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ANÁLISE E SÍNTESE DE FILTROS DIGITAIS FIR
Aldo Kazumi Kuzuo (bolsista CNPq – PIBIC, [email protected])
Profa. MsC Valquiria Gusmão Macedo (DEEC / CT – UFPA, [email protected])
Universidade Federal do Pará – Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação
Laboratório de Processamento de Sinais (UFPa – DEEC - LaPS)
Campus Universitário do Guamá – CEP: 66075-000 – Belém – Pará Tel.: +55 91 211 1674
Resumo: O método de projetos de filtros baseado no uso de janelas para truncar a
resposta ao impulso e obter o espectro desejado foi o primeiro método proposto para projetar
filtros FIR (Resposta ao Impulso Finita) com fase linear. O método da amostragem em
freqüência e o método de aproximação de Chebyshev foram desenvolvidos na década de
1970 e desde então têm sido muito populares em projetos práticos de filtros FIR com fase
linear, existindo atualmente vários algoritmos para projetos de filtros através das
especificações, e usando métodos de aproximação. Os filtros FIR são largamente empregados
em processamento digital de imagens por serem de fácil implementação. Este plano de
trabalho tem como objetivo a implementação de filtros com resposta ao impulso finita,
empregando o método da amostragem em freqüência, o método de janelas e o método através
das especificações, com o uso do aplicativo MATLAB.
Abstract: The filters design method based in windows to truncate the impulse
response and to get the desired spectrum was the first considered method to project filters
FIR (Finite Impulse Response) with linear phase. The method of the sampling in frequency
and the Chebyshev’s approach method had been developed in 1970 decade and since then
they have been very popular in practical FIR filters designs with linear phase. Currently there
are some algorithms for filters design through the specifications, and using approximation
methods. FIR Filters are used in image digital processing for due to of easy implementation.
The objective of this work is the filter implementation with finite impulse response, using the
method of the sampling in frequency, the method of windows and the method through the
specifications, with the use of the MATLAB program.
1. INTRODUÇÃO
As diversas técnicas originalmente desenvolvidas para tratamento de sinais
unidimensionais foram, em primeiro lugar, adaptadas para tratamento de imagens obtidas de
satélites e de naves espaciais.
Posteriormente, com o rápido avanço das opções de hardware e software, estas mesmas
técnicas passaram a ser aplicadas em inúmeros domínios tais como medicina, ciência dos
materiais, microscopia, artes, etc...
Neste trabalho serão abordados projetos de filtros digitais com resposta ao impulso
finita (FIR), que na prática, são empregados em problemas de filtragem onde existe a
necessidade de uma característica de fase linear dentro da banda passante do filtro.
Uma das técnicas utilizadas é a filtragem no domínio da freqüência usando a
Transformada de Fourier (FT) das imagens. Neste caso, a imagem original é transformada
através de um algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT), máscaras são aplicadas
sobre a imagem da transformada, selecionando regiões que serão mantidas ou eliminadas e,
finalmente, a imagem filtrada é obtida através da FFT inversa (IFFT).
2. REPRESENTAÇÃO DE IMAGENS DIGITAIS
O termo imagem monocromática ou imagem , refere-se a uma função bidimensional
de intensidade da luz f ( x, y ) , onde x e y são as coordenadas espaciais e o valor de f em
qualquer ponto (x,y) é proporcional ao brilho (ou níveis de cinza) da imagem naquele ponto.
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A figura 1 ilustra a convenção adotada nesse trabalho. Às vezes é útil a visualização da
função da imagem em perspectiva com um terceiro eixo representando o brilho. Dessa
maneira a figura 1 apareceria como uma série de picos em regiões com numerosas
modificações do nível do brilho, e regiões planas em que os níveis de brilho variaram pouco
ou eram constantes. Usando a convenção de atribuir proporcionalmente valores mais altos
para áreas de maior brilho fará a altura dos componentes da figura proporcional ao brilho
correspondente na imagem.
Origem
y
f(x,y)
x
Figura 1 - Convenção dos eixos para
representação de imagens digitais
Uma imagem digital é uma imagem f ( x, y ) discretizada tanto em coordenadas
espaciais quanto em brilho. Uma imagem digital pode ser considerada como sendo uma
matriz cujos índices de linhas e colunas identificam um ponto na imagem, e o correspondente
valor do elemento da matriz identifica o nível de cinza naquele ponto. Os elementos dessa
matriz digital são chamados de elementos da imagem ou de “pixels”.
Embora o tamanho de uma imagem digital varie de acordo com a aplicação usa-se
matrizes quadradas com tamanhos e números de níveis de cinza com potências de 2. Um
tamanho típico comparável em qualidade de imagem com aquela de uma TV preto e branco
seria uma matriz de 512 x 512, com 128 níveis de cinza.
3. FUNDAMENTOS DE IMAGENS DIGITAIS
3.1 UM MODELO SIMPLES DE IMAGEM
O termo imagem refere-se a uma função de intensidade luminosa bidimensional,
denotada por f ( x, y ) , em que o valor ou amplitude de f nas coordenadas espaciais (x,y) dá a
intensidade (brilho) da imagem naquele ponto. Como a luz é uma forma de energia, f ( x, y )
deve ser positiva e finita, isto é,
0 < f ( x, y ) < ∞
(1)
As imagens que as pessoas percebem em atividades visuais corriqueiras consistem de
luz refletida dos objetos. A natureza básica de f ( x, y ) pode ser caracterizada por dois
componentes: (1) a quantidade de luz incidindo na cena sendo observada e (2) a quantidade
de luz refletida pelos objetos na cena. Apropriadamente, esses componentes são chamados de
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iluminância e reflectância, respectivamente, e são representados por i ( x, y ) e r ( x, y ) . O
produto das funções resulta f ( x, y ) :
f ( x, y ) = i ( x, y ) r ( x, y )
0 < i ( x, y ) < ∞
0 < r ( x, y ) < 1
(2)
(3)
(4)
Ao longo deste trabalho denomina-se a intensidade de uma imagem monocromática f
nas coordenadas ( x, y ) de nível de cinza ( l ) da imagem daquele ponto.
Das equações (2) a (4) é evidente que l fica restrito no intervalo
Lmin ≤ l ≤ Lmax
Em teoria, as restrições sobre l é que Lmin seja um valor positivo e Lmax seja finito.
Na prática, Lmin = imin rmin e Lmax = imax rmax .
O intervalo [ Lmin , Lmax ] é denominado escala de cinza. A prática comum é deslocar
esse intervalo para [0, L] , onde l = 0 é considerado negro e l = L é denominado branco.
Todos os intervalos intermediários são tons de cinza variando continuamente entre branco e
negro.
3.2 AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO
3.2.1 AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO UNIFORMES
Para ser adequada para processamento computacional, uma função f (x, y ) precisa ser
digitalizada tanto espacialmente quanto em amplitude. A digitalização das coordenadas
espaciais ( x, y ) é denominada amostragem de imagens e a digitalização da amplitude é
chamada quantização em níveis de cinza.
Suponha que uma imagem contínua f ( x, y ) seja aproximada por amostras igualmente
espaçadas, arranjadas na forma de matriz N x M como mostrado na equação (5), em que cada
elemento é uma quantidade discreta:
f (0, 0)


f (1, 0)

f ( x, y ) ≈ 


 f ( N − 1, 0)
f (0,1)
f (1,1)
...
...
f ( N − 1,1) ...
f (0, M − 1) 
f (1, M − 1) 



f ( N − 1, M − 1)
(5)
O lado direito da equação (5) representa uma imagem digital. Cada elemento da
matriz representa um elemento da imagem ou pixel.
4. INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE FOURIER
Seja f (x) uma função contínua de uma variável real x. A Transformada de Fourier de
f (x), denotada por ℑ{f(x)}, é determinada pela equação
ℑ{ f ( x)} = F (u ) = ∫
∞
−∞
f ( x) exp[− j 2πux]dx
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onde j = − 1 .
Dado F(u), f (x) pode ser obtida através do uso da transformada inversa de Fourier
ℑ −1{F (u )} = f ( x)
∞
= ∫ F (u ) exp[ j 2πux]du
(7)
−∞
As equações 6 e 7, chamadas de par de transformadas de Fourier, existem se f (x) for
contínua e integrável e F(u) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas
na prática.
A transformada de Fourier de uma função real é geralmente complexa; isto é:
F (u ) = R(u ) + jI (u )
(8)
onde R (u) e I (u) são componentes real e imaginário de F (u), respectivamente. Normalmente
é conveniente expressar a equação (8) na forma exponencial, isto é,
(9)
F (u ) = F (u ) e jθ ( u )
[
F (u ) = R 2 (u ) + I 2 (u )
]
1
2
 I (u ) 
φ (u ) = tan −1 

 R(u ) 
(10)
(12)
A função magnitude |F (u) | é chamada de espectro de Fourier de f (x) e φ (u) é o
ângulo de fase. O quadrado do espectro,
P (u ) = F (u )
2
(13)
= R 2 (u ) + I 2 (u )
é comumente denominado como espectro de Potência de f (x). O termo densidade espectral
também é usado para expressar o espectro de potência.
A variável u que aparece freqüentemente na Transformada de Fourier é denominada
variável da freqüência. Esse nome deriva da expressão do termo exponencial, exp[− j 2πux] ,
usando a fórmula de Euler, na forma
exp[− j 2πux] = cos 2πux − j sen 2πux
(14)
A interpretação da integral na equação (6) como o somatório do limite de termos
discretos, torna evidente que F (u) é composta de uma soma infinita de termos seno e cosseno
e que cada valor de u determina a freqüência de seu correspondente par seno– cosseno.
4.1 A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Suponha que uma função contínua f (x) seja discretizada numa seqüência
{ f ( x0 ), f ( x 0 + ∆x), f ( x0 + 2∆x), ..., f ( x0 + [ N − 1]∆x)}
(15)
tornando-se N amostras separadas de ∆x unidades. Definindo
f ( x) = f ( x0 + x ∆x)
(16)
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em que x assume os valores discretos 0,1, 2, ...,N – 1. A seqüência {f(0), f (1), f(2), ..., f(N-1)}
denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçadas de uma função contínua
correspondente.
O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é
dado por
(17)
1 N −1
F (u ) = ∑ f ( x) exp[− j 2πux / N ]
N x =0
onde u = 0, 1, 2, ... , N – 1, e
N −1
f ( x) = ∑ F (u ) exp[ j 2πux / N ]
(18)
u =0
para x = 0, 1, 2, ... , N – 1.
Os valores u = 0, 1, 2, ..., N − 1 na transformada discreta de Fourier (equação (17))
correspondem a amostras de uma transformada contínua nos valores 0, ∆u, 2∆u, ..., (N − 1)
∆u. Ou seja, F(u) representa F(u∆u). Esta notação é similar àquela usada para a representação
discreta f (x), exceto que as amostras de F (u) iniciam-se na origem do eixo da freqüência. Os
termos ∆u e ∆x são relacionados pela expressão
(19)
1
∆u =
N∆x
No caso de duas variáveis, o par de transformadas discretas de Fourier é
F (u , v) =
1
MN
M −1 N −1
∑∑ f ( x, y) exp[− j 2π (ux M + vy N )]
(20)
x =0 v =0
para u = 0, 1, 2, ... , M − 1, y = 0, 1, 2, ... , N − 1.
A amostragem de uma função contínua é agora feita em uma grade bidimensional,
com divisões de largura ∆x e ∆y nos eixos x e y, respectivamente. Como no caso
f ( x, y ) representa amostras da função
unidimensional, a função discreta
f ( x0 + x ∆x, y 0 + y ∆y ) para x = 0, 1, 2, ... , M − 1 e y = 0, 1, 2, ... , N − 1. Analogias podem
ser feitas para a função F (u , v) . O incremento da amostragem nos domínios do espaço e
freqüência são relacionados por
∆u =
1
M∆x
(21)
∆v =
1
N∆y
(22)
e
Quando as imagens são amostradas em uma matriz quadrada, M = N e
1 N −1 N −1
F (u , v) = ∑∑ f ( x, y ) exp[− j 2π (ux + vy ) / N ]
N x =0 y =0
(23)
para u, v = 0, 1, 2, ... , N − 1, e
f ( x, y ) =
1
N
N −1 N −1
∑∑ F (u, v) exp[ j 2π (ux + vy) / N ]
(24)
u −0 v =0
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para x, y = 0, 1, 2, ... , N − 1. Nota-se que o fator 1 / N em ambas as equações (23) e (24).
Sendo F (u, v) e f ( x, y ) um par de transformadas de Fourier, o agrupamentos destes fatores
multiplicativos constantes é arbitrário. Na prática, as imagens são tipicamente digitalizadas
em matrizes quadradas, de modo que é de maior interesse o par de transformadas de Fourier
das equações (23) e (24).
O espectro de Fourier, fase e espectro de energia das funções discretas unidimensional
e bidimensional podem ser calculadas pelas equações (10) a (13), respectivamente. A única
diferença é que as variáveis independentes são discretas.
Ao contrário do caso contínuo, a existência da transformada discreta de Fourier não é
de interesse porque F (u ) e F (u , v) sempre existem. No caso unidimensional, por exemplo,
isso pode sr mostrado pela substituição direta da equação (18) na equação (17).
F (u ) =
1
N


N −1 N −1
∑ ∑ F (r ) exp[ j 2πrx / N ] exp[− j 2πux / N ]
x =0
r =0
 N −1

F
(
r
)
∑
∑ exp[ j 2πrx / N ] exp[− j 2πux / N ]
r =0
 x =0

= F (u )
1
=
N
N −1
(25)
A identidade da equação 25 segue da condição de ortogonalidade
N −1
N
x =0

∑ exp[ j 2πrx / N ] exp[− j 2πux / N ] =  0
se r = u
caso contrário
(26)
A substituição da equação (17) na equação (18) resultaria numa identidade sobre
f (x) , indicando que o par de transformadas de Fourier destas equações sempre existe. Um
argumento similar aplica-se para o par de transformadas discretas de Fourier em duas
dimensões.
4.2 PROPRIEDADES DA TRANFORMADA DE FOURIER (FT) PARA SINAIS
BIDIMENSIONAIS (2 - D) DISCRETOS
Existem diversas propriedades da Transformada de Fourier Bidimensional que são de
grande interesse para o processamento de imagens. Muitas delas são derivações de
propriedades semelhantes da transformada de Fourier unidimensional. Outras só fazem
sentido para sinais bidimensionais, como a propriedade da separabilidade.
4.2.1 SEPARABILIDADE
O par de Fourier das equações (23) e (24) pode ser decomposto em:
F (u, v) =
1
N
 j 2πux  N −1
 j 2πvy 
exp
−
(
,
)
exp
f
x
y
∑
∑

− N 
N  y = 0



x =0
N −1
(27)
para u, v = 0, 1, 2, ... , N − 1, e
f ( x, y ) =
1
N
N −1
 j 2πux  N −1
 j 2πvy 
F (u , v) exp 
∑

N  v =0
 N 
∑ exp
u =0
(28)
para x, y = 0, 1, 2, ... , N − 1.
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A principal vantagem desta decomposição é permitir que a FT bidimensional possa
ser obtida através de duas aplicações do algoritmo de FT unidimensional. Esta vantagem se
torna evidente ao reescrevermos a equação (27) da seguinte forma
1 N −1
F (u , v) = ∑ F ( x, v) exp[− j 2πux / N ]
(29)
N x =0
onde
1
F ( x, v ) = N 
N
N −1

y =0

∑ f ( x, y) exp[− j 2πvy / N ]
(30)
Para cada valor de x, a expressão entre colchetes da equação (30) é uma transformada 1-D,
com valores de freqüência ν = 0, 1, 2, ..., N – 1. Portanto, a função 2-D F (x, ν) é obtida
calculando-se a transformada ao longo de cada linha de f (x, y) e multiplicando o resultado
por N. O resultado final, F (u, ν) será obtido mediante uma nova aplicação da FT 1-D, desta
vez ao longo das colunas do resultado intermediário F (x, ν), como indica a equação (29).
Este procedimento é ilustrado na Figura 2. Sua principal vantagem é a possibilidade de
aproveitar todas as otimizações já publicadas sobre o algoritmo da Transformada Rápida de
Fourier (FFT), aplicando seus resultados a problemas bidimensionais.
Figura 2 - Cálculo da transformada de Fourier bidimensional a partir de duas aplicações do algoritmo
da transformada de Fourier unidimensional
4.2.2 TRANSLAÇÃO
As propriedades de translação do par de Fourier bidimensional são resumidas nas
relações:
(31)
f ( x, y ) exp[ j 2π (u 0 x + v 0 y ) / N ] ⇔ F (u − u 0 , v − v0 )
e
(32)
f ( x − x0 , y − y 0 ) ⇔ F (u , v) exp[− j 2π (ux 0 + vy 0 ) / N ]
onde as setas duplas indicam a correspondência entre uma função e sua transformada de
Fourier e vice-versa.
Para o caso particular em que u 0 = v0 = N / 2 , a relação (31) se reduz a
N
N

f ( x, y )(−1) x + y ⇔ F  u − , v − 
2
2

(33)
O deslocamento expresso na relação (33) é utilizado com bastante freqüência para uma
melhor visualização do resultado de uma transformada de Fourier de uma imagem. Pode-se
provar que tal deslocamento não altera a componente de magnitude da transformada
resultante.
4.2.3 PERIODICIDADE E SIMETRIA CONJUGADA
A transformada discreta de Fourier e sua inversa são periódicas, com período N, ou
seja,
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F (u , v) = F (u + N , v) = F (u , v + N ) = F (u + N , v + N )
(34)
Se f ( x, y ) é real, sua transformada de Fourier exibe também a propriedade conhecida
como simetria conjugada:
F (u , v) = F * (−u,−v)
(35)
F (u, v) = F (−u,−v)
(36)
ou
onde F * (u , v) é o conjugado complexo de F (u , v) .
4.2.4 DISTRIBUTIVIDADE
A transformada de Fourier obedece à propriedade distributiva para a adição, mas não
para a multiplicação, ou seja:
ℑ{ f1 ( x, y ) + f 2 ( x, y )} = ℑ{ f 1 ( x, y )} + ℑ{ f 2 ( x, y )}
(37)
ℑ{ f1 ( x, y ). f 2 ( x, y )} ≠ ℑ{ f1 ( x, y )}.ℑ{ f 2 ( x, y )}
(38)
e, em geral,
4.2.5 ROTAÇÃO
A propriedade da rotação estabelece que, se uma imagem f ( x, y ) for rotacionada de
um certo ângulo θ0, sua transformada, F (u, v) , será rotacionada do mesmo ângulo.
4.2.6 ESCALA
Sejam dois escalares a e b. Pode-se mostrar que
af ( x, y ) ⇔ aF (u, v)
(39)
e
f (ax, by ) ⇔
1 u v
F , 
ab  a b 
(40)
4.2.7 VALOR MÉDIO
O valor médio de uma função bidimensional f ( x, y ) é dado por
f ( x, y ) =
1
N2
N −1 N −1
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
(41)
Substituindo u = v = 0 na equação (27), obtemos
F (0,0) =
1
N
N −1 N −1
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
(42)
Logo, o valor médio de uma função bidimensional está relacionado à sua transformada de
Fourier através da relação
f ( x, y ) =
1
F (0,0)
N
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4.2.8 LAPLACIANO
O laplaciano de uma função de duas variáveis f ( x, y ) é definido por
∂2 f ∂2 f
∇ f ( x, y ) = 2 + 2
∂y
∂x
2
(44)
A transformada de Fourier do laplaciano de uma função bidimensional é:
ℑ{∇ 2 f ( x, y )} ⇔ −(2π ) 2 (u 2 + v 2 ) F (u , v)
(45)
O laplaciano é um operador útil no processo de detecção de bordas.
4.2.9 CONVOLUÇÃO
O teorema da convolução, que no caso de funções unidimensionais, pode ser resumido
pelos pares de Fourier das equações (46) e (47), também pode ser estabelecido ao caso
bidimensional, conforme indicado nas equações (48) e (49). Nestas equações, a operação de
convolução é denotada por um asterisco.
f ( x) * g ( x) ⇔ F (u )G (u )
(46)
f ( x) g ( x) ⇔ F (u ) * G (u )
(47)
f ( x, y ) * g ( x, y ) ⇔ F (u , v)G (u , v)
(48)
f ( x, y ) g ( x, y ) ⇔ F (u , v) * G (u , v)
(49)
5. PROJETOS DE FILTROS FIR USANDO O METODO DA AMOSTRAGEME EM
FREQÜÊNCIA E O MÉTODO DAS JANELAS
O problema no projeto de filtro é basicamente determinar h(n1 , n 2 ) , ou H ( z1 , z 2 ) ,
que significa a especificação do projeto. h(n1 , n 2 ) é a resposta ao impulso do filtro e
H ( z1 , z 2 ) é a função do sistema.
5.1 O METODO DAS JANELAS
No método das janelas, nos sabemos a resposta em freqüência, H d (ω 1 , ω 2 ) , do filtro.
A transformada inversa de Fourier de H d (ω 1 , ω 2 ) é dado por hd (n1 , n 2 ) . No método das
janelas, o filtro FIR é obtido multiplicando hd (n1 , n 2 ) com a janela w(n1 , n 2 ) , obtendo
h(n1 , n 2 ) = hd (n1 , n 2 ) w(n1 , n 2 )
(50)
Se hd (n1 , n 2 ) e w(n1 , n 2 ) são simétricos com suas respectivas origens, então
h(n1 , n 2 ) terá como resultado um filtro de fase zero.
Existe a propriedade da transformada de Fourier
H (ω 1 , ω 2 ) = H d (ω 1 , ω 2 ) *W (ω 1 , ω 2 )
=
1
(2π ) ∫
2
π
∫
π
θ 1 = −π θ 2 = −π
H d (θ 1 , θ 2 ) W (ω 1 − θ 1 , ω 2 − θ 2 )dθ 1 dθ 2
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Pela equação (51) o efeito da janela no domínio da freqüência é suavizar H d (ω 1 , ω 2 ) .
Queremos que a largura do lóbulo principal de W (ω 1 , ω 2 ) seja pequeno para que a largura
de transição de H d (ω 1 , ω 2 ) seja pequeno. O objetivo é ter pequenas amplitudes dos lóbulos
laterais para assegurar que as ondulações das regiões de passa banda e rejeita banda tenham
amplitudes pequenas.
As janelas bidimensionais são normalmente obtidas através de janela unidimensionais.
O método para obter uma janela bidimensional w(n1 , n 2 ) é
w(n1 , n 2 ) = w1 (n1 ) w2 (n 2 ) = wc (t1 , t 2 ) | t1 = n1 , t 2 = n2
(53)
wc (t1 , t 2 ) = wa (t1 ) wb (t 2 )
(54)
As funções wa (t1 ) e wb (t 2 ) são as janelas unidimensionais. Pode-se supor que wa (t1 )
e wb (t 2 ) como seqüências de janelas unidimensionais. O resultado da seqüência w(n1 , n 2 )
pode ser separado, e sua transformada de Fourier W (ω 1 , ω 2 ) é simplificada pela expressão
W (ω1 , ω 2 ) = W1 (ω1 ) W2 (ω 2 )
(55)
onde W1 (ω1 ) e W2 (ω 2 ) são transformadas unidimensionais de w1 (n1 ) e w2 (n 2 )
respectivamente.
5.2 MÉTODO DA AMOSTRAGEM EM FREQÜÊNCIA
No método da amostragem em freqüência, a resposta em freqüência desejada,
H d (ω 1 , ω 2 ) , é amostrada igualmente em pontos do espaço cartesiano, e o resultado é a
inversa da transformada de Fourier discreta. Especificamente, temos H ' (k1 , k 2 ) que será
obtido por
H ' (k1 , k 2 ) = H d (ω1 , ω 2 ) exp[− jω1 ( N 1 − 1) / 2] exp[− jω 2 ( N 2 − 1) / 2] |ω1 =( 2π / N1 ) k1 , ω 2 =( 2π / N 2 ) k2
0 ≤ k1 ≤ N 1 − 1, 0 ≤ k 2 ≤ N 2 − 1
(56)
onde H d (ω 1 , ω 2 ) é a resposta em freqüência de fase zero desejada, e N1 e N2 são ímpares. A
correspondente seqüência h ' (n1 , n 2 ) é obtida da equação (56)
h ' (n1 , n 2 ) = IDFT [ H ' (k1 , k 2 )]
(57)
Finalmente, o filtro de fase zero, h(n1 , n 2 ) , projetado é dado por
N −1
N − 1

, n2 + 2
h(n1 , n2 ) = h '  n1 + 1

2
2 

(58)
O termo da fase linear na equação (56) e o resultado da troca de seqüências na
equação (58) são dois dos fatos que fazem a Transformada de Fourier Discreta ser definida
somente para o primeiro quadrante da seqüência, onde sua fase não é zero.
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5.3 MÉTODO DAS ESPECIFICAÇÕES
O método de especificações consiste em criar algoritmos para limitar as oscilações de
amplitude do sinal em uma determinada faixa de freqüência para um filtro unidimensional.
No caso bidimensional, utiliza-se a propriedade da separabilidade para projetar filtros em
duas dimensões.
6. RESULTADOS
Foi feito um programa no MATLAB que juntasse o método das janelas, o das
especificações e o método da transformação em freqüência. O método das especificações foi
feito em um outro programa a parte. No programa podem ser vistos a imagem original, a
filtrada, os coeficientes do filtro e a sua resposta em freqüência. Os campos indicam a
imagem, o tipo de filtro, janelas a serem utilizadas, corte, ordem e o método a ser usado. No
campo “Design Method” ou o método do filtro, os campos são comandos do MATLAB cujos
significados são:
•
fsamp2 → implementa o projeto de amostragem em freqüência para filtros
FIR bidimensionais. fsamp2 retorna um filtro h com uma reposta em
freqüência que passa através dos pontos na entrada da matriz Hd.;
•
fwind1 → cria uma janela bidimensional pela extensão de uma janela
unidimensional;
•
fwind2 → usa uma janela bidimensional especificada diretamente;
•
ftrans2 → implementa o método de transformação de freqüência. Esta matriz
de transformação padrão da função produz filtros com simetria
aproximadamente circular. Por definição com sua própria matriz de
transformação você pode obter diferentes simetrias. O método da
transformação em freqüência preserva algumas características do filtro
unidimensional, particularmente a largura da banda de transição e as
características da ondulação (“ripple”).
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6.1 PARA UM FILTRO PASSA BAIXA COM FREQÜÊNCIA DE CORTE 0,5 E
ORDEM 15
- Método da amostragem em freqüência
Figura 3 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15, usando o método da
amostragem em freqüência
- Método usando a janela de Hamming unidimensional
Figura 4 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5Hz e ordem 15.
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- Método usando a janela de Hamming bidimensional
Figura 5 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
- Método usando a transformação em freqüência
Figura 6 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
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6.2 PARA UM FILTRO PASSA ALTA COM FREQÜÊNCIA DE CORTE 0,5 E
ORDEM 15
- Método da amostragem em freqüência
Figura 7 - Filtro passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
- Método usando a janela de Hamming unidimensional
Figura 8 - Filtro passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
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- Método usando a janela de Hamming bidimensional
Figura 9 - Filtro passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
- Método usando a transformação em freqüência
Figura 10 - Filtro passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.
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-
Método das especificações criando uma resposta em freqüência passa baixa
Figura 11 - Filtro passa baixa circular com corte em 0,5 Hz
Usando a amostragem em freqüência
Figura 12 - Filtro passa baixa circular com corte em 0,5 Hz
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7. CONCLUSÃO
7.1 Para um filtro passa baixa:
No método em amostragem em freqüência, a sua resposta em freqüência possui
algumas pequenas ondulações no topo da resposta. Mas, aplicando o filtro, houve um
pequeno borrão em relação à figura original.
No método das janelas, tanto o comando “fwind1”, como o “fwind2”, apresentaram
características muito próximas. No entanto, a resposta em freqüência da segunda é mais
acentuada que a primeira. No comando “fwind1” a resposta em freqüência do filtro se
assemelha mais ao filtro ideal passa baixa.
Para o método da transformação em freqüência, a resposta em freqüência possui uma
pequena elevação no centro. O resultado, em relação à figura original, é que houve uma
diminuição do brilho.
O método das especificações apresentou muitas ondulações nas laterais, em relação ao
ideal, que deveria aproximar-se de um cone circular.
7.2 Para um filtro passa alta
No método em amostragem em freqüência houve um contraste nas bordas
evidenciando um ponto no lado direito inferior da figura. Ao redor desse ponto nota-se
também um círculo.
No método das janelas, pelo comando “fwind1” houve uma melhora na detecção das
bordas e o ponto é facilmente percebido. Pelo comando “fwind2” manteve-se a boa detecção
de bordas, mas um maior clareamento da figura.
O método da transformação em freqüência levou a um maior borramento da figura nas
bordas e também ao redor do ponto.
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARRIFANO, Natache do Socorro Dias – " Análise Espectral" – CPGEE, UFPa, 1998
LIM, Jae S. – “Two – Dimensional Signal and Image Processing” – Prentice – Hall,1990.
CAMARA NETO, G. – “Métodos de Interpolação em Imagens Digitais por meio de Técnicas
de Projeto de Filtros FIR”, Tese de Mestrado, INPE, 1983
GONZALES, C. R. & WOODS, R. E. – “ Processamento Digital de Imagens Digitais” –
Edgard Blücher, 2000
MACEDO, V. G. – "Projetos de Filtros Digitais com resposta ao impulso finita (FIR)" –
CPGEE, UFPa, 1998.
MARQUES FILHO, O. & VIEIRA NETO, H. – “ Processamento Digital de Imagens” –
Brasport, 1999.
PROAKIS, J. & MANOLKIS, D. – “Digital Signal Processes – Principles, Algoriythms and
Applications”, Macmillan, 1992
RABINER, Lawrence R. & GOLD, Bernard –- “Theory and Application of Digital Signal
Processing” – Prentice-Hall, 1975.
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