, dada por:
dv
at 
dt
Animação
Exemplo 14:
14. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo
horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará
sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da
aceleração da gravidade)?
Exemplo 15:
Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma
circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A
corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente,
chegando ao solo depois de percorrer uma distância
horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração
centrípeta da pedra durante o movimento circular?
Exemplo 16:
16. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter
para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2
m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m?
(ignore a resistência do ar)
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