Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

Método dos Mínimos
Quadrados (MMQ)
Aula 6a
Por que fazemos ajustes?


Relação funcional que
melhor descreve os
dados experimentais
dentro de um limite de
validade.
Representa o
“comportamento médio”
dos dados.
Ajuste visual vs. MMQ




Depende de quem
analisa
É difícil de ponderar
dados com incertezas
diferentes
Não é otimizado
Bom para estimativas




Independe de quem
analisa
A incerteza dos dados
é ponderada
É o ajuste que mais se
aproxima dos dados
Mais cálculos (PC)
MMQ e os resíduos

Qual é o ajuste que
mais se aproxima dos
dados?

Menor distância entre os
pontos exp. e os dados
Ra i  yi  f ( xi )

Mas e a incerteza?
yi  f ( xi )
Rri 
si
MMQ e os resíduos

Vários pontos, como
fazer?
 Rr  
i
i

i
yi  f ( xi )
0
si
?
E se tiver com pontos
acima e abaixo da
reta?
 Rr 
2
i
i
2
 yi  f ( xi ) 
2


 


si
i 

MMQ e os resíduos

Qual então é a melhor
reta?

Lembrando o que foi
discutido quanto as
distâncias!!
 yi  f ( xi ) 

   
si
i 

2
2
Mínimo
f  x   ax  b
Melhor reta que descreve o conjunto de pontos
experimentais, ou seja foi ajustada uma reta aos pontos
experimentais
http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq5.html
Como minimizar?


Chi^2 é uma função!!!
Como achar o mínimo
de uma função?
 yi  f ( xi ) 

   
si
i 

2
F(x)
x
2
Caso 1: Ajuste de uma constante
 yi  f ( xi ) 

   
si
i 

2
f ( xi )  a
2

Como achar o mínimo
de uma função?

 yi  a 
  

si 
i 
2
Quais os parâmetros a?
Minimizando
 yi  a 

  2.

a
i
 si 
2
( 2 1)
 1 
.   0
 si 
2
Caso 1: Ajuste de uma constante
N
 yi  a    1 

  2.
.   0
a
i 1
 si   si 
2
 yi  a  1
i  s . s  0
 i  i
N
 yi 
 1 
 2   a.  2 

i 1  si 
i 1  si 
N
 yi 
 2

i 1  si 
a N
 1 

s 2 
i 1  i 
N
 yi  1
a 1

 .    .  0
i 1  si  si
 si  si
N
É a média ponderada!!!
Caso 2: Ajuste de uma Reta

Nosso Caso!
f ( xi )  axi  b

Como achar o mínimo
de uma função?

Quais os parâmetros a e
b que minimizam?
 yi  f ( xi ) 

   
si
i 

2
2
 yi  (axi  b) 

   
si
i 

2
2
Caso 2: Ajuste de uma Reta
Minimizando a ...
 yi  a.xi  b 

  2.

a
si
i


2
( 2 1)
  xi 
  0
.
 si 
 yi  a.xi  b   xi 
i 
.   0
si

  si 
N

i 1
N
N
yi xi
xi2
xi
 a  2  b 2
2
si
i 1 si
i 1 si
Caso 2: Ajuste de uma Reta
Minimizando b...
 yi  a.xi  b 

  2.

b
si
i


2
N

i 1
( 2 1)
 1 
. 
 si 
N
N
yi
xi
1
 a  2  b 2
2
si
i 1 si
i 1 si
N
Definindo:
N

i 1
S qqcoisa  
qqcoisai
i
i 1
N
2
i
2
i
2
N
yi xi
x
xi
 a   b 2
2
si
i 1 s
i 1 si
S yx  a . S x 2  b . S x
N

i 1
N
N
yi
xi
1
 a  2  b 2
2
si
i 1 si
i 1 si
S y  a . S x  b . S1
Sistema de duas equações e duas incógnitas:
{
a
S y  a . S x  b . S1
S yx  a . S x 2  b . S x
S yx S1  S y S x

Onde:
b
S y S x 2  S yx S x

  S x 2 .S1  S x 
Propagando as incertezas
Para Mais detalhes vide:
Tratamento Estatístico de Dados em física
Experimental, O. Helene, V. Vanin
2
S1
s a

sb 
S x2

f  x   ax  b
Melhor reta que descreve o conjunto de pontos
experimentais, ou seja foi ajustada uma reta aos pontos
experimentais
http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq5.html
Fazer:

MMQ utilizando os dados da sala!!!




Na Mão!!
Determinar a e b com incertezas!
Calcular Chi^2!!!
Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no
gráfico para comparação!!!
PS:


Fazer no formato Relatório!!!
Colocar







MMQ utilizando os dados da sala!!!
Determinar a e b com incertezas!
Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!!
Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no
gráfico para comparação!!!
Discutir as diferenças (mmq e ajuste visual)
O que significa Chi^2 alto ou baixo?
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