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Prática de Ensino em Matemática II
Aula 3
Curso de Licenciatura em Matemática
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
A divisão envolvendo números decimais
Um ponto nevrálgico na aprendizagem das operações matemáticas trata-se da divisão. Isto
ocorre, provavelmente, pois tal operação envolve um algoritmo baseado:
• quantificar quantas vezes o divisor está contido no dividendo;
• multiplicar o quociente pelo divisor;
• verificar a diferença entre o produto obtido e o dividendo.
Para facilitar a execução do algoritmo é fundamental que o trabalho envolvendo as tabuadas de
multiplicação tenha sido feito de forma eficaz. Outros empecilhos envolvendo a divisão com mais
de um algarismo no divisor também são citados em pesquisas e pelos próprios estudantes.
Quanto a divisão envolve números na forma decimal, sugere-se que o algoritmo deve ser
trabalho sistematicamente, de forma progressiva em grau de dificuldade, levando o professor e
aluno a construírem um arcabouço de estratégias que potencializem tal operação e que sejam uteis
no dia-a-dia do cidadão.
Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (1)
Exemplo 1) Calcule 26 : 4.
26
4
24
6,5
20
20
0
• primeiramente, dividimos 26 unidades por 4, resultando em 6 unidades e
sobrando 2 unidades;
• em seguida, explicitamos que 2 unidades equivalem a 20 décimos.
Para expressar este fato, escrevemos um zero à direita do 2 do resto e,
para indicar que estamos trabalhando com décimos, no quociente
escrevemos uma vírgula;
• continuamos a efetuar a operação normalmente, dividindo 20 décimos
por 4 resultamos em 5 décimos e resto zero. Logo 26 : 4 = 6,5.
Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (2)
Exemplo 2) Calcule 3 : 4.
30
4
28
0, 75
20
20
0
• Nota-se, inicialmente, que não é possível dividir 3 inteiros por 4.
Por isso é necessário reescrever 3 inteiros como sendo 30 décimos.
Para isso é necessário escrevermos um 0 à direita do 3. No quociente,
para indicarmos que não haverá nenhum inteiro, também escrevemos
um 0 e, em seguida escrevemos uma vírgula para indicar que estamos
trabalhando com décimos;
• Dividindo 30 décimos por 4 temos 7 décimos e restam 2 décimos;
• Novamente, nos deparamos com a situação de não ser possível dividir 2
décimos por 4. Logo é necessário reescrever 2 décimos como sendo
20 centésimos. Para isto, basta escrever um zero à direita do 2;
• Dividindo 20 centésimos por 4 temos 5 centésimos e resto 0.
Logo 3 : 4 = 0,75.
Uma contextualização interessante da divisão entre naturais
Exemplo 3) Transforme as seguintes frações em números decimais.
4 2
8
∙ =
= 0,8
5 2 10
123 : 3 41 2
82
150 : 3 = 50 ∙ 2 = 100 = 0,82
Relembrando que toda fração indica a divisão do numerador pelo denominador, temos:
4
5
40
5
40
0,8
0
123
150
1230
1200
150
0, 82
30 0
300
0
Esta também é uma boa oportunidade para que o professor faça uma analogia entre
as frações próprias (valem menos que 1 unidade) e as frações impróprias (valem 1 unidade ou mais).
Números decimais exatos
Exemplo 4) Efetue as seguintes divisões:
1
4
10
8
20
20
0
4
0,25
9
2
9
2
8
4,5
10
10
0
3
8
30
8
24
60
56
0,37 5
40
40
0
Em todas estas divisões o resto foi zero. Logo os quocientes são chamados números decimais exatos.
Para que uma divisão resulte num número decimal exato o
DIVISOR DEVE SER COMPOSTO APENAS POR FATORES 2 e 5.
Dízimas Periódicas (1)
Exemplo 5) Efetue as seguintes divisões:
2
3
20
18
20
18
3
0, 666
27
110
27 0
220
110
0 , 245 4 5
50 0
440
20
600
18
550
2
50 0
440
Observe que nestas divisões
60 0
o resto nunca será zero e alguns algarismos no
550
quociente ficam se repetindo indefinidamente.
50
4
3
4
3
3
10
9
1,33 3
10
9
10
9
1
Dízimas Periódicas (2)
Dizemos que o resultado de tais divisões são chamados de dízimas periódicas. A palavra dízima deriva
da palavra DEZ (trata-se de um tipo de número decimal), enquanto que a palavra periódica refere-se ao
PERÍODO (algo que se repete).
2
= 0,666 … = 0, 𝟔
3
27
= 0,24545 … = 0,2𝟒𝟓
110
4
= 1,333 … = 1, 𝟑
3
Para que uma divisão resulte numa dízima periódica o
DIVISOR DEVE SER COMPOSTO POR ALGUM FATOR QUE NÃO SEJA 2 OU 5.
Basicamente as dízimas periódicas dividem-se em Dízimas Periódicas SIMPLES ou COMPOSTAS:
a) as Dízimas Periódicas SIMPLES são aquelas em que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Exemplos: 0,666... ; 1,333... ; 0,151515....
b) as Dízimas Periódicas COMPOSTAS são aquelas em que entre a vírgula e o período existe uma
parte não periódica. Exemplo: 0,24545... ; 1,5333...
Divisão de número decimal por número natural (1)
Exemplo 6) Calcule 9,84 : 3.
9,84
3
9
3,2 8
08
6
24
24
0
• Primeiramente, dividimos 9 unidades por 3, resultando em 3 unidades e
resto 0;
• em seguida, explicitamos que iremos dividir a parte decimal, escrevendo
a vírgula no quociente. Dividindo 8 décimos por 3 temos 2 décimos e
restam ainda 2 décimos (que equivalem a 20 centésimos);
• 20 centésimos mais 4 centésimos são 24 centésimos. Para expressar isto
escrevemos o 4 à direita do 2 e continuamos a divisão.;
• 24 centésimos divididos por 3 resulta em 8 centésimos e resto 0. Logo a
divisão 9,84 : 3 = 3,28.
Divisão de número decimal por número natural (2)
Exemplo 7) Calcule 2,7 : 5.
2,7
5
25
0 , 54
0 20
20
0
• Notamos que não é possível dividir 2 unidades por 5.
Logo transformamos 2 unidades em 20 décimos. Juntando 20 décimos
com 7 décimos temos 27 décimos (que é possível dividir por 5);
• Para indicar que iremos dividir décimos escrevemos um zero no
quociente seguindo da vírgula à direita. 27 décimos divididos por 5 são
5 décimos e restam 2 décimos;
• Como não é possível dividir 2 décimos por 5, reescrevemos 2 décimos
como sendo 20 centésimos adicionando um 0 à direita do 2;
• 20 centésimos divididos por 5 resultam em 4 centésimos e resto 0. Logo
2,7 : 5 = 0,54.
Divisão de por 10, 100, 1000
Exemplo 8) Observe as seguintes multiplicações.
1,46 ∙ 10 = 14,6
8,394 ∙ 100 = 839,4
0,873 ∙ 1000 = 873
Reescrevendo tais operações como sendo divisões, temos:
14,6 ∶ 1𝟎 = 1, 4 6
839,4 ∶ 1𝟎𝟎 = 8, 39 4
873 ∶ 1𝟎𝟎𝟎 = 0, 873
Observando os resultados, pode-se concluir que:
Para dividir um número por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a vírgula uma, duas ou três casas,
respectivamente para a ESQUERDA. Acrescenta-se zeros quando necessário.
Professor esta é uma boa oportunidade de utilizar
a calculadora em sala de aula.
Os P.C.N.s recomendam a utilização neste caso,
para, por exemplo, a verificação de resultados.
Uma propriedade importante
Exemplo 8) Observe as seguintes divisões.
15 ∶ 5 = 3
6∶3=2
×4
×4
24 ∶ 12 = 2
×2
×2
30 ∶ 10 = 3
2 ∶ 5 = 0,4
8∶2=4
× 10
× 10
80 ∶ 20 = 4
×3
×3
6 ∶ 15 = 0,4
Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número,
diferente de zero, a nova divisão terá o mesmo quociente.
Utilizando a regra da divisão por 10, 100 ou 1000 juntamente com a
propriedade citada para a multiplicação podemos elaborar uma
regra prática para divisão envolvendo números decimais.
Divisão envolvendo números decimais
Exemplo 9) A mãe de Josefa queria saber qual era o consumo de gasolina de seu carro na estrada. Para isso
anotou a quilometragem e encheu o tanque antes e depois de uma viagem. Ela verificou que seu carro
percorreu 92,8 km com 7,25 litros. Qual é o consumo do carro da mãe de Josefa?
92,8 ∶ 7,25 =?
× 100
× 100
9280 ∶ 725 =?
92,8 0
7,25
Igualando as casas decimais
e excluindo a vírgula.
9280
725
2030
1450
5800
5800
0
Resposta: O carro da mãe de Josefa percorre 12,8 km com 1 litro de combustível.
725
12,8
Mais exemplos
Exemplo 10) Efetue as seguintes divisões:
6 ∶ 1,6 = 60 ∶ 16 = 3,75
60
16
3 , 75
48
0,3 ∶ 0,008 = 300 ∶ 8 = 37,5
2,34 ∶ 9,9 = 234 ∶ 990 = 0,236 …
300
8
234 0
990
24
3 7, 5
1980
0 , 2 36 ...
12 0
112
80
80
60
56
40
40
0
0
360 0
2970
630 0
5940
360 ...