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Geometria Espacial
de posição
Introdução
 A já conhecida Geometria Plana trata de
figuras cujos pontos estão todos num mesmo
plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas
dimensões;
 A Geometria Espacial trata de figuras cujos
pontos podem não estar todos num mesmo
plano.
Reta: figura plana
de uma dimensão
Triângulo: figura plana
de duas dimensões
Cubo: figura
espacial de três
dimensões
 A Geometria Espacial Métrica estuda
volumes e superfícies de sólidos e a
Geometria Espacial de Posição estuda as
posições relativas de figuras geométricas no
espaço.
 A Geometria Espacial de Posição requer os
seguintes elementos:
– Postulado: proposição que se aceita verdadeira
sem demonstração;
– Teorema: proposição que se aceita como
verdade por meio de demonstração.
Conceitos primitivos
 São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem
definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta
e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
 pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
A
 retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
r
 planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Postulados
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas
como verdadeiras sem demonstração e que servem de base
para o desenvolvimento de uma teoria.
 Postulado da Existência:
 Existem ponto, reta e plano.
 Numa reta, bem como fora dela,
Existe ponto
Existe reta, e nela, bem
A dela, existem
como fora
Existe plano, e nele, bem
infinitos pontos.
como fora dele, existem
infinitos pontos.
Ponto A
Reta s
existem infinitos pontos.
 Num plano, bem como fora dele,
existem infinitos pontos.

 Postulado da Determinação:
 Dois pontos distintos determinam uma única reta.
r
A
B
Três pontos não colineares determinam um único plano.
C
A

B
 Postulado da Inclusão:
 Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida
nesse plano.
A
B
r

Se A  r, A   , B  r e B    r  
 Postulado da divisão:
 Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semiretas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas.
 Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos.
 Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semiespaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados
opostos.
B
O
r
A
B
O
OB
A
O
OA
r
r
r
 Postulado da Intersecção:
 Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então
têm uma única reta em comum passando por esse ponto.
 Postulado das Paralelas:
 Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que
passa por P e é paralela à r.
P
s
r
Posições relativas de duas retas
 Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum.
P
r

s
 Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem
ponto em comum.
r
s

Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em
comum.
r=s
Retas reversas: quando não forem coplanares.

s
P
r

Ângulo entre retas reversas
 Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como
sendo o ângulo de uma reta r’ paralela a r e concorrente
com s.
r
r´
s

 Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem
ângulo reto.
r
P
s
 Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas).
r'
r
P
P
s
Retas ortogonais
 São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas
perpendiculares.
f
d
a e b são perpendiculares
g
h
c
a
c e g são paralelas
f e h são ortogonais
e e d são ortogonais
e
b
Determinação de Plano
 Três pontos não colineares determinam um plano.
C
A
B

 Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
P
r

 Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
r
s

 Duas retas concorrentes determinam um plano.
r
P

s
Quadrilátero reverso
 É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou
seja, não há plano que os contenha.
B
C
A
D
Posições relativas de reta e plano
 Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos
distintos pertencentes ao plano.
B
A
r

 Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um
único ponto em comum.
r
P

 Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm
ponto em comum.
r

Conceitos sobre paralelismo
entre reta e plano
 Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a
qualquer reta do plano.
r
s
t
Conceitos sobre paralelismo
entre reta e plano
Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do
plano, então ela é paralela ao plano.
r
s
Posições relativas de dois planos
 Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em
comum.
i


 Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em
comum.
=
 Dois planos são paralelos distintos
quando não têm ponto em comum.


Conceitos sobre paralelismo entre planos
 Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é
paralela ao outro.
s


Conceitos sobre paralelismo entre planos
 Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um
deles é concorrente com o outro.
P


Q
Conceitos sobre paralelismo entre planos
 Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um
plano, então esses planos também são paralelos.
r
P


s
Perpendicularismo
 Reta e plano
 Uma reta é perpendicular a um plano  quando ela é concorrente
com o plano e é perpendicular a todos as retas de , que passam pelo
seu traço no plano.
a
b

c
P
e
d
Perpendicularismo
 Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes
de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
r
s
P

t
 Planos perpendiculares
 Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta
perpendicular ao outro.
r
i
t


Teorema das três perpendiculares
Sejam r, s e t três retas e  um plano tais que r  , r  t,
s  , t   e s  t. Assim, qualquer reta a concorrente
com r e s, passando por S, será perpendicular a s.
r
s
t

O
S
a
Projeção ortogonal
 A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o
plano, que traça com o ponto projetado uma reta
perpendicular ao plano.
P
r
P’

 A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta
r’ ou um ponto.
s
P
Q
s
Q
P’
s'
s'

P’
Q’

s
P’

Q’
P
 A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre
um plano pode ser um segmento P’Q’ ou um ponto.
P
P
Q
P’
P
Q
P’ = Q’

P’
Q
’
Q’
Q


 A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano
 pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’.
Projeção de uma figura
 A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o
conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura
sobre esse plano.
B
A
D
B’
A’

C
D’
C’
Distâncias

Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB,
indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância
entre eles é zero.
A
B

A=B
Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a
sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a
distância é zero.
P
r
P’
 Dados um ponto P e um plano , a distância entre eles é a distância
entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre . Caso P pertença ao plano
, dizemos que a distância entre eles é zero.
P
d
s
P’

t
 Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância
entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano,
distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao
plano.
P
r
d
s

P’
t
 Quando dois planos têm ponto em comum, a distância
entre eles é igual a zero. Quando dois planos são
paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a
distância de um ponto qualquer de um deles ao outro.
P


P’
 Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância
(d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são
paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a
distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra.
r
P
d
s
P’
 A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do
segmento que tem uma extremidade em cada reta e é
perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum
às duas retas).

s
P
r
d

P’