NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS
COMPLEXOS
Profª Juliana Schivani
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Conjunto dos números complexos
𝕀
ℂ
ℝ
ℤ
ℕ
ℚ
Números Complexos
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Número imaginário
𝑥² + 1 = 0
𝑥² = −1
𝑥 = ± −1
𝑥 = ±𝑖
Números Complexos
𝑥² + 4 = 0
𝑥² = −4
Número
imaginário i
𝑥 = ± −4
𝑥 = ± −1 ∙ 4
𝑥 = ± 2𝑖
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Número imaginário
𝒊 = −1
𝑖² =
−1 ² = −𝟏
𝑖³ = 𝑖² ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊
𝑖 4 = 𝑖³ ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖 2 = − −1 = 𝟏
𝑖5
𝑖6
𝑖7
𝑖8
= 𝑖4 ∙ 𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝒊
= 𝑖5 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖2 =
−1 ² = −𝟏
= 𝑖 6 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊
= 𝑖 7 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖 2 = − −1 = 𝟏
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Número imaginário
A cada quatro potências consecutivas de i, iniciando com o
expoente 1, o conjunto solução sempre é o mesmo
{i, -1, i, 1}
Para determinar o valor de potências com expoentes maiores,
basta dividir o expoente por 4 e considerar o resto da divisão
como o novo expoente, que será o, 1, 2 ou 3.
𝑖
2014
=?
𝑖 2014 = 𝑖² = -1
Números Complexos
– 2012
503
2
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Número complexo
Um número complexo é todo número na forma
Número
z=
complexo
Parte real de z
a + bi
Parte imaginária de z
Quando a = 0, ⟹ z
= bi
Nº imaginário puro
Quando b = 0, ⟹ z
=a
Nº real
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Número complexo
2 + 4i → número complexo
8 - i 2 → número complexo
6i → número complexo puro
4 → número real
-i → número complexo puro
i² → número real
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F = x + yi permite
calcular a força de
arrasto responsável pela
sustentação do corpo.
A partir da solução
dessa equação, definese o perfil aerodinâmico
que facilita a circulação
do fluido em torno da
asa do avião.
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Os aviões da Air Race
seguem
os
mesmos
princípios de todos os
aviões, porém, para a
realização
dos
malabarismos, a eficiência
aerodinâmica
dessas
aeronaves precisam ser
potencializadas e o arrasto
reduzido.
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Representação gráfica do número
complexo
No plano cartesiano, podemos representar qualquer
número complexo através de um ponto (x,y) onde x é a
parte real e y a parte imaginária.
y (reta imaginária)
4
3
2
1
w=1+i
AFIXO de z
1
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z = 3 + 2i
2
3
4
x (reta dos reais)
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Módulo de um número complexo
Por definição, o módulo é a distância do número até a sua
origem.
No número complexo, o módulo será a distância do seu afixo à
origem.
𝒛 =
𝒂² + 𝒃²
z = a + bi
b
𝐄𝐱: 𝑧 = 1 +
3𝑖
𝑧 =
3 ²
𝑧 =

1² +
1+3=2
a
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Forma polar ou trigonométrica
de um número complexo
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
⟹ 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 |𝒛|
|𝒛|
𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒊
𝒂
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
⟹ 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 |𝒛|
|𝒛|
𝒛 = 𝒛 (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 )
z = a + bi
b

a
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Forma polar ou trigonométrica
de um número complexo
Um afixo de um número complexo pode variar em uma circunferência de
centro na origem e raio igual a 1.
Assim, o número complexo Z tem módulo 1 e seu argumento (ângulo)
varia.
𝒛′ = 𝒛 ∙ (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊)
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Forma polar ou trigonométrica
de um número complexo
Encontre as novas coordenadas do ponto A (3,4) após uma rotação de
90° no sentido anti-horário em relação a origem.
1
0
𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
𝒛′ = (𝟑 + 𝟒𝒊) ∙ (𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° + 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°𝒊)
𝒛′ = 𝟑 + 𝟒𝒊 ∙ 𝒊
𝒛′ = 𝟑𝒊 + 𝟒𝒊2 = −𝟒 + 𝟑𝒊
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Um circuito elétrico que contém um resistor R, um indutor L e
um capacitor C conectados em série ou em paralelo é
denominado circuito RLC.
A medida da resistência de um circuito RLC é chamada de
impedância(Z).
A corrente elétrica i (não
confundir com o número
𝑈
imaginário) é dada por ,
𝑍
onde U é a tensão (diferença
de potencial ou voltagem).
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Z = R + j X, ou na forma polar, Z = |Z|cosf + j senf
 j² = -1 (não usa i para não confundir
com corrente elétrica);
 f é o ângulo (argumento) de defasagem
entre a tensão aplicada e a corrente no
circuito;
 |Z| é o módulo de Z;
 R é a resistência elétrica (em ohm);
 X é a resultante (em ohm) das
reatâncias indutivas e capacitivas do
circuito.
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Operações com números complexos
Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância
Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?
𝑖=
𝑈
𝑍
=
220
10+10𝑗
Números Complexos
=?
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Operações com números complexos
ADIÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧+𝑤 =
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Operações com números complexos
ADIÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧 + 𝑤 = (7 + 2) + 8𝑖 + (−5𝑖 )
𝑧 + 𝑤 = 9 + 3𝑖
Números Complexos
Soma parte real com
parte real e soma parte
imaginária com parte
imaginária.
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Operações com números complexos
SUBTRAÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧−𝑤 =
Números Complexos
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Operações com números complexos
SUBTRAÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − (2 − 5𝑖)
𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − 2 + 5𝑖
𝑧 − 𝑤 = (7 − 2) + 8 − (−5 )𝑖
𝑧 − 𝑤 = 5 + 13𝑖
Números Complexos
Subtrai parte real
com parte real e
subtrai parte
imaginária com parte
imaginária.
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Operações com números complexos
MULTIPLICAÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧 ∙𝑤 =
Números Complexos
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Operações com números complexos
MULTIPLICAÇÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 35𝑖 + 16𝑖 − 40𝑖²
𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 19𝑖 + 40
𝑧 ∙ 𝑤 = 54 − 19𝑖
Números Complexos
Aplica a propriedade da
distributividade.
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Operações com números complexos
DIVISÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧
7 + 8𝑖
=
𝑤
2 − 5𝑖
𝑤 = 2 + 5𝑖
Conjugado de w
Números Complexos
A ideia é a mesma de
quando tiramos uma raiz
de um denominador.
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Operações com números complexos
DIVISÃO
Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖
𝑧
7 + 8𝑖 2 + 5𝑖
14 + 35𝑖 + 16𝑖 + 40𝑖²
=
∙
=
𝑤
2 − 5𝑖 2 + 5𝑖
4 + 10𝑖 − 10𝑖 − 25𝑖²
Multiplica numerador e
denominador pelo
conjugado do
denominador.
Números Complexos
26 51
=− +
𝑖
29 29
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Conjugado de um número complexo
O conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
1
𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2 𝑖²
𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
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Operações com números complexos
Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância
Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?
𝑖=
𝑈
𝑍
=
=
10 − 10𝑗
220
∙
10+10𝑗 10 − 10𝑗
2200−2200𝑗
100+100
=
2200
200
−
2200𝑗
200
𝑖 = 11 − 11𝑗
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