Razão e Proporção

Razão e Proporção
Razão: é o quociente indicado (exato)
entre dois números racionais, sendo que o
segundo número é diferente de zero.
Como você pode perceber, uma razão
é representada por uma fração. No entanto,
não deve ser lida como se fosse um número
racional. Observe o quadro abaixo:
Número racional (representado por Razão (representada por fração)
fração)
1/2 lê-se: um meio
1/2 lê-se: um para dois ou um está para dois
3/4 lê-se: três quartos
3/4 lê-se: três para quatro ou três está para
quatro
5/3 lê-se: cinco terços
5/3lê-se: cinco para três ou cinco está para
três
7/10lê-se: sete décimos
7/10 lê-se: sete para dez ou sete está para
dez
5137
10
342
OS TERMOS DE UMA RAZÃO: O
ANTECEDENTE E O CONSEQÜENTE
3
5
Vamos considerar a notação . O que
ela representa?
3
A notação 5 é um numeral (fração) que
representa um número “três quintos”,
onde 3 é o numerador, e 5, o
denominador.
3
Porém, 5 é a representação também
da razão “três para cinco”, onde 3 é o
antecedente, e 5, o conseqüente.
RAZÕES EQUIVALENTES
Ao multiplicar ou dividir os termos de
uma razão por um mesmo número
diferente de zero, obtém-se outra razão
equivalente à primeira.
Veja o exemplo:
3
6
9
12



4
8
12
16
48 24 12 4



Forma Irredutível
60 30 15 5
PROPORÇÃO
A proporção é uma igualdade entre
duas ou mais razões.
Quando temos a igualdade só de duas
razões , chamamos essa igualdade de
proporção simples.
Se tivermos a igualdade de mais de
duas razões , chamamos de proporção
contínua.
Desta forma temos que:
x 2

Pr oporção simples
y 5
x y z
 
Pr oporção contínua
4 5 3
Propriedade Fundamental
A propriedade fundamental da
proporção diz que o produto dos
extremos é igual ao produto dos
meios.
a c
  axd  bx c
b d
Exemplos:
1) Dois números estão na razão de 2 para 3.
Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão
na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois
números é:
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
Solução:
x 2

y 3
x2 3
e que

y2 5
x
y
 a  x  2.a
e
 a  y  3a
2
3
substituin do os valores de x e y na outra proporção temos :
2a  2 3
  (2a  2) x 5  (3a  2 ) x3
3a  2 5
10a  10  9a  6  10a  9a  6  10  a   4
substituin do o valor de a em x e y temos :
x  2 . ( 4)   8
; y  3.(  4)   12
log o x . y  96
2) Sabendo que x + y = 42, determine x e
y na proporção
.
x 5

e
y 9
x  y  42
y
x
 a  y  9a
e
 a  x  5.a
9
5
substituin do os valores de x e y na outra proporção temos :
42
3
x  y  42  5a  9a  42  14a  42  a
14
substituin do o valor de a em x e y temos :
x  5 . (3) 15
; y  9 .(3)  27
3) A soma da idade do pai e do filho é
45 anos. A idade do pai está para a idade
do filho, assim como 7 está para 2.
Determine a idade do pai e do filho.
P 7

e
F 2
P  F  45
P
F
 a  P  7.a
e
 a  F  2a
7
2
substituin do os valores de P e F na outra proporção temos :
45
P  F  45  7 a  2a  45  9a  45  a
5
9
substituin do o valor de a em P e F temos :
P  7 . (5)  35
; F  2 .(5)  10
Porcentagem
Introdução:
Utilizamos o cálculo de porcentagem
constantemente no nosso cotidiano. Dois
simples exemplos:
1) Uma loja lança uma promoção de
10% no preço dos seus produtos. Se uma
mercadoria custa R$120,00, quanto a
mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de
R$120,00. Logo:
10
1200
120 x

 12
100
100
Retiramos, portanto, R$12,00 de
R$120,00:
120
12
=
108
Passaremos a pagar, com a promoção,
R$108,00.
2) Uma sala de aula possui 100 alunos,
sendo que 40% são meninas. Qual a
quantidade de meninas e de meninos?
quantidade de meninas será:
40
4000
100 x

 40
100
100
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração
cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
( lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Definição de taxa porcentual ou
porcentagem:
As expressões 7%, 16% e 125% são
chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Porcentagem é o valor obtido ao
aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Um jogador de futebol, ao longo de um
campeonato,
cobrou
75
faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas.
Quantos gols de falta esse jogador fez?
Exercícios
Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo
antecedente seja igual a 8.
Solução:
Vamos igualar as razões.
8=2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual
a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Em uma sala de aula, a razão de
moças para o número de rapazes é de
5/4. Se o número total de alunos desta
turma é de 45 pessoas, caso exista uma
festa quantas moças ficariam sem par ?
Solução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x
5
45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem
par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
3) A razão das idades de duas pessoas é
2/3. Achar estas idades sabendo que sua
soma é 35 anos.
a)14 e 20 anos
b)14 e 21 anos
c)15 e 20 anos
d)18 e 17 anos
e)13 e 22 anos
Solução:
a 2

b 3
; a  b  35
a
b
 x  a  2.x
;
 x  b  3x
2
3
substituin do os valores de a e b na outra proporção temos :
35
a  b  35  2 x  3 x  35  5 x  35  x
7
5
substituin do o valor de x em a e b temos :
a  2. (7) 14
; b 3.(7)  21
4) A diferença dos volumes de dois
sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar
os volumes.
a)17cm³ e 28cm³
b)18cm³ e 27cm³
c)19cm³ e 28cm³
d)20cm³ e 27cm³
e)n.d.a
Solução:
a 2

b 3
; b  a 9
a
b
 x  a  2.x
;
 x  b  3x
2
3
substituin do os valores de a e b na outra proporção temos :
b  a  9  3x  2 x  9  x  9
substituin do o valor de x em a e b temos :
a  2. (9) 18
; b 3.(9)  27
5) O preço de uma
casa sofreu
um aumento de 20%, passando a ser
vendida por 35 000 reais. Qual era o
preço desta casa antes deste aumento?
Solução:
Porcentagem
120
100
Preço
35 000
x
6) Aumentando-se 10% uma grandeza
positiva x e do resultado diminui-se 10%
obtemos:
(A) x
(B) 0,9·x
(C) 0,99·x
(D) 1,1·x
(E) 1,2·x
Solução:
Acrescentar 10% em X significa dizer
que x passa a ser 1,1 x.
Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11
Logo :
1,1x – 0,11x = 0,99x
7) Com o reajuste de 10% no preço da
mercadoria
A,
seu
novo
preço
ultrapassará o da mercadoria B em
R$9,99. Dando um desconto de 5% no
preço da mercadoria B, o novo preço
dessa mercadoria se igualará ao preço da
mercadoria A antes do reajuste de 10%.
Assim, o preço da mercadoria B, sem o
desconto
de
5%,
em
R$,
é
Solução:
Temos:
1,1 A = B + 9,99
e que 0,95 B = A
1,1( 0,95 B ) = B + 9,99
1,045 B = B + 9,99
1,045B – B = 9,99
0,045B = 9,99
B = R$ 222,00