Condicionais

Lógica Proposicional-3
Condicional e Bicondicional
Provas informais e formais com condicionais
Referência:
Language, Proof and Logic
Jon Barwise e John Etchemendy, 1999
Capítulos: 7-8
1
Condicional

Implicação ou condicional material: 
–

PQ
P é antecedente e Q consequente
Linguagem natural
–
–
–
se P então Q
Se a Ana está na sala então a Rita está na biblioteca
NaSala(ana) NaBib(rita)
P só se Q
[condição necessária]
O Nilton é aprovado só se assistir a 75% das aulas
Aprovado(nilton) Assiste75%(nilton)
Q se P
[condição suficiente]
O Luís é bom aluno se tiver média de 15
Media15(luis) BomAluno(luis)
Lógica Proposicional-2
Tradução
–
–

Combinado com negação: P  Q
–

Q sempre que P, Q quando P, Q dado P
Chove sempre que vou à praia
NaPraia(eu) Chove
P implica Q
[valor de verdade, não causalidade]
A Otília andar à chuva implica que fica molhada
AndarChuva(otilia) Molhada(otilia)
Q a menos que P; a não ser que P, Q
A Clara vai à praia a menos que chova
Chove aPraia(clara)
[se chover não se sabe...]
Em fórmulas quantificadas: expressões mais naturais
–
Todos os A’s são B´s
Para todo o x (A(x)  B(x))
Lógica Proposicional-3
: Semântica e Regra do jogo

P Q verdadeiro se e só se P é falso ou Q verdadeiro
P
V
V
F
F



Q
V
F
V
F
PQ
V
F
V
V
significado é P Q
Quando é falso: antecedente verdadeiro e consequente falso
Não aumenta a potência da linguagem mas torna-a mais
natural e fácil de entender
Tarski´s World: P Q é abreviatura de P Q
–
no jogo: substitui e usa regra para 
Lógica Proposicional-4
Verdade lógica e consequência lógica

Importância do condicional: reduzir consequência lógica a
verdade lógica

Q é consequência das premissas P1, … Pn se e só se
é impossível todas serem verdadeiras e Q falso
Então a fórmula
(P1  …  Pn)  Q
não pode ser falsa
é logicamente verdadeira
Lógica Proposicional-5
Bicondicional



Equivalência ou bicondicional material: 
[condição necessária e suficiente]
LN: se e só se… só no caso em que...
–

P se Q
PQ
P só se Q
PQ
n é par sse n2 é par
Par(n) Par(n2)
Propriedades: P e Q logicamente equivalentes se e só se o
bicondicional P  Q logicamente verdadeiro
P Q
PQ

sse
sse; abreviatura; não é símbolo da FOL
conectiva; logicamente verdadeiro; símbolo da FOL
Exemplo: lei de DeMorgan
 (P  Q)  (P  Q) é logicamente verdadeira
Lógica Proposicional-6
: Semântica e Regra do jogo

P Q verdadeiro se e só P e Q têm o mesmo valor de verdade
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F
PQ
V
F
F
V
significado é (PQ) (PQ)
Tarski´s World:
–
–
P Q é substituído por (P  Q) (Q  P)
no jogo: substitui e usa regra para 
Lógica Proposicional-7
LN: o que decorre de uma frase?

Ao traduzir LN para LPO:
questão do que é ou não consequência da frase
A Rita está na sala quando o Rui não está na sala
 NaSala(rui)  NaSala(rita)
 NaSala(rui)  NaSala(rita)
– Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na
sala, então a Rita não estará
–

Distinção a fazer:
–
–

condições de verdade de uma afirmação
outras coisas que decorrem da afirmação
H.P. Grice: introduz noção de decorrência conversacional
Lógica Proposicional-8
Decorrência Conversacional
Frase F, e conclusão C
 se C faz parte do significado de F: não pode ser cancelada
por afirmações subsequentes
A Rita e o Rui estão na sala … mas o Rui não está na sala
O Rui está na sala é parte do significado: não pode ser cancelado

se C é mera decorrência de F: pode ser cancelada por
afirmações subsequentes
A Rita está na sala quando o Rui não está na sala … mas quando
o Rui está na sala não sei onde está a Rita
NaSala(Rita) NaSala(Rui) não faz parte do significado da
afirmação: pode ser cancelado na afirmação seguinte sem
contradição
Lógica Proposicional-9
Métodos de prova usando  e 




Estritamente: podem usar-se só as regras para ,  e 
Provas mais naturais: usam regras próprias para e 
Passos de prova:
Modus ponens ou eliminação do condicional
–

Eliminação do bicondicional
–

tendo estabelecido PQ e P pode inferir-se Q
tendo estabelecido QR ou RQ, tendo Q pode inferir-se R
Equivalências
contrapositiva
PQ
Q  P
PQ
P  Q
(PQ) P  Q
PQ
PQ
(PQ)  (QP)
(P  Q)  (P  Q)
Lógica Proposicional-10
Método de prova condicional

Para provar P Q :
–
–

Exemplo: A C é consequência de A B e B C
–
–
–

Assumir P como premissa
Provar Q
Assumindo A: de AB, por modus ponens infere-se B
De B e BC , por modus ponens infere-se C
Provou-se C tendo assumido A, provou-se AC
Exemplo: Par(n2) Par(n)
–
Assumindo Par(n2), e fazendo prova por contradição



–
n é ímpar, n= 2m + 1
n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1
Contradiz a premissa, logo n é par
donde n2 é ímpar
Par(n2) Par(n) infere-se por prova condicional
Lógica Proposicional-11
Provas com 

Prova condicional: para provar P Q
–
–

Assumir P e provar Q
Assumir Q e provar P
Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes:
Expressão em LPO:
Q1  Q2
Q2 Q3
Q1  Q3
Em vez de 6 provas condicionais:
provar um ciclo
Q1  Q2
Q2 Q3
Q3  Q1
Lógica Proposicional-12
Exemplo

As condições seguintes nos números naturais são todas
equivalentes:
(1) n é par
(2) n2 é par
(3) n2 é divisível por 4

Provando (3)  (2)  (1)  (3)
–
–
Assumindo (3): se n2 é divisível por 4, é divisível por 2, logo (2)
(2)  (1) por contrapositiva: se n é ímpar, pode escrever-se


–
n= 2m + 1
n2 = (2m+1)2 = 4 m2 + 4m + 1 = 2 (2 m2 + 2m) +1 é ímpar
(1)  (3) é evidente
Lógica Proposicional-13
Regras de inferência para 
Eliminação do condicional
( Elim)
P Q
M
P
M
 Q
Modus ponens
Introdução do condicional
( Intro)
P
M
Q

P Q
Prova condicional
Lógica Proposicional-14
 nas provas formais
1. (A  B)  C
2. A
3. A  B
4. C
5. A  C
1. A
2. A
3. 
4. A
5. A  A
 Intro: 2
 Elim: 1,3
 Intro: 2-4
 Intro: 1,2
 Intro: 2,3
 Intro: 1-4
Usar prova de A a partir de A
para provar o condicional
A  A
(sem premissas)
Lógica Proposicional-15
Regras de inferência para 
Eliminação do bicondicional
( Elim)
P  Q (ou Q  P )
M
P
M
 Q
Introdução do bicondicional
( Intro)
P
M
Q
Q
M
P
 P Q
Dupla prova condicional
Lógica Proposicional-16
 nas provas formais
1. (P  Q)
2. P  Q
Teor Prev(Teorema 2): 1
3. P  Q
4. (P  Q)
Teor Prev(Teorema 3): 3
5. (P  Q)  (P  Q)
 Intro: 1-2, 3-4
Lógica Proposicional-17
Esquemas úteis

Modus ponens
–
–

–

De A B e A
Inferir B
Modus tollens
–
De A B e B
Inferir A
Cancelamento
–
–

De A  B e B
Inferir A
Reforço do antecedente
–
–

Enfraquecimento do consequente
–
–

De B C
Inferir (A B) C
De A B
Inferir A (B  C)
Dilema construtivo
–
–
De A  B , A C, B D
Inferir C  D
Lógica Proposicional-18