Movimento com Aceleração Constante

Movimento em I
dimensão
Prof. Hebert Monteiro
Introdução

Iniciaremos o nosso curso estudando a mecânica como ciência que
estuda o movimento.

A mecânica é dividida em duas partes:
Cinemática: que é o estudo do movimento sem referência às suas
causas. Na cinemática definimos grandezas utilizadas na mecânica
tais como: velocidade e aceleração.
Dinâmica: é o estudo que engloba as leis do movimento, permitenos prever o movimento de um objeto com base em informações
sobre o mesmo e seu ambiente. Além das grandezas acima citadas
a dinâmica aborda conceitos como força e massa.

Para descrevermos o movimento de um objeto em I dimensão, o
primeiro passo é fixarmos um sistema de coordenadas, ou sistema
de referência. Para o movimento ao longo de uma reta, isto exige
primeiro a escolha de uma origem em algum ponto da reta e, em
seguida, de uma direção positiva.
Verifiquem então o movimento realizado pelo carro de fórmula 1 do
slide anterior.
Estipulamos como origem o ponto “início” (correspondente à origem
do plano cartesiano) e a direção positiva como a direita ou leste
(direção positiva do eixo x do plano cartesiano).
Na cena em questão analisada o carro realiza um movimento que
vai de sua posição inicial x1 até a sua posição final x2. A sua
posição inicial corresponde ao seu tempo inicial, assim como a sua
posição final corresponde ao seu tempo final.
Determinadas essas grandezas, já podemos calcular o
deslocamento do carro que é medido em metros, através da
fórmula:
Δx = x2 – x1
Como nosso objeto se moveu na direção positiva, tanto seu
deslocamento quanto as outras grandezas que serão medidas são
positivas.
Da mesma forma que calculamos o seu deslocamento através das
suas posições iniciais e finais, também podemos calcular o tempo
gasto para realizar o movimento através da equação que representa
a variação de tempo do movimento:
Δt = t2 – t1
A unidade de tempo utilizada nesse tipo de movimento é o segundo,
portanto a nossa variação de tempo tem como unidade de medida o
segundo.
Exercício:
1) Uma pessoa sai de sua casa e caminha em linha reta pela calçada
no sentido oeste-leste, passa então por um ponto de ônibus e
caminha 15 m até parar. Considerando sua casa como posição
inicial e sabendo que ela está a 30 m a Oeste do ponto de ônibus.
Determine o deslocamento total da pessoa e o seu sentido.
Velocidade Vetorial e Velocidade Média
A velocidade de um objeto nos diz quão rapidamente ele caminha e
a direção que ele segue em determinado instante. A melhor maneira
de entender o significado do vetor velocidade é definir e discutir
primeiro a velocidade vetorial média e utilizá-la em seguida para
definir velocidade vetorial.
A velocidade média de um objeto que se deslocou do ponto x1 ao
ponto x2 no intervalo de tempo de t1 a t2 é dada por:
v = x2 – x1 = Δx
t2 – t1 Δt
Como a unidade do deslocamento é metros e a do tempo é
segundos, sendo assim, a unidade de medida que representa a
média de velocidade do objeto no S.I. é m/s.
De acordo com a explicação anterior, a velocidade média é a média
de rapidez que o objeto executou o seu deslocamento, durante um
intervalo de tempo, sendo assim, ela é constante.
Quando pensamos em vetor velocidade ou velocidade propriamente
dita, estamos falando em velocidade instantânea, ou seja, a
velocidade em um determinado instante e não uma média que se
encontra dentro de um tempo.
Para encontramos a velocidade o
necessariamente tenderá a zero, ou seja:
v = lim v = lim Δx
Δt 0
Δt
intervalo
de
tempo
Exercício:
1)
Um carro sai de um posto de combustível e movimenta-se em
uma auto-estrada no sentido leste-oeste. Depois de 15 s vê a sua
frente uma placa de trânsito que está a exatamente 81 m de
distância. O carro continua o seu movimento e para 13 metros
após a placa de trânsito decorridos 22 segundos após a sua
partida. Calcule: a) O seu deslocamento e a sua velocidade
média. b) Caso o carro estivesse no sentido oeste-leste, como
ficariam os resultados da pergunta a)?
Aceleração e aceleração média
Assim como a velocidade indica uma taxa da variação da posição
com o tempo, a aceleração descreve uma taxa de variação da
velocidade com o tempo. Como a velocidade, a aceleração também
é uma grandeza vetorial.
Imaginem uma partícula em movimento ao longo do eixo x.
Suponha que em um dato instante t1 a partícula esteja no ponto x1
e possua uma velocidade instantânea de Vx1. Em outro instante
chamado de t2 a partícula está no ponto x2 e possui velocidade
instantânea de Vx2. Definimos aceleração média como uma
grandeza vetorial que é dada pela razão da variação da
componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt.
a = v2 – v1 = Δv
t2 – t1 Δt
Como a unidade de medida da velocidade é m/s e da variação de
tempo é dada em segundos, a unidade de medida que representa a
aceleração ou a aceleração média de um objeto é m/s2.
Podemos agora definir aceleração ou aceleração instantânea
seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos
velocidade instantânea.
Imaginem que um piloto de um carro de corridas acaba de entrar na
reta final do Grand Prix como ilustra a figura a seguir:

Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imaginamos que
o ponto P2 da figura se aproxima continuamente do ponto P1, de
modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de
tempos cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite da
aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero.
a = lim Δv
Δt 0 Δt
Exercícios
1)
A velocidade de um carro aumenta de 18 para 23 m/s em um
intervalo de tempo de 5,8 s. a) Tomando a direção +x segundo a
direção do percurso do carro, determine a aceleração média. b)
Supondo a direção +x oposta a direção do percurso, determine a
aceleração média.
2)
Em um teste para um novo modelo de automóveis da empresa
Motores Incríveis, o velocímetro é calibrado para ler em m/s ao
invés de Km/h. A série de medidas a seguir foi registrada durante
o teste ao longo de uma estrada retilínea muito longa.
tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22
Calcule e a aceleração média durante cada intervalo de 2 s. A
aceleração é constante? Ela é constante em algum trecho do
teste?
Movimento com Aceleração Constante

O tipo de movimento acelerado mais simples é o movimento
retilíneo com aceleração constante. Neste caso a velocidade dele
varia com a mesma taxa durante todo o movimento. É um caso
especial embora ocorra freqüentemente na Natureza. Por exemplo,
um corpo em queda livre, que possui aceleração constante quando
os efeitos da resistência do ar são desprezados.

Quando a aceleração é constante a aceleração média para
qualquer intervalo de tempo é a mesma que a aceleração
instantânea. Logo: a = a. Assim é fácil deduzirmos equações para a
posição de X e a velocidade Vx em função do tempo.

Para a aceleração média temos: a = v2 – v1
t2 – t1

Se chamarmos v2 de Vx, v1 de V0x e t2 de t e fizermos o tempo
t1 = 0, teremos que:
a = Vx – V0x => Vx = V0x + a.t
t - 0
Da mesma forma, através de múltiplas combinações de equações,
encontramos outras fórmulas que representam o movimento
retilíneo com aceleração constante em função das outras grandezas
como posição, velocidade e tempo.
2
Posição Inicial
Tempo
X = X0 + 1 (V0 + V).t
2
Vel Final
Posição Final
Vel Inicial
Posição Final
Tempo
X(t) = X0 + V 0.t + 1 a.t
2
Posição Inicial
Vel Inicial
2
Aceleração
A utilização de uma
ou
de
outra
equação dependerá
da
necessidade
apresentada
na
questão
que
estamos estudando,
assim como das
grandezas
apresentadas.
Exercícios
1)
O movimento de um corredor pode ser aproximado por uma
aceleração constante de módulo 3,4 m/s2 para os primeiros 40 m
a contar da linha de partida. Qual a velocidade do corredor após
percorrer? a) 20 m b) 40 m ?
2)
O motorista de um carro que percorre uma estrada retilínea a
uma velocidade de 18 m/s, vê um sinal que indica o limite da
velocidade de 25 m/s. O sinal está a 85 m adiante, no momento
em que o motorista começa a acelerar o carro. Determine o
módulo da aceleração constante que fará com que o carro passe
no sinal à velocidade limite indicada.
3) Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do
Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa
que indica os limites da cidade. Sua aceleração é constante e igual
a 4 m/s2. No instante t = 0 ele está a 5,0 m a leste do sinal,
movendo-se para leste a 15 m/s. a) Determine sua posição e
velocidade para t = 2,0 s. b) Onde está o motociclista quando sua
velocidade é de 25 m/s?
Movimento de Queda Livre



Todos nós estamos familiarizados com objetos em queda, como por
exemplo um peso de papel caindo de cima da mesa. Quase sempre
quando descrevemos o movimento de tais objetos, podemos
desprezar a resistência do ar, pelo seu valor ínfimo. Se a resistência
do ar é desprezada é válido dizer então que a aceleração do objeto
é única e exclusivamente por causa da gravidade. Neste caso o
movimento é chamado de queda livre.
Os objetos em queda livre tem uma aceleração constante para
baixo. A aceleração é a mesma em qualquer ponto da queda, além
disso é a mesma para qualquer tipo de objeto.
O Módulo da aceleração devida a gravidade é representado pelo
símbolo “g”, que na superfície da terra é:
G = 9,8 m/s2

No estudo da queda livre utilizamos o eixo y ao longo da direção do
movimento, com o vetor unitário j apontando para cima. A
aceleração de um objeto em queda livre será:
A=-g.J
Como o movimento de queda livre é um movimento com aceleração
constante, podemos utilizar as fórmulas da aceleração, fazendo a =
-g e mudando a coordenada x para y:
Vel. final
Gravidade
V(t) = V0 - g.t
Posição Final
Tempo
2
Y(t) = Y0 + V 0.t - 1 g.t
2
Posição Inicial
Aceleração Gravitacional
Vel Inicial
Vel Inicial
Posição Inicial
2
V = V0 - 2.g.(Y - Y 0)
Vel Final
Posição Final

Quando lançamos um objeto como uma bola de beisebol para cima na
vertical, com velocidade inicial V0, pode-se determinar logo duas
quantidades:

Tempo médio: Tempo (Tm) necessário para que a bola atinja altura
máxima.
Tm = V0
g

Altura máxima (Hm) atingida pela bola.
2
Hm = V0
2g

Exercícios
1)
Um vaso de flores cai da janela de um segundo andar. Qual a sua
velocidade quando tocar o solo 3,0 metros abaixo? Despreze a
resistência do ar.
2)
Uma moeda de 1 euro é laçada da Torre de Pisa. Ela parte do
repouso e se move em queda livre. Calcular a sua posição e a
sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s, e 3,0 s.