Efeito Thomson

ESPALHAMENTO
THOMSON
J.R. Kaschny
O Elétron Livre
Vamos inicialmente considerar o processo de espalhamento de um feixe de raios-x, por
um elétron livre, sob o ponto de vista da Teoria Eletromagnética (clássica), tal como
inicialmente proposto por Thomson (≈1900).
Seja uma onda eletromagnética incidente, sobre um elétron livre, tal que:
G G
E=E 0Sen
G G
B=B0Sen
(
(
G G
k ⋅ r - ωt
G G
k ⋅ r - ωt
)
)
campo elétrico
campo magnético
Desprezando interações de natureza magnética, a interação dos raios-x com o elétron
será devida à interação de sua carga elétrica com o campo elétrico oscilante,
provocando uma aceleração (no elétron) dada por:
G
G
G F
eE
a= =m
m
m = massa
do elétron
⇒ a, F e E oscilam com a mesma freqüência ν = ω / 2π das ondas incidentes.
Portanto, sob a influencia dessa aceleração, a posição do elétron oscilará com freqüência
ν, em fase com a onda incidente, irradiando energia em todas as direções. Isto consiste a
essência do processo de espalhamento Thomson, de ondas eletromagnéticas.
Então, de acordo com o eletromagnetismo, a energia irradiada, em todas as direções, sob
a forma de radiação eletromagnética por unidade de tempo, e a respectiva media
temporal, serão:
2 e2a 2 2 e4 E 2
=
R=
3
3 c
3 m 2 c3
⎛ 2 e4 ⎞ 2
⇒ R =⎜
E
2 3 ⎟
⎝3m c ⎠
Sendo a energia media por unidade de tempo, transportada pela onda incidente dada
pela relação:
c 2
I=
E
4π
obtemos:
R = σTI
uma fração ...
com
teoria eletromagnética
8π
σT =
3
⎛ e ⎞
⎜ 2⎟
⎝ mc ⎠
2
2
seção de choque
de Thomson para
o elétron livre
A Distribuição Angular
Considerando a situação ilustrada abaixo ....
.... temos que, de acordo com o eletromagnetismo, a
distribuição angular da radiação emitida pelo elétron
acelerado, será tal que a intensidade I(θ) ∝ sen2 (θ) .
Desta maneira, reescrevendo tal relação em termos de Θ, temos:
2
2
⎡
⎤
⎡
R(Θ) ∝ ⎣ 2 − sen (Θ) ⎦ ⇒ R(Θ) = k ' ⎣ 2 − sen (Θ) ⎤⎦
onde k’ é uma constante a ser determinada.
Para determinar k’, basta integrarmos esta ultima expressão sobre todos os ângulos
sólidos fornecendo:
π
8π
R = ∫ R(Θ)dΩ = 2π k ' ∫ [2 − sen (Θ)]sen(Θ)dΘ =
3
0
2
2
⎛ e ⎞
⎜ 2⎟ I
⎝ mc ⎠
2
e desta forma, obtemos:
dσ T
R(Θ) =
I
dΩ
com
Determina qual a fração da intensidade incidente é espalhada por unidade de ângulo sólido na direção Θ.
No caso de Z eletrons
livres, teremos:
2
dσ T 1 ⎛ e ⎞
= ⎜ 2 ⎟ [2 − sen 2 (Θ)]
dΩ 2 ⎝ mc ⎠
2
Seção de choque diferencial de Thomson
dσ ST
R tot (Θ) =
I
dΩ
com
dσ ST
dσ T
=Z
dΩ
dΩ
Elétrons Ligados
Considerando agora o caso de elétrons atômicos (ligados aos átomos) teremos:
dσ ST
2 dσ T
= F ( x)
dΩ
dΩ
onde:
∞
⎡ sen( x.r) ⎤ 2
F ( x) = 4π ∫ ρ (r) ⎢
r dr
⎥
⎣ x.r ⎦
0
ρ (r)
tal que:
= Fator de Forma Atômico
∞
= densidade atômica de cargas ⇒
4π ∫ ρ (r).r 2 dr = Z
0
x = 2k .sen ( Θ 2 )
e
k = 2π λ
sendo Z o numero atômico e λ o comprimento de onda da onda incidente.
Referencias Bibliográficas
• Física Quântica, R. Eisberg e R. Resnick.
• Fundamentos da Física Moderna, R. Eisberg.