Apostilas Prof.º Mário Castro MATEMÁTICA

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g) a .(b + c) = a. b + a. c, distribuição da multiplicação em relação à adição.
MATEMÁTICA
CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS, INTEIROS ,
RACIONAIS E REAIS
0
h) a =1 com a = 0
Obs.:
expressões.
Obs.: Dados dois números naturais, a e b, temos
que: a = b ou ab, se a b, temos que a < b
ou a > b.
2
3
2) 3 + {5+[4 -( 16 .5)]+
2
3
2
2
25 }
0
3) 4 :2 +{ 12+[9 :(4 +11)-3 ]}
IN, temos:
Respostas: 1)14
a+b=c
Adição
a-b=c
Subtração com a > b
3) 16
1 - Em uma adição uma das parcelas é 27. Sabese que a soma é 115. Calcule a outra parcela.
Multiplicação
a: b = c
Divisão com a múltiplo de b.
n
radiciação com a
2 - A diferença entre dois números é 45.O subtraendo é 27. Qual é o número?
IN
3 - Em uma divisão exata o dividendo é 495 e o
quociente é 11. Qual é o divisor.
Quadrado perfeito (se n = 2), cubo perfeito
(se n = 3), etc.
Respostas: 1) 88
n
2) 72
3) 45
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
RELATIVOS
b =a
n
2) 63
Problemas
a. b = c
a=b
resolver
1) 1+[3+(7- 2)]+5
Operações em IN
n
para
1.º) Potenciação e Radiciação
2.º) Multiplicações e Divisão
3.º) Adição e Subtração
IN* = { 1, 2, 3, 4, ...} = Conjunto dos números
naturais não nulos.
e se
Seqüências
Obs.: 2 - Prioridade nas Operações
IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} e
a =b
-
1.º) eliminar parênteses: ( )
2.º) eliminar colchetes: [ ]
3.º) eliminar chaves: { }
CONJUNTOS DOS NÚMEROS
NATURAIS
Dados: a, b, c e n
1
2
a = a.a.a. . . . a, particularmente se a = a . a (lê-se
a ao quadrado)
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... } e Z* = { ..., -3,
-2, -1, +1, +2, +3,... }
3
a = a. a. a (lê-se a ao cubo)
Notar que IN
Z.
Propriedades Operatórias
Comparação em Z
a) (a + b) + c = a + (b + c), associativa da adição.
Sejam:
a e b
então: a < b ou a> b.
b) (a. b) . c = a. (b . c), associativa da multiplicação.
c) a + b = b + a, comutativa da adição.
Exemplos:
d) a. b = b . a, comutativa da multiplicação.
-3 <-1,
e) a + 0 = a, elemento neutro da adição.
0 > -1, 1 > -5, -4 < 0
INTERVALOS
f) a. 1 = a, elemento neutro da multiplicação.
Matemática
Z, temos que a = b, ou ab,
No conjunto dos números reais destacaremos
alguns subconjuntos importantes determinados por
desigualdades, chamados intervalos.
1
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Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8
incluindo o 5 e o 8 constituem o intervalo fechado [5;
8], ou seja:
Separando os positivos, temos: +9 +5 +2 +4 = 20.
Separando os negativos, temos: -3 –7 –3 –6 = - 19
Finalmente temos: +20 -19 = +1
[5; 8] = {x / 5 « x « 8}
Exercícios: Efetuar as operações:
1) -3 –4 +6 –6 +7 -2 =
Se excluirmos os números 5 e 8, chamados
extremos do intervalo, temos o intervalo aberto ]5; 8[,
ou seja:
2) +8 +3- 6 +1 –5 -7+2 =
]5; 8[ = {x / 5 < x < 8}
Respostas: 1) -2
Consideraremos ainda os intervalos mistos:
]5; 8] = {x / 5 < x « 8}
Regras de sinais para multiplicação e divisão:
(Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita).
(+) . (+) = + ou
(+): (+) = +
[5; 8[ = {x / 5 « x < 8}
(-) . (-) = + ou
(-): (-) = + (sinais iguais = +
(intervalo fechado à esquerda e aberto à direita).
(+) . (-) = - ou
(+): (-) = -
(-) . (+) = - ou
(-) : (+) = (sinais diferentes = -
Operações
em
Z:
Multiplicação e Divisão
Adição.
Subtração.
2) -4
)
Exemplos:
Adição e subtração de dois números inteiros com o
mesmo sinal: somam-se os valores absolutos e
conserva-se o sinal.
1) 3 . (-5) = -15
2) (-4) . (-3) = +12
3) -16: (+4) = -4
4) +2 . (+3) = +6
Exemplos:
1) +6 +3 = +9
2) - 4 - 5 = -9
Exercícios: Efetuar as operações:
Adição de dois números inteiros com sinais
diferentes: subtrai-se o número de menor valor
absoluto do número de maior valor absoluto e
conserva-se o sinal do número de maior valor.
1) (-4) . (-5) =
2) -24: (+6) =
3) +8 . (+2) =
4) (+9) . (-3) =
2) –4
Respostas: 1) +20
3) +16 4) -27
Exemplos:
Potenciação com números inteiros
1) +7 –4 =+3
2) -9 + 5 = -4
3) 7 -10 = -3
Se a base for positiva a potência será sempre
positiva (independe do expoente).
Exercícios
Efetuar as operações:
1) +5 + 8 = 2) -4-7 =
4) 8 -12 = 5) 23 -12 =
Respostas:
1) +13
2) -11 3) -3
Exemplos:
3
3) -9 + 6 =
4) -4
4
1) ( +2) = +8
2) ( +2) = +16
Se a base for negativa a potência será positiva se
o expoente for par. Será negativa se o expoente for
ímpar.
5) 11
Para somarmos mais de dois números inteiros,
somamos separadamente os positivos e os negativos,
depois somamos os dois resultados separadamente,
usando a regra anterior:
Exemplos:
2
3
1) (-3) = +9 2) (-3) = -27
Exercícios Efetuar:
Exemplos:
1)
3
1) (-2) =
8
3) ( -1) =
-3 + 9 -7 + 5 + 2 –3 –6 + 4.
Matemática
2
2
2) (-4) =
9
4) (-1) =
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Respostas: 1) -8
2) +16 3) +1
4) -1
Propriedade da potenciação
Observações:
Sejam a e b
n
Quando não aparecer o sinal subentende-se
que o número é positivo. Exemplo: 4 = +4.
m
a) a . a = a
n
4
4
n
IN, temos que:
n
m
b) a : a = a
n
d)a
n
0
n -m
=1 com a
0
n
e) 0 = 0
Na multiplicação de diversos fatores
envolvendo números negativos e positivos, contamos
os fatores negativos, se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto será negativo, se a
quantidade de fatores negativos for par, o produto
será positivo.
f) 1 = 1
Radiciação
Sejam a e b
temos
n
Zen
IN
a = b. Se a < 0 e n par não existe raiz.
Exercícios:
Exemplos:
I - Completar com os símbolos > , < ou =
1) (-1) . (+2) . (-3). (-1) . (+2) = -12, pois existem
três fatores negativos (-1, -3 e -1).
2) (+1) . (-2) . (+3) . (-1) = +6, pois existem dois
fatores negativos (-2 e -1).
Propriedades das operações em Z
Sejam a, b e c
Z.
Respostas: a) <
b)>
c) =
- Efetuar:
Respostas: a) –4
c) +9
d) 10
Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e
baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo
de vida. Vamos definir números pares e ímpares de
acordo com a concepção pitagórica:
-3 e + 3 são simétricos
-7 e +7 são simétricos.
par é o número que pode ser dividido em duas
partes iguais, sem que uma unidade fique no
meio, e ímpar é aquele que não pode ser
dividido em duas partes iguais, porque sempre
há uma unidade no meio
Multiplicação
a) a. b = b . a, Comutativa
b) (a . b) . c = (a. b) . c, Associativa
c) a. 1 = 1 . a = a, Elemento neutro
Propriedade distributiva
relação à adição.
b) 10
Números Pares e Ímpares
Exemplos:
da
multiplicação
Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação
com à natureza dos números:
em
número par é aquele que tanto pode ser
dividido em duas partes iguais como em
partes desiguais, mas de forma tal que em
nenhuma destas divisões haja uma mistura da
natureza par com a natureza ímpar, nem da
ímpar com a par. Isto tem uma única exceção,
que é o princípio do par, o número 2, que não
admite a divisão em partes desiguais, porque
ele é formado por duas unidades e, se isto
pode ser dito, do primeiro número par, 2.
c . (a + b) = (a + b) . c = ac + cb
Potenciação
a = a. a. a ... a
b) –7 ___-8
a) –10 +5 –3 +6 -2 b) (-6) . (-3) + 2.(-4)
c) –15 : 3 + 7. 2
d) 20:2
a) a + b = b + a, comutativa
b) (a+ b) + c = a +( b+ c), associativa
c) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutro
d) a + b = b + a = 0, elemento oposto ou simétrico.
Zen
a) -3 ___0
c) | -3|___ | +3|
II
Adição
n
n+m
c) ( a. b) = a .b
4
- (2)
2 , pois (-2) = (-2). (-2). (-2). (-2) = +16
4
e –2 = -2.2.2.2 = -16.
Sejam a, b
Z, e n e m
IN.
n vezes
n
Se a =b, se a > 0
b>0
todo n IN ,se a < 0 e n ímpar
b < 0 se a < 0 e n par b > 0.
Matemática
Para exemplificar o texto acima, considere o número
10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e
3
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5, mas também como a soma de 7 e 3 (que são
ambos ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são
pares); mas nunca como a soma de um número par e
outro ímpar. Já o número 11, que é ímpar pode ser
escrito como soma de 8 e 3, um par e um ímpar.
Atualmente, definimos números pares como sendo o
número que ao ser dividido por dois têm resto zero e
números ímpares aqueles que ao serem divididos por
dois têm resto diferente de zero. Por exemplo, 12
dividido por 2 têm resto zero, portanto 12 é par. Já o
número 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto
13 é ímpar.
algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7
então, o número original também será divisível por 7.
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
69 – 6 = 63
DIVISIBILIDADE POR 2
63 : 3 x 2 = 6
Um número é divisível por 2 quando é par.
6 – 6 = 0 : como 0 é divisível por 7, 693 também é
divisível.
Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4,
ou 6 , ou 8.
Ex2 :
Ex1 :
238 : 8 x 2 = 16
23 – 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é
divisível.
693 : 3 x 2 = 6
235 : 5 x 2 = 10
Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570
23 – 10 = 13 : como 13 não é divisível por 7, 235
também não é divisível.
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma
dos seus algarismos é divisível por 3.
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando os três
últimos algarismos formam um número
divisível por 8.
Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 (
S=33) - 570 (S=12)
DIVISIBILIDADE POR 4
Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos
algarismos formam um número divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma
dos seus algarismos é divisível por 9.
Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200
DIVISIBILIDADE POR 5
Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou
5.
DIVISIBILIDADE POR 10
Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
DIVISIBILIDADE POR 6
Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2
e3 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos
algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a
partir da
Ex : 36 - 24 - 126 - 1476
DIVISIBILIDADE POR 7
direita for múltipla de 11.
Tomar o último algarismo e calcular seu dobro.
Subtrair esse resultado do número formado pelos
Matemática
Ex : 7.973.207
4
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S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
múltiplos de 10 = 0 ,20, 30, 40, ...
múltiplos de 15 = 0 ,15, 30, 45, 60,...
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
Vemos que 30 é múltiplo de 10 e que 30 também é
múltiplo de 15, então 30 é m.m.c. entre 10 e 15
escreve-se m.m.c. (10,15) = 30
diferença = 11
NÚMEROS PRIMOS
Regra Prática - Decompõem-se os dois números
em fatores primos, simultaneamente.
Número Primo - É aquele que só tem dois
divisores: 1 e ele próprio.
Ex.:
10, 5
5,15
5, 5
1, 1
São Números Primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
etc.
1 não é primo, tem apenas um divisor.
Exercícios
2 é o único número par que é primo.
Calcule o m.m.c. entre:
NÚMEROS COMPOSTOS
1) 18 e 24 2) 60 e 240
São números que possuem mais de dois divisores.
Respostas: 1) 72
Ex. : 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, ... etc.
2) 240 3) 4032
Sejam os divisores de 12 = D (12) e os divisores de
18 = D (18):
D(12)= (1,2,3,4,6, 12} e
Decomposição de um número em fatores primos.
-
3)18, 42 e 64
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Obs.:
a) O número 1 não é composto e nem primo.
b) Zero também, não é composto e nem primo
(possui infinitos divisores)
-
2
3
5
2.3.5 = 30 (m.m.c.)
D(18) = (1,2,3,6,9, 18}
Divide - se o número dado pelo seu menor divisor
primo.
note que 6 é o maior divisor comum entre 12 e 18.
Procede-se da mesma maneira com cada quociente obtido, até que se tenha o quociente 1.
Regra Prática (Divisões Sucessivas)
Ex.:
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
3
72 = 2 . 3
2
e 2 e 3 são primos.
Exercícios
Exercícios:
Decompor em fatores primos.
1) 36
2) 42
2
2
Respostas: 1) 2 .3
2) 2.3.7
Determine o m.d.c. entre:
3) 896
7
3) 2 . 7
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
2) 48 e 72
4) 72, 48 e 240
Respostas: 1) 12
2) 24
3) 24
4) 24
Problemas:
m.m.c. entre dois números é o menor dos múltiplos
comuns entre os números, excluído o zero.
1) No Brasil o presidente permanece 5 anos no
cargo, os senadores permanecem 8 anos e os
deputados federais permanecem 4 anos.
Havendo eleições para os três cargos em 1994,
Ex.:
Matemática
1) 36 e 24
3) 384 e 120
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em que ano as eleições para estes cargos
ocorrerão simultaneamente.
1) (-1) . (+2) . (-3). (-1) . (+2) = -12, pois existem
três fatores negativos (-1, -3 e -1).
2) Três navios fazem viagem entre dois portos. O
primeiro cada 4 dias , o segundo cada 6 dias e
o terceiro cada 9 dias. Tendo estes navios
partido juntos, depois de quanto dias voltarão a
sair juntos novamente?
2) (+1) . (-2) . (+3) . (-1) = +6, pois existem dois
fatores negativos (-2 e -1).
Propriedades das operações em Z
Sejam a, b e c
3) Duas rodas de uma engrenagem têm 14 e 21
dentes respectivamente. Cada roda tem um
dente estragado. Se num dado instante
estiverem em contato os dois dentes
estragados, depois de quantas voltas se
repetirá esse encontro?
Respostas:
1) em 2034
2) 36 dias
Z.
Adição
a) a + b = b + a, comutativa
b) (a+ b) + c = a +( b+ c), associativa
c) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutro
d) a + b = b + a = 0, elemento oposto ou simétrico.
3) 42 voltas
Exemplos:
Potenciação
-3 e + 3 são simétricos
-7 e +7 são simétricos.
Se a base for positiva a potência será sempre
positiva (independe do expoente).
Multiplicação
Exemplos:
3
a) a. b = b . a, Comutativa
b) (a . b) . c = (a. b) . c, Associativa
c) a. 1 = 1 . a = a, Elemento neutro
4
1) ( +2) = +8
2) ( +2) = +16
Se a base for negativa a potência será positiva se
o expoente for par. Será negativa se o expoente for
ímpar.
Propriedade distributiva
relação à adição.
da
multiplicação
em
c . (a + b) = (a + b) . c = ac + cb
Exemplos:
2
Potenciação
3
1) (-3) = +9 2) (-3) = -27
Sejam a, b
Zen
IN.
Exercícios Efetuar:
n
3
1) (-2) =
8
3) ( -1) =
a = a. a. a ... a
2
2) (-4) =
9
4) (-1) =
Respostas: 1) -8
n
2) +16 3) +1
Se a =b, se a > 0
b>0
todo n IN ,se a < 0 e n ímpar
b < 0 se a < 0 e n par b > 0.
4) -1
Propriedade da potenciação
Observações:
Sejam a e b
Quando não aparecer o sinal subentende-se
que o número é positivo. Exemplo: 4 = +4.
4
4
n vezes
n
m
a) a . a = a
4
- (2)
2 , pois (-2) = (-2). (-2). (-2). (-2) = +16
4
e –2 = -2.2.2.2 = -16.
n
Z, e n e m
n+m
n
c) ( a. b) = a .b
n
m
b) a : a = a
n
d)a
n
0
n -m
=1 com a
0
n
e) 0 = 0
Na multiplicação de diversos fatores
envolvendo números negativos e positivos, contamos
os fatores negativos, se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto será negativo, se a
quantidade de fatores negativos for par, o produto
será positivo.
IN, temos que:
f) 1 = 1
Radiciação
Sejam a e b
temos
n
Zen
IN
a = b. Se a < 0 e n par não existe raiz.
Exemplos:
Propriedades da raiz quadrada
Matemática
6
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Já sabemos que todo número positivo possui raiz
quadrada. Quanto vale a raiz quadrada de zero?
7
x
3
Pense:
Vale zero, é claro, porque 0
raiz quadrada de - 3?
É sempre incômodo ter uma raiz no denominador
de uma fração. Para resolver isso, multiplicamos o
numerador e o denominador da fração pelo próprio
denominador.
Chamamos isto de racionalizar o
denominador.
2 2
= 0. E quanto será a
Pense:
Essa não existe, porque quando elevamos
qualquer número ao quadrado, o resultado é sempre
positivo. Logo, nenhum número negativo possui raiz
quadrada. A nossa primeira propriedade será, então:
I- Se a > 0 existe
a . Se a < 0, não existe
3x 3
Pelas
3
a
propriedades
3 3 e ainda, 7
II
e
3
III
7 3
temos
que
21 .
Então,
A nossa segunda propriedade é uma consequência
da definição de raiz quadrada:
I- Se a > 0, então
7x 3
x
x
21
3
a. a =a
A terceira e a quarta propriedades vão nos ajudar a
operar com as raízes quadradas:
III- Se a e b são positivos, então,
ab
a
Números Racionais
(Frações)
b
IV- Se a e b são positivos (e b Se a e b são
positivos, então
a
b
a
b
Observe agora o exemplo seguinte, no qual
aplicaremos essas propriedades na solução de uma
equação:
Um círculo foi dividido em duas partes iguais.
Dizemos que uma unidade dividida em duas partes
iguais e indicamos 1/2.
EXEMPLO
onde: 1 = numerador e
2 = denominador
2
3x = 7
Solução:
A primeira coisa a fazer é dividir por 3 para isolar a
incógnita.
3x 2
3
Um círculo dividido em 3 partes iguais indicamos
(das três partes hachuramos 2).
7
3
Quando o numerador é menor que o denominador
temos uma fração própria. Observe:
Agora vamos extrair a raiz quadrada. Neste caso,
não precisaremos colocar o sinal + do lado direito
porque o enunciado só nos pede para determinar a
solução positiva. Temos então:
x
Observe:
7
3
Observe agora como usamos as propriedades para
dar a resposta de outra forma. Pela propriedade IV,
podemos escrever
Matemática
7
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Quando o numerador é maior que o denominador
temos uma fração imprópria.
1
3
e
3
4
Frações Equivalentes
=
12 : 3 1
e
12
Duas ou mais frações são equivalentes, quando
representam a mesma quantidade.
12 : 4 3
12
temos:
4
9
e
12
12
A fração
1
4
é equivalente a
.
3
12
A fração
3
9
equivalente
.
4
12
Exercícios:
1) Achar três frações equivalentes às seguintes
frações:
Dizemos que:
1
2
2
4
3
6
1)
- Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador por mesmo número
diferente de zero.
Ex:
1
2
2
2
2
ou
4
1 3
.
2 3
1
4
Respostas: 1)
3
6
2
3
4
,
,
8 12 16
2)
2
3
2)
4 6 8
, ,
6 9 12
Comparação de frações
a) Frações de denominadores iguais.
Para simplificar frações devemos dividir o
numerador e o denominador, por um mesmo
número diferente de zero.
Se duas frações tem denominadores iguais a maior
será aquela: que tiver maior numerador.
Quando não for mais possível efetuar as
divisões dizemos que a fração é irredutível.
Ex.:
Exemplo:
1
4
1
4
ou
3
4
b) Frações com numeradores iguais
18 2
9
:
12 2
6
Simplificada
Exemplo:
3
4
3
6
Fração
Irredutível
Se duas frações tiverem numeradores iguais, a
menor será aquela que tiver maior denominador.
ou
Ex.:
1
3
e
3
4
7
4
7
5
ou
7
5
7
4
c) Frações com numeradores e denominadores
receptivamente diferentes.
Reduzimos ao mesmo denominador e depois
comparamos. Exemplos:
2
1
3
3
decrescente)
Calcular o mmc (3,4):
3,4 2
3,2 2x
então mmc (3, 4) = 12
3,1 3
1,1 12
Matemática
4
5
8
denominadores
iguais
(ordem
4
numeradores iguais (ordem crescente)
3
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Simplificação de frações
2
2
5
4
e
e
2)
5
3
3
3
5 2
4
e
3) ,
6 3
5
1)
Para simplificar frações devemos dividir o
numerador e o denominador por um número diferente
de zero.
Quando não for mais possível efetuar as divisões,
dizemos que a fração é irredutível. Exemplo:
18 : 2
12 : 2
9: 3
6: 3
3
2
2)
Fração irredutível ou simplificada.
Exercícios: Simplificar
Respostas: 1)
3
4
2)
1)
9
12
4
3
5
3
2)
36
45
4
3
5
6
3
2
a) Com denominadores iguais somam-se
ou subtraem-se os numeradores e
conserva-se o denominador comum.
4
5
Ex:
2
3
5
3
1
3
4
5
4 3
5
8
3
1
5
Ex:
1)
1
2
3
4
2
=
3
mmc. (2, 4, 3) = 12
(12 : 2).1 (12 : 4).3 (12.3).2
12
temos:
2)
4
9
e
12
12
4
3
6 9 8
12
23
12
2
= mmc. (3,9) = 9
9
(9 : 3).4 - (9 : 9).2
9
1
4
A fração
é equivalente a
.
3
12
3
9
A fração
equivalente
.
4
12
Exemplo:
2
4
?
numeradores diferentes
3
5
denominadores diferentes
m.m.c.(3, 5) = 15
(15 : 3).2
(15.5).4
?
=
15
15
10
12
(ordem crescente)
15
15
3
5
2 5 1
3
b) Com denominadores diferentes reduz
ao mesmo denominador depois soma ou
subtrai.
Calcular o mmc (3,4):
3,4 2
3,2 2 x então mmc (3, 4) = 12
3,1 3
1,1 12
12 - 2
9
10
9
Exercícios. Calcular:
2
7
2
3)
3
1)
e
5
7
1
4
1
7
1
3
Respostas: 1)
2)
8
7
2)
4
6
2
3
5
6
1
6
3)
7
12
Multiplicação de Frações
Para multiplicar duas ou mais frações devemos
multiplicar os numeradores das frações entre si, assim
como os seus denominadores.
Exercícios: Colocar em ordem crescente:
Matemática
3)
1) Adição e Subtração
1
3
e
3
4
1
3
e
=
3
4
12 : 3 1
12 : 4 3
e
12
12
2
3
Operações com frações
Redução de frações ao menor denominador
comum
Ex.:
2
5
Respostas: 1)
9
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Exemplo:
Exemplo:
2 3
.
5 4
2 3
x
5 4
6
20
3
10
3)
2 5
5 4
1
5
3
5
2
3
1
9
1)
2)
4
9
2
3
Exercícios. Efetuar:
Exercícios: Calcular:
1)
4
9
2 3 4
5 2 3
16
25
2)
Respostas: 1)
1
3
3)
9
16
1
3
1
2
2
2)
4
5
3) 1
Números Decimais
Respostas:
24
10 5
1)
2)
30
12 6
4
5
3)
Toda fração com denominador 10, 100, 1000,...etc,
chama-se fração decimal.
4
15
3
4
7
,
,
, etc
10
100
100
Ex:
Divisão de frações
Escrevendo estas frações na forma decimal temos:
Para dividir duas frações conserva-se a primeira e
multiplica-se pelo inverso da Segunda.
4 2
:
Exemplo:
5 3
4 3
.
5 2
12
10
3
= três décimos,
10
4
= quatro centésimos
100
7
= sete milésimos
1000
6
5
Exercícios. Calcular:
1)
4 2
:
3 9
3)
2
5
2)
3
4
:
5
3
8 6
:
15 25
1
3
Respostas: 1) 6
Escrevendo estas frações na forma decimal temos:
2)
20
9
3
=0,3
10
3) 1
4
= 0,04
100
7
= 0,007
1000
Outros exemplos:
Potenciação de Frações
Eleva o numerador e o denominador ao expoente
dado. Exemplo:
2
3
3
23
3
3
3
4
2)
1
2
Respostas: 1)
9
16
3)
2187
10
Exercícios. Representar em números decimais:
4
3)
4
3
2)
1
16
2
1
2
3)
3
1)
35
10
2)
473
100
Respostas: 1) 3,5
119
72
3)
430
1000
2) 4,73
3) 0,430
Leitura de um número decimal:
Radiciação de Frações
Ex.:
Extrai raiz do numerador e do denominador.
Matemática
635
= 6,35
100
Note que a vírgula “caminha” da direita para a
esquerda, a quantidade de casas deslocadas é a
mesma quantidade de zeros do denominador.
8
27
2
2)
=218,7
Exercícios. Efetuar:
1)
34
= 3,4
10
1)
10
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
1596 +
______
20,216
3 casas após a vírgula
Exercícios. Efetuar as operações:
1) 2,41 . 6,3
2) 173,4 . 3,5 + 5
3) 31,2 . 0,753
Respostas: 1) 15,183
23,4936
2) 629,9
.
4,6
3)
Divisão de números decimais
Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o
divisor e quando o dividendo for menor que o divisor
acrescentamos um zero antes da vírgula no quociente.
Operações com números decimais
Adição e Subtração
Ex.:
a) 3:4
3 |_4_
30 0,75
20
0
Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou
subtraem-se unidades de mesma ordem. Exemplo 1:
10 + 0,453 + 2,832
10,000
+ 0,453
2,832
_______
13,285
b)
47,3 - 9,35
47,30
9,35
______
37,95
Ex.: 2/5 =
1)
2
| 5 ,então 2/5=0,4
20 0,4
Transformar as frações em números decimais.
31,45
1)
2) 114,37 - 93,4
+ 0,53 - 15, 3
Respostas: 1) 36,128
68,93
46 | 20
60 2,3
0
Exercícios
Exercícios. Efetuar as operações:
3) 83,7
=
Obs.:
Para transformar qualquer fração em
número decimal basta dividir o numerador pelo
denominador.
Exemplo 2:
1) 0,357 + 4,321 +
4,6:2
4,6 |2,0
1
5
Respostas: 1) 0,2
2) 20,97
3)
2)
2)
4
5
3)
1
4
2) 0,8 3) 0,25
Efetuar as operações:
1) 1,6 : 0,4
2) 25,8 : 0,2
Multiplicação com números decimais
3) 45,6 : 1,23
Multiplicam-se dois números decimais como se
fossem inteiros e separam-se os resultados a partir da
direita, tantas casas decimais quantos forem os
algarismos decimais dos números dados.
Exemplo:
5,32
x 3,8
______
4256
Matemática
4)
178 : 4,5-3,4.1/2
5) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4
Respostas: 1) 4
3) 35,07
4) 37,855
5,32 x 3,8
2 casas,
1 casa após a virgula
2) 129
5) 200,0833....
Problemas
11
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
1)
Sabendo que uma peça de fazenda custa R$
60,00. Quando custa 1/4 desta fazenda?
2)
Tinha R$ 880,00 gastei 3/4 , quanto restou?
3)
Um feirante vendeu 4/5 de uma caixa de
laranjas, que inicialmente tinha 75 laranjas.
Quantas laranjas foram vendidas?
Respostas: 1) R$ 15,00
laranjas
2) R$ 220,00
3)
como nas frações positivas, já estudadas, obedecendo
às regras decimais do conjunto Z.
Exercícios. Efetuar:
60
2
3
-17,2
Q,
0,7777...
3)
2
5
1) -1
É o conjunto formado por todos os números
fracionários ou decimais finitos e decimais infinitos e
periódicos. Exemplo:
Q, 0,5
1
3
2
3
5
4
2)
8
5
3
4
4)
1
:
3
5
6
Respostas:
CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
1
4
1)
2)
17
20
3)
1
2
4)
2
5
SISTEMA DECIMAL
DE MEDIDAS
Q,
A) Unidades de Comprimento
B) Unidades de ÁREA
C) Áreas Planas
D) Unidades de Volume e de Capacidade
E) Volumes dos principais sólidos geométricos
F) Unidades de Massa
Q, -1,34343434.. Q,
Q
A) UNIDADES DE COMPRIMENTO
Os números inteiros podem ser escritos com forma
de fração
Ex.: 7
Q, pois 7 =
-3
Q, pois
A1 — Medidas de comprimento:
Medir significa comparar. Quando se mede um
determinado comprimento, estamos comparando este
comprimento com outro tomado como unidade de
medida. Portanto, notamos que existe um número
seguido de um nome: 4 metros — o número será a
medida e o nome será a unidade de medida.
14
2
9
= -3
3
Podemos medir a página deste livro utilizando
um lápis; nesse caso o lápis foi tomado como unidade
de medida ou seja, ao utilizarmos o lápis para
medirmos o comprimento do livro, estamos verificando
quantas vezes o lápis (tomado como medida padrão)
caberá nesta página.
Os números decimais infinitos e não periódicos não
podem ser escritos em forma de frações.
Ex.:
1,4142135...
3,14159... Q
Concluímos que Z
Q, 1,7320508...
Q,
Q.
Para haver uma uniformidade nas
humanas estabeleceu-se o metro como
fundamental de medida de comprimento;
origem ao sistema métrico decimal,
oficialmente no Brasil.
Exercícios
Completar com:
1) 2/3 _____ Q
A2 — Múltiplos e sub-múltiplos do sistema
métrico: Para escrevermos os múltiplos e submúltiplos do sistema métrico decimal, utilizamos os
seguintes prefixos gregos:
KILO significa 1.000 vezes
2) –6_____ Q
3) 0,3 _____ Q,
4) -1,77777... _____ Q
5) 2,31097521078 ... _____ Q
Respostas: 1)
2)
3)
4)
HECTA
DECA
DECI
CENTI
MILI
5)
Obs.:
Para realizarmos operações com
frações negativas, usamos o mesmo procedimento
Matemática
relações
unidade
que deu
adotado
12
significa 100 vezes
significa 10 vezes
significa décima parte
significa centésima parte
significa milésima parte.
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
1km = 1.000m
1hm = 100m
1dam = 10m
e
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 m = 1000 mm
Elementos de uma circunferência:
A3 — Transformações de unidades: Cada
unidade de comprimento é dez (10) vezes maior que a
unidade imediatamente. inferior. Na prática cada
mudança de vírgula para a direita (ou multiplicação
por dez) transforma uma unidade imediatamente
inferior a unidade dada; e cada mudança de vírgula
para a esquerda (ou divisão por dez) transforma uma
unidade na imediatamente superior.
Ex.:
45 Km
45 . 1.000 = 45.000 m
500 cm
500 ÷ 100 = 5 m
8 Km e 25 m
8.000m + 25m = 8.025
m ou 8,025 Km.
O perímetro da circunferência é calculado
multiplicando-se 3,14 pela medida do diâmetro.
Resumo
3,14 . medida do diâmetro = perímetro.
B) UNIDADES DE ÁREA: a ideia de superfície
já é nossa conhecida, é uma noção intuitiva. Ex.:
superfície da mesa, do assoalho que são exemplos de
superfícies planas enquanto que a superfície de uma
bola de futebol, é uma superfície esférica.
A4 — Permitido de um polígono: o perímetro de
um polígono é a soma do comprimento de seus lados.
Damos o nome de área ao número que mede
uma superfície numa determinada unidade.
Metro quadrado: é a unidade fundamental de
medida de superfície (superfície de um quadrado que
tem 1 m de lado).
Propriedade: Toda unidade de medida de
superfície é 100 vezes maior do que a imediatamente
inferior.
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado:
Múltiplos
2
2
2
km : 1.000.000 m m
2
2
hm : 10.000 m
2
2
dam : 100 m
A5 — Perímetro de uma circunferência: Como a
abertura do compasso não se modifica durante o
traçado vê-se logo que os pontos da circunferência
distam igualmente do ponto zero (0).
2
Submúltiplos
2
2
cm : 0,0001 m
2
2
dm : 0,01 m
2
2
mm : 0,000001m
1km = 1000000 (= 1000 x 1000)m
2
2
1 hm = 10000 (= 100 x 100)m
2
2
1dam =100 (=10x10) m
2
Regras Práticas:
para se converter um número medido numa
unidade para a unidade imediatamente
superior deve-se dividi-lo por 100.
Matemática
13
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
para se converter um número medido numa
unidade, para uma unidade imediatamente
inferior, deve-se multiplicá-lo por 100.
Medidas Agrárias:
2
centiare (ca) — é o m
2
2
are (a) —é o dam (100 m )
2
C6 — Área de polígono regular: a área do
polígono regular é igual ao produto da medida do
perímetro (p) pela medida do apotema (a) sobre 2.
2
hectare (ha) — é o hm (10000 m ).
C) ÁREAS PLANAS
C1 — Retângulo: a área do retângulo é dada
pelo produto da medida de comprimento pela medida
da largura, ou, medida da base pela medida da altura.
C2 — Quadrado: a área do quadrado é dada
pelo produto “lado por lado, pois sendo um retângulo
de lados iguais, base = altura = lado.
D) UNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE
D1 — Unidades de volume: volume de um sólido
é a medida deste sólido.
Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo
cuja aresta mede 1 m.
C3 — Triângulo: a área do triângulo é dada pelo
produto da base pela altura dividido por dois.
Propriedade: cada unidade de volume é 1.000
vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Múltiplos e sub-múltiplos do metro cúbico:
Múltipios
Submúltiplos
3
3
3
3
km ( 1 000 000 000m )
dm (0,001 m )
3
3
3
3
hm ( 1 000 000 m )
cm (0,000001m )
3
3
3
3
dam (1 000 m )
mm (0,000 000 001m )
C4 — Trapézio: a área do trapézio é igual ao
produto da semi-soma das bases, pela altura.
Como se vê:
3
1 km3 = 1 000 000 000 (1000x1000x1000)m
3
3
1 hm = 1000000 (100 x 100 x 100) m
3
3
1dam = 1000
(10x10x10)m
3
3
1m =1000 (= 10 x 10 x 10) dm
3
3
1m =1000 000 (=100 x 100 x 100) cm
3
3
1m = 1000000000 ( 1000x 1000x 1000) mm
C5 — Losango: a área do losango é igual ao
semi-produto das suas diagonais.
Matemática
14
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
D2 Unidades de capacidade: litro é a unidade
fundamental de capacidade. Abrevia-se o litro por l.
O litro é o volume equivalente a um decímetro
cúbico.
Múltiplos
Submúltiplos
hl ( 100 l)
dal ( 10 l)
dl (0,1 l)
cl (0,01 l)
ml (0,001 l)
litro l
Como se vê:
1 hl = 100 l
1 dal = 10 l
1 l = 10 dl
1 l = 100 cl
1 l = 1000 ml
E4 — Volume do cilindro: o volume do cilindro é
dado pelo produto da área da base pela altura.
E) VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
E1 — Volume do paralelepípedo retângulo: é o
mais comum dos sólidos geométricos. Seu volume é
dado pelo produto de suas três dimensões.
F) UNIDADES DE MASSA
— A unidade fundamental para se medir massa
de um corpo (ou a quantidade de matéria que esse
corpo possui), é o kilograma (kg).
3
— o kg é a massa aproximada de 1 dm de
água a 4 graus de temperatura.
E2 — Volume do cubo: o cubo é um
paralelepipedo retângulo de faces quadradas. Um
exemplo comum de cubo, é o dado.
— Múltiplos e sub-múltiplos do kilograma:
Múltiplos
kg (1000g)
hg ( 100g)
dag ( 10 g)
O volume do cubo é dado pelo produto das
medidas de suas três arestas que são iguais.
Submúltiplos
dg (0,1 g)
cg (0,01 g)
mg (0,001 g)
Como se vê:
3
V = a. a . a = a cubo
1kg = 1000g
1 hg = 100 g e
1 dag = 10g
E3 —Volume do prisma reto: o volume do
Base
prisma reto é dado pelo produto da
área da base pela medida da altura.
1g = 10 dg
1g= 100 cg
1g = 1000 mg
Para a água destilada, 1.º acima de zero.
volume
capacidade
massa
2
1dm
1l
1kg
Medidas de tempo:
Matemática
15
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Não esquecer:
1dia = 24 horas
1 hora = sessenta minutos
1 minuto = sessenta segundos
1 ano = 365 dias
1 mês = 30 dias
Matéria
Notas Peso
Português
60,0
5
Matemática
40,0
3
História
70,0
2
60 . 5 40 3 70 . 2
mp
5 3 2
Média geométrica
300 120 140
10
Numa proporção contínua, o meio comum é
denominado média proporcional ou média geométrica
dos extremos. Portanto no exemplo acima 8 é a média
proporcional entre 4 e 16. O quarto termo de uma
proporção contínua é chamado terceira proporcional.
Assim, no nosso exemplo, 16 é a terceira proporcional
depois de 4 e 8.
56
Razões e proporções
1. INTRODUÇÃO
Para se calcular a média proporcional ou
geométrica de dois números, teremos que calcular o
valor do meio comum de uma proporção continua. Ex.:
4
X
X 16
Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje
um reajuste de $ 80,00, como você reagiria? Acharia
caro, normal, ou abaixo da expectativa? Esse mesmo
valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignificante, se se tratasse
de um acréscimo no seu salário.
4 . 16 x . x
2
x = 64 x
Naturalmente, você já percebeu que os $
80,00 nada representam, se não forem comparados
com um valor base e se não forem avaliados de
acordo com a natureza da comparação. Por exemplo,
se a mensalidade escolar fosse de $ 90,00, o reajuste
poderia ser considerado alto; afinal, o valor da
mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do
salário, mesmo considerando o salário mínimo, $
80,00 seriam uma parte mínima. .
64 =8
B2 — 4.º proporcional: é o nome dado ao quarto
termo de uma proporção não continua. Ex.:
4
8
12
, 4 . x = 8 . 12
F
96
x=
=24.
4
A fim de esclarecer melhor este tipo de
problema, vamos estabelecer regras para comparação
entre grandezas.
Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do
elemento desconhecido de uma proporção).
2. RAZÃO
B4 — Média Aritmética Simples: (ma)
Você já deve ter ouvido expressões como: "De
cada 20 habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 10
alunos, 2 gostam de Matemática", "Um dia de sol,
para cada dois de chuva".
A média aritmética simples de dois números é
dada pelo quociente da soma de seus valores e pela
quantidade das parcelas consideradas.
Ex.:
determinar a ma de: 4, 8, 12, 20
ma
4 8 12 20
4
44
4
Em cada uma dessas. frases está sempre
clara uma comparação entre dois números. Assim, no
primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2
entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.
11
B5 — Média Aritmética Ponderada (mv):
Todas
matematicamente
chamado razão.
A média aritmética ponderada de vários números aos quais são atribuídos pesos (que indicam o
número de vezes que tais números figuraram)
consiste no quociente da soma dos produtos — que
se obtém multiplicando cada número pelo peso
correspondente, pela soma dos pesos.
serão
quociente
Teremos, pois:
a. De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos.
Ex.: No cálculo da média final obtida por um
aluno durante o ano letivo, usamos a média aritmética
ponderada. A resolução é a seguinte:
Matemática
as
comparações
expressas por um
Razão =
16
5
20
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
b. De cada l0 alunos,
Matemática.
Razão =
2 gostam de
2
10
Na expressão acima, a e c são chamados de
antecedentes e b e d de conseqüentes. .
A proporção também pode ser representada como
a : b : : c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida
assim: a está para b assim como c está para d. E
importante notar que b e c são denominados meios e
a e d, extremos.
c. Um dia de sol, para cada dois de chuva.
Exemplo:
A razão entre dois números a e b, com b
0, é o quociente
a
, ou a : b.
b
Razão =
A proporção
3.1 Propriedade fundamental
1
10
O produto dos extremos é igual ao produto dos
meios:
2. Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou
todas.
a
c
=
b
d
6
Razão =
6
Se
2
3
(ferro) Razão =
5
5
(zinco).
24
, então 6 . 96 = 24 . 24 = 576.
96
a
c
=
, entao
b
d
a - c
a
ou
=
=
b - d
b
Se
a + c
=
b + d
c
d
a
=
b
c
,
d
Essa propriedade é válida desde que
nenhum denominador seja nulo.
20
80
Exemplo:
21 + 7
28
7
=
=
12 + 4
16
4
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o
nome de proporção.
Matemática
6
=
24
Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos
antecedentes está para a soma (ou diferença) dos
conseqüentes assim como cada antecedente está
para seu conseqüente. Ou seja:
Há situações em que as grandezas que estão
sendo comparadas podem ser expressas por razões
de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém
com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma
pesquisa escolar nos revelar que, de 40 alunos
entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos
supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na
verdade, estamos afirmando que 10 estão
representando em 40 o mesmo que 20 em 80.
=
0
3.2 Adição (ou subtração) dos antecedentes e
conseqüentes
3. PROPORÇÃO
10
40
ad = bc ; b, c
Exemplo:
3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3
partes de zinco.
Escrevemos:
9
, ou 3 : 7 : : 9 : 21, é lida
21
3 e 9 como antecedentes,
7 e 21 como conseqüentes,
7 e 9 como meios e
3 e 21 como extremos.
1. Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor.
Razão =
=
da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9 está
para 21. Temos ainda:
1
2
Nessa expressão, a chama-se antecedente e b,
conseqüente. Outros exemplos de razão :
Razão =
3
7
17
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
21
7
=
12
4
Podemos destacar outros exemplos de grandezas
inversamente proporcionais:
21 - 7
14
7
=
=
12 - 4
8
4
1. Velocidade média e tempo de viagem,
pois, se você dobrar a velocidade com que
anda, mantendo fixa a distância a ser
percorrida, reduzirá o tempo do percurso
pela metade.
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E
DIVISÃO PROPORCIONAL
1. INTRODUÇÃO:
2. Número de torneiras de mesma vazão e
tempo para encher um tanque, pois,
quanto mais torneiras estiverem abertas,
menor o tempo para completar o tanque.
No dia-a-dia, você lida com situações que
envolvem números, tais como: preço, peso, salário,
dias de trabalho, índice de inflação, velocidade,
tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a
cada uma dessas situações mensuráveis como uma
grandeza. Você sabe que cada grandeza não é
independente, mas vinculada a outra conveniente. O
salário, por exemplo, está relacionado a dias de
trabalho. Há pesos que dependem de idade,
velocidade, tempo etc. Vamos analisar dois tipos
básicos
de
dependência
entre
grandezas
proporcionais.
Duas
grandezas
são
inversamente
proporcionais quando, aumentando (ou
diminuindo) uma delas numa determinada
razão, a outra diminui (ou aumenta) na
mesma razão.
Podemos concluir que :
Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de
reconhecer a natureza da proporção, e destacar a
razão. Considere a situação de um grupo de pessoas
que, em férias, se instale num acampamento que
cobra $100,00 a diária individual.
2. PROPORÇÃO DIRETA
Grandezas
como
trabalho
produzido
e
remuneração obtida são, quase sempre, diretamente
proporcionais. De fato, se você receber $ 2,00 para
cada folha que datilografar, sabe que deverá receber $
40,00 por 20 folhas datilografadas.
Observe na tabela a relação entre o número de
pessoas e a despesa diária:
Podemos destacar outros exemplos de grandezas
diretamente proporcionais:
1. Velocidade média e distância percorrida, pois,
se você dobrar a velocidade com que anda,
deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância
percorrida.
2. Área e preço de terrenos.
3. Altura de um objeto e comprimento da sombra
projetada por ele.
1
2
4
5
10
Despesa
diária ( $
)
100
200
400
500
1.000
Você pode perceber na tabela que a razão de
aumento do número de pessoas é a mesma para o
aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o número
de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a
despesa. Esta é portanto, uma proporção direta, ou
melhor, as grandezas número de pessoas e despesa
diária são diretamente proporcionais.
Assim:
Duas grandezas São diretamente
proporcionais quando, aumentando
(ou diminuíndo) uma delas numa
determinada razão, a outra diminui (
ou aumenta) nessa mesma razão.
Suponha também que, nesse mesmo exemplo,
quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre
$2.000,00. Perceba, então, que o tempo
permanência do grupo dependerá do número
pessoas.
3. PROPORÇÃO INVERSA
Grandezas como tempo de trabalho e número de
operários para a mesma tarefa são, em geral,
inversamente proporcionais. Veja: Para uma tarefa
que 10 operários executam em 20 dias, devemos
esperar que 5 operários a realizem em 40 dias.
Matemática
Número
de
pessoas
a
de
de
de
Analise agora a tabela abaixo :
18
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Número de
pessoas
1
2
4
5
10
Tempo de
permanênci
a (dias)
20
10
5
4
2
660
X
=
11
6
Como X +
X =
6
660
11
= 360
Y = 660, então Y = 300
Concluindo, A deve receber $ 360,00 enquanto B,
$ 300,00.
4.2 Inversamente proporcional
Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o
tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é,
portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as
grandezas número de pessoas e número de dias são
inversamente proporcionais.
E se nosso problema não fosse efetuar divisão em
partes
diretamente
proporcionais,
mas
sim
inversamente? Por exemplo: suponha que as duas
pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo
período para fabricar e vender por $ 160,00 um certo
artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5
dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema
agora é dividir $160,00 em partes inversamente
proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em
consideração que aquele que se atrasa mais deve
receber menos.
4. DIVISÃO EM PARTES
PROPORCIONAIS
4. 1 Diretamente proporcional
Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de
um mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas
e B durante 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir
com justiça os $ 660,00 apurados com sua venda? Na
verdade, o que cada um tem a receber deve ser
diretamente proporcional ao tempo gasto na
confecção do objeto.
Dividir um número em partes
inversamente proporcionais a outros
números dados é encontrar partes desse
número que sejam diretamente
proporcionais aos inversos dos números
dados e cuja soma reproduza o próprio
número.
No
nosso problema, temos de dividir 160 em partes
Dividir um número em partes diretamente
proporcionais a outros números dados é
encontrar partes desse número que sejam
diretamente proporcionais aos números
dados e cuja soma reproduza o próprio
número.
inversamente proporcionais a 3 e a 5, que são os
números de atraso de A e B. Vamos formalizar a
divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y
o que B tem a receber.
x + y = 160
No nosso problema, temos de dividir 660 em partes
diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas
que A e B trabalharam.
x
1
3
Teremos:
Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que
A tem a receber, e de y o que B tem a receber.
y
1
5
=
Resolvendo o sistema, temos:
Teremos então:
x + y
1
1
+
3
5
X + Y = 660
X
6
=
Y
5
=
x
1
3
x + y
=
8
15
x
1
3
Mas, como x + y = 160, então
Esse sistema pode ser resolvido, usando as
propriedades de proporção. Assim:
X + Y
6 + 5
160
=
8
15
= Substituindo X + Y por 660, vem :
Matemática
x
1
3
x = 160
19
x =
15
8
160
8
15
1
3
1
3
x = 100
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Como x + y = 160, então y = 60. Concluíndo, A
deve receber $ 100,00 e B, $ 60,00.
x
10
4.3 Divisão proporcional composta
Vamos analisar a seguinte situação: Uma
empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua.
Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo
pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da
seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens
trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12
homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade
de trabalho. A empreiteira tinha $ 29.400,00 para
dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho.
Como fazê-lo?
y
x
y
=
ou
=
5
12 4
50
48
x + y
x
=
50 + 48
50
Como x + y = 29400, então
x =
29400
50
29400
x
=
98
50
15.000
Portanto y = 14 400.
Concluindo, a primeira turma deve receber
$15.000,00 da empreiteira, e a segunda, $ 14.400,00.
Observação : Firmas de projetos costumam cobrar
cada trabalho usando como unidade o homem-hora. O
nosso problema é um exemplo em que esse critério
poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso
seria homem-dia. Seria obtido o valor de $ 300,00 que
é o resultado de 15 000 : 50, ou de 14 400 : 48.
Essa divisão não é de mesma natureza das
anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em
partes proporcionais, já que os números obtidos
deverão ser proporcionais a dois números e também a
dois outros.
Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias,
produzindo o mesmo resultado de 50 homens,
trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda
turma, 12 homens trabalharam 4 dias, o que seria
equivalente a 48 homens trabalhando um dia.
REGRA DE SOCIEDADE
1. INTRODUÇÃO
Os problemas que este capitulo se propõe a
discutir e resolver, como você logo perceberá, não são
nada mais do que aplicações dos casos de divisões
em partes proporcionais.
Para a empreiteira, o problema passaria a ser,
portanto, de divisão diretamente proporcional a 50
(que é 10 . 5), e 48 (que é 12 . 4).
Por sociedade entendemos, aqui, um grupo de
duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com
um determinado capital, o qual deverá ser aplicado
por um certo tempo, numa atividade qualquer, com o
objetivo de conseguir lucros.
Para dividir um número em partes de tal
forma que uma delas seja proporcional a
m e n e a outra a p e q, basta divida esse
número em partes proporcionais a m . n e
p . q.
Suponha, por exemplo, que três amigos ganhem
$9.000,00 na loteria, como resultado da premiação de
um jogo, cujo valor total era $ 4,50.
Considere que os sócios contribuíram com as
seguintes quantias :
Convém lembrar que efetuar uma divisão em
partes inversamente proporcionais a certos números é
o mesmo que fazer a divisão em partes diretamente
proporcionais ao inverso dos números dados.
Resolvendo nosso problema, temos:
Chamamos de x: a quantia que deve receber a
primeira turma; y: a quantia que deve receber a
segunda turma. Assim:
Sócios
A
Capital ( $ )
1,00
B
1,50
C
2,00
Quanto cada sócio deverá receber? Naturalmente,
este é um caso de divisão em partes diretamente
proporcionais às quantias investidas. Assim, temos:
Matemática
20
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
A
B
C
=
=
1,00
1,50
2,00
Chamando de x e y o que Gigi e Helena devem
respectivamente receber, teremos:
x
2 500
A + B + C = 9.000,0
Aplicando as propriedades das proporções já
vistas, temos:
Resolvendo o sistema:
A +B + C
A
=
1,00 + 1,50 + 2,00
1,00
9.000,00
A
4,50
100
,
B
150
,
C
2,00
x
2 500
9.000,00 . 1,00
A =
4,50
Então A = 2.000,00
Usando o mesmo processo, encontraremos:
B = 3.000,00
e
C = 4.000,00
x
2500
3
x
7500
y
2000
3
y
6000
y
2000
13500
4500
Os lucros ou prejuízos serão divididos em
partes diretamente proporcionais aos
períodos de tempo em que os capitais
ficaram investidos.
O que define uma sociedade como simples ou
composta é o fato de os capitais aplicados e de os
períodos de tempo da aplicação serem iguais ou
diferentes para cada sócio.
Exemplo:
2. REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES
Três amigos, A, B e C, juntaram-se numa
sociedade com idêntica participação no capital inicial.
A deixou seu capital no negócio durante 4 meses, B
por 6 meses e C durante 3 meses e meio. Dividir com
justiça, o lucro auferido de $ 162 000,00.
Primeiro caso: Os capitais são diferentes, mas
aplicados durante períodos de tempo iguais. Nesse
caso podemos afirmar que :
Os lucros ou prejuízos serão divididos em
partes diretamente proporcionais aos
capitais investidos.
Neste problema há a necessidade de, inicialmente,
transformarmos os períodos de tempo para uma
mesma unidade: ou meses, ou dias. Vamos usar a
unidade dias, considerando o mês comercial com 30
dias.
Exemplo:
Gigi e Helena montaram uma casa de chocolates
caseiros. Os capitais investidos foram:
A
B
C
=
=
120
180
105
Capital Investido
A + B + C = 162000
2.500,00
2.000,00
Aplicando as propriedades, temos:
Ao final de um ano, o balanço apurou um lucro de
$13.500,00. Quanto cada uma deverá receber?
Matemática
x
2500
Segundo caso: Os capitais são iguais, mas
aplicados durante períodos de tempo diferentes.
Nesse caso podemos afirmar que:
Nos casos de sociedades mais complexas, é
importante também o período de tempo durante o qual
cada sócio deixa seu dinheiro investido.
Gigi
Helena
y
2000
Portanto, Gigi receberá $ 7 500,00 e Helena $ 6
000,00.
Portanto, A receberá $ 2.000,00; B receberá $
3.000,00 e C receberá $ 4.000,00.
Sócios
y
e x + y = 13 500
2 000
21
M@rio Castro Apostilas
3
Apostilas Prof.º Mário Castro
A
B
C
120 180 105
162000
400
405
A
120
400
A
A B C
120 180 105
y
12000
y
72000
Portanto, o primeiro sócio receberá $ 45 000,00 e o
segundo $ 72 000,00.
48000
REGRA DE TRÊS
1. INTRODUÇÃO
B
180
400
C
105
400
B
C
72000
Nos capítulos anteriores, quando analisamos
grandezas
proporcionais,
procuramos
apenas
reconhecer a natureza da dependência entre elas.
Neste capítulo, vamos ampliar nossa análise, incluindo
os valores numéricos envolvidos nessa dependência e
determinando os que são desconhecidos.
42000
Desta maneira, os lucros auferidos por A, B e C
serão, respectivamente, $ 48.000,00, $ 72.000,00 e
$40.000,00.
Um problema típico, por exemplo, é determinar a
distância que um automóvel percorrerá em 8 horas,
sabendo que, se a mesma velocidade for mantida
durante 6 horas, o carro percorrerá 900 km.
3. REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA
Nas sociedades compostas, tanto os capitais
quanto os períodos de investimento são diferentes
para cada sócio. Trata-se, portanto de dividir os lucros
ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais,
tanto ao capital quanto ao período de investimento.
Para a resolução deste problema, duas questões
são colocadas: a primeira é quanto à natureza da
proporção entre as grandezas envolvidas; a segunda
refere-se à montagem da proporção.
Ao conjunto das respostas a essas duas questões
propostas e à determinação do valor desconhecido
dá-se o nome de regra de três.
Quando os capitais ou períodos de tempo
forem diferentes, os lucros ou os prejuízos
serão divididos em partes diretamente
proporcionais ao produto dos capitais
pelos períodos de tempo respectivos.
2. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Retomando o problema do automóvel, vamos
resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira
prática.
Exemplo:
Devemos dispor as grandezas, bem como os
valores envolvidos, de modo que possamos
reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la.
Assim :
Uma sociedade lucrou $ 117.000,00. O primeiro
sócio entrou com $ 1.500,00 durante 5 meses, e o
outro, com $ 2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o
lucro de cada um?
Trata-se de um caso de regra de sociedade
composta. Chamando de x o que o primeiro sócio
deve receber e de y o que o segundo recebe, temos:
x
1500
6
y
2000
5
6
x
7500
Matemática
y
12000
6
x
Grandeza 2: distância
percorrida
(km)
6
900
8
x
e x + y = 117000
Aplicando as propriedades, vem :
x
7500
Grandeza 1: tempo
(horas)
x y
19500
45000
117000
19500
6
Observe que colocamos na mesma linha valores
que se correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o
valor desconhecido.
e
22
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes,
para indicar a natureza da proporção. Se elas
estiverem no mesmo sentido, as grandezas são
diretamente proporcionais; se em sentidos contrários,
são inversamente proporcionais.
Escrevendo a prporção, temos:
8
x
Nesse problema, para estabelecer se as setas têm
o mesmo sentido, foi necessário responder à
pergunta: "Considerando a mesma velocidade, se
aumentarmos o tempo, aumentará a distância
percorrida?" Como a resposta a essa questão é
afirmativa,
as
grandezas
são
diretamente
proporcionais.
x =
6
.
x
=
8
.
8
90
= 12
60
Regra de três simples é um processo prático
utilizado para resolver problemas que envolvam
pares de grandezas direta ou inversamente
proporcionais. Essas grandezas formam uma
proporção em que se conhece três termos e o
quarto termo é procurado.
900
x
Então:
x
Concluíndo, o automóvel percorrerá a mesma
distância em 12 horas.
Já que a proporção é direta, podemos escrever:
6
8
60
90
3. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
900
7200
= 1 200
6
Vamos agora utilizar a regra de três para resolver
problemas em que estão envolvidas mais de duas
grandezas proporcionais. Como exemplo, vamos
analisar o seguinte problema.
Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8
horas.
Vamos analisar outra situação em que usamos a
regra de três.
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias
produzem 2 000 peças. Quantas máquinas serão
necessárias para se produzir 1 680 peças em 6 dias?
Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h,
percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será
o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço
com uma velocidade de 60 km/h?
Como nos problemas anteriores, você deve
verificar a natureza da proporção entre as grandezas e
escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo
de dispor as grandezas e os valores envolvidos.
Grandeza 1: tempo
(horas)
Grandeza 2:
velocidade
(km/h)
8
90
x
60
Matemática
Grandeza 3:
número de
peças
10
20
2000
x
6
1680
Supondo fixo o número de dias, responda à
questão: "Aumentando o número de máquinas,
aumentará o número de peças fabricadas?" A
resposta a essa questão é afirmativa. Logo, as
grandezas 1 e 3 são diretamente proporcionais.
Como a proporção é inversa, será necessário
invertermos a ordem dos termos de uma das colunas,
tornando a proporção direta. Assim:
x
Grandeza 2:
dias
Natureza da proporção: para estabelecer o sentido
das setas é necessário fixar uma das grandezas e
relacioná-la com as outras.
A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço
percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo
aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as
grandezas
envolvidas
são
inversamente
proporcionais.
8
Grandeza 1:
número de
máquinas
Agora, supondo fixo o número de peças, responda
à questão: "Aumentando o número de máquinas,
aumentará o número de dias necessários para o
trabalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo,
as grandezas 1 e 2 são inversamente proporcionais.
60
90
23
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
Para se escrever corretamente a proporção,
devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo
sentido, invertendo os termos das colunas
convenientes. Naturalmente, no nosso exemplo, fica
mais fácil inverter a coluna da grandeza 2.
10
x
6
2000
0
1680
O estudo da porcentagem é ainda um modo de
comparar números usando a proporção direta. Só que
uma das razões da proporção é um fração de
denominador 100. Vamos deixar isso mais claro:
numa situa ção em que você tiver de calcular 40% de
$ 300,00, o seu trabalho será determinar um valor que
represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso
pode ser resumido na proporção:
40
100
Então, o valor de x será de $ 120,00.
Agora, vamos escrever a proporção:
10
x
6
20
x
300
Sabendo que em cálculos de porcentagem será
necessário utilizar sempre proporções diretas, fica
claro, então, que qualquer problema dessa natureza
poderá ser resolvido com regra de três simples.
2000
1680
(Lembre-se de que uma grandeza proporcional a
duas outras é proporcional ao produto delas.)
3. TAXA PORCENTUAL
10
x
12000
33600
x
10
33600
12000
28
O uso de regra de três simples no cálculo de
porcentagens é um recurso que torna fácil o
entendimento do assunto, mas não é o único caminho
possível e nem sequer o mais prático.
Concluíndo, serão necessárias 28 máquinas.
Para simplificar os cálculos numéricos, é
necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos.
Veremos isso a partir de um exemplo.
Regra de três composta é um processo prático
utilizado para resolver
problemas que
envolvem
mais
de
duas
grandezas
proporcionais.
Exemplo:
PORCENTAGEM
Calcular 20% de 800.
1. INTRODUÇÃO
Calcular 20%, ou
Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha
vitrinas, freqüentemente se vê às voltas com
expressões do tipo:
20
de 800 é dividir 800 em
100
100 partes e tomar 20 dessas partes. Como a
centésima parte de 800 é 8, então 20 dessas partes
será 160.
"O índice de reajuste salarial de março é de
16,19%."
Chamamos: 20% de taxa porcentual;
principal;
160 de porcentagem.
"O rendimento da caderneta de poupança em
fevereiro foi de 18,55%."
800 de
Temos, portanto:
Principal: número sobre o qual se vai calcular a
porcentagem.
"A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi de
381,1351.
Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100 partes
do principal.
"Os preços foram reduzidos em até 0,5%."
Mesmo supondo que essas expressões não sejam
completamente desconhecidas para uma pessoa, é
importante fazermos um estudo organizado do
assunto porcentagem, uma vez que o seu
conhecimento é ferramenta indispensável para a
maioria dos problemas relativos à Matemática
Comercial.
Porcentagem: número que se obtém somando
cada uma das 100 partes do principal até conseguir a
taxa.
A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao
calcularmos uma porcentagem de um principal
conhecido, não é necessário utilizar a montagem de
uma regra de três. Basta dividir o principal por 100 e
2. PORCENTAGEM
Matemática
24
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tomarmos tantas destas partes quanto for a taxa.
Vejamos outro exemplo.
Exemplo:
Podem ser retirados no fim de cada mês ou no fim de
4 meses; o total será o mesmo, ou seja, 20.
No exemplo acima, os juros (20) são obtidos
fazendo: 5 x 4, onde 5 é 1% de 500 e 4 é o número de
meses em que o capital esteve aplicado. Portanto: juro
= 500 x 0,01 x 4.
Calcular 32% de 4.000.
Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40,
que é a centésima parte de 4 000. Agora, somando 32
partes iguais a 40, obtemos 32 . 40 ou 1 280 que é a
resposta para o problema.
O fator 0,01 constitui a taxa unitária e
corresponde aos juros de uma unidade de capital.
Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar
o resultado dessa divisão por 32 é o mesmo que
32
multiplicar o principal por
ou 0,32. Vamos usar
100
esse raciocínio de agora em diante :
Denominando:
j
=
juro,
C
=
capital
(500),
i = taxa unitária (0,01 corresponde a 1%),
n = número de períodos (4 meses),
temos:
Porcentagem = taxa X principal
J=Cin
Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos
devem referir-se à mesma unidade de tempo; isto é,
se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em
numero de anos; se a taxa for mensal, o tempo deverá
ser expresso em número de meses etc.
Juros e Descontos Simples
1 JUROS SIMPLES
1.1 Conceito
A taxa empregada em todas as fórmulas da
matemática financeira é a unitária, que corresponde à
taxa centesimal dividida por 100. Dessa forma, a taxa
de 6% é centesimal e a taxa unitária correspondente é
de 0,06; isto quer dizer que, se um capital de 100
produz 6 de juros, o capital de 1 produz 0,06 de juros.
A fim de produzir os bens de que necessita, o
homem combina os fatores produtivos — recursos
naturais, trabalho e capital. Organizando a produção,
o homem gera as mercadorias e os serviços
destinados ao seu consumo. A venda desses bens
gera a renda, que é distribuída entre os proprietários
dos fatores produtivos. Assim, os proprietários dos
recursos naturais recebem remuneração na forma de
aluguéis; os proprietários da força de trabalho
recebem salários; os organizadores da produção
recebem lucros e os proprietários do capital recebem
remuneração na forma de juros.
EXEMPLOS
1. Determinar os juros de um capital 800 u.m., a
12% ao ano, durante 7 meses.
Neste exemplo, temos a taxa anual de 12% e o
tempo em meses (7). Para aplicarmos a fórmula,
devemos tomar a taxa e o número de períodos na
mesma unidade de tempo. Assim, 12% a.a.
corresponde a 0,12 (taxa unitária anual) e 7 meses
7
são
do ano.
12
j=Cin
7
j = 800 x 0,12 x
12
j = 56
Desta forma, os juros constituem uma parte da
renda, que é distribuída aos proprietários do capital
(máquinas, equipamentos, ferramentas etc.).
No cálculo financeiro, juro é uma compensação,
em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por
determinado tempo, a uma taxa previamente
combinada.
1.2 Cálculo dos juros simples
O juro é simples quando
unicamente pelo capital inicial.
é
produzido
Podemos, entretanto, empregar a taxa mensal
proporcional a 12% ao ano, ou seja, 1% ao mês, que
corresponde à taxa unitária 0,01e colocar o número de
períodos em meses, 7. Portanto:
Se, por exemplo, colocarmos o capital
equivalente a 500 u.m. a juros durante 4 meses, à
taxa de 1% ao mês, teremos em cada mês 5 u.m. de
juros.
j=Cin
j = 800 x 0,01 x 7
j = 56
Os juros são todos iguais, pois são calculados
sobre o mesmo valor (500), que é o capital inicial.
Matemática
25
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2. O capital 400 foi colocado a 20% ai. durante
9 meses. Determinar os juros. Neste problema, a taxa
e o número de períodos podem ser expressos com
relação ao trimestre. A taxa de juros trimestral
proporcional a 20% a.a. é5% (0,05), e 9 meses são 3
trimestres. Portanto:
j=Cin
j = 400 x 0,05 x 3
j = 60
Quando o tempo de aplicação de um capital for
expresso em dias, às vezes há dificuldade para
converter a taxa e o número de per iodos na mesma
unidade de tempo. Para contornar essa dificuldade
pode-se usar o método do divisor fixo para o cálculo
dos juros.
Chama-se divisor fixo
(delta) a relação
36.000
, onde r é a taxa centesimal anual dos juros.
r
1.3 Montante
Para obter a fórmula dos juros com o emprego
do divisor fixo, tomamos
j=Cin
r
onde i =
. Como r é taxa anual, devemos
100
transformá-la em taxa diária, pois o
100
número de períodos será representado por
número de dias. Sendo o ano comercial r
r
considerado de 360 dias, dividindo
por
100
360 temos a taxa diária.
Chama-se montante o capital acrescido de seus
juros. A notaçâo para montante é Cn (capital com
juros acumulados em n períodos)
Cn = C + j
como j = C i n
Cn = C + C i n
Colocando o fator comum C em evidência,
temos
r
36.000
Substituindo a fórmula dos juros;,
r
j C
n
36.000
Portanto: i
Cn=C (1 + in)
EXEMPLOS
1. Qual o montante de um capital 600, a 18%
a.a, durante 8 meses?
A expressão
Cn= C(1 +in)
i = 0,015 (1,5% ao mês)
n = 8 (meses)
Cn = 600(1+0,015x8)
Cn = 600x 1,12
Cn = 672
2. Qual o capital que produz o montante
285, a 28% ai., durante 6 meses?
fórmula do montante, Cn= C(1 +i
deduzimos a fórmula para o cálculo
capital
Cn
C
1 in
onde:
r
representa o inverso do
36.000
divisor fixo. Assim,
j C
de
Da
n)
do
1
n
j
Cn
EXEMPLOS
1. Determinar os juros do capital 300, a 24%
a.a, durante 2 meses e 28 dias.
j
Cn = C2 = 285
i = 0,07 (7% ao trimestre)
n = 2 (trimestres)
285
C
1 0,07x2
285
C
1,14
C = 250
Cn
C = 300
n = 88 (dias)
36.000
r
j
1.4 Divisor fixo
36.000
24
1.500
300x88
1.500
j = 17,60
Matemática
26
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valor atual, é chamado desconto racional ou “por
dentro”.
2. Qual o montante do capital 80 no fim de 3
meses e 17 dias, a 18% a.a?
Cn
j
2.2 Cálculo dos descontos simples
2.2.1 Desconto comercial ou “por fora”
C = 80
n = 107(dias)
36.000
18
80x 107
j
2.000
j = 4,28
O desconto comercial (ou “por fora”) equivale
aos juros simples, onde o capital corresponde ao valor
nominal do título.
2.000
Denominando N o valor nominal do título e d o
desconto comercial, temos:
d=Nin
C107 =80+4,28
d
Nn
C107 = 84,28
Para a solução deste problema, pode-se
deduzir uma fórmula para calcular diretamente o
montante com emprego do divisor fixo.
EXEMPLOS
1. Uma duplicata de valor nominal equivalente
a 200 um. foi resgatada três meses antes
do vencimento, à taxa de 9% a.a. Qual o
desconto?
Cn = C + j
Cn
j
Cn
C
C Cn
Cn
Cn
d=Nin
d = 200 x 0,0075 x 3
d = 4,50
Cn
C(
2. Um título de 320 u.m. foi resgatado um mês
e 23 dias antes do vencimento, à taxa de
18% a.a. Qual o desconto?
Nn
d
n)
Resolvendo o problema com esta fórmula,
temos:
N = 320
C107
80(2.000 107)
2.000
n = 53(dias)
36.000
18
C107 = 84,28
2 DESCONTOS SIMPLES
d
2.1 Conceito
320 x53
2.000
d = 8,48
Quando um titulo de crédito (duplicata, nota
promissória, letra de câmbio) é resgatado antes de
seu vencimento, ele sofre um abatimento, que é
denominado desconto.
2.2. 1.1 Valor atual ou valor presente
O valor atual ou presente de um titulo é igual ao
valor nominal menos o desconto. Denominando A,, o
valor atual, temos:
Um título possui um valor, chamado nominal, a
ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do
vencimento. Antes disso, o titulo pode ser resgatado
por um valor menor que o nominal, sendo denominado
valor atual ou valor presente.
Chama-se desconto simples o calculado sobre
um único valor do título (nominal ou atual). Se for
calculado sobre o valor nominal, é chamado desconto
comercial ou “por fora” e, se for calculado sobre o
Matemática
2000
An,= N - d
Como d = N i n
An = N – N i n
27
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d’ = N i n - d’i n
d’ + d’ i n = N i n
d’( 1 + i n) = N i n
An = N(1 - i n)
Ou, substituindo d pelo seu valor
An
N-
Nn
Nin
1 in
Analogamente, a fórmula do desconto racional,
com emprego do divisor fixo, é assim deduzida:
An n
d'
Nn
d'
N - Nn
An
N( - n)
An
d'
d'
EXEMPLOS
N d' n
Nn - d'n
d’ = N n - d’n
1. Qual o valor atual de uma duplicata de valor
nominal equivalente a 120,75 u.m., à taxa
de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento?
Ad’+ d’ n = N n
d’ (
+ n) = Nn
An = N(1 —in)
d'
N = 120,75
EXEMPLOS
i = 0,005 (0,5% ao mês)
n = 4(meses)
A4 = 120,75 (1 —0,005x4)
A4= 118,34
1. Determinar o desconto racional de um titulo
de valor nominal equivalente a 135 u.m.,
pago 2 meses antes do vencimento a 1%
ao mês.
2. Uma letra de câmbio de valor nominal igual a
480 foi resgatada 2 meses e 26 dias antes do
vencimento, a 1,2% ao mês. Qual o valor do resgate?
An
N
Nn
n
d'
n
Nin
1 in
N = 135
N = 480
i = 0,01 (1% ao mês)
n = 86(dias)
n = 2 (meses)
36.000
2.500
14,4
480 2.500 86
A 86
2.500
A86 = 463,49
d´
135 x 0,01 x 2
1 0,01x2
d’ = 2,65
2. Um título de 200 u.m. sofreu o desconto
racional de 20% a.a., 4 meses e 12 dias
antes do vencimento. Qual o valor do
desconto?
2.2.2 Desconto racional ou “por dentro”
O desconto racional ou “por dentro” equivale ao
juro simples calculado sobre o valor atual do título.
Denominando d’ o desconto racional, temos:
d'
d’ = An i n
Nn
n
N = 200
Entretanto, nessa equação há duas incógnitas,
pois d’ eA,, são valores desconhecidos. Mas, sendo o
valor atual a diferença entre o valor nominal e o
desconto, pode-se substituir, na fórmula acima, A,, por
N — d~ Dessa forma,
n = 132(dias)
36.000
1.800
20
d’ = (N - d’ )i n
Matemática
28
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d'
A3 = 169,81
200x 132
1.800 132
2. Um título de valor nominal igual a 75,40
u.m. sofreu o desconto racional de 1,5% ao
mês, 1 mês e 17 dias antes do vencimento.
Qual o valor atual?
N
An
N
d’ = 13,66
2.2.2.1 Valor atual ou valor presente
Sendo o valor atual a diferença entre o valor
nominal e o desconto, temos:
N = 75,40
An = N - d‘
n = 47 (dias)
Substituindo d’ pelo seu valor d '
An
An
An
Nin
1 in
N(1 i n ) - N i n
1 in
N Nin -Nin
1 in
An
An
A47 = 73,67
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
A nossa moeda atual é o real (R$) , incluindo os
centavos.
Assim escrevemos:
R$ 10,00 = dez reais
R$ 10,20 = dez reais e vinte centavos
N
1 in
Ou, substituindo d’ pelo seu valor
An
36.000
2.000
18
2.000 x75,40
A 47
2.000 47
N
An
An
Nin
1 in
Nn
temos:
n
Para fazermos os cálculos, seguimos
mesmas regras que Números Decimais.
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU
Nn
n
N(
n )-N n
n
N N n-N n
n
N
N
N
Equação:
É o nome dado a toda sentença
algébrica que exprime uma relação de igualdade.
Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se
verifica somente para determinado valor numérico
atribuído à variável. Logo, equação é uma igualdade
condicional.
EXEMPLOS
Exemplo: 5 + x = 11
1. Qual o valor atual de um título de valor
nominal equivalente a 180 u.m., 3 meses
antes do vencimento, pelo desconto
racional de 2% ao mês?
N
An
1 in
0
1 .membro
Resolução de equações
Para resolver uma equação (achar a raiz)
seguiremos os princípios gerais que podem ser
aplicados numa igualdade.
i = 0,02 (2% ao mês)
Ao transportar um termo de um membro de uma
igualdade para outro, sua operação deverá ser
invertida.
n = 3 (meses)
180
1 0,02 x 3
Matemática
0
2 .membro
onde x é a incógnita, variável ou oculta.
N = 180
A3
as
Exemplo:
2x + 3 = 8 + x
fica assim: 2x - x = 8 - 3 = 5
29
x=5
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2x
Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o
2.º membro com as operações invertidas.
-x-y
-8
x 0 3
x 3
Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação,
dizemos ainda que é o conjunto verdade (V).
Agora, substituindo x = 3
na equação II: x + y = 8, fica: x + y = 8,
fica 3 + y = 11, portanto y = 8
Exercícios
Resolva as Equações
1) 3x + 7 = 19
Exemplo 3:
2) 4x +20=0
5x 2y 18
3) 7x - 26 = 3x -6
3x y
Respostas: 1) x = 4 ou V = {4}
2) x = -5 ou V = {-5} 3) x = -8 ou V = {-8}
-
2
-
neste exemplo, devemos multiplicar a equação II
por 2 (para “desaparecer” a variável y).
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
5x 2y 18
3x y 2 .(2)
membro a membro:
Resolução por adição.
Exemplo 1 :
y 11
x
y 7
x
y 1
,Soma-se membro a
5 x 2y
18
6 x 2y
4
soma-se
5x + 2y = 18
6x – 2y = 4
membro.
11x+ 0=22
1) I ) x + y —7 ,Sabendo que o valor de x é igual
4 substitua este valor em qualquer uma das
equações ( I ou II ),
II) x – y = 1
2x +0 =8
2x = 8
8
x
2
x=4
5x + 2y = 18
y=3
x
Exercícios. Resolver os sistemas de Equação
Linear:
1)
3)
y 11
y 11
2x
20
5x y
16
8x 4y
28
2x 2 y
10
Respostas:
1) V = {(3,1)}
2)
5x y
8x 3y
7
2
2) V = {(1,2)}
3) V {(2,3)}
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU
Distinguimos as equações das inequações pelo
sinal, na equação temos sinal de igualdade (=) nas
inequações são sinais de desigualdade.
y 11
x y 8 ( - 1)
-x y
soma-se membro a membro
Matemática
7x y
y 8
Note que temos apenas a operação +, portanto
devemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por -1,
escolhendo a II, temos:
2x
x=2
então V = {(2,4)}
Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)}
2x
22
11
5 . 2 + 2y = 18
10 + 2y = 18
2y = 18 - 10
2y = 8
y = 8/2
y =4
Substitui em I fica:
4+y=7
y = 7 –4
x=
Substituindo x = 2 na equação I:
Se quisermos verificar se está correto, devemos
substituir os valores encontrados x e y nas equações
x+y=7
x–y=1
4 +3 = 7
4-3=1
Exemplo 2 :
11x = 22
8
30
M@rio Castro Apostilas
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> maior que,
menor que ,
maior ou igual,
menor ou igual
2
a)3x + 4x + 1= 0
<
a =3,b = 4,c = 1
2
b) y + 0y + 3 = 0
a = 1,b = 0, c = 3
Exemplo 1:
Determine os números naturais de modo que 4 +
2x > 12.
4 + 2x > 12
2x > 12 - 4
2x > 8
x >8/2
x>4
2
c) - 2x -3x +1 = 0
a = -2, b = -3, c = 1
2
d) 7y + 3y + 0 = 0
a = 7, b = 3, c = 0
Exemplo 2: Determine os números inteiros de
modo que 4 + 2x
5x + 13
Exercícios
4+2x 5x + 13
2x - 5x 13 - 4
-. 3x 9 . (-1)
3x - 9, quando multiplicamos por
(-1), invertemos o sinal dê desigualdade para , fica:
3x
- 9, onde x
-9/3 ou x
Destaque os coeficientes:
2)2x - 2x + 1 = 0
2
4) 6x + 0x +3 = 0
3)5y - 2y + 3 = 0
-3
2
2
Respostas: 1) a =3, b = 5 e c = 0
2)a = 2, b = -2 e c = 1 3) a = 5, b = -2 e c =3
Exercícios. Resolva:
1) x - 3 1 – x,
2) 2x + 1 6 x -2
3) 3 – x -1 + x
Respostas: 1) x
2
1)3y + 5y + 0 = 0
Equações Completas e Incompletas
Pela definição, o coeficiente a sempre diferente de
zero, os coeficiente b e c são diferentes de zero.
2
2) x
3/4
3) x
2
Exemplos:
2
3x - 2x - 1= 0
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
2
y – 2y – 3 = 0
2
Definição: Denomina-se equação de 2.º grau
com variável toda equação de forma:
y + 2y + 5 = 0
2
ax + bx + c = 0
onde : x é variável e a,b, c R, com a
São equações completas.
Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0,
costuma-se escrever a equação sem termos de
coeficiente nulo.
0.
Exemplos:
2
3x - 6x + 8 = 0
2
0
y -y+9 =0
2
- 3y - 9y+0 = 0
2
Exemplos:
2
2x + 8x + 1 = 0 x + 0x – 16 =
2
x - 16 = 0,
b = 0 (Não está escrito o termo x)
2
5x + 7x - 9 = 0
2
x + 4x = 0,
c = 0 (Não está escrito o termo independente ou
termo constante)
Coeficiente da Equação do 2.º Grau
Os números a, b, c são chamados de coeficiente
da equação do 2.º grau, sendo que:
2
x = 0,
b = 0, c = 0 (Não estão escritos o termo x e termo
independente)
2
a representa sempre o coeficiente do termo x .
b representa sempre o coeficiente do termo x.
Forma Normal da Equação do 2.º Grau
c é chamado de termo independente ou termo
constante.
2
ax + bx + c = 0
Exemplos:
Matemática
31
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Exercícios
7 5 -12
4
4
1
, -3
2
x"
Escreva as equações na forma normal:
2
2
2
S
2
1) 7x + 9x = 3x – 1 2) 5x - 2x = 2x + 2
2
-3
2
2) 3x - 2x –2
Respostas: 1)4x + 9x + 1= 0
ou
=0
2
b) 2x +7x + 3 = 0
a = 2, b = 7, c = 3
Resolução de Equações Completas
2
b - 4.a. c
Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar
a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara.
2
=7 - 4 . 2 . 3
2
A expressão b - 4ac, chamado discriminante de
equação, é representada pela letra grega
(lê-se
deita).
2
= b - 4ac
escrever:
logo se
= 49 - 24
= 25
> 0 podemos
7
x
25
4
x
b
2a
x
7 5 -2
4
4
1
, -3
2
x'
RESUMO
S
7
4
5
-1
2
x"
e
7 5
4
-12
4
-3
NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS:
b
x
Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA
DA FORMULA.
2
ou
b2 4 a c
2a
= b - 4ac
x
Exercícios
b
2a
Resolva as equações
do 2.º grau completa:
2
1) x - 9x +20 = 0
Exemplos:
Respostas
1) V = { 4,5)
2
2
a) 2x + 7x + 3 = 0
2) 2x + x – 3 = 0
a = 2, b =7, c = 3
2) V = {1, 3/4 }
2
3) 2x - 7x – 15 = 0 3) V = {-3/4,5/2}
x
b2 4 a c
2a
b
x
7
2
7
2 2
7
49 24
2
4) V = { -1, -2 }
2
5) V = {2}
4) x +3x + 2 = 0
5) x - 4x +4 = 0
4 2 3
Equação do 2.º grau Incompleta
x
4
7
x
Estudaremos a resolução das equações
incompletas do 2.º grau no conjunto R.
25
4
x
7
4
x'
7 5
4
2
Equação da forma: ax + bx = 0 onde c = 0
5
-2
4
Exemplo:
2
2x - 7x = 0
Colocando-se o fator x em
evidência (menor expoente)
-1
2
x (2x - 7) = 0
Matemática
32
x=0
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2
x =
ou
0
3
2
2x – 7 = 0
x =0
7
x=
2
2
x= + 0
S={0}
Os números reais 0 e 7/2 são as raízes da
equação
S = {0; 7/2)
Exercícios
2
1) 4x - 16 = 0
2
2) 5x - 125 = 0
2
3) 3x + 75x = 0
2
Equação da forma: ax + c = 0, onde b = 0
Relações entre coeficiente e raízes
Exemplos:
2
Seja a equação ax + bx + c = 0 ( a 0), sejam x’ e
x” as raízes dessa equação existem x’ e x”
reais
dos coeficientes a, b, c.
2
a)
x - 81 = 0
2
x = 81
transportando-se o
termo independente para o 2.º termo.
b
x'
x=
fundamental.
81
b
e x"
2a
pela relação
2a
Relação: Soma das Raízes
x=±9
b)
Respostas:
1) V = { -2, + 2}
2) V = { -5, +5}
3) V = { 0, -25}
S = {+9; - 9 }
x'
2
x +25 = 0
x'
25 não representa número real, isto é
b
x"
b
x"
b
2a
25
R.
x'
2
b
2a
2a
2b
2a
x"
x = -25
x'
Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja,
x’+ x” = -b/a
a equação dada não tem raízes em R.
25
x=
x'
Relação da soma:
S=
c)
2
9x – 81
2
9x
ou
x"
S={ }
b
a
Relação: Produto das Raízes
b
b
x' x"
2a
2a
= 0
= 81
81
2
x =
9
2
x = 9
x
x
x' x"
b
b
4a2
2
b2
9
=
=±3
x' x"
S = { ±3}
b2
x' x"
Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0
x' x"
A equação incompleta ax = 0 admite uma única
solução x = 0. Exemplo:
x' x"
2
3x = 0
Matemática
b
a
x"
33
b2
4a2
b2 4ac
4 a c
4a2
b2
4ac
4a2
b2 4ac
4a2
x' x"
c
a
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Daí o produto das raízes é igual a
Se a = 1 essas relações podem ser escritas:
b
x' x"
b
x' x"
1
c
ou seja:
a
c
( Relação de produto)
a
x' x"
x' x"
Sua Representação:
2
x -7x+2 = 0
S
Representamos o Produto pôr P
c
P x' x"
a
P
x'
a = 1, b =-7, c = 2
b
a
x"
x' x"
c
a
2
1
-7
1
7
2
Exercícios
Exemplos:
Calcule a Soma e Produto
2
1) 2x - 12x + 6 = 0
2
2) x - (a + b)x + ab = 0
2
3) ax + 3ax - 1 = 0
2
4) x + 3x - 2 = 0
2
9x - 72x +45 = 0
a = 9, b = 72, c = 45.
S
x' x" c
Exemplo:
Representamos a Soma por S
b
S x' x"
a
1)
c
1
x'
b
a
x"
-
-72
9
72
9
Respostas:
1) S = 6 e P = 3
2) S = (a + b) e P = ab
3) S =3 e P =-1/a
4) S = -1 e P = -2
8
Aplicações das Relações
P
2)
= -24
c
a
x' x"
45
9
5
Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é
2
x + bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes
temos:
2
3x +21x – 24= 0
S
x'
a = 3, b = 21,c
b
a
x"
21
3
- 21
3
x’ + x”= -b
b = - ( x’ + x”)
x’ . x” = c
c = x’ . x”
7
2
Daí temos: x + bx + c = 0
P
x' x"
c
a
24
3
b
a
x'
x"
P
x' x"
2
-0
4
c
a
0
- 16
4
4) ( a+1) - ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0
S
P
x'
b
a
x"
x' x"
Matemática
c
a
8
a = 4,
b = 0, (equação incompleta)
c = -16
2
3) 4x - 16 = 0
S
- 24
3
16
4
Representação
4
x’ + x” = S
Representando a soma
a = a+1
b = - (a+ 1)
c = 2a+2
x’ . x” = P
Representando o produto
2
E TEMOS A EQUAÇÃO: x - Sx + P = 0
- a 1
a 1
1
a 1
a 1
2a 2 2 a 1
2
a 1
a 1
Exemplos:
-
a) raízes 3 e -4
S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = -1
P = x’ .x” = 3 . (-4) = -12
34
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x - Sx + P = 0
2
x + x – 12 = 0
Qual é o número cuja soma de seu quadrado com
seu dobro é igual a 15?
Número procurado : x
b) 0,2 e 0,3
S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5
P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06
2
x - Sx + P = 0
2
x + 0,5x + 0,06 = 0
5
e
2
c)
2
equação: x + 2x = 15
Resolução:
2
x + 2x –15 = 0
3
4
2
x
= (2) - 4 . 1 . (-15)
x'
=b -4ac
5
3 10 3 13
+ =
2
4
4
4
5 3 15
P=x.x=
. =
8
2 4
2
x - Sx + P = 0
13
15
2
x x+
=0
8
4
d) 4+ e –4
S = x’ +x” = 4 + (-4) = 4 –4 = 0
P = x’ . x” = 4 . (-4) = -16
2
x – Sx + P = 0
2
x –16 = 0
S = x’+ x” =
2
5e3-
2
2
x + 2x –15 = 0
x + 2x –15 = 0
2
2
(3) + 2 (3) – 15 = 0
(-5) + 2 (-5) – 15 = 0
9 + 6 – 15 = 0
25 – 10 – 15 = 0
0=0
0=0
(V)
(V)
Resolva os Problemas do 2.º grau:
1) O quadrado de um número adicionado com o
quádruplo do mesmo número é igual a 32.
2) A soma entre o quadrado e o triplo de um
mesmo número é igual a 10. Determine esse número.
3) O triplo do quadrado de um número mais o
próprio número é igual a 30. Determine esse numero.
3) 2 e -4/5
2
2) x - x - 30 = 0
4) A soma do quadrado de um número com seu
quíntuplo é igual a 8 vezes esse número, determine-o.
2
3)x - 6x/5 - 8/5 = 0 4) x - 6x + 4 = 0
2
5) x - 6x = 0
Respostas: 1) 4 e –8
3) -1013 e 3
Resolução de Problemas
Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por
meio de uma equação ou de um sistema de equações
do 2.º grau.
2) -5 e 2
4) 0 e 3
INEQUAÇÕES DE 2º GRAU
Chama-se inequação do 2º grau com uma variável
toda inequação da forma:
Para resolver um problema do segundo grau devese seguir três etapas:
2
2
ax + bx + c > 0
2
ax + bx + c
0
Estabelecer a equação ou sistema de
equações correspondente ao problema
(traduzir matematicamente), o enunciado do
problema para linguagem simbólica.
com a
ax + bx + c < 0
2
ax + bx + c 0
0
Assim, são inequações do segundo grau com uma
variável:
Resolver a equação ou sistema
2
x - 2x + 3 > 0
2
3x - x + 1
0
Interpretar as raízes ou solução encontradas
Exemplo:
Matemática
5
Verificação:
5 5) 6 e 0
Respostas:
2
1) x -3x+6= 0
10
2
Os números são 3 e - 5.
Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são:
4) 3 +
3
= 64
Exercícios
2) 6 e –5
2 8
2
x"
= 4 + 60
2
1) 3 e 2
2
64
2 1
2 8
2
2 8 6
2
2
x
2
x - 4x + 4 < 0
2
- 2x + x + 3 0
O conjunto universo da variável é o conjunto R.
35
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01. Se der R$12,00 a cada garoto, ficarei ainda com
R$ 60,00. Para dar R$15,00 a cada um precisarei
de mais R$ 6,00. Quantos são os garotos ? (12X
+ 60 = 15X – 6)
RESOLUÇÃO
Resolver uma inequação do segundo grau com
uma variável é determinar o seu conjunto solução, isto
é, o conjunto dos valores reais de x para os quais a
2
função y = ax + bx + c é positiva ou negativa.
02. Distribuí certo número de selos entre os alunos de
uma das minhas turmas, cabendo 5 para cada
um. Se eu fosse distribuir para a outra turma, que
tem 31 alunos a mais, eu teria de dar 2 selos a
cada aluno e me sobrará 1. Quantos selos eu
distribuí?
Vejamos alguns exemplos de resolução, onde
aplicaremos o estudo da variação do sinal da função
quadrático.
1º Exemplo: Resolver a inequação
03. Duas cidades, A e B, distam 360 km uma da
outra. Às 8 horas, um carro sai de A em direção a
B e outro de B em direção a A, sendo que os dois
se cruzam às12 horas num ponto a 120 km de A.
Qual a velocidade do carro que partiu de A?
2
x - 3x + 2 > 0
2
x - 3x + 2 > 0
2
= (-3) - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1
x
x'
3
1
3
21
4
2
1
04. A diferença entre dois números é 15.
Multiplicando-se o maior pôr 11, a diferença passa
a ser 535. Calcular os dois números.
2
2
e
x' ' =
2
2
1
05. O produto de um número a pelo número 263 é p.
Acrescentando-se 4 unidades ao fator a e
conservando o fator 263, qual será o novo
produto?
Pelo esquema temos:
S= x
R | x < 1 ou x > 2
06. A soma de dois números é 90. Calcule o menor
desses números, sabendo que o produto deles
dividido por sua diferença dá o maior.
Esquema: a = 1 > 0
2º Exemplo: Resolver a inequação:
2
- 4x + 4x - 1 < 0
07. Seja o produto 456 x 34. Aumenta-se o
muItiplicador de 1. De quanto devemos aumentar
o multiplicando para que o produto exceda a
antigo de 526?
08. Entre os números inteiros inferiores a 200, quais
são aqueles que podem servir de dividendo, em
uma divisão de números inteiros, cujo quociente é
4 e o resto 35?
2
- 4x + 4x -1 = 0
2
4x - 4x + 1 = 0
2
= (-4) - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0
4
24
x
4
8
1
2
09. São dados dois números dos quais o maior é 400.
Tirando-se 210 de um deles e 148 do outro, a
soma dos restos é 200. Qual o menor número ?
Pelo esquema, temos :
S=
x
R| x
10. Um aluno ao multiplicar um número por 60,
esqueceu-se de colocar o zero à direita e obteve
inferior 291.006 do que deveria ter encontrado.
Calcular o número
1
2
Esquema: a = - 4 < 0
11. Dois alunos têm, cada um, certo número de
canetas. Se o 1º desse uma ao 2º, teriam igual
número; se o 2º desse uma ao 1º, este terá então
duas vezes mais do que o 2.º. Quem tem o maior
número de canetas, possui:
a) 5
c) 9
d) 11
e) 13
12. Você e eu temos juntos R$ 615,00. Se você me
desse R$ 140,00, ficaria com R$ 65,00 mais do
PROVA SIMULADA DE MATEMÁTICA
Matemática
b) 7
36
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que eu. Se eu lhe desse R$ 20,00 você ficaria
com:
23. Dois terços de uma peça de fazenda medem 90
metros. Quantos metros tem a peça ?
a) R$ 225,00 b) R$ 285,00 c) R$ 300,00 d) R$
400,00 e) R$ 500,00
24. Se
meu ordenado ?
3
13. Calcular
de um número ou de uma quantia é
5
3
multiplicar
por esse número ou essa quantia ?
5
1
14. Quando se diz que
de um número é 12, a
4
4
fração que corresponde ao número é
?
4
25. Qual a área aproximada do Brasil se
2
26. Gastei R$ 720,00 e fiquei ainda com
2
de meu
5
ordenado. Qual o meu ordenado?
27. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em
2
3
1
ou
ou
de meu dinheiro,
5
7
9
5
esse dinheiro é representado pela fração
ou
5
7
9
ou , respectivamente?.
7
9
quantos minutos enche
e
3
do tanque ?
4
2
do meu ordenado com aluguel de casa
5
28. Gasto
3
1
de meu ordenado são R$300,00,
de meu
5
5
1
dele em outras despesas. Fico ainda com R$
2
200,00. Qual é o meu ordenado ?
ordenado corresponderá a R$ 300,00 : 3 ?
17. Quanto é
2
dessa
5
área do 340.000 km ?
15. Se eu gasto
16. Se
3
de meu ordenado é R$ 660,00, qual é o
4
29. Pedro gastou
1
do número de minutos de uma hora
4
depois,
?
1
da quantia que possuía e,
3
2
dessa quantia. Ficou ainda com R$
9
40,00. Quanto Pedro possuía ?
18. Quanto vale
3
de R$100,00?
5
30. Num
time de futebol
carioca, metade dos
jogadores contratados são cariocas,
19. Um aluno de ginásio é obrigado a freqüentar, no
1
são dos
3
outros Estados e os 4 restantes são estrangeiros.
Quantos jogadores contratados tem o clube ?
3
mínimo,
das aulas dadas durante o ano letivo.
4
31. Uma torneira enche um tanque em 20 horas e
outra em 30 horas. Em quanto tempo as duas
juntas encherão o tanque?
Se o seu ginásio der 720 aulas, quantas no
mínimo terá de freqüentar ?
20. Cada aula do antigo Curso de Artigo 99, da Rádio
Ministério da Educação, tinha a duração de
32. Uma empresa construtora pode fazer uma obra
em 40 meses e outra em 60 meses. Em quanto
tempo as duas, juntas, podem fazer essa obra?
5
12
da hora. Quantos minutos de duração tinha cada
aula ?
33. Que horas são se o que ainda resta para terminar
21. Comprei um apartamento por R$420.000,00.
Paguei
o dia é
2
de entrada e o resto em 10 meses.
3
Quanto dei de entrada ?
22. Um comerciário gastou
34. Paulo gastou
1
de seu ordenado,
3
3
do que possuía e, a seguir, a
4
metade do resto. Ficou ainda com R$ 7,00.
Quanto Paulo possuía ?
comprando um pequeno rádio por R$ 250,00.
Qual o seu ordenado ?
Matemática
2
do que já passou ?
3
37
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35. Dei
46. Achar as frações próprias irredutíveis tais que o
produto de seus termos seja 84.
3
do meu dinheiro a meu irmão e metade do
5
resto a minha irmã. Fiquei ainda com os R$ 8,00.
Quanto eu possuía?
47. Qual a fração que, acrescida de seu quadrado, dá
como soma outra fração que representa a
36. O lucro de uma sociedade em 1965, foi igual a
R$1.400.000,00. Esse lucro foi dividido entre os
três sócios de modo que o primeiro recebeu
parte do segundo e este
fração inicial multiplicada por
48. Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os
2
da
3
3
1
do percurso foram feitos de trem,
a
4
8
4
da parte do terceiro.
5
cavalo e o resto de automóvel. Quantos km
andou de automóvel e que fração representa
da viagem total?
Qual a parte de cada um ?
37. A soma, de dois números é 595 e um deles é
iguaI a
12
do outro. Quais são esses números?
5
38. A metade de minha idade aumentada de seus
49. Para ladrilhar
4
5
serão necessários para ladrilhar
3
da área do
4
2
2
primeiro excedem de 140 m os
da área
5
50. Dois lotes têm a mesma área. Os
2
do outro. Quais as medidas desses ângulos ?
3
do segundo. A área de cada lote é de
2
...................... m .
40. Diminuindo-se 8 anos da idade de meu filho
3
de sua idade. Qual a idade de
5
51. Pedro e Paulo encarregados de uma obra, fariam
todo o trabalho em 12 dias. No fim do quarto
dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo
concluiu o serviço em 10 dias. Que fração da
obra cada um executou?
meu filho ?
41. Duas pessoas têm juntas 76 anos. Quantos anos
a
3
do mesmo
8
pátio?
39. A soma de dois ângulos é 90 graus. Um deles é
tem cada uma se
5
de um pátio empregaram-se
7
46.360 ladrilhos: Quantos ladrilhos iguais
é igual a 52 anos. Qual é a minha idade ?
obtém-se os
82
?
27
2
da idade da maior é igual
5
52. Cláudia e Vera possuíam juntas R$100,00. Ao
comprarem um presente de R$ 23,00 para
oferecer a uma amiga comum, cada qual deu
uma quantia diferente, na medida de suas
4
da idade da menor?
9
1
do
4
1
dinheiro de que dispunha e Vera com
do
5
possibilidades. Cláudia entrou com
42. Quando devo subtrair do numerador da fração
324
para torná-la nove vezes maior?
349
seu. Calcule com quanto Cláudia contribuiu?
43. A soma da metade com a terça parte da quantia
que certa pessoa tem é igual a R$15,00.
Quanto possui esta pessoa ?
53. Numa cesta havia laranjas. Deu-se
pessoa, a terça parte do resto a outra e ainda
restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na
cesta ?
44. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra
de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00;
nesta venda ganhou
3
do que despendera.
4
54. Paulo e Antônio têm juntos R$123,00. Paulo
Por quanto comprou o terreno?
45. Determinar a fração-equivalente a
2
a uma
5
gastou
7
cuja soma
15
2
3
e Antônio
do que possuíam,
5
7
ficando com quantias iguais. Quanto possuía
cada um ?
dos termos é 198.
55. Dividir um número
multiplicá-lo por:
Matemática
38
por
0,0625
equivale
a
M@rio Castro Apostilas
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a) 6,25 b) 1,6
e)
c)
1
16
d)
do segundo é de .. . . . . . . . . . . . .. quilômetros
quadrados.
16
65. Dividiu-se um terreno de 200 hectares de área em
duas partes. A quarta parte da primeira é igual
a sexta parte da segunda. A primeira parte
tem . . . . . . . . . . . . . . . . . . decâmetros
quadrados.
625
100
56. A fração equivalente a
34
, cujos termos têm
51
66. Um terreno retangular com 8,40 m de frente e 22
m de fundo foi vendido por R$ 27.720,00. Por
quanto foi vendido o metro quadrado?
para menor múltiplo comum 150, é:
10
15
50
d)
75
2
3
20
e)
30
a)
b)
c)
30
50
67. Um campo de forma retangular mede 3 dam de
frente e
superfície estão cultivados, pede-se em ha, a
área da parte não cultivada.
57. Duas torneiras são abertas juntas, a 1.ª enchendo
um tanque em 5h, a 2.ª enchendo outro
tanque de igual capacidade em 4h. No fim de
quanto tempo o volume que falta para encher
o 2.º será
68. Em certa cidade um ha de terreno custa R$
80.000,00. Calcule o lado de um terreno
quadrado adquirido por R$7.200,00.
1
do volume que falta para encher
4
69. A área de um trapézio é de quatro decâmetros
quadrados dois metros quadrados e vinte e
quatro e 24 decímetros quadrados; sabendose que as bases medem respectivamente 5
metros e 3 metros, calcular a altura desse
trapézio, dando a resposta em milímetros.
o 1.º tanque?
58. Um negociante ao falir só pode pagar
17
do que
36
deve. Se possuísse mais R$ 23.600,00
poderia pagar 80% da divida. Quanto deve
ele?
70. As dimensões de um retângulo são 2,25 m e 0,64
m. O lado do quadrado equivalente a esse
retângulo tem por medida:
59. O som percorre no ar 340 metros por segundo.
Que distância (em quilômetros) percorrerá em
um minuto?
a) 1,2 m
b) 3,6 m
c)
d) 12 m
e) 0,72 m
60. Medi o comprimento de um corredor e encontrei
8,40 m. Verifiquei, depois, que o metro
utilizado era de fabricação defeituosa, pois
seu comprimento tinha menos 2 centímetros
do que o verdadeiro. Qual a medida exata do
corredor ?
0,18
m
71. Se eu diminuir a área de um terreno os seus
5
,
8
2
a área passará a ter 112,50 dam , mas se eu
acrescentar. . . . . . . . . . . . . . .. . centiares ele
ficará com 5 hectares e 4 ares.
61. Medi o comprimento de um terreno e achei 18
passos e 2 pés. Verifiquei, depois, que o
comprimento de meu passo vale 56 cm e o de
meu pé 25 cm. Qual o comprimento do.
terreno em metros?
72. Um muro de 18,25m de comprimento deverá levar
duas faixas de ladrilhos paralelos entre sí em
toda a sua extensão. A primeira faixa mede
1,25 m de largura e a segundo 0,75 m. Cada
ladrilho, que é quadrado, mede 0,25 m de lado
e custa R$ 3,00. Quanto custarão os ladrilhos
para esta obra ?
62. Com 22 livros de 3 cm e 7cm de espessura formase uma pilha de 1,06 m de altura. Quantos
livros foram usados com a espessura de 3
cm?
3
73. Dois terços de uma caixa cujo volume é 2.760 m
estão cheios de um certo óleo. Quantos dal
d'água devem ser colocados na caixa para
acabar de enchê-la?
2
63. A área de uma sala é de 45 m . Quantos tacos de
2
madeira de 150 cm serão necessários para
taquear essa sala?
74. Um reservatório de água tem as dimensões: 2,4
m; 5 m e 1m. Quantos dal de água podemos
depositar no referido reservatório?
64. A soma das áreas de dois terrenos é de 50
hectares. O primeiro terreno tem mais1.400
decâmetros quadrados que o segundo. A área
Matemática
1
2
hm de fundo. Sabendo que
da
4
3
39
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
75. Uma caixa d'água tem as seguintes dimensões:
1,20 m de comprirnento; 8 dm de largura e 50
cm de altura. Calcular quantos litros d'água há
nesta caixa, sabendo-se que faltam 5 cm para
ficar cheia.
Quantos pregos poderão ser feitos com um
rolo de 35,1 kg desse mesmo fio?
85. Se um litro de óleo pesa 960 g, qual o volume
ocupado por 2,4 t desse óleo?
76. Uma sala de 0,007 Km de comprimento, 80 dm de
largura e 400 cm de altura, tem uma porta de
2
2
2,4 m de área e uma janela de 2m de área.
Quantos litros de tinta serão precisos para
pintar a sala toda, com o teto, sabendo-se que
2
com 1 L de tinta pinta-se 0,04 dam ?
86. Um vaso cheio de um certo líquido pesa mais 1kg
do que se estivesse cheio de água. Um dal
desse líquido pesa 12 kg. A capacidade do
vaso é de . .. ... . .... . ... . .litros.
87. Um tanque está cheio de água. Esvaziando-se um
terço de sua capacidade restam 21,35 hl mais
do que a sua quarta parte. O peso da água
contida no tanque, quando cheio é
......................... toneladas.
77. Um terreno retangular de 27 ares de área, tem
3.000 cm de largura. Esse terreno deve ser
cercado com um muro de dois metros de
altura. Sabendo-se que cada metro quadrado
3
de muro construído consome 300 dm de
concreto,
pergunta-se,
quantos metros
cúbicos de concreto serão consumidos no
muro todo ?
88. Dois vasos cheios de água pesam 2,08kg. Um
contém 14 cl mais do que o outro. Determinar,
em litros, a capacidade de cada um, sabendose que os vasos vazios pesam juntos 12 hg.
78. Dois vasos contêm em conjunto 3,5 hl. Tirando-se
75 L do primeiro e 10,5 dal do segundo, ficam
quantidades iguais. A capacidade do primeiro
vaso é de . . . .. . . . . . . . . . . . . e a do segundo
..................
89. Analizando certa amostra de leite, verificou-se que
a ele havia sido adicionado água. Um litro de
leite adulterado pesava 1.015g. Calcule
quantos ml de água adicionada contém 1 litro
dessa amostra, sabendo-se que o leite puro
pesa 1.025 g por litro e a aguá 1.000 g por
litro?
79. Um reservatório estava cheio de água. Esvaziouse esse reservatório de
1
da sua capacidade
3
90. Um avião consome 2,3 dal de gasolina por minuto
de vôo. Sabendo-se:
1.º) sua velocidade de cruzeiro é de 450km/h;
2.º) a gasolina pesa 0,7 kg por litro;
3.º) o avião deve transportar 60% a mais do
que a gasolina necessária;
e retirou-se depois 4 hl d’água. Quantos litros
ficaram se o volume restante corresponde a
3
da capacidade total do reservatório?
5
determinar quantas toneladas de gasolina
deve transportar esse avião para fazer uma
viagem de 1.125 km.
80. Calcule, em hl, a capacidade de um reservatório,
com a forma de um paralelepipedo retângulo
cujo comprimento é o triplo da largura e esta o
dobro da altura, sendo que a soma das três
dimensões é igual a 18 m.
91. Qual é o número, cujos
81. A soma das capacidades de dois reservatórios é
igual ao próprio número, mais 72?
3
de 20 hl. O primeiro contém água até os
de
4
92. Que horas são, se o que ainda resta para terminar
sua capacidade e o segundo até a metade. Se
colocarmos a água do primeiro no segundo,
este ficará cheio. Qual o volume do segundo
3
em m ?
o dia é
2
do que já passou?
3
93. As idades de João e Pedro somam 45 anos e há 5
anos a idade de João era quatro vezes a de
Pedro. Que idades têm agora João e Pedro?
3
82. Quantas toneladas pesam 40.000 m de certa
substância, sabendo-se que um litro pesa 2,5
kg?
94. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de
quantos anos a idade de Roberto será o triplo
da de Paulo? .
83. Um tanque de 1,5 m de comprimento, 12 dm de
largura e 80 cm de altura está cheio de óleo
do qual cada hl pesa 80kg. Qual o peso, em
toneladas, do óleo contido no reservatório?
95. Dois indivíduos têm: o primeiro 45 anos e o
segundo 15. Depois de quantos anos a idade
do segundo será um quarto da idade do
primeiro?
84. Um metro de fio pesa 487,5 g. Esse fio é para
fazer pregos de 0,09 m de comprimento.
Matemática
2
3
mais os
mais 54 é
5
7
40
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Apostilas Prof.º Mário Castro
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
96. A soma das idades de A e B é 35. Daqui a 5 anos
a idade de A será o dobro da de B. Calcular as
idades de A e B.
97. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando
aconteceu ou acontecerá que a idade de um
seja o triplo da do outro?
98. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é
minha e há 5 anos era
2
da
7
1
. Qual a idade do pai
6
e qual a do filho?
99. Resolva o problema: Há 18 anos a idade de uma
pessoa era o duplo da de outra; em 9 anos a
idade da primeira passou a ser
5
4
da
segunda. Que idade têm as duas atualmente?
100.
Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que
vale R$15,00. Colocando a sela no primeiro
cavalo, vale este o dobro do segundo.
Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00
menos que o primeiro. Quanto vale cada
cavalo?
RESPOSTAS
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
22
105
30km/h
52 e 37
p +1.052
30
2
179, 183, 187, 191, 195 e199
158
5.389
b
e
Sim
Sim
Sim
Sim
15 min
R$ 60,00
540
25 mim
R$ 280.000,00
R$ 750,00
135
R$ 880,00
2
850.000 km
R$ 1.200,00
135min
R$ 2.000,00
R$ 90,00
24
Matemática
41
12h
24 meses
14h 24 min
R$ 56,00
R$ 40,00
R$ 320.000,00 R$ 480.000,00 R$ 600.000,00
175 e 420
40 anos
54 e 36 graus
20 anos
40 e 36
288
R$ 18,00
R$ 20.000,00
63/135
1/84, 3/28, 4/21, e 7/12
55/27
45 km e 1/8
24.339
400
1/6 e 5/6
R$ 60,00
25
R$ 60,00 e R$63,00
d
d
3h 45 min
R$ 72.000,00
20,4 km
8,232 m
10,58m
12
3.000
0,18
8.000
R$ 150,00
0,025 há
30 m
100.560 mm
a
20.400
R$ 1.752,00
92 dal
1.200 dal
432 L
56,9 L
144
190 L e 160 L
3.600 L
960 hl
3
1,200 m
100.000t
1,152t
800
3
2.500 dm
5
5,124
0,32 L e 0,46 L
400 ml
3,864 t
-105
14h 24 min
M@rio Castro Apostilas
Apostilas Prof.º Mário Castro
93) 33 e 12
94) Há 3 anos
95) Há 5 anos
96) 25 e 10
97) Há 5 anos
98) 35 e 10 anos
99) 24 e 21
100)
R$ 60,00 e R$ 105,00
FUNCOES
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é
imagem de x pela função f, ou seja:
Introdução
y está associado a x através da função f.
O estudo de funções é um dos mais importantes da
matemática, onde se preocupa estabelecer uma
relação entre duas grandezas variáveis, sendo
aplicado também a diversas ciências.
Exemplo:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto ,
11 é imagem de 2 pela função f ;
Par ordenado
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela
função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Dado dois elementos x e y de um conjunto e
estabelecido entre eles uma determinada disposição
(ou ordem), isto é, x sendo o primeiro e y o segundo
elemento, formamos o par ordenado (x,y).
Para definir uma função , necessitamos de dois
conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma
fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do
domínio a um e somente um elemento do
contradomínio .
A igualdade entre dois pares ordenados será
atendida se os primeiros termos estiverem iguais entre
si e os segundos termos também iguais entre si: (a,b)
= (c,d) <-> (a = c e b = d).
Todo par ordenado de números reais é
representado no plano cartesiano por um ponto, tal
plano é caracterizado por dois eixos perpendiculares
entre si; o eixo das abscissas (eixo x) e o eixo das
ordenadas (eixo y), tendo a origem do sistema o ponto
O (0,0).
OO- O conjunto A é o domínio da função.
Dados dois conjuntos, podemos formar pares
ordenados através de uma relação entre eles, o
conjunto formado por estes pares ordenados é
denominado produto cartesiano definido por: A x B =
{ (x,y) / x E A e Y E B}.Quando A ou B vazios, temos
que A x B vazio.
- O conjunto B é o contradomínio da função.
- O elemento y de B, associado ao elemento x de
A, é denominado imagem de x.
- O subconjunto de B formado pelos elementos que
são imagens dos elementos de A é denominado
conjunto imagem ou apenas imagem da função.
1 - Definição
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se
função (ou aplicação) de A em B, representada por
y = f(x) ,
a qualquer relação binária que associa a cada
elemento de A , um único elemento de B .
Quando
R e
R , sendo R o
conjunto dos números reais , dizemos que a função f é
uma função real de variável real . Na prática ,
costumamos considerar uma função real de variável
real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define ,
sendo o conjunto dos valores possíveis para x ,
chamado de domínio e o conjunto dos valores
possíveis para y , chamado de conjunto imagem da
função . Assim , por exemplo , para a função definida
*
por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R , ou
seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembrese que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto
Portanto , para que uma relação de A em B seja
uma função , exigeque não esteja associado a nenhum elemento
pertencente ao conjunto A.
Matemática
42
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*
imagem é também R , já que se y = 1/x , então x = 1/y
e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos
distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x1 x2
f(x2) .
1)
definida por y = f(x) ,
Exemplo:
cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico
cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá
o domínio da função .
2.3 - Função bijetora
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá
o conjunto imagem da função .
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo
tempo , injetora e sobrejetora .
c) toda reta vertical que passa por um ponto do
domínio da função , intercepta o gráfico da
função em no máximo um ponto .
Exemplo:
Veja a figura abaixo:
Exercícios resolvidos:
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua
idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu
dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são
injetoras:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao
contradomínio .
Exemplo:
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos
distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou
seja:
x1
2
1
2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem
ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos
com a mesma capital.
2.2 - Função injetora
Matemática
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h é injetora, pois dois números naturais distintos,
possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é
a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos
números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x
+ 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5)
= 4x, da seguinte forma:
4.2 - Função ímpar
x-5=u
A função y = f(x) é ímpar , quando
f( - x )
= - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu
domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar,
elementos simétricos possuem imagens simétricas.
Uma conseqüência desse fato é que os gráficos
cartesianos das funções ímpares, são curvas
simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do
sistema de eixos cartesianos.
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e
x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5)
f(u) = 4u + 20.
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
Exemplo:
Agora resolva este:
3
y = x é uma função ímpar pois para todo x, teremos
f(- x) = - f(x).
A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine
2.f(3x + 1).
3
3
Por exemplo, f( - 2) = (- 2) = - 8 e - f( x) = - ( 2 ) =
- 8.
Resp: 9x + 5
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x)
f(- x ) =
f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos
simétricos possuem a mesma imagem. Uma
conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano
das funções pares, são curvas simétricas em relação
ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:
4
y = x + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para
todo x. Por exemplo,
4
4
f(2) = 2 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2) + 1 = 17
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar,
dizemos que ela não possui paridade.
O gráfico abaixo, é de uma função par.
Veja abaixo o comportamento de uma função par
quando x varia no intervalo [-1 1].
Matemática
44
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Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y =
2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3
- 3) / 2, que define a função
inversa da função dada.
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua
inversa.
-
Observe que as curvas representativas de f e de f
, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes.
Exemplo
O gráfico abaixo, representa uma função que não
possui paridade, pois a curva não é simétrica em
relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à
origem.
1
1 - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f : A
-1
define-se a função inversa f como sendo a função
-1
de B em A , tal que f (y) = x .
Exercício resolvido:
2
:
-1
Veja a representação a seguir:
a) é inversível e sua inversa é f
-1
b) é inversível e sua inversa é f (x) = c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são
inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a
2
função f(x) = x , definida em R - conjunto dos números
reais - não é injetora, pois elementos distintos
possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3)
= 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora
e, em conseqüência, não é inversível.
É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as
variáveis x e y .
-1
b) o domínio de f é igual ao conjunto imagem de f .
-1
c) o conjunto imagem de f é igual ao domínio de f .
-1
d) os gráficos de f e de f são curvas simétricas em
relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro
quadrante .
Matemática
Observe também que a função dada não é
sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) =
2
+
x é o conjunto R dos números reais não negativos, o
qual não coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
45
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Chama-se função composta ( ou função de função
) à função obtida substituindo-se a variável
independente x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:
ou seja,
a operação " composição de funções " não é
comutativa .
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se
determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Matemática
46
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