V * CONDUÇÃO TRANSIENTE

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ME36L – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1
PROF. Msc RUBENS GALLO
V – CONDUÇÃO TRANSIENTE
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• Condução transiente ou não estaconário: se a temperatura da superfície de um
sitema for alterada, a temperatura em cada ponto no sistema também começará a
ser mudada.
• As variações continuarão a ocorrer até que a distribuição de temperatura em regime
estacionário seja atingido.
• Os objetivos desse capítulo são: desenvolver procedimentos para adeterminação da
dependência da distribuição de temperatura no interior de um sólido durante um
processo transiente, bem como determinar a transferência de calor entre o sólido e
seu ambiente.
2
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• Se os gradientes de temperatura no interior do sólido puderem ser despezados, um
procedimento
relativamente
simples,
denominado
método
da
capacidade
concentrada, pode ser utilizado para determinar a variação da temperatura com o
tempo.
• Sob condições para as quais os gradientes de temperatura não são desprezíveis,
mas a transferência de calor no interior do sólido é unidimensional, soluções exatas
para a equação do calor podem ser utilizadas para calcular a dependência da
temperatura tanto na posição como no tempo. Tais soluções são consideradas para
sólido finidos (paredes planas, cilindros longos e esferas).
• Para geometrias mais complexas, métodos das diferenças finitas devem ser
utilizados para prever a dependência no tempo das temperaturas no interior do
sólido.
3
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5.1 – MÉTODO DA CAPACIDADE CONCENTRADA
4
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5
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• Como não existe gradientes de temperatura no interior do sólido, a equação do calor
não pode ser utilizada.
• A resposta transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço
global de energia no sólido, deve relacionar a taxa de perda de calor na superfície
com a taxa de variação da energia interna.
 Eg  Earm
(5.1)
ou
dT
 hAs T  T   Vc
dt
(5.2)
6
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• Introduzindo a diferença de temperatura
  T  T
• Lembrando que:
(5.3)
Vc d
dT d

dt
dt
hAs dt
 
• Separando variáveis e integrando a partir da condição inicial, para a qual t=0 e
T(0)=Ti, obtemos:
Vc  d
hAs
 dt
i
t
   dt
onde
i  Ti  T (5.4)
0
7
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• Efetuando as integrações, segue que
Vc
hAs
ln
i
t

(5.5)
• ou
  hA  
 T  T

 exp   s  t 
i Ti  T
  Vc  
(5.6)
• Da equação acima podemos observar que a diferença entre as temperaturas do
sólido e do fluido deve decair exponencialmente para zero conforme t se aproxima
do infinito.
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 1 
  Vc   Rt Ct
 hAs 
t  
(5.7)
9
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
 t 
q   Vc  i 1  exp   
  t 

(5.8a )
• A grandeza Q é, obviamente, relacionada à variação de energia interna do sólido.
q  Eacm
(5.8b)
• Para resfriamentos, q é positivo e o sólido esta sujeito a uma queda na energia.
• No aquecimento q é negativo e a energia interna do sólido aumenta.
11
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5.2 – VALIDADE DO MÉTODO DA CAPACIDADE
CONCENTRADA
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kA
Ts ,1  Ts ,2   hA Ts ,2  T 

L
L
Ts ,1  Ts ,2 kA Rt ,cond hL



 Bi
1
Ts ,2  T
Rt ,conv
k
hA
(5.9)
13
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Bi 
hLc
 0,1
k
(5.10)
• O erro associado à utilização do método da capacidade concentrada é pequeno.
• Lc – comprimento característico, definido pela relação:
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Volume
Lc 
As
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hAs t
hL k t
hLc  t
ht

 c

Vc  cLc
k  c L2c
k L2c
hAs t
 Bi  Fo
Vc
• Fo – número de Fourier – adimensional.
Fo 
t
L2c
(5.12)
• Substituindo as Eq. 5.11 na 5.6, obtemos:
18
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5.3 – ANÁLISE GERAL DA CAPACIDADE CONCENTRADA
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"
"
qs" As ,( h )  Eg   qconv
 qrad
 As (c,r )  Vc
dT
dt
(5.14)
• A equação acima é uma equação diferencial ordinária não homogênea, de primeira
ordem e não-linear, que pode ser integrada para obter uma solução exata.
• Para uma situação em que não há fluxo de calor ou geração e a convecção não
existe ou pode ser desprezada em relação à radiação, a Eq. 5.15 se reduz a:
21
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• Separando as variáveis e integrando a partir da condição inicial até um tempo
qualquer t, segue que:
T
 As ,( r ) t
dT
dt

 T 4 T 4
Vc 0
T viz
(5.17)
i
t

 1  T
Tviz  Ti
 Tviz  T
ln

ln

2

 tan 
4 As ,( r )Tviz3 
T

T
T

T
viz
viz
i
 Tviz


Vc
t


1  Ti  

tan


 
T

 viz   

 1 


3 Asup,r  T 3  Ti 3 
Vc
(5.18)
(5.19)
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d
 a  b  0
dt
• Introduzindo a seguinte transformação:
• Lembrando que:
  
b
a
(5.20)
(5.21)
d  d

dt
dt
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• Substituindo a Eq. 5.21 em 5.20, temos:
d 
 a   0
dt

 exp   at 
t
T  T  b
a  exp  at 
Ti  T  b
a
(5.22)
(5.23)
(5.24)
24
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5.4 – EFEITOS ESPACIAIS
• Nem sempre o método da capacitânica concnetrada é apropiado e, aproximações
alternativas podem ser utilizada.
• De uma maneira geral, problemas de condução de calor transiente podem ser
descritos pelas equações de difusão de calor (em coordenadas retangulares,
cilíndricas ou esféricas).
• A solução dessas equações diferenciais parciais fornece a variação da temperatura
com o tempo e as coordenadas espaciais.
• Para uma parede plana, sem geração de energia interna e condutividade térmica,
condução unidimensional, apenas uma cooredenada espacial é necessária para
caracterizar a distribuição interna de temperatura.
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 2T 1 T

x 2  t
• Para resolver a equação acima,
(5.26)
para a distirubuiçã de temperatura T(x,t), é
necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno.
• Codinção inicial:
T  x,0  Ti
(5.27)
• Condições de contorno:
T
x
k
T
x
0
(5.28)
x 0
xL
 h T  L, t   T 
(5.29)
26
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* 
 T  T

i Ti  T
x
L
t
t *  2  Fo
L
x* 
(5.31)
(5.32)
(5.33)
27
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• Substiruindo as Eqs. 5.31 a 5.33, nas Eqs. 5.26 a 5.29, a equação do calor torna-se:
 2 *  *

x*2 Fo
 *  x* , 0   1
 *
x*
 *
x*
• Bi – número de Biot:
(5.34)
(5.35)
0
(5.36)
x 0
*
  Bi * 1, t * 
(5.37)
x 1
*
Bi 
hL
k
 *  f  x* , Fo, Bi 
28
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5.5 – A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃO
5.5.1 – SOLUÇÃO EXATA
• Considere a parede plana de espessura 2L. Se a espessura for pequena em relação à
largura e à altura da parede, é razoável considerar que a comdução ocorre
exclusivamente na deireção x.
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
   Cn e  
*
n 1
Cn 
2
Fo
cos  n x* 
4sin  n
2 n  sin  2 n 
(5.39a)
(5.39b)
30
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 n tan  n  Bi
(5.39c)
• As quatro primeiras raízes dessa equação são fornecidas no Apêndice B3.
5.5.2 – SOLUÇÃO APROXIMADA
 *  C1 exp   12 Fo  cos  1 x* 
(5.40a)
ou
 *   0* cos  1 x* 
(5.40b)
31
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 0* 
T0  T
 representa a temperatura no plano intermediário  x*  0 
Ti  T
 Fo 

  C1e
*
0
2
(5.41)
32
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5.5.3 – TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA
• A equação da conservação da energia pode ser aplicada, pode ser aplicada ao
intervalo de tempo delimitado pela condição inicial (t=0) e por qualquer outro
instante de tempo t>0.
Ee  Es  Eac
Q    E  t   E  0  
(5.42)
(5.43a )
ou
Q    c T  x, t   Ti  dV
(5.43b)
34
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• A Eq. 5.43b pode ser adimensionalizada.
Q0  cV Ti  T 
 T  x, t   Ti  dV 1
Q
 

Q0
Ti  T
V V
 1    dV
*
(5.45)
(5.44)
Integrando
sin  1 *
Q
 1

Q0
1 0
(5.46)
35
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5.6 – SISTEMAS RADIAIS COM CONVECÇÃO
36
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5.6.1 – SOLUÇÕES EXATAS
Cilindro infinito.
• Na forma adimensional, a temperatura é:
 *   Cn e
• Onde
Fo 
2
n Fo
Jo  n r * 
(5.47a )
t
r02
Cn 
J1   n 
2
 n J  n   J  n 
2
0
n
J1   n 
J 0  n 
2
1
 Bi
(5.47b)
(5.47c)
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• As funções J1 e J0 são funções de Bessel de primeira e segunda espécie e seus
valores estão tabelados no Apêndice B.4.
Esfera

   Cn e
*
n 1
2
n Fo
1
n
sin  n r * 
4 sin  n    n cos  n  
Cn  
2 n  sin  2 n 
1   n cot  n  Bi
(5.48a)
(5.48b)
(5.48c)
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5.6.2 – Soluções Aproximadas
• Para o cilindro infinito e a esfera, as soluções anteriores em séries infinitas podem,
mais uma vez, ser aproximadas por um único termo, quando F0>0,2.
• Assim, como no caso da parede plana, a dependência da temperatura em relação
ao tempo em qualquer ponto no interior do sistema radial é a mesma que ocorre na
linha de centro, no caso do cilindro infinito, ou no ponto central, no caso da esfera.
• Cilindro Infinito
• A aproximação pelo primeiro termo da Eq. 5.47 é:
 *  C1e
2
1 Fo
J o  1r * 
(5.49a)
ou
 *  0* Jo  1r * 
(5.49c)
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 0*
Representa a temperatura na linha de centro.
  C1e
*
0
 12 Fo
(5.49c)
40
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5.6.3 – TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA
• Cilindro Infinito
20*
Q
 1
J1   1 
Q0
1
(5.51)
• Esfera
302
Q
 1  3 sin  1    1 cos  1  
Q0
1
(5.52)
41
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5.7 – O SÓLIDO SEMI-INFINITO
• Um sólido semi-infinito é um corpo que se estende até o infinoto em todas as
direções exceto uma, ele é carcterizado por uma única supefície identificável.
• Se uma súbita mudança for imposta nas condições dessa superfície, condução
unidimensional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido.
• O sólido semi-infinito fornece uma idealização útil para muitos problemas práticos.
• Ele pode ser usado na deteminação da transferência de calor tnsiente em uma
região próxima à suerfície do solo, ou então para aproximar a resposta transiente de
um sólido finito, como uma placa espessa. Nesse segundo caso. A aproximação é
razoável na porção inicial do processo transiente, quando as temperaturas no
interior da placa (em pontos distantes da superfície) ainda não tenham sido
influenciadas pela mudança nas condições superficiais.
42
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• Equação do calor para a condução de calor em um sólido semi-infinito.
 2T 1 T

x 2  t
• Condição inicial:
T  x,0  Ti
• Condição de contorno no interior do sólido:
(5.26)
(5.27)
T ( x  , t )  Ti
(5.53)
43
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• A figura abaixo mostra as três condições superficiais usadas na solução da equação
do calor para um sólido-semi-infinto.
44
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
x
 4 t 
1
2
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• Operadores diferenciais transformados:
T T 
1 T


1
x  x  4 t  2 
 2T d  T   d 2T

x 2 dn  x  x d 2
T T 
x
dT


1
t  t
2t  4 t  2 d
• Substituindo essas transformações na Eq. 5.26, a equação do calor assume adquire
a seguinte forma:
d 2T
dT


2

d 2
d
(5.54)
46
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T (  )  Ti
(5.56)
47
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 dT 
d

 d   2 d
 dT 
 d 


• Integrando, tem-se que:
 dT 
2
ln 
    C1
 d 
ou
2
dT
 C1e 
d

• Integrando novamente, obtemos:
T  C1  eu du  C2
2
0
48
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
T  C1  eu du  Tsup
2
0
• Da segunda condição de contorno, Eq. 5.56, obtemos:

Ti  C1  eu du  Tsup
0
• Avaliando a integral definida:
C1 
2 Ti  Tsup 

1
2
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• A distribuição de temperaturas pode ser representada por:
T  Tsup
Ti  Tsup
  k
qsup

2
 2 
  1   eu du  erf 
 2  0
T
x
x 0
 k Ti  Tsup 
 2
  k Tsup  Ti   1
qsup
 2
 
qsup
k Tsup  Ti 
 4 t 
1
2
(5.57)
d  erf   
d
x
 0
 12
  2
e
4

t




 0
(5.58)
50
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T  x, t   Tsup
 x 
 erf 

 2 t 
Ti  Tsup
 
qsup
(5.57)
k Tsup  Ti 
(5.58)
 t
2q0
t  x 

 e 4 t   q0 erfc 

2


 2 t 
(5.59)
  hx h2 t  
 x
T  x, t   Ti
h  t 
 x    k  k 2   
 erfc 

e
erfc





 
T  Ti
k  
2 t
 2 t  



(5.60)
T  x, t   Ti 
k
k
x
51
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 A  qsup,
 B
qsup,
(5.68)
52
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
k A Tsup  TA,i 
Tsup 
 At

kB Tsup  TB ,i 
 Bt
 k  c  A TA,i   k  c B TB,i
 k c  A   k c B
(5.62)
(5.63)
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5.8 – EFEITOS MULTIDIMENSIONAIS
1   T   2T 1 T
r
 2 
r r  r  x
 t
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• Resolvendo a expressão anterior pelo método das separação de variáveis.
T  r , x, t   T T  x, t   T

Ti  T
Ti  T

Parede
plana
T  r , t   T
Ti  T
Cilindro
infinito
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S ( x, t ) 
P ( x, t ) 
C (r , t ) 
T ( x, t )  T
Ti  T
T ( x, t )  T
Ti  T
T (r , t )  T
Ti  T
(5.64)
Sólido
semi-infinito
(5.65)
Parede
plana
(5.66)
Cilindro
infinito
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5.9 – MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
• Soluções analíticas para problemas transientes estão restritas a geometrias e
condições de contorno simples.
• Na maioria dos casos, a geometria e/ou condições de contorno descartam tais
soluções, tornando necessária a utilização de técnicas numéricas na solução desses
tipos de probelmas.
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5.9.1 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR – O MÉTDO EXPLÍCITO
• Considere o sistema bidimensional mostrado na figura abaixo.
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• Equação da difusão de calor, para condições transiente, propriedades constantes e
sem geração de energaia interna.
1 T  2T  2T


 t x 2 y 2
(5.67)
• Além da discretização da equação nas direções x e y (em relação ao espaço), tornase necessário agora, também, uma discretização em relação ao tempo.
• Para isso o inteiro p é introduzido.
t  pt
• Discretização em relação ao tempo.
(5.68)
T
t

m, n
Tmp,n1  Tmp,n
t
(5.69)
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• Substituindo as equações discretizadas na equação da difusão do calor, obtém-se a
forma explícita da equação em diferenças finitas para um nodo inteior (m,n).
• Na solução pelo método explícito, essas temperaturas são avaliadas no instante de
tempo anterior (p).
p 1
p
p
p
p
p
p
p
1 Tm,n  Tm,n Tm1,n  Tm1,n  2Tm,n Tm,n 1  Tm,n 1  2Tm,n


2

t
x
y 2
(5.70)
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• Resolvendo par a temperatura nodal no novo instante de tempo (p+1) e
considerando que os incrementos em x e y são iguais, tem-se:
Tmp,n1  Fo Tmp1,n  Tmp1,n  Tmp,n 1  Tmp,n 1   1  4 Fo  Tmp,n
Fo 
t
x
2
(5.71)
(5.72)
• Se o sistema for unidimensional em x.
Tmp,n  Fo Tmp1  Tmp1   1  2 Fo  Tmp
(5.73)
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• Critério de estabilidade para um nodo unidimensional:
1
2
(5.74)
1
Fo 
4
(5.75)
Fo 
• Para um nodo bidimensional:
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Ee  Eg  Eacum
(5.76)
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• Considerando a transferência de calor por convecção de um fluido adjacente e
graração nula, tem-se pela Eq. 5.76 que:
kA p
x Top 1  T0p
p
hA T  T  
T1  T0   cA 2 t
x
p
0
T0p 1 
• Lembrando que:
2h t
t
p
T

T

2

T p  T0p   T0p


o 
2  1
 c x
x
2ht
hx t
2
 2 BiFo
 cx
k x 2
Top 1  2 Fo T1 p  BiT   1  2 Fo  2 BiFo  T0p
(5.77)
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• Número de Biot em diferenças finitas:
Bi 
hx
k
(5.78)
• Critério de estabilidade:
Fo 1  Bi  
1
2
(5.79)
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5.9.2 – DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR – O MÉTODO IMPLÍCITO
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• Discretizando a equação do calor para as condições propriedades constantes e sem
geração de energia interna, tem-se:
p 1
p
p 1
p 1
p 1
p 1
p 1
p 1
1 Tm,n  Tm,n Tm1,n  Tm1,n  2Tm,n Tm,n 1  Tm,n 1  2Tm,n


2

t
x
y 2
Tmp,n  1  4 Fo  Tmp,n1  Fo Tmp1,1n  Tmp1,1nTmp,n11  Tmp,n11 
(5.86)
(5.87)
• Analisando a equação acima podemos perceber que a temperatura no nó (m,n) no
instante p, depende das novas temperaturas no seus nodos adjacentes, que são em
geral desconhecidas.
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• A discretização da equação do calor irá fornecer um conjunto de equações
algébricas que deverão serem resolvidas simultaneamente, isso pode ser feito
enpregando-se o método iterativo de Gauss-Siedel, inversão de matrizes ou outro
método qualquer.
• A vantagem desse método em relação ao explícito é que ele é incondicionalmente
estável, ou seja, a solução permanece estável para todos os intervalos de espaço e
de tempo.
• Para um nodo na superfície do corpo, tem-se:
1  2Fo  2FoBi  T0p1  2FoT1p1  2FoBiT  Top
(5.88)
• Para um nodo no interior:
1  2 Fo  Tmp 1  Fo Tmp11  Tmp11   Tmp
(5.89)
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