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Transferência de Calor e
Massa
Prof. Dr. Lucas Freitas Berti
Engenharia de Materiais - UTFPR
[email protected]
1
Aula 4
29/05/2013
Introdução à Condução
continuação
Presença
Cobrança da presença
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Transferência de Calor e Massa
 Ementa
Sumário da aula
 A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)
 Condições de Contorno e Inicial
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Transferência de Calor e Massa
 Ementa
A Equação da
Taxa de Condução
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Transferência de Calor e Massa
 Lei de Fourier
▫ fenomenológica, ou seja, desenvolvida empiricamente.
T
qx  A
x
Experimento de condução térmica em regime permanente
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Transferência de Calor e Massa
Para diferentes materiais, a proporcionalidade permanece
válida.
q x  kA
T
x
sendo que, k é a condutividade térmica [W/(m.K)].
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Transferência de Calor e Massa
A taxa de transferência de calor é
q x   kA
dT
dx
ou para o fluxo de calor (fluxo térmico)
q x 
qx
dT
 k
A
dx
Lembre-se de que o sinal negativo é necessário porque
o calor é sempre transferido no sentido da
diminuição das temperaturas.
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Transferência de Calor e Massa
A Lei de Fourier implica que o fluxo térmico é uma
grandeza direcional.
A relação entre o sistema de coordenadas, o sentido do fluxo de calor
e o gradiente de temperatura numa dimensão.
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Transferência de Calor e Massa
 Enunciado mais geral da Lei de Fourier
 T
T
T 



q  kT  k  i
 j
k
y
z 
 x
onde,  é o operador gradiente tridimensional e
T(x,y,z) é o campo escalar de temperaturas.
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Transferência de Calor e Massa
O vetor fluxo térmico encontra-se numa direção
perpendicular às superfícies isotérmicas.
q n   k
T
n
O vetor fluxo térmico normal a uma isoterma num sistema de coordenadas 2D.
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Transferência de Calor e Massa
O vetor fluxo térmico pode ser decomposto, de tal
forma que, em coordenadas cartesianas, a expressão
geral para q" é
q  i qx  j qy  k qz
sendo que
T
q x   k
x
T
qy  k
y
T
q z   k
z
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Transferência de Calor e Massa
 Considerações finais sobre a Lei de Fourier
▫ É fenomenológica baseada em evidências experimentais ao
invés de ter sido derivada a partir de princípios fundamentais;
▫ Define uma importante propriedade dos materiais, a
condutividade térmica, k;
▫ É uma expressão vetorial, indicando que o fluxo térmico é
normal a uma isoterma e no sentido da diminuição das
temperaturas;
▫ É aplicada a toda matéria, independente de seu estado físico
(sólido, líquido ou gás).
▫ .
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Transferência de Calor e Massa
As Propriedades Térmicas da Matéria
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Transferência de Calor e Massa
Condutividade Térmica
Esta importante propriedade do material é classificada
como uma propriedade de transporte e fornece
uma indicação da taxa na qual a energia é transferida
pelo processo de difusão.
Ela depende da estrutura física da matéria, atômica e
molecular, que está relacionada ao estado da matéria
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Transferência de Calor e Massa
A partir da Lei de Fourier, a condutividade térmica
associada à condução na direção x é definida como
kx  
q x
 T 


 x 
Definições similares são associadas às condutividades
térmicas nas direções y e z (ky e kz), porém para um
material isotrópico a condutividade térmica é
independente da direção de transferência, kx = ky = kz ≡ k.
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Transferência de Calor e Massa
Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais.
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Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de sólidos selecionados.
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Transferência de Calor e Massa
Properties
Propriedades Termofísicas
Condutividade térmica: Mede a capacidade de um material de armazenar energia
térmica
Difusividade Térmica: Mede a capacidade do material de conduzir energia térmica em
relação à sua capacidade de armazená-la.
Tabelas de propriedades:
Sólidos:
Tabelas A.1 – A.3
Gases:
Tabelas A.4
Líquidos:
Tabelas A.5 – A.7
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Transferência de Calor e Massa
Efeitos de Micro- and Nanoscala
 Valores listados nas tabelas A.1 até A.3 são
apropriados para uso quando as dimensões físicas do
materials são relativamente grandes.
 Entretanto, in várias área da tecnologia, como
microeletrônica, as dimensões características do
material pode ser da ordem de micro- ou
nanometros, e nestes caso é necessária atenção para
levar em consideração possíveis modificações nos
valores de condutividade térmica, k.
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Transferência de Calor e Massa
Properties (Micro- and Nanoscale Effects)
• Condução pode ser vista como uma consequência da movimentaçãode portador de
energia (eléctron ou phonon).
• No estado sólido:
k
Calor específico por
unidade de volume
do portador de
energia
1
Cc mfp
3
(2.7)
Livre caminho médio
Velocidade médica do portador de energia
c  .
• O portador de energia também colide com fronteiras físicas, afetando sua propagação.
 Fronteiras externas de um film
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Transferência de Calor e Massa
 Para L mfp  1
, os valores previstos para kx e ky
podem ser estimados com 20% de erro pela seguinte
expressão [1]:
k x / k  1  2mfp /  3 L 
(2.9a)
(2.9b)
k y / k  1  mfp /  3L 
 Para filmes com, mfp  L  Lcrit , kx e ky reduzem se
dos valores de materiais de grandes dimensões.
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Transferência de Calor e Massa
 O parâmetro mfp L , é adimenssional e é conhecido
como número de Knudsen. Altos números de
Knudsen (pequeno L mfp
) sugerem efeitos
potencialmente significantes de nano- or microscala.
 Não há diretrizes básicas para predição de valores de
condutividade térmica em valores L mfp  1
 Observe que em sólidos os valores de mfp decrescem
com o aumento da temperatura.
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Transferência de Calor e Massa
 Materiais nanoestruturados são químicamente
idênticos a suas contrapartes convencionais mas
processados para apresentar grão nanométricos.
▫ Essa característica afeta a transferência de calor pelo
aumento de espalhamento e reflexão dos portadores de
energia nos contornos de grão.
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Transferência de Calor e Massa
Properties (Micro- and Nanoscale
Effects)
 Contornos de grão de um sólido
Medida de condutividade térmica de um material cerâmica vs. tamanho de grão, L. mfp at T  300K  25nm.
• Lei de Fourier não descreve precisamente a velocidade propagação de um portador
de energia finito velocity. Essa limitação é particularmente importante quando há
problemas envolvendo escalas extremamente pequenas.
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Transferência de Calor e Massa
 A extrapolação dos resultados da figura 2,7 para
maiores temperaturas não é recomendada uma vez
que:
▫ O livre caminho médio diminui com o aumento da
temperatura ( mfp 4 nm em T ≈ 1525 K ) e os grão do
material podem coalecer, unir e aumentar em
temperaturas elevadas;
 Portanto, L mfp aumenta em altas temperaturas, e a
redução de k devido a efeitos de nanoescala ficam
menos pronunciados.
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Transferência de Calor e Massa
 Pesquisas em transferência de calor em materiais
nanoestruturados vêm revelando novas formas de
engenheiros manipular a nanoestrutura de modo a
variar a condutividade térmica[5]:
▫ Importantes conquencias são aplicações como:
 Tecnologia de motores de turbina a gás [6],
 Microeletrônica [7],
 Energia renovável[8].
5. Carey, V. P., G. Chen, C. Grigoropoulos, M. Kaviany,and A. Majumdar, Nano. and Micro. Thermophys. Engng. 12, 1, 2008.
6. Padture, N. P., M. Gell, and E. H. Jordan, Science, 296, 280, 2002.
7. Schelling, P. K., L. Shi, and K. E. Goodson, Mat. Today,8, 30, 2005.
8. Baxter, J., Z. Bian, G. Chen, D. Danielson, M. S. Dresselhaus, A. G. Federov, T. S. Fisher, C. W. Jones, E. Maginn, W. Kortshagen, A. Manthiram, A. Nozik, D. R. Rolison, T. Sands,
L. Shi, D. Sholl, and Y. Wu, Energy and Environ. Sci., 2, 559, 2009.
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Transferência de Calor e Massa
 Fluidos

e
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Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de líquidos
não-metálicos selecionados sob condições saturadas.
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Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de gases selecionados a pressões normais.
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Transferência de Calor e Massa
 NanoFluidos
▫ Mistura de fluidos e sólidos pode ser formuladas para
projetar as propriedades de transporte da suspensão
resultante,
▫ Por exemplo, bases líquidas contendo partículas sólidas
com dimensões nanométricas.
▫ Nanofluidos típicos envolvem água com nanopartículos
nominalmente esféricas de Al2O3 ou CuO.
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Transferência de Calor e Massa
Outras Propriedades Relevantes
 Propriedades de Transporte (coeficientes das taxas
de difusão)
▫ Condutividade térmica, k
▫ Viscosidade cinemática, v
 Propriedades Termodinâmica (estado de equilíbrio)
▫ Massa específica, ρ
▫ Calor específico, cp
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Transferência de Calor e Massa
Capacidade Calorífica Volumétrica, C [J/(m3K)]
Mede a capacidade de um material de armazenar energia
térmica.
C  c
p
Difusividade térmica, α [m2/s]
Mede a capacidade do material de conduzir energia
térmica em relação à sua capacidade de armazená-la.
 
k
 cp
Transferência de Calor e Massa
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A precisão dos cálculos de Engenharia depende da
exatidão com que são conhecidos os valores das
propriedades termofísicas.
Os valores destas propriedades para uma gama de
sólidos (Tabs. A1 – A3), líquidos (Tabs. A5 – A7) e
gases (Tab. A4) são fornecidos nas tabelas do
Apêndice A do Livro-texto.
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Transferência de Calor e Massa
A Equação da
Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
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Transferência de Calor e Massa
Um dos objetivos principais da análise da condução
de calor é determinar o campo de temperaturas
(distribuição de temperaturas) num meio resultante
das condições impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de
calor por condução em qualquer ponto do meio ou na
sua superfície pode ser determinado através da Lei de
Fourier.
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Transferência de Calor e Massa
Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para
condições de contorno especificadas, forneça a
distribuição de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou
seja, define-se um volume de controle diferencial,
identificam-se os processos de transferência de
energia relevantes e substituem-se as equações das
taxas de transferência de calor apropriadas.
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Transferência de Calor e Massa
E ent  E g  E sai  E acu
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.
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Transferência de Calor e Massa
 Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)
Coordenadas cartesianas
  T 
  T    T 
T



k

k

k

q


c




p
x  x  y  y  z  z 
t
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência
de energia por condução no interior de um volume unitário
somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve
ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no
interior deste volume.
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Transferência de Calor e Massa
Com frequência, é possível trabalhar com versões
simplificadas da Equação do Calor.
Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e
sem geração de energia.
 2T
1 T

x 2  t
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Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components
• Coordenadas Cartesianas: T  x, y , z 

T 
T 
T 
q   k
i k
jk
k
x
y
z
qx
qz
qy
• Coordenadas Cilíndricas:

q   k
T  r, , z 
T 
T 
T 
i k
jk
k
r
r
z
qr
(2.3)
q
(2.22)
qz
T  r ,  , 


T 
T 
T
q  k
i k
jk
k
r
r
r sin  
q
q
qr
•Coordenadas Esféricas
(2.25)
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Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components (cont.)
• In angular coordinates  or  ,  , the temperature gradient is still
based on temperature change over a length scale and hence has
units of C/m and not C/deg.
• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:
– Cylinder
qr  Ar qr  2 rLqr
or,
qr  Ar qr  2 rqr
– Sphere
qr  Ar qr  4 r 2 qr
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Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
radial, r
circunferencial, Φ
axial, z
1   T 
1   T    T 
T

kr


k


k

q


c




p
r r 
r  r 2     z  z 
t
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Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r
polar, θ
azimutal, Φ
1   2 T 
1
  T 
1
 
T 
T

kr


k


k
sen


q


c




p
r  r 2 sen 2     r 2 sen  
 
t
r 2 r 
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Transferência de Calor e Massa
Condições de
Contorno e Inicial
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Transferência de Calor e Massa
Para determinação da distribuição de temperaturas num
meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação
do Calor.
Tal solução depende das condições físicas existentes nas
fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo
(processo transiente), a solução também depende das
condições existentes no meio em algum instante inicial.
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Transferência de Calor e Massa
Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira
ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser
especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias
possibilidades comuns que são expressas de maneira simples
em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda
ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de
contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial
necessária para descrever o problema.
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Transferência de Calor e Massa
Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de
Dirichlet
Condição de
Neumann
Condição de
Robin
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Transferência de Calor e Massa
Homework
Chapter 2 (Incropera et al, 2008):
 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36,
2.39, 2.50
49
Transferência de Calor e Massa
Exemple 2.3
50
Transferência de Calor e Massa
Exemple 2.3
51
Transferência de Calor e Massa