RESUMO DE ESTABILIDADE VERTICAL NA ATMOSFERA

RESUMO DE
ESTABILIDADE VERTICAL NA
ATMOSFÉRICA
1. EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
 A atmosfera está em movimento o tempo todo
MAS, em escalas maiores que a meso-escala,
a atmosfera está praticamente em “equilíbrio hidrostático”:


F GradienteVertical de Pressão  F peso
isto é,
 dp  gdz
dp
ou
  g
dz
ou
gdz  dp
NOMEANDO
gdz  d
 pode-se definir “geopotencial” () como:
por convenção,  = 0 em z = 0,
 z  
z
0
gdz
 define-se “altura geopotencial” (Z), como
 z 
Z z  
g0
onde
g0
é a aceleração da gravidade em z=0
OBS. Até z  10 Km, Z  z (Vide Tabela 3.1 do WH)
Algumas aplicações da equação hidrostática:
 Equação hipsométrica
dp
d  dp   Rd Tv
p

1
Z 2  Z1 
g0
2

1
Rd
d  
g0
ln p 2
ln p
1
 p1 
Rd
Z 2  Z1 
Tv ln  
g0
 p2 
,

Tv d ln p 
ln p 2
onde
ln p
Tv 
Tv d ln p 
1
 p2 
ln  
 p1 
ln p
ln p2
A
ou, graficamente:
ln p1
A
Tv 
Sugestões de exercícios:
 Deduzir a eq. hipsomérica para uma atmosfera homogênea ( cte), e para
uma atmosfera isotérmica.
 Deduzir uma expressão da variação de pressão com a altura, para uma
atmosfera homogênea, uma isotérmica, e uma com “lapse-rate” cte
 lapse-rate de uma atmosfera com  constante
(lapse-rate adiabático seco)
 Aplicando o logaritmo na equação de Poisson, deferenciando com  constante,
e dividindo-se por dz:
1 dT
R dp

T dz
pc p dz
 Usando a equação hidrostática, rearranjando, e usando a eq. estado:
dT
g  RT 
g
 

  
dz
cp  p 
cp
 Portanto, o lapse-rate de uma atmosfera adiabática seca é:
g
-1
d 
 9.8 C km
cp
“LAPSE RATE” ADIABÁTICO SECO e
SATURADO DE UMA PARCELA
 Suposições (hipóteses):
• O ambiente está em equilíbrio hidrostático
• Em um dado nível as pressões do ambiente e
da parcela são iguais
• A parcela não se mistura com o ambiente
• O movimento da parcela não perturba o ambiente
• A parcela não troca calor com o ambiente
(processo adiabático)
 Parcela não saturada que se move verticalmente,
muda de estado adiabaticamente (conserva )
aplicando o logaritmo e diferenciando a equação de Poisson:
1 dT
 dp

T dz
p dz
onde

R
 
cp
como a parcela se movendo está em equilíbrio dinâmico com o ambiente,
a variação vertical da pressão dp/dz depende
da densidade do ambiente e não da parcela.
(usando “linha” para o ambiente)
dp
dp'
p' g
pg

 ' g  
 
dz
dz
RT '
RT '
 Substituindo na equação anterior:
dT
g T
 
dz
cp T '
 ou seja, uma parcela não saturada, subindo,
não esfria exatamente na mesma taxa de esfriamento
de uma atmosfera com  constante.
POREM, T e T’ são muito próximos ( T/T’  1).
parcela
Assim:
dp
 dT 
  
 dz  d
g

 d
cp
 Parcela saturada que se move verticalmente,
em um processo pseudo-adiabático
(conserva e)
p  es  p
fazendo a aproximação:
dp
 Lv drs  c p dT  Rd T
p
a 1ª. Lei da Termo fica
 mas
onde
es
drs
des
dp
rs 



p
rs
es
p
 
e, da hidrostática,
Mv
R
 d  0.622
Md
Rv
dp
g
 
dz
p
Rd T '
 Assumindo novamente que T/T’  1, e substituindo
essas duas ultimas equações na equação da 1ª. Lei:
 des

g
 Lv rs 

dz   c p dT  gdz
Rd T 
 es
 Dividindo por dz, usando a expressão equivalente
des
des dT

dz
dT dz
e colocando em evidencia –dT/dz:
Lv es
1
dT
pRd T
s  
 g
Lv des
dz
cp  
p dT
onde s denota o lapse rate para um processo pseudo-adiabático.
 Podemos agora substituir es por rs, lembrando que
 es
e
p
des
Lv es
Lv rs p


dT
Rd T
Rd T 2
Então:

Lv rs 
 1

g 
Rd T 
s 
cp 
L2v rs 
1  c R T 2 
p d


(vide pg. 114 do Tsonis)
 rs
OBSERVAÇÕES:
 s não é constante, e sim igual a d multiplicado por um fator
que é proporcional à pressão e à temperatura (lembrar que rs=f(p,T)).
A tabela abaixo mostra os valores de s para algumas pressões e temperaturas
P (hPa)
T (C)
1000
700
500
- 30
9.2
9.0
8.7
-20
8.6
8.2
7.8
-10
7.7
7.1
6.4
0
6.5
5.8
5.1
10
5.3
4.6
4.0
20
4.3
3.7
3.3
 s é sempre menor que d, mas se aproxima deste
quando a pressão aumenta ou a temperatura diminui
 Para levar em conta o efeito do vapor d’água na densidade,
deve-se usar Tv ao invés de T no calculo do lapse rate.
3. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO VERTICAL
DE UMA PARCELA
 como o ambiente está em equilíbrio hidrostático,
a 2ª. Lei de Newton fica:
dp'
0  g   '
dz
 como a parcela pode ter aceleração, a 2ª. Lei de Newton fica:

d z
dp
dp'
 z  g  
 g  
2
dt
dz
dz
2
 eliminando dp’/dz entre essas duas equações, resulta em:
  '
 ' 
z  g
 g
'


Observar que,
se  > ’  a aceleração é negativa
(a parcela é acelerada para baixo),
e vice-versa.
 usando a equação de estado para o ambiente e para a parcela:
Tv  Tv '
z  g
Tv '

 Vamos agora analisar um pequeno deslocamento da parcela,
de sua posição original z = 0, onde sua temperatura é Tv0.
Sua temperatura em qualquer ponto z é
(expandindo em série de Taylor):
Tv  Tv 0
2
3
dTv
1 d Tv 2
1 d Tv 3

z 
z 
z  ......
2
3
dz
2 dz
3! dz
para pequenos deslocamentos, os termos
de ordem maior que 1 podem ser desprezados:
Tv  Tv 0
dTv

z
dz
(Observar que, se a variação de Tv for linear com a altura,
esta aproximação é exata)
o mesmo raciocínio pode ser feito para a
variação da temperatura virtual do ambiente com a altura:
Tv '  Tv 0
dTv '

z
dz
 Assumindo as notações :
dTv
v  
dz
lapse-rate da temperatura virtual da parcela
dTv '
v '  
dz
lapse rate da temperatura virtual do ambiente
as expressões da variação das temperaturas virtuais com a altura
acima podem ser escritas como:
Tv  Tv 0  v z
Tv '  Tv 0  v ' z
 Substituindo essas expressões na equação do movimento:

z 
Tv 0
g
v 'v z
 v ' z
 Mas
Tv 0
v ' z
 1
pois
Tv 0
1
1
1
1 
v ' z 
1 



 v ' z
Tv 0 
Tv 0 
Tv 0 
v ' z 
1 

Tv 0 

 Então a equação do movimento pode ser escrita como:

g 
v 'v v ' 2 
v 'v z 
z 
z 

Tv 0 
Tv 0


ou, desprezando o termo envolvendo z2
comparado com envolvendo z:

g
v  v 'z  0
z
Tv 0
4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE
A solução da equação diferencial do movimento vertical
de uma parcela acima depende da constante,
e permite três possibilidades:
a)
v  v '  0
(lapse rate da temperatura virtual da parcela maior que o do ambiente)
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a
forma

z  z  0
2
que tem a solução
z t   A sent   B cost 
onde  (chamada de “freqüência de Brunt-Väisälä”) é
 
g
v  v '  0
Tv 0
 Como assumimos que o nível inicial é z = 0
 B = 0 e z(t) = A sen(t),
isto é,
a parcela oscila senoidalmente no tempo,
em torno de sua posição original, com um período  = 2 / .
Este representa o caso “estável”,
onde a parcela não abandona seu nível original.
b)
v  v '  0
(lapse rate da temperatura virtual da parcela menor que o do ambiente)
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela
toma a forma

z  z  0
2
que tem a solução
z t   A e
t
 Be
- t
onde  é
 
g
v 'v   0
Tv 0
 Como em t = 0, z(0) = 0,  A + B = 0. Então A = - B  0
(a possibilidade A = B = 0 é descartada pois leva à solução
trivial z(0) = 0)
Como A  0, quando t   , o deslocamento da parcela
cresce exponencialmente
Este representa o caso “instável”,
onde a parcela sai do seu nível original e nunca
mais retorna a ele.
c)
v  v '  0
(lapse rate da temperatura virtual da parcela igual ao do ambiente)
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela
toma a forma

z  0
que tem a solução
z t   A t  B
isto é, a parcela se desloca com velocidade constante (A).
 quando t   , o deslocamento da parcela cresce linearmente
Este representa o caso “neutro”,
onde a parcela sai do seu nível original e nunca mais
retorna a ele, porém, sem aceleração.
5. CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE (ESTÁTICA)
para uma parcela NÃO-SATURADA E
SATURADA.
 No item anterior, vimos que a estabilidade da atmosfera
depende basicamente da relação entre o lapse-rate
(virtual) do ambiente e o lapse-rate (virtual) da parcela.
 Como a parcela pode estar ou não saturada,
vamos determinar as condições de estabilidade
para essas duas situações:
a) Parcela Não-Saturada
 Lapse rate para a parcela :
dTv
d
1  0.61rv T 
v  

dz
dz
dT
 1  0.61rv 
dz
(pois rv é constante)
Então:
v  d  9.8 C / Km

 Lapse rate para o ambiente:
dTv '
d
1  0.61rv 'T '
v '  

dz
dz
dT '
drv '
 1  0.61rv '
 0.61T '
dz
dz
ou
drv '
v '  1  0.61rv ''0.61T '
dz
OBS.: o segundo termo dessa equação pode não ser desprezível, portanto, na
análise da estabilidade de uma parcela, devemos comparar o lapse-rate da
temperatura virtual do ambiente com o lapse-rate da parcela.
 ASSIM, as condições para de estabilidade estática
de uma parcela não-saturada são:
Se v’ < d
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se v’ = d
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se v’ > d
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
b) Parcela Saturada
 Lapse rate para a parcela :
dTv
d
1  0.61rs T 
v  

dz
dz
dT
drs
 1  0.61rs 
 0.61T
dz
dz
drs
 1  0.61rs s  0.61T
dz
Neste caso o segundo termo é muito menor que o primeiro,
e podemos aproximar essa equação para:
v  s
 Lapse rate para o ambiente: o mesmo v’ acima.
 ASSIM, as condições para de estabilidade estática
de uma parcela saturada são:
Se v’ < s
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se v’ = s
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se v’ > s
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
COMENTÁRIOS
Como d (=9.8C/Km) > s,
os critérios acima podem ser combinados como:
Se v’ < s
a parcela é absolutamente ESTÁVEL
Se d > v’ > s
a parcela é condicionalmente INSTÁVEL
Se v’ > d
a parcela é absolutamente INSTÁVEL
Obs.:
 O termo “absolutamente” significa que o critério vale tanto para
uma parcela não-saturada como saturada
 O termo “condicionalmente instável” significa que a parcela é
estável se estiver não saturada e instável se ficar saturada.
 Critérios utilizando-se as temperaturas potenciais:
 Para um ambiente não saturado vale a equação de Poisson:
 p' 
'  T' 

 1000 
Rd
cp
, ou, melhor,
 p' 
 v '  Tv ' 

 1000 
, onde
Rd
Tv '  1  0.61rv T '
cp
• Aplicando o logaritmo e diferenciando:
1 d v '
1 dTv '
Rd dp '


 v ' dz
Tv ' dz
p ' c p dz
1
Rd
 
v '
Tv '
p' c p

p'
 
 Rd Tv '
v '
1  g 
 

Tv ' Tv '  c p 
1
d  v '

Tv '

g 

 ASSIM, as condições para de estabilidade estática
de uma parcela não-saturada
podem também ser expressas como:
Se dv’/dz > 0
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se dv’/dz = 0
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se dv’/dz < 0
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
 Para uma parcela saturada
pode-se usar o mesmo raciocínio,
substituindo  por e,
que é constante para processos adiabáticos saturados.
Se de’/dz > 0
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se de’/dz = 0
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se de’/dz < 0
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
ESTABILIDADE CONVECTIVA ou POTENCIAL
de uma camada NÃO-SATURADA
 Nos itens anteriores mostramos que a estabilidade de uma parcela depende
da relação entre o lapse-rate do ambiente e d ou s.
 MAS existem situações meteorológicas (por exemplo em grandes cadeias
de montanhas) nas quais toda uma camada atmosférica é levantada ou
abaixada.
isso afeta o lapse-rate da atmosfera, e portanto,
afeta a estabilidade da parcela ?
 Vamos tratar do caso de uma camada com uma diferença finita de pressão
entre a base e o topo dessa camada (por exemplo, 50 hPa)
Da equação hidrostática, essa diferença de pressão é diretamente proporcional
à massa por unidade de área contida nessa coluna.
Vamos supor que nenhuma massa adicional é adicionada ou retirada da
camada, de tal forma que essa diferença de pressão permaneça constante.
a) Processos não-saturados
 A relação entre T’ e ’,
diferenciando a equação de Poisson em forma logarítmica:
1 T '
1  '
Rd p'


T ' z
 ' z
c p p' z
 Usando a hidrostática e resolvendo para ’:
1  '
1  T '
g 


 ' z
T '  z
c p 
d  '

T'
Para tirar vantagem do fato da diferença de pressão
constante na camada,
é desejável converter a derivada em altura
para derivada de pressão, como :
 '
 ' z

p
z p'
, e, da hidrostática
z
1
 
p'
' g
podemos reescrever a equação acima como:
1  '
d  '
Rd d  '
 
 
 ' p'
g ' T '
g
p'
como num processo adiabático seco ’ é conservado,
a diferença de ’ entre o topo e a base da camada
também é conservada.
Alem disso,
estamos analisando o caso onde a diferença
de pressão na camada é constante.
Então :
e, portanto
1  '
 ' p'
d
é constante na camada
 '  c p'
te
OU SEJA:
 Quando a camada é levantada, a pressão decresce,
e o lapse-rate do ambiente (’) vai diminuindo
e se aproximando de d
(PORTANTO, desestabilizando uma camada estável)
 Quando a camada é abaixada, a pressão aumenta,
o lapse-rate do ambiente (’) vai aumentando
e se distanciando de d
(PORTANTO, estabilizando mais ainda uma camada estável)
EM RESUMO, para uma camada não-saturada, elevar (abaixar) a
camada instabiliza (estabiliza) essa camada
para futuros movimentos de parcelas.
MAS, se a camada subir muito, a ponto de causar a saturação
de toda a camada, o resultado é completamente diferente:
b) Processos saturados
esta situação pode ser vista mais facilmente
com o uso de um diagrama:
tefigrama, três situações,
onde uma camada inicialmente isotérmica
(portanto estaticamente estável tanto para processos adiabáticos secos como
saturados),
de 50 hPa de espessura, que é elevada em 300 hPa,
saturando-se completamente nos três casos.
No caso (a),
assumimos que e é
constante na camada
Assim, cada ponto da camada,
após uma expansão adiabática seca preliminar,
atinge a condensação
ao longo da mesma linha adiabática saturada.
Conseqüentemente, o lapse-rate após a ascensão é
exatamente o adiabático saturado
e a camada se torna neutra
em relação a qualquer deslocamento posterior
de parcelas saturadas.
No caso (b),
assumimos que e
aumenta com a
altura na camada
Assim, o topo da camada atinge a saturação
ao longo de uma adiabática saturada
que está à direita (é maior)
daquela onde a base da camada atinge a saturação.
Conseqüentemente,
o lapse-rate final da camada é menor
que lapse-rate adiabático saturado, e, portanto,
a camada é estável
para quaisquer deslocamentos posteriores
de uma parcela saturada.
No caso (c),
assumimos que e
diminui com a altura
na camada
Quando a base da camada atinge a saturação,
e continua a se esfriar
com uma taxa adiabática saturada,
o topo da camada ainda está se esfriando
com a taxa adiabática seca
(que é maior que a adiabática saturada)
Conseqüentemente, no final da ascensão,
o lapse-rate que a camada adquire é maior
que o adiabático saturado e, portanto,
essa camada é agora instável
para quaisquer deslocamentos posteriores
de uma parcela saturada.
 Esses resultados independem
das condições e lapse-rates iniciais escolhidos.
A estabilidade de uma parcela de ar de uma camada
que é levantada até se tornar completamente saturada
só depende do
lapse-rate da temperatura potencial equivalente dessa camada.
Assim,
Se e’/z > 0
a camada saturada é convectivamente ESTÁVEL
Se e’/z = 0
a camada saturada é convectivamente NEUTRA
Se e’/z < 0
a camada saturada é convectivamente INSTÁVEL
7. CAPE e CINE
 Quando uma parcela de ar sobe na atmosfera,
uma certa quantidade de trabalho é efetuada
pela (ou contra a) força de flutuação (ou empuxo),
dependendo se o movimento é feito a favor ou contra essa força :
• Se a força de flutuação é dirigida para baixo (empuxo negativo),
uma certa quantidade de trabalho tem que ser feita
contra a flutuação;
• Se a força de flutuação é dirigida para cima (empuxo positivo),
uma certa quantidade de trabalho é feita pela flutuação.
 O trabalho (W) para deslocar a parcela
de uma altura z é dado por:

W  Fz  maz  m z z
ou, por unidade de massa,

w  z z
 Lembrando que a equação do movimento vertical
de uma parcela é dada por:
 ' 
Tv  Tv '
z  g
 g
 b

Tv '

onde a “linha” significa “ambiente”, e “b” é a “flutuação” (ou empuxo)
 o trabalho efetuado pela (ou sobre a) parcela,
para ir de um nível inicial “zi” para um nível final “zf” será:
f
zf
zf
Tv  Tv '
w   w   bdz  g 
dz
Tv '
i
zi
zi
 Em
uma radiosondagem
- Se zi for a superfície, e zf for o NCE,
esse trabalho (negativo) é chamado
de CINE (Convective INhibition Energy)
- Se zi for o NCE, e zf for o NPE,
esse trabalho (positivo) é chamado
de CAPE (Convective Available Potential Energy)
 Assim:
CINE  g
z NCE

z sup
Tv  Tv '
dz
Tv '
e
CAPE  g
z NPE

z NCE
Tv  Tv '
dz
Tv '
 MAS,
qual a relação entre CINE-CAPE
e a velocidade vertical (vvert) da parcela ?

dvvert
z 
 b
dt
ou
dv vert
dz dvvert
dvvert

 vvert
dt
dt dz
dz
2

d vvert 

  b


dz  2 
 Então, integrando (e omitindo “vert”) :
z NCE
2
vsup
vNCE
CINE   bdz 

2
2
z sup
2
CINE é a energia cinética mínima (na vertical e por umidade de massa)
que uma parcela deve ter na superfície para poder atingir o NCE
z NPE
2
vNPE
vNCE
CAPE   bdz 

2
2
z NCE
2
CAPE é a energia cinética máxima (na vertical e por unidade de massa)
que uma parcela adquire ao atingir o NPE.