Sistemas lineares

Aula 1 - Sinais
 Conceitos
 Sinais e sistemas
 Definições
 Descrições
 Representações matemáticas
 Classificações
 Sinais
 Elementares (básicos)
 Operações
 Definição:
 Um sinal é a representação física de uma informação
 Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o comportamento ou
a natureza de uma natureza física
 Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t representa o
tempo
 Exemplo
 Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, vc(t), ou a corrente no resistor, i(t)
 Exemplo
 Batimentos cardíacos;
 Flutuação diária dos preço das ações;
 Sinais de fala;
 Imagem;
 Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações
 Definição
 Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro conjunto
de sinais (saída)
 Implementação
 Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos
 Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas
 Exemplos:
 Sistema automático de fala;
 Circuito elétrico;
 Sinais de tempo contínuo:
 O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja, definida
para todo valor de t.
 Sinais de tempo discreto:
 O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em tempos
discretos;
 Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de tempo
contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.
 Sinais pares e ímpares:
 Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se:
𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡
 Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se:
𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡
Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto.
 Sinais pares e ímpares
 Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par 𝑥𝑝 (𝑡) e um
sinal ímpar 𝑥𝑖 𝑡 :
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝 𝑡 + 𝑥𝑖 (𝑡)
 Então:
𝑥𝑝 (𝑡) =
𝑥 𝑡 + 𝑥(−𝑡)
2
𝑥𝑖 (𝑡) =
𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)
2
 Sinais pares e ímpares
 Exemplo:
 Decomponha 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑗𝑡 em sinais pares e ímpares.
 Propriedades:
 O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par;
 O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar;
 Sinais periódicos e não periódicos:
 Um sinal 𝑥(𝑡) é períodico se satisfizer a condição:
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 , ∀ 𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇 > 0
 T é chamado de período do sinal;
 O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e
normalmente designado por T0;
 Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não periódico ou
aperiódico;
 Sinal real:
 Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais;
 Sinal complexo:
 Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo 𝑥𝑅 𝑡 +
𝑗𝑥𝐼 𝑡 , onde xR(t) e xI(t);
 Sinal determinístico:
 Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e
são descritos por uma função matemática conhecida;
 Sinal aleatório:
 Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos
estatisticamente;
 São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas;
 Servem como blocos para construção de sinais mais complexos;
 São eles:
 Exponencial;
 Degrau;
 Senoidal;
 Impulso;
 Rampa;
 Sinal exponencial real:
 De forma geral:
𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒 𝑎𝑡
Onde:
B é a amplitude no instante t = 0;
Se a > 0, exponencial crescente
Se a < 0, exponencial decrescente
 Sinais senoidais:
 Forma mais geral pode ser escrito como:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ∅)
Onde:
A é a amplitude;
w é a frequência em radianos por segundo;
Ø é o ângulo de fase em radianos;
 Sinal exponencialmente amortecido:
 De forma:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + ∅
 Função degrau ou de Heaviside:
 Definição:
𝑢 𝑡 =
1, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
 Função impulso ou delta de Dirac:
 Definição:
𝛿 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0
E
∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞
 Sinal rampa:
 Definição:
𝑟 𝑡 =
𝑡, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
Ou:
𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡)
 Operações realizadas nas variáveis dependentes:
 Mudança de escala de amplitude:
𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑥(𝑡)
 Adição:
𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 +𝑧 𝑡
 Multiplicação:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 . 𝑧(𝑡)
 Diferenciação:
𝑦 𝑡 =
 Integração:
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
𝑦 𝑡 =
𝑥 𝑡 𝑑𝑡
−∞
 Operações realizadas nas variáveis dependentes:
 Exemplos:
 Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores.
 Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op
 Multiplicação: Circuito modulador AM
 Diferenciação: Circuito com indutor
𝑣 𝑡 =𝐿
 Integração: Circuito com capacitor
1
𝑣 𝑡 =
𝐶
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
𝑖 𝑡 𝑑𝑡
−∞
 Realizadas na variável independente:
 Mudança de escala: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎. 𝑡)
 Se 0 < 𝑎 < 1, expansão;
 Se 𝑎 > 1, compressão;
 Reflexão:
𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡)
 Deslocamento:
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 )
 Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no
tempo:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑎𝑡 − 𝑏
 Esta esta relação satisfaz:
𝑦 0 = 𝑥 −𝑏
𝑏
𝑦
= 𝑥(0)
𝑎
 Primeiro fazemos os deslocamento temporal, 𝑥(𝑡 − 𝑏), posteriormente fazemos o
escalonamento temporal 𝑥(𝑎𝑡)
 Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no
tempo:
 Exemplo: 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3)