Apresentação do PowerPoint

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ACERVO DO AUTOR / ARQUIVO DA EDITORA
SALVADOR GARCIA GIL / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES
A ideia de ângulo
USELMAN / F1 ONLINE / DIOMEDIA
PETR JILEK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES
Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas
são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice.
Exemplo:
P
R
M
Ângulo:
Lados:
Vértice: R
ou
e
ou
.
Tipos de ângulos
B
C
Ângulo raso
CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA
Ângulo reto
A
B
Ângulo nulo
P
Ângulo agudo
R
Ângulo obtuso
E
R
P
A
Q
B
B
O
F
Medida de ângulos
Para medir um ângulo, escolhemos outro como unidade de medida e
verificamos quantas vezes ele “cabe” no ângulo a ser medido.
A unidade de medida mais usada para ângulos é o grau, cujo símbolo
é °. O ângulo de 1 volta tem 360 graus (360°). Obtemos o ângulo de 1°
dividindo o ângulo de 1 volta em 360 ângulos de mesma medida.
de volta
de volta
de volta
1 volta completa
volta
de volta
Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da
abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.
Como registramos a medida de um ângulo?
Observe a ilustração abaixo para lembrar como posicionamos o
transferidor para medir um ângulo. A medida do ângulo 𝐴𝑂𝐵 é 60°.
Escrevemos: 𝑚𝑒𝑑 𝐴𝑂𝐵 = 60° ou 𝑚𝑒𝑑 𝐴 = 60°.
Submúltiplos do grau: minuto e segundo
1 minuto corresponde a
1 segundo corresponde a
Portanto: 1º = 60’
1’ = 60’’
do grau. Representamos 1’.
do minuto. Representamos 1’’.
Operações com medidas de ângulos
 Adição de medidas de ângulos:
Exemplos:
+
28º 11’ 35’’
10º 40’ 21’’
38º 51’ 56”
+
3º 11’ 5’’
5º 55’ 57’’
8º 66’ 62”
8º 67’ 2’’
9º 7’ 2’’
Trocamos 60’’ por 1’
Trocamos 60’ por 1º
 Subtração de medidas de ângulos:
Exemplos:
–
12º 54’ 59’’
7º 2’ 30’’
5º 52’ 29”
89º
90º – (2º 10’)
–
60’
90º 0’
2º 10’
87º 50’
 Multiplicação de número natural por medida de ângulo:
Exemplos:
7º 2’ 20’’
× 2
14º 4’ 40’’
2º 30’ 32’’
×
2
4º 60’ 64’’
4º 61’ 4’’
5º 1’ 4’’
 Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero:
Exemplos:
(12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’
(34º 3’ 15’’) : 3
Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos
34º 3’ 15’’ = 33º 63’ 15’’
(33º 63’ 15’’) : 3 =
11º 21’ 5’’
Ângulos congruentes
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida.
B
G
C
A
F
E
m(
) = 20º
m(
) = 20º
Dizemos:
Ângulos adjacentes
A
O
B
C
Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um
lado comum 𝑂𝐵, e as regiões determinadas por
eles não têm mais pontos comuns.
Ângulos complementares e ângulos suplementares
B
40º
50º
Quando a soma das medidas de
dois ângulos é 90º, dizemos que
eles são ângulos complementares.
A
40º + 50º = 90º
D
70º
110º
C
70º + 110º = 180º
Quando a soma das medidas de
dois ângulos é 180º, dizemos que
eles são ângulos suplementares.
Ângulos adjacentes e suplementares
Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois
lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta.
C
A
B
O
Adjacentes pela posição de um em relação ao outro.
Suplementares porque a soma de suas medidas é 180º.
Ângulos opostos pelo vértice
CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA
=
=
Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos
opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com
os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais.
A
B
M
A
C
B
M
C
Construir um ângulo congruente a
um ângulo dado usando o compasso
Usando o compasso, construir um ângulo 𝐴𝐵𝐶 dado.
 1º Passo: Com centro no vértice B e uma abertura qualquer, traçamos
um arco que corta o lado 𝐵𝐴 no ponto 𝐴1 , e o lado 𝐵𝐶 no ponto 𝐶1 .
 2º Passo: Traçamos uma semirreta de origem O, que será um dos lados
do ângulo a ser construído. Com centro no ponto O e a mesma abertura
anterior, traçamos um arco que corta a semirreta no ponto D.
 3º Passo: Com centro em D e uma abertura igual à medida de
𝐴1 𝐶1 traçamos um novo arco que corta o primeiro no ponto E.
 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐸, que é o outro lado do ângulo.
Os ângulos 𝑨𝑩𝑪 e 𝑫𝑶𝑬 são congruentes: 𝑨𝑩𝑪 ≅ 𝑫𝑶𝑬.
Traçar a bissetriz de um ângulo dado
Traçar a bissetriz do ângulo 𝐴𝑂𝐵 dado.
 1º Passo: Com centro no vértice O e uma abertura qualquer, traçamos um
arco que corta os lados do ângulo nos pontos 𝐴1 e 𝐵1 .
 2º Passo: Com centro no ponto 𝐴1 e abertura conveniente, traçamos um
novo arco.
 3º Passo: Com centro no ponto 𝐵1 e mesma abertura, traçamos outro arco
que corta o anterior no ponto C.
 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐶, que é a bissetriz procurada.
𝑨𝑶𝑪 ≅ 𝑩𝑶𝑪
Dividir um ângulo em
quatro partes congruentes
Dividir o ângulo 𝐴𝑂𝐵 em quatro partes congruentes.
 1º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo 𝐴𝑂𝐵 e obtemos a semirreta 𝑂𝐶.
 2º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo 𝐴𝑂𝐶 e a do ângulo 𝐵𝑂𝐶.
Os quatro ângulos obtidos são a solução do problema, pois todos são
congruentes.
𝑨𝑶𝑫 ≅ 𝑫𝑶𝑪 ≅ 𝑪𝑶𝑬 ≅ 𝑬𝑶𝑩
Construir um ângulo reto usando o prolongamento
 1º Passo: Traçamos uma semirreta
qualquer de origem A, que será um
dos lados do ângulo procurado.
 2º Passo: Prolongamos a semirreta, a
partir da origem A, para a esquerda.
 3º Passo: Pelo ponto A traçamos uma
semirreta perpendicular à semirreta
já traçada.
O ângulo 𝑩𝑨𝑪 assim obtido é reto.
Construir um ângulo reto sem usar o prolongamento
 1º Passo: Traçamos uma semirreta, com origem no ponto A, que será um
dos lados do ângulo procurado.
 2º Passo: Pelo ponto A, traçamos uma semirreta que seja perpendicular à
semirreta já traçada, sem prolongá-la.
O ângulo 𝑩𝑨𝑬 assim obtido é reto.
Construir um ângulo de 45°
 1º Passo: Construímos um ângulo
reto.
 2º Passo: Traçamos a bissetriz desse
ângulo e obtemos um ângulo cuja
medida é 45°.
Construir um ângulo de 22° 30’
 1º Passo: Construímos um ângulo
de 45°.
 2º Passo: Traçamos a bissetriz desse
ângulo e obtemos um ângulo cuja
medida é 22° 30’.
Construir um ângulo de 60°
 1º Passo: Traçamos uma semirreta 𝑂𝐴, que será um dos lados do ângulo
pedido.
 2º Passo: Com centro no ponto O e uma abertura qualquer, traçamos um
arco que corta 𝑂𝐴 no ponto 𝐴1 .
 3º Passo: Com centro no ponto 𝐴1 , e mesma abertura, traçamos um
arco que corta o anterior no ponto B.
 4º Passo: Traçamos a semirreta 𝑂𝐵, que será o outro lado do ângulo.
Construir um ângulo de 30°
 1º Passo: Construímos um ângulo de 60°.
 2º Passo: Traçamos a bissetriz do ângulo de 60° e obtemos um ângulo
cuja medida é 30°.
Construir um ângulo cuja medida seja igual
a soma das medidas de dois ângulos dados
Construir um ângulo de 105° sabendo que 105° = 60° + 45°.
 1º Passo: Construímos, separadamente, um ângulo de 60° e um ângulo de
45°.
 2º Passo: Construímos dois ângulos consecutivos transportando os
ângulos construídos.
Construir um ângulo oposto pelo
vértice (o.p.v.) a um ângulo dado
Construir um ângulo oposto pelo vértice (o.p.v.) ao ângulo 𝐴𝑂𝐵 dado.
 1º Passo: Traçamos a partir
do vértice O, a semirreta
𝑂𝐶 oposta à semirreta 𝑂𝐴.
 2º Passo: Traçamos, desde
o vértice O, a semirreta 𝑂𝐷
oposta à semirreta 𝑂𝐵. O
ângulo 𝐶 𝑂𝐷 obtido é o.p.v.
ao ângulo 𝐴𝑂𝐵, e estes são
congruentes.
Professor Rubens
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