Cálculo - IME-USP

UM POUCO DA HISTÓRIA DO CÁLCULO
Antonio Carlos Brolezzi
A forma de pensar os problemas
levando em conta processos que
envolvam de algum modo o infinito
remonta aos gregos.
Arquimedes
aplicou a idéia da
decomposição e
composição de
figuras pelo
método da
exaustão e
calculou as
primeiras
integrais
Arquimedes de Siracusa (287-212 aC)
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia
e ciência.
Alessandro Botticelli (1444-1510) Alegoria da Primavera (1477-1478)
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia
e ciência.
Alessandro Botticelli (1444-1510) Alegoria da Primavera (1477-1478)
Com o renascimento, a Europa passou a produzir uma nova arte, filosofia
e ciência.
Alessandro Botticelli (1444-1510) O Nascimento de Venus
Com mais liberdade e uma visão em que o homem era o centro de todas
as coisas, iniciou-se uma forma nova de abordar a vida e a ciência.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a
mudar a relação homem-conhecimento.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a
mudar a relação homem-conhecimento.
A popularização da imprensa a partir de 1450 por Gutemberg ajudou a
mudar a relação homem-conhecimento.
A Biblia de Gutemberg
A Biblia de Gutemberg
Nicole Oresme (1323-1382) havia proposto novas formas de entender o
movimento, introduzindo uma certa noção de gráficos de movimentos.
Galileu Galileu (1564-1642) incentiva seus discípulos a pesquisarem
sobre o movimento e seus princípios científicos.
Galileu Galileu (1564-1642) incentiva seus discípulos a pesquisarem
sobre o movimento e seus princípios científicos.
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) anima-se com as idéias de
Galileu, e inaugura uma nova forma de lidar com a estereometria,
propondo o uso dos infinitamente pequenos.
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) anima-se com as idéias de
Galileu, e inaugura uma nova forma de lidar com a estereometria,
propondo o uso dos infinitamente pequenos.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
René Descartes (1596-1650) cria uma nova filosofia e propõe um papel
de destaque para a matemática na organização do conhecimento.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Pierre de Fermat (1601-1665) propõe 7 anos antes de Descartes que uma
equação com duas variáveis deveria descrever uma curva no espaço.
Professor de Newton, que tornou-se seu sucessor quando ele renuncio
à cátedra para tornar-se capelão de Carlos II
Isaac Barrow 1630 (Londres)-1677 (Londres)
Professor de Newton, que tornou-se seu sucessor quando ele renuncio
à cátedra para tornar-se capelão de Carlos II.
Isaac Barrow 1630 (Londres)-1677 (Londres)
Em 1687 Newton publica Philosophiae naturalis principia mathematica
O maior tratado científico já escrito.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Newton teria criado o Cálculo Diferencial e Integral entre 1665 e
1666, quando o Trinity College foi fechado por causa da peste.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Já se faziam derivadas e integrais antes dele, mas ele percebeu que
se tratavam de coisas inversas e - o mais importante - percebeu o
valor do Cálculo.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Newton deixou cerca de 5000 páginas de manuscritos sem
publicação.
Sir Isaac Newton 1642 (Woolsthorpe)-1727 (London)
Em 1673 Leibniz viajou a Londres, onde comprou um livro de
Barrow e tornou-se membro da Royal Society. Dizem que teria lido
manuscritos de Newton.
Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646 (Leipzig)-1716 (Hannover)
Em 1676 Leibniz cria o Cálculo com uma notação bem diferente de
Newton. Sua notação prevaleceu até hoje.
Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646 (Leipzig)-1716 (Hannover)
Berkeley era um filósofo e teólogo metafísico, e atacou a
fundamentação lógica do Cálculo en sua obra The analyst: or a
discourse addressed to an infidel mathematician.
Ele argumentava
que embora o
Cálculo levasse a
resultados
verdadeiros, seus
fundamentos
eram
semelhantes aos
religiosos.
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
Dizia: E o que são estes fluxões? A velocidade de incrementos
evanescentes.
E o que são
incrementos
evanescentes? Não
são nem
quantidades finitas,
nem infinitamente
pequenas, nem
portanto nada.
Podemos chamá-las
de fantasmas de
quantidades que se
foram?
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
As críticas de Berkeley foram importantes para dirigir a atenção dos
matemáticos para a clarificação lógica do Cálculo.
George Berkeley 1685 (Irlanda)-1753 (Oxford)
Cauchy - ao contrário de Gauss - adorava ensinar e produziu muitos
livros didáticos.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Deu ao Cálculo a forma que ele tem hoje em três obras:
Cours d'analyse (1821) - para estudantes da École Polytechnique
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinétesimal (1826)
Leçons sur le Calcul Différential (1829) - definiu pela primeira vez uma
função complexa de uma variável complexa.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Cauchy publicava abundantemente, às vezes se repetia.
Augustin Louis Cauchy 1789 (Paris)-1857 (near Paris)
Coube a Cantor e Dedekind a tarefa de clarificar o conceito de
número real e dar, assim, maior fundamentação ao Cálculo.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)1918 (Halle/Alemanha)
Coube a Cantor e Dedekind a tarefa de clarificar o conceito de
número real e dar, assim, maior fundamentação ao Cálculo.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)1918 (Halle/Alemanha)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)1918 (Halle/Alemanha)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 (St Petersburg)1918 (Halle/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)1916 (Braunschweig/Alemanha)
Julius Wihelm Richard Dedekind 1831 (Braunschweig)1916 (Braunschweig/Alemanha)
Weierstrass foi professor
do secundário até os 40
anos, quando então entrou
para a academia.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
1815-1897
No colégio, por 15 anos
lecionou diversas
disciplinas Matemática,
Física, Botânica, Geografia,
História, Alemão,
Caligrafia e até mesmo
Ginástica.
Foi o mais importante
professor de alunos de
matemática superior.
Como professor, Weierstrass
tinha habilidades como
professor que o tornaram
mundialmente famoso. Além
disso, ele ficou tornou-se
muito procurado por sua
disponibilidade constante, e
seu hábito de beber com os
estudantes (ele em geral era
quem pagava) e por enxergar
o futuro dos alunos.
Weierstrass depois que se
tornou professor universitário
não escrevia na lousa – ficava
sentado. Um aluno escrevia.
Havia aulas com mais de 250
pessoas. Os alunos eram o
centro das suas
preocupações. Ele tinha muita
paciência – era famoso por
seu rigor.
Alguns dos alunos mais famosos de Weierstrass (100 deles se
tornaram professores universitários):
Georg Cantor,
Sofia Kovalevskaia,
Lazarus Fuchs,
Hermann Amandus Schwarz,
Friedrich Schottky,
Ferdinand Georg Frobenius,
Hermann Minkowski,
Carle Runge,
Ludwig Boltzmann,
Max Planck...
Uma das suas alunas mais famosas é Sofia.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 1850 (Moscou)-1891 (Estocolmo)
Weierstrass tentou em vão encontrar uma posição na
universidade para Sonja (Sofia). O preconceito venceu.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 1850 (Moscou)-1891 (Estocolmo)
O Cálculo teve, grosso modo, a seguinte
seqüência histórica:
Integrais (Arquimedes)
Derivadas (Fermat e Descartes)
Teorema Fundamental (Newton & Leibniz)
Limites (Cauchy)
Números Reais (Cantor & Dedekind)
Arimetização da Análise (Weierstrass)
No ensino de Cálculo, em geral, a seqüência
adotada é a seguinte:
Números Reais
Limites
Derivadas
Integrais
Teorema Fundamental
Análise
Na História:
Em muitos cursos e
livros didáticos:
1. Integrais
4. Números Reais
2. Derivadas
3. Limites
3. Limites
2. Derivadas
4. Números Reais
1. Integrais
Na História:
1. Integrais
2. Derivadas
3. Limites
4. Números Reais
Em muitos cursos e
livros didáticos:
4. Números Reais
3. Limites
2. Derivadas
1. Integrais
A idéia seria então seguir a ordem
histórica?
Isso tem possibilidade de êxito (há
resultados)?
Por que seguir a ordem histórica seria
melhor?