Document

Capítulo
4
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Função quadrática
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.1
Função quadrática
Uma função f: ℝ  ℝ é função quadrática quando
existem números reais a, b e c, com a  0, tal que f(x) =
ax2 + bx + c, para todo x real.
Exemplos
 f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15
 g(x) =
, em que a = –
 h(x) = –x +
,b=0ec=5
, em que a =
, b = –1 e c = 0
Os números reais a, b e c são os coeficientes da função
quadrática.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.1
Valor de uma função quadrática
Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular
Nesse caso, temos
; então:
Logo:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.2
.
Lei de formação de uma
função quadrática
Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f.
f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c  ℝ e a ≠ 0
Temos:
 Se f(0) = 2, para x = 0, temos f(x) = 2.
Portanto: 2 = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c  c = 2 (I)
 Se f(2) = 12, para x = 2, temos f(x) = 12.
Portanto: 12 = a ∙ 22 + b ∙ 2 + c  4a + 2b + c = 12 (II)
 Se f(–1) = 6, para x = –1, temos f(x) = 6.
Portanto: 6 = a ∙ (–1)2 + b ∙ (–1) + c  a – b + c = 6 (III)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.3
Lei de formação de uma
função quadrática
De (I), (II) e (III), obtemos o sistema:
Pela equação (I), temos c = 2.
Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema
formado pelas equações (II) e (III), substituindo c por 2:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.3
Lei de formação de uma
função quadrática
a=3
Substituindo a por 3 em a – b = 4, temos: b = –1
Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = 3x2 – x + 2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.3
Exercício resolvido
R1. Dada a função quadrática g(x)
a) g(
)
b) x tal que g(x) =
Resolução
a) g(
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
, calcular:
)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.4
Exercício resolvido
R1. Dada a função quadrática g(x)
a) g(
)
b) x tal que g(x) =
Resolução
b)
x = 0 ou x =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
, calcular:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.4
Exercício resolvido
R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o
molde de um setor circular.
a) Escrever a lei que relaciona o raio
desse setor e a área da figura.
b) Considerando  = 3,14,
determinar o raio para que a área
da peça seja igual a 25 cm2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.5
Exercício resolvido
R2.
Resolução
a) O molde da peça metálica, ou seja, o setor circular,
corresponde a
do círculo.
b) a
Sabendo que a área do círculo
é r2, sendo r seu raio, então a
área do setor circular é:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.5
Exercício resolvido
R2.
Resolução
b) Para que a área da peça seja igual a 25 cm2, fazemos
A = 25; então:
A = 25
r2
r2 =
31,85
r
5,64
Logo, o raio do setor circular é aproximadamente 5,64 cm.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.5
Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo
Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
x
h(x)
–1
8
0
3
1
0
2
–1
3
0
4
3
5
8
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.6
Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo
Gráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
x
h(x)
–1
8
0
3
O gráfico de uma
1
0
função quadrática
2
–1
3
0
4
3
5
8
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
é uma parábola.
4.6
Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo
 f(x) = x2 – 9
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
x
f(x)
0
–9
1
–8
3
0
–1
–8
–3
0
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.7
Gráfico da função quadrática – Parábola
Exemplo
 g(x) = –x2 + 8x – 12
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
x
g(x)
1
–5
2
0
4
4
6
0
7
–5
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.7
Concavidade da parábola
(função f(x) = ax² + bx + c)
Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
 j(x) = 2x2 + 4
Como a = 2 > 0, então a
concavidade da parábola é
voltada para cima.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.8
Concavidade da parábola
(função f(x) = ax² + bx + c)
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Como
, então a
concavidade da parábola é
voltada para baixo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.8
Exercício resolvido
R3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m.
a) Analisar a concavidade da parábola em função de m.
b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função
passe pelo ponto (0, –3)?
Resolução
a) A concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente
a da função.
 Para o gráfico ter a concavidade voltada para cima, o
coeficiente de x2 deve ser positivo: m – 3 > 0  m > 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.9
Exercício resolvido
R3.
Resolução
a) Para o gráfico ter a concavidade voltada para baixo, o
coeficiente de x2 deve ser negativo: m – 3 < 0  m < 3
b) Substituindo as coordenadas do ponto (0, –3) na lei da
função, temos: –3 = (m – 3) ∙ 0 + 2 ∙ 0 – m  m = 3
Mas, se m = 3, a função f não é quadrática, pois:
a=3–3=0
Portanto, não existe m  ℝ tal que a parábola passe pelo
ponto (0, –3).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.9
O ponto em que a parábola intercepta
o eixo y

A parábola que representa a função f
intercepta o eixo y no ponto (0, –1).
A ordenada –1 desse ponto é o
coeficiente c da função f.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.10
O ponto em que a parábola intercepta
o eixo y

A parábola que representa a função g
intercepta o eixo y no ponto (0, 3).
A ordenada 3 desse ponto é o
coeficiente c da função g.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.10
O ponto em que a parábola intercepta
o eixo y
Considerando uma função quadrática cuja lei é
f(x) = ax2 + bx + c, com a  0, as coordenadas do ponto
onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.10
Zeros da função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c(a, b e c  ℝ e a  0)
f(x) = 0
ax2 + bx + c = 0
em que  = b2 – 4ac
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.11
Zeros da função quadrática
 Quando  > 0, a função tem dois zeros reais distintos.
e
A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.11
Zeros da função quadrática
 Quando  = 0, a função tem um zero real duplo.
A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.11
Zeros da função quadrática
 Quando  < 0, a função não tem zeros reais.
A parábola não intercepta o eixo x:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.11
Zeros da função quadrática
Exemplos
a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os
pontos em que a parábola intercepta o eixo x
Para isso, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau:
x2 – 4x + 3 = 0
 = (–4)2 – 4  1  3 = 16 – 12 = 14
x = 3 ou x = 1
Assim, os zeros da função são: x1 = 1 e x2 = 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.12
Zeros da função quadrática
Exemplos
a) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em dois pontos:
(1, 0) e (3, 0)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.12
Zeros da função quadrática
Exemplos
b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e os
pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
Para isso, vamos encontrar as raízes reais da equação:
x2 – 4x + 4 = 0
 = (–4)2 – 4
11=0
Assim, x1 = x2 = 2 (f(x) possui um zero real duplo)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.13
Zeros da função quadrática
Exemplos
b) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em um único
ponto: (2, 0)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.13
Zeros da função quadrática
Exemplos
c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e
se a parábola correspondente intercepta o eixo x.
Para isso, vamos resolver a equação do 2o grau:
x2 – 4x – 5 = 0
 = (–4)2 – 4  (–1)  (–5) = 16 – 20 = –4
Como  < 0, a equação –x2 – 4x – 5 não tem raízes reais e,
portanto, a função f(x) = –x2 – 4x – 5 não tem zeros reais.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.14
Zeros da função quadrática
Exemplos
c) Logo, o gráfico da função não intercepta o eixo x:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.14
Exercício resolvido
R4. Considerando a função quadrática determinada por
f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a
função admite dois zeros reais distintos?
Resolução
Vamos calcular o discriminante da equação –2x2 – 6x – k = 0.
= (–6)2 – 4
 2  (–k) = 36 + 8k
Para a função ter dois zeros, o discriminante deve ser positivo
(  > 0).
Logo: 36 + 8k > 0  k >
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.15
Exercício resolvido
R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x)
= kx2 + 2 passe pelo ponto A(1, 5).
Resolução
Substituindo as coordenadas do ponto A na lei da função f,
obtemos a equação:
f(1)= 5  k ∙ 12 + 2 = 5  k = 3
Portanto, a função quadrática que passa pelo ponto A(1, 5) é:
f(x) = 3x2 + 2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.16
Exercício resolvido
R6. Determinar a lei da função quadrática
com base no gráfico.
Resolução
A parábola intercepta o eixo y
no ponto (0, –6).
Logo, f(0) = –6; assim, c = –6.
Então, temos: f(x) = ax2 + bx – 6
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.17
Exercício resolvido
R6.
Resolução
A parábola intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Isso significa
que 3 é zero da função f.
Logo: f(3) = 0
Assim: a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0  9a – 3b = 6 (I)
A parábola passa pelo ponto (3, 6).
Logo: f(3) = 6
Portanto: a(3)2 + b(3) – 6 = 6  9a + 3b = 12 (II)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.17
Exercício resolvido
R6.
Resolução
Somando, membro a membro, a equação (I) com a equação
(II), obtemos:
Substituindo a = 1 na equação (I) ou (II), obtemos: b = 1
Portanto, a lei da função quadrática representada pelo gráfico
é: f(x) = x2 + x – 6
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.17
Vértice do gráfico da função quadrática
f(x) = x2 – 4x + 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
x
f(x)
–1
8
0
3
1
0
2
–1
3
0
4
3
5
8
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.18
Vértice do gráfico da função quadrática
Eixo de simetria
Quaisquer dois valores de x
equidistantes de xV têm a mesma
imagem.
f(a) = f(b) = c
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.19
Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos
 f(x) = –x2 – 6x – 5
A equação do eixo de simetria é x = 3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.20
Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos
 f(x) = x2 + 4x + 10
A equação do eixo de simetria é x = –2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.20
Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplos
 f(x) = 3x2 + 6x + 3
A equação do eixo de simetria é x = –1.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.20
Vértice do gráfico da função quadrática
As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico
da função cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, são dadas por:
xv =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
e yv =
4.21
Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplo
Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = –x2 – 5x – 7.
 = (5 –)2 – 4
 (–1)  (–7) = –3
Utilizando as fórmulas do vértice, temos:
Portanto, as coordenadas do vértice são:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.22
Vértice do gráfico da função quadrática
Exemplo
Ou:
Conhecendo xv, podemos calcular yv sem utilizar a fórmula. Basta
substituir o valor de xV na lei da função. Temos:
=
Então:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.22
Exercício resolvido
R7. Sabendo que uma função quadrática tem como
coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5,
determinar a lei de formação dessa função.
Resolução
Para determinar a lei de uma função quadrática, precisamos
encontrar os coeficientes a, b e c da função de modo que
f(x) = ax2 + bx + c.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.23
Exercício resolvido
R7.
Resolução
Como o vértice da parábola é (3, 4), temos:
(I)
(II)
Como 1 é zero da função, f(1) = 0, ou seja:
a
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
 12 + b  1 + c = 0  a + b + c = 0 (III)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.23
Exercício resolvido
R7.
Resolução
Substituindo (I) em (III), obtemos:
a – 6a + c = 0  c = 5a
Substituindo b por –6a e c por 5a em (II):
–(–6a)2 + 4a(5a) = 16a  –16a2 – 16a = 0  a
a = –1 ou a = 0 
 (a + 1) = 0
O coeficiente a não pode ser zero,
pois a função é quadrática.
Como a função é quadrática, a = –1 e, portanto, b = 6 e c = –5.
Então, a lei é: f(x) = –x2 + 6x – 5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.23
Construção do gráfico da função
quadrática
Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma
função quadrática:A
 ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista;
 ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da
função), caso exista(m);
 vértice.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.24
Construção do gráfico da função
quadrática
Exemplos
Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3
 coeficiente c: 3  ponto em que a
parábola intercepta o eixo y: (0, 3)
 zeros da função: 1 e 3  pontos em
que a parábola intercepta o eixo x:
(1, 0) e (3, 0)
 xv = 2 e yv = –1  vértice da
parábola: (2, –1)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.25
Construção do gráfico da função
quadrática
Exemplos
Gráfico da função h(x) = x2 + 4
 coeficiente c: 4  ponto onde a
parábola intercepta o eixo y: (0, 4)
 zeros da função: não há no conjunto
dos reais  a parábola não
intercepta o eixo x
 xv = 0 e yv = 4  vértice da
parábola: (0, 4)
 (2, 8) e (–2, 8)  pontos
auxiliares
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.26
Estudo do sinal da função quadrática
1o caso
( > 0)
2o caso
( = 0)
a > 0
a < 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.27
3o caso
( < 0)
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.
Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0 
 x = –3 ou x = 2
Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função.
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para
cima e a função tem dois zeros reais distintos, obtemos o
seguinte esboço do gráfico:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.28
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
a) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais
valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.
Concluímos que:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.28
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.
Zeros da função g: –
Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para
baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.29
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
b) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais
valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.
Portanto:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.29
Exercício resolvido
R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k
seja positiva para todo x real.
Resolução
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábola
é voltada para cima.
Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante
de f deve ser negativo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.30
Exercício resolvido
R8.
Resolução
Coeficiente de x2
positivo e  < 0
Assim, como  < 0:
(–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k
Como  < 0, então: 25 – 4k < 0
Logo:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.30
Valor máximo ou valor mínimo da
função quadrática
yv é o valor mínimo da função.
yv = 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.31
Valor máximo ou valor mínimo da
função quadrática
yv é o valor máximo da função.
yv = 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.31
Valor máximo ou valor mínimo da
função quadrática
Exemplo
Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função
.
Como a > 0, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para
cima. Portanto, a função tem valor mínimo:
Assim, –19 é o valor mínimo dessa função.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.32
Exercício resolvido
R9. Determinar k para que –1 seja valor mínimo da função
quadrática y = (k – 1)x2 + kx +(k – 2).
Resolução
Para que uma função quadrática admita valor mínimo, o
coeficiente do termo em x2 deve ser positivo.
Então: k – 1 > 0
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
k>1
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.33
Exercício resolvido
R9.
Resolução
Sabendo que o valor mínimo da função quadrática é dado por
, temos:
Como k > 1, temos k = 2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.33
Exercício resolvido
R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o
capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a
guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso
descreve é um arco de parábola.
A função que descreve o movimento do sinal luminoso é
dada por: h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em
metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo.
a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?
b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal
luminoso atingir a altura máxima?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.34
Exercício resolvido
R10.
Resolução
a) Para determinar a altura máxima que esse sinal pode atingir,
precisamos encontrar o valor máximo da função. Analisando
o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o sinal
luminoso descreve um arco de parábola com concavidade
voltada para baixo.
É possível determinar o valor máximo da função usando a
fórmula da ordenada do vértice:
Logo, a altura máxima que o sinal luminoso pode atingir é
320 metros.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.33
Exercício resolvido
R10.
Resolução
b) O tempo que o sinal luminoso leva para atingir a altura
máxima corresponde ao xv da parábola. Utilizando a fórmula
da abscissa do vértice, temos:
8
Logo, o sinal luminoso atinge a altura máxima 8 segundos
após o disparo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.34
Inequações do 2o grau
Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que
pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro
membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o
segundo membro é zero.a
Exemplos
a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0
c) 5x² – 2 < 0
b) –x² + 0,5x ≤ 0
d) –4x² + x +
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.35
>0
Inequações do 2o grau
Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos
números reais.
Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:
3x² – 8x – 3 ≥ 0
f(x)
Primeiro, determinamos os zeros de f:
3x2 – 8x – 3 = 0
 = 64 + 36 = 100
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.36
Inequações do 2o grau
Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para
os quais a função f é positiva ou nula.
Assim, o conjunto solução da inequação é:
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.36
Inequação-quociente
Exemplo
14243
 f(x) = x – 5 (zero de f: 5)
 g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)
Sinal de f
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
Sinal de g
4.37
Inequação-quociente
Exemplo
Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação.
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.37
Inequação-quociente
Exemplo
14243
 f(x) = x (zero de f: 0)
–x3 – 4x < 0  x(–x2 – 4) < 0
 g(x) = –x² – 4
Sinal de f
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
(g não tem zeros)
Sinal de g
4.38
Inequação-quociente
Exemplo
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.38
Exercício resolvido
R11. Resolver a inequação
em ℝ.
Resolução
Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o
segundo membro da inequação-quociente for igual a zero.
Então fazemos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.39
Exercício resolvido
R11.
Resolução
 f(x) = x² – 9
 g(x) = 2x + 10
zeros de f: 3 e –3
zero de g: –5
Sinal de f
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
Sinal de g
4.39
Exercício resolvido
R11.
Resolução
Observe que –5 não é solução da inequação, pois:
2x + 10 ≠ 0  x ≠ –5
Logo, o conjunto solução é
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.39
Exercício resolvido
R12. Geometria. Determinar a área
da parte azul da figura em
função de x e encontrar o maior
valor inteiro que x pode assumir.
Resolução
Indicando a área da parte azul por A, temos A(x) =
ou seja: A(x) = 5 – x2, com 0 < x <
Como x > 0 e
assumir é 2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
, o maior valor inteiro que x pode
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.40
,
Inequações simultâneas
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte
sistema de inequações:
Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma
mais simples:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.41
Inequações simultâneas
Assim temos:
g(x)
f(x)
 Zeros de f: –4 e 2
 Zeros de g: 1 e 2
Sinal de f
S1 =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Sinal de g
S2=
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.41
Inequações simultâneas
A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma
das inequações:
Logo, o conjunto solução do sistema é:
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.41
Exercício resolvido
R13. Resolver, em ℝ, a inequação
4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.
Resolução
Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma
mais simples:
(I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2
2x2 – 4x ≤ 0
f(x)
(II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4
2x2 – 2 < 0
g(x)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.42
Exercício resolvido
R13.
Resolução
 f(x) = 2x2 – 4x
 g(x) = 2x2 – 2
zeros de f: 0 e 2
zeros de g: –1 e 1
Sinal de g
Sinal de f
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.42
Exercício resolvido
R13.
Resolução
Depois fazemos a intersecção das soluções de cada uma
das inequações:
Logo, o conjunto solução da inequação simultânea é:
S=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.42
Determinação do domínio de uma
função por meio de inequações
Exemplo
Vamos determinar o domínio da função dada pela lei
f(x)
Em
, devemos ter:
h(x)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.43
Determinação do domínio de uma
função por meio de inequações
Exemplo
Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:
 f(x) = x² – 2x + 1
 h(x) = 2x – 7
zero real duplo de f: 1
zero de h:
Sinal de f
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
Sinal de h
4.43
Determinação do domínio de uma
função por meio de inequações
Exemplo
O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o
denominador da inequação:
Logo, D =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 4 – Função quadrática
4.43
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
© Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
EDITORA MODERNA
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904
Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510
Fax (0__11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2012
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA