Aula 5

III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR
»» Teoria da estrutura estelar === extremamente complexa:  
(exige Conhecimentos sobre:)
Reações nucleares;
Transformações químicas  mudam estrutura do plasma
Produção + Transporte de E (e tempos característicos)
Aquecimento + Estado Termodinâmico do plasma estelar
Noções de Equilíbrio Mecânico e Térmico.
 Exs. de benefícios advindos dessa teoria:
impulso dado à física nuclear
estágios finais da evolução estelar: ABs, s de no, BNs 
 teoria da gravitação em altas densidades,
 equações de estado em condições extremas,
 materiais exóticos...
»» Estrutura Estelar = f (P, T, L, ...)
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»» Hipóteses simplificadoras:
(i) simetria esférica
(ii) ausência de rotação
(iii) ausência de campos magnéticos
(iv) equilíbrio hidrostático
(v) leis físicas deduzidas na ⊕ são universais
3.1: A Equacão de Continuidade da Massa
»» Seja uma esférica  onde r é a coordenada radial central.
Sendo M (r) a massa contida na esfera de raio r, e
(r) a densidade em r, pode-se escrever (figura 2.1):
2
Figura 2.1
M (r) = massa contida na esfera de
raio r, e (r) a densidade em r, pode-se
escrever (figura 2.1)
dM(r) = 4 r2  (r) dr,
(3.1)
isto é,
dM(r)/dr = 4 r2 (r) ,
(3.2)
que exprimem a continuidade da massa, ou seja,

a diferença entre as massas das esferas de raios r e r + dr
= à massa contida na casca de espessura dr.
»» Essa equação é frequentemente chamada de
Equação da Continuidade.
3
»» A eq. 3.1 mostra que há que se conhecer  (r) para  M :
(3.2)
Nota:
em princípio, funções como M(r) são também f(t), e
mais rigorosamente, (3.1) e (3.2) devem ser escritas em
termos de derivadas parciais.
3.1.1: Formalismos Euleriano e Lagrangiano
»» a eq. (3.2) retrata a conservação da massa em sua forma
euleriana ( r como variável independente):
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Ou seja, descreve-se o comportamento de M(r) em cada ponto r.
«« Outra opção: utilizar como variável independente a própria M .
Exprime-se então a conservação da massa sob a forma
lagrangiana:
(3.3)
3.2: A Equação de Equilíbrio Hidrostático (EH)
»» Se um elemento de volume está em equilíbrio sob a ação das
forças de P e g, diz-se que a  está em
EQUILÍBRIO HIDROSTÁTICO
(figura 2.2): 
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Fig. 2.2
elemento de volume de altura dr,
seção transversal de área dA, e
massa dm;
Nessas condições, pode-se escrever:
onde
é a aceleração da
gravidade devida à matéria interior a r.
Como
e

6

(3.4) .
» numa estrela esférica,
e obtém-se
(3.5)
»» Como M(r) , (r) e r são >0,
e
(3.6)
<0, isto é,
a pressão decresce `a medida em que r aumenta.
 ISSO É COERENTE DO PONTO DE VISTA FÍSICO ??
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»» A pressão P na equação de equilíbrio hidrostático é a
pressão total, incluindo no caso mais geral a pressão do gás
Pg (íons, elétrons etc.) e a pressão da radiação Pr:
»» Caso limite da eq. de equilíbrio hidrostático:
 em condições de alta densidade (p. Ex., s de no ) 
correções devidas à Relatividade Geral  
 Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV).
Para campos gravitacionais não muito intensos, pode-se mostrar
que essa equação toma a forma da aproximação pós-newtoniana:
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(eq. TOV)
(3.7)
.
3.2.1: Desvios do Equilíbrio Hidrostático
Estrelas na SP (como o Sol atualmente) não mostram
variações por longos períodos, evidenciando que suas
propriedades internas permanecem inalteradas, em equilíbrio
hidrostático.
»» Conseqüências de eventuais desvios do eq. hidrostático?
Pode-se examinar isso a partir da situação de equilíbrio.
Seja um elemento na posição r que sofre uma aceleração
(para dentro ou para fora da estrela);
No primeiro caso, a  sofrerá uma contração, e o eq.
hidrostático pode ser escrito:
9
(3.8) ,
e a aceleração para o interior da ,
(3.9)
[
“f “
]
» a) admitindo que essa aceleração seja constante durante o tempo t ;
b) nesse tempo, a matéria move-se de um comprimento
R o raio da , e
c) pode-se escrever que:
, sendo
;
(PORQUE?)  
10

(3.10) ,
e tomando-se valores médios,
e
,
ou,
(3.11)
»» Avaliemos o “perigo” no caso do SOL:
 Seja um desvio de 1% do EH; eq. (3.8)

f  0,01 e
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» considerando
, a escala de tempo do fenômeno será:
(3.12) .
 para o ⊙,
!!
Ou seja, um desvio do EH de apenas 1% causaria uma alteração
em uma fração considerável do raio solar (~ 10%) em um tempo
muito curto, ~ 1,5 hora.
Como há evidências de que o Sol tem se mantido estável por
um tempo >> hora, 
 os eventuais desvios existentes devem ser << 1%.
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3.3: Perda de Massa nas Estrelas
»» Algumas estrelas perdem massa de forma contínua para
o meio interestelar, com V  10 − 103 km/s ≥ Vesc = (2GM/R)1/2
 EH , pelo menos nas camadas externas dessas estrelas:
FP > Fg
Equação de Continuidade
  taxa de perda de massa:
(3.2)

(3.12)
sendo
a velocidade de expansão do gás.
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»» Valores típicos:
SOL:
,
s quentes:
3.4: Desvios da Simetria Esférica
»» estrelas O-B giram a centenas de km/s  CONSEQUÊNCIA?
 Achatamento nos polos.
» importância desse efeito?
 seja um elemento de massa m próximo à superfície da estrela,
na região equatorial, onde r = R.
► forças em presença atuando sobre m :
Fg , FP + ??
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 força centrífuga, Fc =
rotação em r = R .
, sendo  a velocidade angular de
 Para que a simetria esférica não seja afetada, essa força deve ser
pequena, ou seja,
o que dá:
(3.13)
»» Exemplos:
 Caso do SOL: Prot ~ 27d 
,
e
(3.13)
é verificada,   SIMETRIA ESFÉRICA
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 estrela O5V:
,
e
 0,04, o que significa algo muito próximo da simetria.
 Prot  tr = 2/ e eq. (3.13) 
isto é,
(3.14)
 A simetria é tanto mais ameaçada quanto Vrot  Vbreak:
Vbreak = (GM/R)1/2
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 esse é certamente o caso de Alpha Eridani  Achernar
Trata-se de estrela Be , que foi observada c/ interferometria IV
por A. Domiciano de Souza Jr. et al. , no
Very Large Telescope Iinterferometer (VLTI, ESO):
(http://www.eso.org/outreach/press-rel/pr-2003/pr-14-03.html)
Para essa estrela, Prot é da ordem de tr, e não muito maior ;
estamos portanto longe da simetria esférica.
condição de simetria:
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Veqsini = 225 km/s; i ~ 30º ;   Veq  480 km/s (Vbreak  540 km/s)
eixo maior/ eixo menor ~ 1,5
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TEMAS PARA SEMINÁRIOS
1) Massas e raios estelares
2) Composição química das estrelas
3) Pulsações estelares
3a) Asterossismologia
4) Formação de estrelas
5) Estrelas de nêutrons e pulsares
6) Binárias de raios X
7) Fontes de raios gama
8) Perda de massa nas estrelas
9) Produção de energia nas estrelas
10) Anãs brancas
11) Estrelas variáveis (sem novas e supernovas)
12) Estrelas binárias
13) Evolução de uma estrela de baixa massa (~ M)
14) Evolução de uma estrela massiva
15) Estágios avançados da evolução estelar
16) Populações estelares e aglomerados
17) Supernovas
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