Eletricidade dos Materiais: os Dielétricos

Eletromagnetismo
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Diferentes Tipos de Materiais Elétricos
Como é sabido há cerca de 2600 anos, os materiais exibem fenômenos associados à eletricidade.
Assim, sob determinadas circunstâncias, o material gera um campo elétrico resultante de cargas
elétricas distribuídas (ou redistribuídas) ao longo dele mesmo. O fenômeno da eletricidade dos
materiais foi percebido pela primeira vez no âmbar, uma resina de belo colorido intenso.
Como os materiais são compostos por átomos e moléculas, os quais são dotados de cargas
elétricas, todos os materiais, quando devidamente provocados, geram camposelétricos e/ou
correntes elétricas em seu interior. Assim, os fenômenos elétricos de maior interesse são aqueles
relativos à condução da eletricidade através dos materiais e a produção de campos elétricos. No último
caso, em função da neutralidade da matéria, isso se torna possível quando o material se polariza.
Assim, os materiais podem ser classificados em relação à sua capacidade de exibir os dois
fenômenos acima referidos (produzir campos elétricos quando sujeitos a certas condições físicas e
à condução da eletricidade) de duas formas.
• Na primeira, eles são classificados em função das suas propriedades relativas à condução da
eletricidade, ou seja, tudo se resume a entender, descrever, e eventualmente classificar, os
materiais quanto ao seu comportamento em relação à fluidez de cargas elétricas (a corrente
elétrica), quando submetidos a um campo elétrico externo a eles. Nesse caso, queremos
determinar a facilidade ou a dificuldade com que, nessas circunstâncias, o material exibe
uma corrente elétrica fluindo por ele. Sob esse prisma, classificamos os materiais em quatro
categorias: Condutores, Isolantes ou dielétricos, Semicondutores e Supercondutores.
• Na segunda forma, podemos classificá-los em função das condições mediante as quais o
material todo se polariza. Quando polarizados, os materiais geramcampos elétricos, ou seja, se
eletrizam. Os materiais dielétricos, por exemplo, se polarizam quando se encontram sob a ação
de um campo elétrico externo a eles. Outros se polarizam quando sujeitos a pressões. Assim,
quando analisados à luz da existência de uma polarização macroscópica, podemos classificar os
materiais em, entre outras categorias, materiais ferroelétricos, eletretos, materiais piezoelétricos
e materiais piroelétricos.
Iniciaremos a classificação dos materiais em função da condução elétrica.
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Condutores e Isolantes
Na física clássica, classificamos os materiais elétricos, em relação à condução elétrica, em apenas
duas categorias: condutores e isolantes, ou seja, o material é condutor ou é isolante, isto é, o material
conduz ou não a eletricidade quando ele faz parte de um circuito elétrico.
Quando materiais condutores estão isolados, não há como fluir eletricidade através deles.
Ainda assim, há uma diferença entre materiais condutores e isolantes quando estão sujeitos a um
campo elétrico externo.
Os materiais condutores são tais que, mediante a aplicação de um campo externo a eles, as
cargas de um sinal se distribuem numa parte desse campo enquanto as cargas de sinal oposto
se distribuem em outras regiões mais afastadas. Como resultado dessa distribuição de cargas, o
condutor gera campos elétricos nos pontos externos a ele. No entanto, o campo elétrico no interior
do condutor é nulo. A distribuição de cargas externas é tal que produz esse efeito.
Os isolantes (também conhecidos como dielétricos) se polarizam quando aplicamos um campo
externo ao material. No entanto, diferentemente dos condutores, os elétrons permanecem presos
aos átomos ou às moléculas. Eles se deslocam muito pouco. Os átomos e moléculas desses materiais
adquirem momentos de dipolo, e a soma desses dipolos levam a uma polarização do material.
O resultado dessa polarização é a existência de cargas elétricas de polarização na superfície e,
eventualmente, no interior do dielétrico. O material gera campos elétricos tanto nos pontos externos
a ele quanto nos pontos internos.
No entanto, em relação à condução da eletricidade, nem tudo é tão simples quanto dizer que um
material conduz ou não eletricidade. Existem gradações. Para entendê-la, recorremos ao conceito
de condutividade elétrica de um material.
A condutividade elétrica de um material, σE, é definida pela relação entre o campo elétrico


aplicado ao material E e a densidade de corrente produzida no meio material J .


J = σE E
( 1 )
Assim, o melhor é falar em bons e maus condutores. Um bom condutor é aquele que exibe uma
condutividade elétrica alta, enquanto, nessa definição, materiais isolantes seriam aqueles com
baixa condutividade.
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A condutividade elétrica depende da temperatura e, eventualmente, de outros parâmetros
representados por (χ), como a concentração de determinadas substâncias. Escrevemos:
σE = σE(T, χ )
( 2 )
Grosso modo, dizemos que um material é isolante se sua condutividade satisfizer a condição:
( 3 )
σE > 10−10 Ohm−1cm−1
enquanto um bom condutor, como um metal, tem condutividades típicas acima do valor:
( 4 )
σE > 102 Ohm−1cm−1
Abaixo apresentamos uma tabela de valores da condutividade para uma temperatura fixa.
Material
Silver
Copper
σ (S/m) at 20 °C
6.30 × 107
5.96 × 107
Gold[note 3]
Aluminium[note 4]
Calcium
Tungsten
Zinc
Nickel
4.10 × 107
3.5 × 107
2.98 × 107
1.79 × 107
1.69 × 107
1.43 × 107
Iron
Platinum
Tin
1.00 × 107
9.43 × 106
9.17 × 106
GaAs
Carbon (amorphous)
1 × 10−8 to 103
1.25 × 103 to 2 × 103
Material
Carbon (diamond)
Germanium[note 8]
Seawater[note 9]
Drinking water[note 10]
Silicon[note 8]
Wood (damp)
σ (S/m) at 20 °C
~10−13
2.17
4.8
5 × 10−4 to 5 × 10−2
1.56 × 10−3
10−4 to 10−3
Glass
Hard rubber
Sulfur
Air
10−11 to 10−15
10−14
10−16 to 10−14
10−16
3 × 10−15 to 8 × 10−15
Teflon
10−25 to 10−23
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De acordo com a expressão (000), materiais condutores exibem uma enorme facilidade para
gerar correntes elétricas, ao passo que materiais isolantes são péssimos condutores de eletricidade.
No entanto, com o advento da física quântica não só passamos a entender melhor esses
termos aplicados aos materiais clássicos como nos demos conta de um novo tipo de material:
o material semicondutor.
Para uma boa compreensão desse tema, devemos considerar o comportamento dos elétrons
num sólido cristalino formado por átomos que ocupam posições fixas e de forma regular (formando
uma rede cristalina).
Quandoátomos se combinam para formar um metal, os elétrons da camada devalência se
desligam dos átomos, formando uma espécie de nuvem de elétrons. Assim, um metal condutor pode
ser pensado comose fosse composto de íons positivos ocupando posições fixas e elétrons móveis,
conhecidos como elétrons de condução. Esses elétrons serão considerados como se fossem livres, isto
é, eles não interagem entre si e nem com os íons já aludidos. Os elétrons de condução são responsáveis
pelos fenômenos de transporte dos materiais (transporte de carga, de energia-calor, por exemplo).
Para entendermos as propriedades dos materiais com respeito à condução da eletricidade,
vamos adotar o modelo de bandas.
No modelo de banda recorremos à ideia já explicitada de que um elétron num material tem o
seu estado caracterizado por um certo conjunto de números quânticos e que, de acordo com o
princípio da exclusão de Pauli, cada elétron deve ter um conjunto de números quânticos diferente
dos demais elétrons.
Quando aproximamos dois elétrons pertencentes a átomos diferentes, o espectro de cada um
deles se altera. Essa é uma exigência do princípio da exclusão. Cada um dos elétrons será agora
descrito pelo mesmo conjunto de números quânticos.
O que acontece quando temos um número N de átomos próximos uns dos outros? Nesse caso,
pode-se prever (usando o princípio da exclusão) que os níveis de energia dos elétrons serão bem diferentes daqueles dos elétrons nos átomos individuais. O espectro de cada elétron num átomo, sendo
um espectro discreto, teria o espaço entre dois níveis quaisquer dividido em N níveis. No caso de um
aglomerado de átomos, o número N é muito grande e, portanto, cada nível estaria muito próximo
um do outro. Para N muito grandes, o espaçamento tenderia a zero, isto é, o espectro formaria uma
banda. Quanto menor for a distância interatômica, maior será a largura da banda de energia.
As bandas são separadas por regiões de energia que são proibidas para os elétrons. Dizemos
que existe um gap de energia entre uma banda e outra.
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Espectro de 1 átomo, 3 átomos e muitos
átomos, indicando a formação de bandas.
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Cada banda comporta apenas um determinado número de elétrons.
Se uma delas fica cheia (inteiramente ocupada), resta aos elétrons ocuparem
a banda seguinte. Vemos assim que existem bandas proibidas, bandas cheias,
bandas não ocupadas (não preenchidas) e bandas ocupadas parcialmente.
Quando a banda mais externa não estiver inteiramente preenchida, ela é
denominada banda de condução. O materialcom essa característica é um
bom condutor, pois é fácil, isto é, requer pouca energia para liberar elétrons
para participar do processo de condução de eletricidade.
Se a banda mais externa estiver completamente cheia, damos a ela
o nome de banda de valência. Materiais que têm a banda de valência
preenchida são materiais isolantes. Para esses materiais, haveria um custo
alto em termos de energia, especialmente se a banda proibida for larga, para Material exibindo bandas proibidas (os gaps de energia), bandas cheias,
bandas não ocupadas (não preenchidas).
promover os elétrons a elétrons de condução, ou seja, transformá-los em
elétrons livres.
Dessa forma, a explicação para a existência de materiais condutores e isolantes requer o uso da
teoria quântica.
Materiais Semicondutores
Grosso modo, definimos um material como um semicondutor se sua condutividade se situar
no intervalo:
102 Ohm−1cm−1 > σE > 10−10 Ohm−1cm−1
( 5 )
No entanto, essa definição é incompleta. Para entendermos isso, devemos recorrer à análise do
espectro de energia sob a forma de bandas. A existência de bandas de energia para os elétrons num
sólido, separadas por regiões inacessíveis a eles, conhecidas como gaps de energia, permite prever e
entender melhor os materiais conhecidos como materiais semicondutores. O espectro de bandas típico
de um semicondutor é apresentado na Figura 00. Note-se que a largura da banda proibida para os
elétrons não é tão grande quanto a dos isolantes e nem tão pequena quanto a dos materiais condutores.
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Espectro de bandas e a ocupação delas para um material isolante, semicondutor e condutor.
O que torna um material semicondutor um material todo especial é a possibilidade de dopá-lo.
Dopar nesse contexto significa que a sua condutividade pode ser alterada através da introdução de
impurezas na sua estrutura cristalina. Com essas impurezas, o gap de energia contém alguns níveis
discretos, como mostra a figura ao lado. Com a adição de uma quantidade suficiente de dopantes,
o material, que originalmente era isolante, passa a conduzir eletricidade tão bem quanto um metal.
Os dopantes tanto podem ser aceitadores de elétrons, quando dopamos, por exemplo, o silício
(4 elétrons na camada de valência) com fósforo (4 elétrons na camada de valência), quanto doadores
de elétrons. Esse último caso resulta, por exemplo,quando dopamos o mesmo silício com Boro
(3 elétrons na camada de valência), daí resultando dois tipos de semicondutores: tipo p e tipo n.
Assim, um material semicondutor pode ter suas propriedades de condução controladas por
parâmetros diferentes da temperatura, por exemplo. Num material semicondutor, a resistividade
diminui muito à medida que aumentamos a temperatura.
Materiais semicondutores revolucionaram a eletrônica e formam a base de vários dispositivos.
Em particular, os transistores. O silício é um bom exemplo de material semicondutor.
Quando dopamos um semicondutor como o silício dopado com Boro, por exemplo, reduzimos o
gap, pois formam-se alguns níveis intermediários até então proibidos aos elétrons.
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Materiais Supercondutores
Existem materiais para os quais a resistência elétrica praticamente tende a zero (materiais com
uma condutividade elétrica praticamente infinita), ou seja, a corrente flui sem obstáculos. Isso ocorre
para determinados materiais a temperaturas muito baixas. O comportamento supercondutor ocorre
abaixo de uma temperatura dita crítica (Tc ). O material experimenta, nessa temperatura, uma
transição de fase. Acima dessa temperatura, ele exibe um comportamento normal (condutor).
O mecanismo para a supercondução tem a ver com a formação de pares de elétrons, constituindo
os “pares de Cooper”. Na nova fase, esses pares se transformam em bósons. Livram-se, assim, do
princípio da exclusão de Pauli. Esses bósons podem participar da ocupação macroscópica do estado
fundamental,isto é, todos os bósons podem ter o mesmo número quântico. Essa é a ideia por trás
do fenômeno da condensação de Bose-Einstein.

Assim, quando um material supercondutor fica sujeito a um campo magnético H (campo associado resultante de uma corrente real, que exclui a de magnetização),constata-se o efeito Meissner,
o qual ocorre durante a transição de fase. Ou seja, quando baixamos a temperatura do material
atingindo a temperatura crítica (Tc ), pode-se constatar que o material expele o campo magnético
do seu interior ao baixarmos ainda mais a temperatura. Note-se que não estamos tratando de um
campo magnético que varia com o tempo.
A rigor, a ejeção do campo magnético não é perfeita, ou seja, a penetração do campo magnético
obedece a uma lei exponencial.
Outro efeito interessante é aquele associado ao fato de que um supercondutor é um material
diamagnético perfeito. Ele é definido pela condição χM = −1 (onde χM é a susceptibilidade magnética
do material). Assim, quando aplicamos ao material um campo magnético que varia com o tempo,
ele induzirá correntes no supercondutor de tal sorte que, levando em conta a lei de Lenz, essas
correntes produzirão um campo magnético que se opõe ao campo externo de forma a cancelá-lo
no interior do material. Ou seja, o campo interno se anula na fase supercondutora:

Bint = 0
( 6 )
O efeito Meissner
Levitação magnética: resultado da condição de
material diamagnético perfeito.
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Classificando os Materiais quanto à Polarizabilidade
A propósito da questão da polarização de um material, queremos lembrar que, mediante a aplicação de um campo elétrico (uma diferença de potencial), os materiais condutores têm a propriedade
de fazer surgir uma corrente elétrica que atravessa o meio material. Para os materiais ditos
condutores, a ação de um campo externo é arrancar elétrons dos átomos e colocá-los em
movimento, produzindo assim uma corrente elétrica. Quando neutro e em equilíbrio, isto é, quando
cessa a corrente associada ao deslocamento de elétrons, ele se polariza.
Dizemos que um material se polariza se ele exibir no material todo, ou em determinadas regiões

do material, uma polarização P ( x, y, z ). Esta é definida como a densidade volumétrica de momentos
de dipolo elétrico.
 dp
P=
dV
( 7 )
Nos materiais estudados a seguir (materiais dielétricos ou isolantes), a ação de um campo elétrico
sobre eles será a de provocar o surgimento de um momento de dipolo em cada um dos átomos
ou de realçar tal efeito. Portanto, estaremos admitindo que os elétrons não serão arrancados dos
átomos e que a ação do campo externo será limitada à de alterar as posições relativas dos elétrons
em relação à posição do núcleo do átomo. Ou seja, os materiais dielétricos se polarizam átomo a
átomo quando sob a ação de um campo elétrico aplicado a ele, ou mediante alguma outra forma
de estímulo (calor, pressão, por exemplo).
O fato é que um material pode se polarizar mediante outros mecanismos, além da aplicação de
campos externos a ele. Podemos classificá-los em função do que provoca a polarização do meio
material. Por exemplo, existem materiais que se polarizam sem a necessidade de aplicar um campo
externo ao material. São os materiais ferroelétricos. Isso ocorre porque as células da rede da qual
ele é formado são polarizadas.
A seguir, apresentaremos quatro tipos de materiais que exibem uma polarização mesmo que
eles não estejam sob a ação de um campo elétrico externo.
É bom destacar que um material pode perder sua polarização ao aumentarmos a sua temperatura. Ao fornecermos calor àsubstância, ela tende a perder a polarização. Assim, por exemplo,
acima de uma temperatura dita crítica, o material perde o seu comportamento ferroelétrico. E esse
é um comportamento geral, de todos os materiais, quer sejam eles elétricos ou magnéticos.
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Materiais Ferroelétricos
O primeiro tipo de polarização aqui discutido é o de natureza permanente. Cada constituinte
desses materiais (uma célula unitária do cristal) tem um momento de dipolo elétrico permanente,
e a existência de interações entre dipolos acarreta uma polarização do material todo. A interação
é necessária para alinhar ou ordenar os dipolos. Sem ela a orientação dos dipolos seria aleatória.
Materiais para os quais, mediante a interação entre dipolos, resulta haver uma polarização líquida
(total) e, portanto, diferente de zero, em caráter permanente, são os materiais ferroelétricos.
O nome se justifica pela analogia com o ferromagnetismo, o qual resulta da interação dos momentos
de dipolo associados ao spin do elétron.
Materiais ferroelétricos são raros, mas existem. Os de maior interesse são os cristais constituídos de Pb(Zr,Ti)O(PZT), SrBiTaO(SBT), BiTiO(BIT) e BaTiO3.
Materiais ferroelétricos existem apenas na fase sólida. O melhor exemplo de tal material é um
cristal, o titanato de Bário (BaTiO3). Sabe-se que essa propriedade tem a ver com a alteração da sua
estrutura cristalina. Se deslocarmos um íon ligeiramente da sua posição de equilíbrio, a força dos
campos elétricos exercida pelos íons no cristal supera a força elástica restauradora do equilíbrio.
Essa preferência pela assimetria da posição de equilíbrio resulta num momento de dipolo elétrico
permanente. Há uma alteração na estrutura cristalina.
Materiais ferroelétricos exibem o fenômeno da histerese e uma estrutura de domínios. Ou seja,
existem regiões dotadas de uma determinada polarização.
Domínios e histerese de materiais ferroelétricos. A polarização depende de uma forma não linear com o campo
elétrico aplicado.
Mediante o deslocamento do átomo de Titânio,
a célula unitária se polariza.
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Colocando um material ferroelétrico entre placas condutoras, obtém-se um capacitor
ferroelétrico. Devido ao efeito de histerese, a resposta de um tal capacitor é altamente não linear.
Esses capacitores são utilizados em memórias DRAM ferroelétricas e cartões de identificação via
ondas de rádio (RFID).
Os Eletretos
Como afirmado anteriormente, as substâncias dielétricas exibem um momento de dipolo
líquido enquanto estão sob a ação de um campo elétrico externo. No entanto, um grupo de
materiais pode continuar a exibir uma polarização mesmo após a remoção do campo elétrico
aplicado. É como se tivessem esquecido que o campo foi removido. Todos os momentos de
dipolo apontam praticamente na mesma direção. Tais substâncias especiais recebem o nome de
eletretos. A cera de carnaúba é um exemplo de eletreto.
Os eletretos exibem uma polarização quase permanente. Por isso, alguns desses materiais
exibem também a ferroeletricidade.
Alguns polímeros sintéticos se prestam igualmente bem para esse fim. São produzidos sob a
forma de filmes finos.
Define-se hoje eletreto como qualquer material que exiba uma carga eletrostática superficial e
permanente, ou, como explicado antes, um momento de dipolo permanente. No caso do teflon, a
carga armazenada pode durar centenas de anos. Eletretos dielétricos exibem uma capacidade de
armazenar cargas em caráter praticamente, permanente.
Os eletretos foram desenvolvidos em laboratório pela primeira vez em 1919 por Kawao
Wantachi utilizando uma mistura de cera de carnaúba, do Brasil, com cera de abelha e resinas.
Essas substâncias foram derretidas e, no processo de resfriamento, um campo elétrico de milhares
de volts/cm foi aplicado. Os eletretos de carnaúba são estudados ainda hoje. A partir dos anos 70
têm sido utilizados materiais polímeros sintéticos na sua confecção. Nesses materiais, devem-se
aplicar voltagens relativamente altas (de uns poucos milhares de volts).
Os eletretos são utilizados em microfones de eletretos e copiadoras. São utilizadostambém em
filtros de ar. Nesse último caso, sua função é o recolhimento eletrostático de pós.
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Materiais Pizoelétricos
Mediante aquecimento ou aplicação de pressões ou tensões (deformações mecânicas) em determinados materiais, podemos, igualmente, eletrizá-los. A aplicação de tensões em alguns materiais
pode levar ao surgimento de uma diferença de potencial entre pontos diferentes desses materiais.
O oposto também se aplica. A aplicação de um campo elétrico pode acarretar deformações mecânicas
nesses materiais. Tais materiais são conhecidos como piezoelétricos. Eles transformam energia
mecânica em energia elétrica. Pode ocorrer, no entanto, o fenômeno inverso, ou seja, conversão de
energia elétrica em energia mecânica.
A descoberta do efeito é creditada aos irmãos Curie (Jacques e Pierre) no ano de 1880.
Os materiais piezoelétricos possuem duas estruturas cristalinas distintas. Numa delas, a célula
primitiva tem um momento de dipolo elétrico (a célula é polarizada). A outra célula primitiva não
é polarizada. Vemos assim que o material exibe duas fases, cada qual associada a estruturas
cristalinas diferentes. Disso resulta que deformações mecânicas, aquecimento, ou campos elétricos
aplicados podem fazer a transição de uma célula primitiva em outra. A consequência dessa transição
de fase é as propriedades elétricas do material se alterarem. A transição de fase pode ocorrer
também através do efeito da temperatura. Abaixo de uma determinada temperatura, o material
experimenta uma transição de fase. Abaixo apresentamos a situação no caso de um dos materiais
piezoelétricos mais utilizados: O PZT.
O titanato de Zircônio e chumbo (o PZT) é o material mais popular e o mais utilizado entre todos
os materiais piezoelétricos. A Turmalina, o quartzo, a cana de açúcar,o topázio e o sal de rochelle
foram os primeiros a serem identificados como substâncias piezoelétricas. A lista não se encerra,
no entanto, com esses materiais.
As substâncias piezoelétricas têm grandes aplicações tecnológicas. Por exemplo, têm aplicações
na construção de sensores de tensões e pressões. São utilizados, assim, em dispositivos para acionar
os airbags de carros. As tensões provocadas por uma colisão são transformadas em sinais elétricos
que disparam o airbag. Nos alto-falantes, diferenças de potencial são transformadas em deformações
mecânicas do material.
A piezoeletricidade do quartzo está relacionada a uma outra propriedade importante que é utilizada
na construção dos relógios de quartzo. Nesses relógios, utilizamos um pequeno pedaço de quartzo
que vibra. O período dessas vibrações é bastante preciso. Sua precisão é de cerca de uma parte em
um milhão. Isso leva a uma grande confiabilidade do ponto de vista de precisão desses relógios.
Expansion and contraction of a piezoelectric
disk in response to an applied voltage.
Turmalina e quartzo são exemplos de materiais
piezoelétricos.
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Materiais Piroelétricos
O fenômeno da piroeletricidade é conhecido há cerca de 25 séculos. É, portanto, um dos
fenômenos associados à eletrização dos materiais mais antigos.
Alguns materiais dielétricos são tais que, mediante o aquecimento, se tornam polarizados (isto é,
surge um momento de dipolo macroscópico). O alinhamento dos dipolos nesse caso é provocado,
surpreendentemente, pela dilatação térmica. Tais materiais são conhecidos como piroelétricos.
Nos materiais piroelétricos, a mudança de temperatura faz com que surjam cargas negativas
numa das extremidades e cargas positivas na outra. Disso resulta uma polarização do material.
O resultado é o surgimento de uma diferença de potencial entre as extremidades. A turmalina e
cristais de quartzo exibem esse fenômeno.
Tais materiais podem ser utilizados como sensores de temperatura, ou até mesmo como sensores
infravermelhos de movimento.
Uma polarização do material pode gerar uma corrente. O princípio de funcionamento
de alguns sensores de temperatura.
Alguns materiais ficam polarizados
quando aquecidos.
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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