Representação geométrica dos números complexos

Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 3º Ano
Representação geométrica
dos números complexos
MATEMÁTICA, 3º Ano
Representação geométrica dos números complexos
No início do século XIX, os matemáticos Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) e Jean Robert Argand (1768-1822), em trabalhos
independentes, perceberam a ligação existente entre as partes
real e imaginária de um número complexo com as coordenadas
de um ponto no plano cartesiano e criaram um plano com as
mesmas características, tornando possível a visualização desses
números.
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Representação geométrica dos números complexos
Representação geométrica de um número
complexo
Um número complexo z pode ser escrito como um par ordenado
z = (a, b) e na forma algébrica z = a + bi, com a  R e b  R.
Cada par ordenado de números reais (a, b) pode ser
representado em um plano cartesiano por um único ponto.
Assim, a um ponto P (a, b) podemos associar um único número
complexo z = a + bi, e vice-versa.
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eixo imaginário (Im)
b
0
P (a, b)
a
eixo real (Re)
O número complexo z = a + bi é chamado imagem do ponto P
(a,b) e o plano cartesiano, em que são representados os números
complexos, é denominado plano de Argand-Gauss ou plano
complexo.
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No plano de Argand-Gauss, o eixo das abscissas é chamado eixo real
(Re), e o eixo das ordenadas é o eixo imaginário (Im).
O número ponto P (a, b) associado ao número complexo z = a + bi é
chamado de afixo do número complexo z.
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Vejamos, então, alguns casos.
Observe os afixos dos números complexos z1 = 3 – 5i, z2 = − 1 +
4i, z3 = 2 + 5i e z4 = − 4 − 6i
6
eixo imaginário (Im)
z3
5
z2
4
3
2
1
-6
-4
-5
-3
-2
1
-
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
z4
z1
4
5
6 eixo real (Re)
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O número complexo como um vetor
Como já vimos, um número complexo qualquer z = a + bi pode
ser representado geometricamente por um ponto P (a, b) no
plano de Argand-Gauss.
Um número complexo qualquer, não nulo, pode também ser
representado por um vetor de origem no ponto O (0, 0) e
extremidade no ponto P (a, b).
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Veja:
eixo imaginário (Im)
P (a, b) ou z = a + bi
b
0
a
eixo real (Re)
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Exemplo:
Vejamos o vetor representante do número z = 3 + 4i.
Im
4
3
2
1
1
-1
-1
2
3
4
Re
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Módulo de um número complexo
O módulo de z = a + bi, indicado por |z| ou ρ, é o módulo do
vetor que o representa, ou seja, é a distância da origem O (0, 0)
ao ponto P (a, b).
Assim, com base no teorema de Pitágoras, temos:
|z| = ρ =
.
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Exemplos:
O módulo do número complexo z1 = 3 – 4i é:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 5
O módulo do número complexo z2 = 5 + 12i é:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 13
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Argumento de um número complexo
O vetor representativo de um número complexo formará com o
eixo real um ângulo θ (0 ≤ θ < 2π) que medido no sentido antihorário indicará o sentido do vetor.
Para um número complexo não nulo z, o ângulo θ é chamado de
argumento de z, e é indicado por arg (z).
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Im
P
b

0
a
Re
Analisando o triângulo OAP da figura anterior, constatamos que:
θ é o ângulo cujo:
• sen θ = b .
|z|
• cos θ = a .
|z|
Com 0 ≤ θ < 2π
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Exemplo:
Determine o argumento do número complexo z = 1 + i.
De início, calculamos o módulo de z:
|z| =
|z| =
Portanto:
sen θ = 1 =
.
2
θ = π/4 rad = 45º
cos θ = 1 =
.
2
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A determinação do argumento do número complexo, como feito
na página anterior, é possível pois, para ângulos pertencentes ao
intervalo de 0 rad a 2π rad (0º a 360º), há apenas um ângulo
correspondente a cada par de valores de seno e cosseno
(valores pertencentes ao intervalo [− 1, 1]).
Exemplo:
Dados sen θ = − 0,5  θ = 7π/6 rad (210º) ou θ = 11π/6 (330º)
e cos θ = − 0,866  θ = 5π/6 rad (150º) ou θ = 7π/6 rad (210º)
Logo:
θ = 7π/6 rad (210º)
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Atividades Resolvidas
1) Represente no plano de Argand-Gauss os números
complexos abaixo:
a) z = − 4 + i
b) z = 3 − 2i
c) z = 1 + 3i
d) z = − 2 − 4i
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a) temos, então, o coeficiente real (abscissa) − 4 e o coeficiente
imaginário (ordenada) 1, logo:
4
Im
3
2
z
-4
1
-3
-2
1
-1
-1
-2
2
3
4
Re
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b) temos, agora, o coeficiente real (abscissa) 3 e o coeficiente
imaginário (ordenada) − 2, logo:
4
Im
3
2
1
-2
1
-1
2
3
4
-1
-2
-3
z
Re
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Representação geométrica dos números complexos
c) o coeficiente real (abscissa) é 1 e o coeficiente imaginário
(ordenada) é 3, logo:
4
Im
z
3
2
1
-2
1
-1
-1
-2
-3
2
3
4
Re
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d) o coeficiente real (abscissa) é − 2 e o coeficiente imaginário
(ordenada) é − 4, logo:
4
Im
3
2
1
-3
-2
1
-1
-1
-2
-3
z
-4
2
3
4
Re
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2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = − 4 + 3i
b) z = 6 − 8i
c) z = 3i
d) z = − 2
a) Temos a = − 4 e b = 3, portanto:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 5
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b) Temos a = 6 e b = − 8, portanto:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 10
c) Temos a = 0 e b = 3, portanto:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 3
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d) Temos a = − 2 e b = 0, portanto:
|z| =
|z| =
|z| =
|z| = 2
3) Determine o argumento do número complexo z = 1 +
Primeiro vamos calcular o módulo de z:
|z| =
|z| =
|z| =
i.
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Em seguida, vamos determinar o argumento de z:
sen θ =
=
.
3
θ ≈ 342π/1125 rad (54,72º = 54º43’12”)
cos θ = 1 =
.
3
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Atividades Propostas
1) Represente no plano de Argand-Gauss os números
complexos abaixo:
a) z = − 5 − i
b) z = 7 + 2i
2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = 4 + 3i
b) z = − 12 − 8i
c) z = 5i