Capitulo 6 Postulados da 2da Lei da Termodinâmica, entropia
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Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Capitulo 6 Postulados da 2da Lei da Termodinâmica,
entropia
6.1) Introdução:
Nos primeiros capítulos deste livro, estudamos o teorema de Durhem (Postulado
I) que estabelecia a existencia de estados de equelibrio termodinâmicos de sistemas
simples compressíveis, quais os podem ser definidos por duas propriedades indefinidas;
logo a seguir foi estudado o postulado II da termodinâmica que estabelece que no caso
de sistemas simples compressíveis, realizando processos sem perturbar os arredores,
estes sistemas tendem a aproximar-se a e somente um estado de equilibrio estável, estes
postulados são a base de estudo da Termodinâmica Clássica, pois eles permitem montar
toda a estrutura analítico-teórica do modelo de universo que a termodinâmica clássica
tenta descrever.
A seguir utilizaremos os conceitos de reversibilidade, máquina térmica e processo
adiabático reversível, para introduzir o leitor na Segunda Lei da Termodinâmica.
Os conceitos de reversibilidade, processo adiabático reversível e máquina térmica
são os pilares da segunda lei e a forma de estudarmos e analisarmos é a principal
característica encontrada nos diferentes textos de Termodinâmica Clássica.
Métodotos de estudo da Segunda Lei:
1- Método de estudo Clássico [ 1 ]: Este método consiste em descrever claramente
sistemas que realizam ciclos “receptores” e “produtores” ou seja “refrigeradores” e
“Máquinas térmicas”, respectivamente, intercambiando energia em forma de calor entre
duas fontes de temperatura constante. Da análise realiazada e definindo “rendimento” do
uso da energia térmica. A segunda lei neste tipo de análise é então definida em base aos
estamentos de “Kevin Planck” e “Clássicos” que são estamentos limitantes no sentido
de especificar claramente o tipo de ciclo receptor ou produtor que pode chegar a ser uma
máquina térmica.
1.1- Kevin Planck: É impossível contruir um aparelho que opera ciclicamente
produzindo somente o efeito de elevar um peso (realizar trabalho), e trocar energia em
forma de calor com uma fonte ou reservatório de energia a temperatura constante.
1.2- Clausius: É impossível construir um aparelho que opere ciclicamente produzindo
somente o efeito de transferir calor de uma fonte a baixa temperatura para outra fonte a
alta temperatura.
163
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A seguir é definido processo ideal reversível e o ciclo reversível de Carnot que
permite definir escalas de temperaturas termodinâmicas e o conceito de entropia como
propriedade associada a segunda lei, para facilitar sua descrição quantitativa.
2- Método de estudo detalhado [2]: Partindo dos conceitos de substância pura e
utilizando a mesma metodologia do “estudo clássico”, no referente a definição de
Máquina Térmica e Refrigeradores, rendimento térmico, processo reversível, etc, e
iniciado o estudo da segunda lei provando a “existência de superfícies adiábaticas
reversíveis”, esta prova permite de forma exata (matemática), deduzir a existência da
propriedade “entropia”, não sem antes definir escalas de temperaturas termodinâmicas.
3-Método baseado em postulados de estudo [3]: este método tem como base os três
postulados da termodinâmica clássica que podemos que podemos identificá-los da
seguinte forma:
POSTULADO I: Trata da existência de estados de equilíbrio termodinâmico (teorema
de Durheim).
POSTULADO II: Trata da tendência de todo ou qualquer sistema a aproximar-se de um
e somente estado de equilíbrio estável.
POSTULADO III: trata do conceito de “processo adiabático” que sempre será possível
entre dois estados de equilíbrio termodinâmico.
Neste livro utilizaremos a metodologia dos postulados de termodinâmica a qual
nos leva aos estamentos de Palnck e Clausius, sem deixar de lado a definição dos
processos adiabáticos.
6.2-Reversibilidade Conceitos e Conseqüências e a Segunda Lei da Termodinâmica
Começaremos o estudo da reversibilidade colocando o III postulado referente a
energia o qual diz:
POSTULADO III:
Para quaisquer estados 1 e 2, nos quais o sistema de massa fixa está em equilíbrio, a
mudança de estado de 1 para 2 ou o processo inverso poderá ocorrer por ao menos um
processo adiabático é o trabalho adiabático entre o sistema e seus arredores, é
determinado unicamente especificando os estados 1 e 2.
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Este postulado diz que interações de trabalho entre estados de equilíbrio são
sempre possíveis, isto não é conseqüência dos princípios básicos de conservação de
massa ou energia, mas isto está fortemente fundamentado na experiência.
Explicação: Como o trabalho adiabático é somente função de propriedades nos estados
finais, ele será também uma propriedade, esta propriedade somente pode ser a
propriedade energia (E) do sistema.
WAB adiabático EB EA
(6.1)
Devemos observar que a definição de trabalho adiabático e energia de um sistema
que interage com os arredores não está restrita à sistemas simples, esta definição é válida
também para sistemas compostos. Assim podemos dizer que o postulado III, trata de
processos possíveis entre estados de equilíbrio.
6.2.1 - Algumas Definições Básica
Máquina Térmica: Uma máquina térmica é um aparelho fechado que realiza interações
de trabalho, com recipientes de trabalho, e interações de calor com recipientes de calor:
podemos então definir claramente, recipiente de trabalho como recipiente que opera
adiabático e quase estaticamente.
Recipiente de Calor: É um reservatório de energia que mantém sua temperatura
constante e tem capacidade infinita de armazenamento de energia térmica.
A máquina térmica opera sempre ciclicamente e seus efeitos líquidos aparecem
somente nos sistemas externos, recipientes de calor e recipientes de trabalho;
Utilizaremos esta máquina para analisar processos, e sua consistência com postulados e
conceitos. Se considerarmos que um processo é “possível”, ele poderá ser realizado, e
deverá obedecer os postulados I, II, III; Caso não possa ser realizado o processo será
impossível, e poderemos provar que viola algum postulado.
Análise de Processos Possíveis e Impossíveis
Vamos analisar diferentes processos ocorrendo entre os sistemas A e B que estão
em estado de equilíbrio;
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( TA )
Sistema A
(3)
(1)
(2)
E
(6)
(5)
E
E
E
(4)
Sistema B
( T B)
Figura (6.1):Processos variados operando entre os sistemas A e B.
Condições:
C1; Sistema A : está a temperatura TA
C2; Sistema B : está a temperatura TB
C3; TA > TB
A seguir estudaremos vários processos realizados entre os sistemas A e B.
Caso 1: Uma interação de calor ocorre entre A e B, não se realiza trabalho. Como
sabemos, troca espontânea (W=0) de calor de um recipiente de alta temperatura (T A)
para um recipiente de baixa temperatura (TB) pode ocorrer, portanto o caso I pode ser
realizado.
Caso 2: Uma interação de calor ocorre entre B e A, não se realiza trabalho (W=0), este
processo incrementa a energia do sistema A, e decresce a energia de B, o efeito líquido é
incrementar a temperatura de A, (T= TA - TB); Como o sistema composto (A + B), não
tende a um estado de equilíbrio estável, (T não tende a zero). Isto viola o segundo
postulado; Como não temos casos conhecidos, em que o calor pode ser transferido
espontaneamente de um recipiente de baixa temperatura (TB) para um de alta
temperatura (TA), este processo é impossível. “Clausius” no século passado obteve esta
conclusão, chamada de Postulado da Segunda lei de Clausius.
Postulado de Clausius: É impossível construir um aparelho cíclico que produza
somente o efeito de transferir calor de um corpo frio para um corpo quente, ou seja é
impossível transferir calor de uma fonte ou recipiente frio para um reservatório quente
sem consumir energia em forma de trabalho.
166
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Caso 3: Trabalho de um recipiente de trabalho, não mostrado na figura é fornecido à
uma máquina térmica E, e a máquina térmica realiza uma interação de calor com o
sistema A. Este caso é bem conhecido (Ex: dissipação de energia mecânica em atrito,
por sua vez se transforma em calor), portanto é um processo possível.
Caso 4: Uma interação de calor ocorre desde o sistema B, que decresce o nível de
energia de B, e toda esta energia se transforma em trabalho. Se o processo (4) pode
ocorrer, poderíamos utilizar o processo (3) para extrair trabalho produzido do processo
(4) e convertido em uma interação de calor com A. Isto é impossível, pois viola o
postulado II da termodinâmica; que exige que o sistema composto (A+B) tenha
tendência a um estado de equilíbrio estável. Assim podemos concluir que qualquer
processo cíclico no qual o resultado líquido seja a conversão de energia térmica (calor)
de um sistema simples em trabalho é impossível.
Esta foi a conclusão de Kelvin-Planck, chamada de postulado de Kelvin-Planck
da Segunda lei.
Postulado de Kelvin-Planck: É impossível construir um aparelho cíclico que produza
trabalho termodinâmico (elevação de um peso), e que faça uma interação de calor com
um único recipiente de calor, ou seja é impossível construir uma máquina térmica cíclica
que converta totalmente uma quantidade de calor em quantidade igual de trabalho.
Caso 5: Uma interação de calor ocorre entre o sistema A e a máquina térmica, trabalho é
produzido e armazenado no recipiente de trabalho, simultaneamente uma interação de
calor entre a máquina e o sistema B, incrementa a energia de B. Nada impede este
processo, e estes processos são bem conhecidos (Ex: ciclo de potência a vapor).
167
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Sistema Quente
Qh
Caldeira
Bomba de retorno de
condensação
Wp
Wt
Turbina
Condensador
Qc
Sistema Frio
Figura (6.2): Ciclo de potência a vapor.
Caso 6: As interações de calor e trabalho são invertidas, o efeito líquido e extrair
trabalho do recipiente de trabalho, descenso da energia de B, incremento da energia de
A. Este processo não viola postulados e casos reais têm sido observados (Ex: ciclo de
refrigeração).
168
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Sistema Quente
Qh
Condensador
Válvula de
expansão
Wc
Compressor
Evaporador
Qc
Sistema Frio
Figura (6.3): Ciclo de refrigeração.
Observamos que devido a não colocar restrições aos casos (5) e (6), estes casos
podem virar o caso (4), que é impossível, assim algumas combinações de (5) e (6) são
impossíveis e outras possíveis.
A engenharia utiliza o conceito de rendimento térmico (), para limitar a forma
como calor e trabalho podem ser combinados através de uma máquina térmica. A
equação (6.1), exprime a definição de rendimento aplicado ao caso (5):
5
trabalho realizado por E WE
calor transferido de A
QA
(6.2)
Do caso (4), observamos que o rendimento não pode ser igual a unidade, portanto
o que limita o rendimento, são fatores como atrito, expansões livres, trocas expontâneas
de calor, etc. Mas em nossas experiências imaginárias, podemos construir uma máquina
que não tenha atrito nem expansões livres, ou seja, nenhum efeito dissipativo
169
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(espontâneo), à estas máquinas chamaremos de “reversíveis”, se calcularmos o
rendimento térmico destas máquinas reversíveis, sempre teremos,
5 1,0
Rendimento térmico máximo
Uma pergunta que pode ocorrer é se todas as máquinas térmicas reversíveis que
chamaremos de M e R, operando entre dois reservatórios a temperaturas Ta e Tb ,
Reservatório
WR
Q AR
R
( TA )
A
WM
QAM
M
Q BR
Reservatório B
Q BM
( TB )
Figura (6.4): Caso de duas máquinas térmicas reversíveis, operando entre dois reservatórios .
Vamos supor que a máquina térmica M tem rendimento térmico superior ao da
máquina térmica R. Como as máquinas térmicas são cíclicas, a energia total entrando
deverá igualar toda a energia saindo da máquina térmica, assim pela primeira lei da
termodinâmica aplicada as máquinas mostradas na figura (6.3),teremos:
WM QAM QBM
WR QAR QBR
Os rendimentos térmicos correspondentes serão:
WM
Q QBM WR QAR QBR
AM
QAM
QAM
QAR
QAR
Se dois trabalhos Wr e Wm , são iguais então:
QAR QAM
170
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QBR QBM
Como as máquinas térmicas são reversíveis, então vamos operar a máquina
térmica R como uma bomba de calor (ciclo receptor) e fazer com que a máquina térmica
M opere a máquina térmica R como mostra a figura (6.4).
Reservatório
( TA )
A
Q AR
QAM
WM
R
M
Q BM
Q BR
Reservatório
B
( TB )
Figura (6.4): Caso de duas máquinas térmicas reversíveis, operando como um único sisttema.
As duas máquinas térmicas consideradas como um único sistema (tendo cada uma
rendimento térmico suposto diferente), fazem o efeito líquido de transferir calor de um
reservatório de baixa temperatura Tb para um reservatório de alta temperatura
espontaneamente (sem auxilio), e isto vimos através do processo 2 da figura (6.3), é
impossível de fazer. Portanto concluímos que todas as máquinas térmicas reversíveis
operando entre dois reservatórios deverão ter o mesmo rendimento.
Assim retornando ao caso (5) e (6) da figura (6.3) concluiremos que no caso de
máquinas térmicas reversíveis.
5 6 1, 0
Vamos analisar o caso de que o rendimento de M seja inferior ao rendimento de R sendo
as duas máquinas térmicas reversíveis assim
WM
Q QBM WR QAR QBR
AM
QAM
QAM
QAR
QAR
Se os dois trabalhos WR e WM são iguais então:
171
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QAM QAR
QBM QBR
O efeito líquido das duas máquinas operando como sistema único e transferir
calor de um reservatório de alta temperatura para outro de baixa temperatura
espontaneamente; Este é o processo (1) da figura (6.3), o qual concluímos que é possível
de ser feito, portanto, para evitar combinações que violem postulados.
5 6 1, 0
Conclusões:
1- As máquinas térmicas reversíveis tem rendimentos iguais quando operando entre
dois reservatórios a temperaturas constantes .
2- As máquinas térmicas reversíveis e cíclicas serão cíclicas realizando processos
reversíveis os quais são processos de forma inversa sem que a máquina ou sistema e
o ambiente ao redor sejam alterados .
3- Cada estado de equilíbrio de um sistema atingido por um processo reversível, pode
ser revertido ao seu estado de partida e os sistemas envolvidos no processo deverão
estar em estado de equilíbrio a todo instante (realizar processos quase estáticos);
conseqüência desta definição: Sistemas simples realizando processos reversíveis não
podem Ter gradientes de temperatura ou pressão internos em nenhum momento.
Na literatura se encontra facilmente a validade dos postulados de Kelvin-Planck e
Clausius e sua equivalência (veja: Fundamentos da Thermodinâmica Clássica, Gordon J.
Van Wylen e Richard Sonntag, cap 6, 1995).
A segunda lei de termodinâmica expressada nos postulados acima descritos, é
uma lei restritiva, baseada em fatos experimentais, claramente nega a possibilidade de
construir uma máquina de movimento perpétuo do 2º tipo.Uma máquina de movimento
perpétuo do 1º tipo é capaz de realizar trabalho do nada (viola a 1ª lei). Uma máquina de
movimento perpétuo do 2º tipo converte totalmente energia térmica em trabalho
mecânico e vice-versa (viola 2ª lei). Uma máquina de movimento perpétuo do 3º tipo,
não teria atrito e portanto operaria de forma indefinida sem produzir trabalho mecânico.
6.2.1- Escala de Temperatura Termodinâmica
Anteriormente observamos que máquinas térmicas cíclicas reversíveis, que
operam entre dois sistemas dados com diferentes temperaturas têm rendimento igual;
172
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portanto o rendimento deverá ser somente função do nível de temperaturas dos dois
sistemas entre os quais a máquina interage.
Prova: Analisemos o caso (5):
5
WE
f1 (TA , TB )
QAM
Mas:
WE QAM QBM
(aplicação da 1ra Lei ao conjunto)
Então:
QBM
1 f 2 (TA , TB )
QAM
Devemos então especificar a forma das funções “f1” e “f2” para que a medida das
temperaturas que compõem estas funções seja aceitável.
( T A)
Sistema A
QA1
WE1
E1
Q B1
Sistema B
( T B)
Figura (6.5):processo similar ao caso (5).
No processo similar ao caso (5) representado na figura (6.5) o sistema A está a TA
e B a TB e produzem través de uma máquina térmica reversível WE1.
Máquina térmica reversível operando entre dois sistemas em equilíbrio
térmico.Ligando agora ao sistema A outra máquina térmica E2, a qual rejeita calor ao
nosso sistema C , veja figura (6.5).
Se admitirmos que Tc seja uma temperatura intermediária entre TA e TB ; e que o
calor rejeitado por E2 seja transmitido a uma terceira máquina térmica reversível E3, que
rejeita por sua vez calor ao sistema B.
173
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Se os processos das figuras (6.5) e (6.6), reduzem a energia do sistema A
(igualmente) na mesma quantidade.
( T A)
Sistema A
QA2
WE2
E2
QC2
Sistema C
( TC)
QC3
WE3
E3
Q B3
Sistema B
( T B)
Figura(6.6): processo em escala ,similar ao caso (5).
QA1 QA2
QB1 QB3
QC 2 QC 3
WE1 WE 2 WE 3
Assim:
QB1
f 2 (TA , TB )
QA1
QC 2
f 2 (TA , TC )
QA 2
QB 3
f 2 (TA , TB )
QC 3
(6.3)
(6.4)
(6.5)
174
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A combinação das equações (6.3), (6.4), (6.5), nos permite obter:
f2 (TA , TC ). f2 (TC , TB ) f2 (TA , TB )
(6.6)
Isto resulta, numa restrição na forma da função “f2” a qual deverá ser:
f 2 (TJ , Ti )
f3 (T j )
f3 (Ti )
ou
f 4 (Ti )
f 4 (T j )
Então:
QBi f3 (TA )
1
QAi f3 (TB )
f (T ) f 3 (TA )
3 B
f 3 (TB )
Assim:
QBi f 4 (TB )
1
QAi f 4 (TA )
f (T ) f 4 (TB )
4 A
f 4 (TA )
Como o rendimento de uma máquina térmica reversível, não pode Ter múltiplos
valores, então f3 e f4 deverão ser funções simples de T.
Como as escalas de temperaturas utilizadas para definir T, são arbitrárias e o conceito
de rendimento não é arbitrário a figura das funções f3 e f4 não pode ser arbitrária.
Ciclo de Carnot:
Para determinar este escala de temperatura não arbitrária, vamos fazer uma
experiência fictícia para uma máquina hipotética reversível (devido a possibilidade de se
fazer isto experimentalmente). A máquina térmica utilizará gás ideal, como fluido de
trabalho e será chamada de máquina térmica de Carnot, que realizará os seguintes
processos:
1- Calor escoa de um sistema A para o gás ideal contido num sistema pistão cilindro a
temperatura constante Ta .
2- O gás é isolado do sistema A, e permitimos ao gás se expandir adiabáticamente e de
forma reversível até uma pressão baixa e uma temperatura Tb.
175
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3- Nesta baixa pressão o gás ideal contido no sistema pistão cilindro é ligado a um
sistema B, o gás é comprimido isotermicamente mantendo Tb constante..
O gás ideal é novamente isolado do sistema B, e comprimido adiabática e
reversivelmente a sua pressão e temperatura originais (Ta).
A máquina térmica realizou um ciclo realizando um processo similar ao caso (5);
calculando trabalho, fluxo de calor supondo propriedades de gás ideal, em que a
energia de gás ideal é somente função do nível de temperatura então:
TA
QA
W(+)
QB
TB
QA cv .T p.dv
2
2
QA p.dv
1
1
v
R.T
dv R.TA ln 2
v
v1
4
4
3
3
R.TB
v
dv R.TB ln 4
v
v3
QB p.dv
v3 v4
v
v
4 1
v2 v1
v3 v2
Como num ciclo Q = W, então o trabalho do ciclo: Wciclo = Q.
k
T2 k 1 p2 v3
p1 v2
T3
k
k
T1 k 1 p1 v4
p4 v1
T4
k
176
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T2 v3
T3 v2
Cap.6
k 1
TA v3
TB v2
T1 v4
T4 v1
k 1
k 1
k 1
TA v4
TB v1
v
v
R.TA .ln 2 R.TB .ln 4
v1
v3 TA TB
Q QB
A
v2
QA
TA
R.TA .ln
v1
Podemos afirmar que:
P
QA
1
Isotérmica
Compressão
Adiabática
2
Expansão
Adiabática
4
TA
Isotérmica
QB
3
TB
Figura 6.7 - Ciclo de Carnot
Portanto num sistema operando com gás ideal como fluido de trabalho e
realizando um ciclo reversível temos as funções f3 e f4 mais simples possíveis se as
temperaturas são medidas pela escala de gás ideal. Podemos encontrar na literatura
(Heat and Thermodinâmics – Mark W. Zemansky, 1984 pags 209-211) a equivalência
entre a escala de temperatura e a escala de gás ideal.
177
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6.2.2 - Teorema de Clausius:
Vamos extender a análise realizada vizando obter uma nova propriedade chamada
entropia.
Anteriormente provamos que o rendimento de uma máquina térmica reversível,
operando com gás ideal e uma a qual as medidas de temperatura eram realizadas
utilizando a escala de temperaturas de gás ideal podia ser expressado da seguinte forma:
1
QB
T
1 B
QA
TA
(6.7)
Ou seja, para uma máquina térmica reversível, com escala de temperaturas
termodinâmicas.
QB TB
QA TA
(6.8)
QA QB
0
TA TB
(6.9)
Ou:
Também podemos dizer:
QA QB
0
TB
TA
(6.10)
Desta forma Clausius estabeleceu seu teorema:
Dado qualquer processo reversível no qual a temperatura muda de maneira conhecida, é
sempre possível encontrar um processo consistente de processos adiabáticos e
isométricos, de forma que as interações de trabalho nos caminhos isotérmicos sejam
iguais aas iterações de calor do processo original.
Como Ta e Tb são constantes, constatamos que
Q
T
QA QB
0
TA TB
Podemos então dizer que para todas as máquinas térmicas reversíveis cíclicas
e
Q 0
Q
T
0
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Considerando uma máquina térmica que opera de forma irreversível entre as mesmas
fontes e sumidouros a Ta e Tb e recebendo a mesma quantidade de calor Qa, se
compararmos o ciclo irreversível com reversível podemos concluir da 2ª lei que:
Wirrev. Wver .
Mas como Qa – Qb = W para ambas máquinas concluímos que:
QA QBirrev QA QBrev
Portanto:
QBirrev QBrev
Assim podemos afirmar que:
Q
irrev.
Q
T
QA QBirrev. 0
QA QBirrev.
0
TA
TB
Se agora supormos que a máquina se torna cada vez mais e mais irreversível,
conservando Qa ,Ta e Tb fixas então no limite QbirrevQA.
Q 0
Entretanto Q / T se torna um valor progressivamente mais negativo, no limite como o
trabalho saindo da máquina térmica tende a ser nulo (zero), então:
Q 0
Q
T 0
Q 0
Concluindo: Podemos dizer que para todas as máquinas térmicas reversíveis ou
irreversíveis
Esta desigualdade é chamada de desigualdade de Clausius e não é mais que a
expressão resumida da 2ª lei da termodinâmica.
Q
T
0
Prova: Seja um sistema qualquer, realizando um ciclo qualquer reversível como
mostrado na figura.
179
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Cap.6
T
TA
QA
f
k
h
g
i
d
j
b
a
c
QB
TB
Figura 6.8 - sistema qualquer realizando um ciclo qualquer
As interações de calor das varias porções do ciclo podem ressaltar do contato com
recipientes de calor e temperaturas diferentes. A figura (6.8); a título de exemplo uma
porção do ciclo qualquer if e dc sendo os processos ig e fh , ac e db adia
báticos e os processos gh e ba isotérmicos.
Se permitirmos que a interação de calor na porção if seja desde um recipiente a
Ta e da porção dc seja para um recipiente a Tb, observaremos que o ciclo “ighdbai” é
na realidade um ciclo de Carnot.
Então, se:
Qif Qgh
Qdc Qba
Podemos dizer para um ciclo finito:
Q
Q
Q
dc 0 gh BA 0
Tif Tdc
TA TB
Qif
Ou para um ciclo infinitesimal:
180
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Qif
Tif
Cap.6
Qgh QBA
Q
dc 0
0
TA
TB
Tdc
Se substituirmos porções infinitesimais do ciclo qualquer começando em I e finalizando
em R, teremos:
Q
0
T rev.
(6.11)
Do estudo realizado podemos concluir que o ciclo qualquer, pode ser substituído
por uma quantidade infinita de ciclos de Carnot infinitesimais, a isto a termodinâmica
chama CARNOTIZAÇÃO de um ciclo.
Se além de carnotizar o ciclo, permitirmos que ele faça trocas de calor com fontes
e sumidouros a temperaturas Ta e Tb medias altas e baixas, correspondentes.
ciclo rev. qq 1
TB
carnot eq.
TA
Podemos afirmar que qualquer ciclo reversível pode ser carnotizado e que seu
rendimento deverá ser igual ao do carnot equivalente.
As temperaturas Ta e Tb serão as temperaturas médias obtidas da carnotização do ciclo.
6.2.2.1 - Mudança de entropia para diferentes processos:
Substância de trabalho, gás ideal; mudança específica da propriedade entropia.
ds
du p
dv
T T
(6.12)
Integrando a equação acima:
2
2
du
p
dv
T 1T
1
s2 s1
s2 s1 cv 0 ln
2
T2
v
R ln 2
T1
v1
(6.13)
2
c .dT
R.T
s2 s1 v 0
dv
T
v.T
1
1
181
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
A equação (6.13) permite calcular a mudança de entropia em qualquer processo
reversível, realizado com gás ideal.
Exemplo: - Processo Isotérmico ; T1=T2
s2 s1 T
R ln
v2
v1
(6.14)
-Processo isométrico ; v1 = v2
s2 s1 V
cv 0 ln
T2
T1
(6.15)
Se na equação (6.15) , substituímos a equação da 1ª lei da termodinâmica em termos de
entalpia ou seja:
Q dH V .dp
(6.16)
Ou:
q dh v.dp
(6.17)
Teremos:
T .ds dh v.dp
dh v
ds
dp
T T
(6.18)
Se integrarmos a equação acima entre dois estados:
2
2
dh
v
dp
T 1T
1
s2 s1
(6.19)
No caso do gás ideal:
s2 s1 c p 0 .ln
T2
p
R.ln 2
T1
p1
(6.20)
a equação (6.20) é equivalente a equação (6.19), sendo a mais apropriada para calcular
mudanças de entropia em processos isobáricos com gás ideal.
Exemplo: - Processo Isobárico ; p2 = p1
s2 s1 p c p 0 .ln
T2
T1
(6.21)
Finalmente teremos o processo adiabático no qual q = 0.
182
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Da equação (6.21) podemos constatar que, se o processo é reversível.
ds q 0 0
(6.22)
Ou seja, o processo adiabático independe de ser um processo realizado com gás ideal ou
qualquer outra substância, é também um processo isoentrópico; isto não quer dizer que o
processo (s2 = s1), seja sempre adiabático.
Vapores ou gases reais
No caso de vapores a integração das equações (6.18) e (6.19) fica um pouco mais
trabalhosa porque é necessária uma equação de estado válida para o vapor ou gás ideal
nos estados em que ela se encontra, ou seja:
Para vapor ou gás ideal
du cv.dT
(6.23)
(6.24)
dh c p.dT
Somente que “Cv” e “Cp” depenem da temperatura e ligeiramente da pressão
portanto para integrar as equações (6.23) e (6.24) precisamos conhecer a dependência da
temperatura dos calores específicos “cp” e “cv”, outra forma de obter mudanças de
entropia np caso de vapores ou gases reais, é utilizando tabelas de vapor ou gás real ,no
caso de se utilizar tabelas será necessário conhecer duas propriedades independentes em
cada estado, se o sistema é simples compressível.
No caso de vapor saturado com título maior que zero e menor que um a entropia
se calcula da seguinte forma:
sx s1 X . sg s1
(6.25)
6.2.3 - Entropia como uma propriedade:
A equação (6.25) nos permite definir a propriedade chamada entropia, se um
sistema realiza uma mudança de estado de 1 até 2 ao longo de um caminho reversível A
e retorna ao estado original 1 através de outro caminho reversível B, podemos dizer:
Q
0
T rev.
(6.26)
Ou:
Q
Q
1A T 2B T 0
rev .
rev .
2A
1B
(6.27)
183
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Realizemos agora o ciclo através do processo A de 12 e retornaremos ao estado inicial
1 pelo processo reversível C, podemos dizer:
Q
Q
1A T 2C T 0
rev .
rev .
2A
1C
(6.28)
Se subtrairmos as equações (6.28) e (6.27), teremos:
Q
Q
2 B T 2C T
rev .
rev .
1B
1C
(6.29)
Como a integral:
Q
T rev.
2B
1B
é igual sem importar o caminho percorrido (processo), esta quantidade é independente
do processo realizado e depende somente dos estados iniciais e finais, portanto será uma
propriedade.
Portanto definimos entropia matematicamente como:
Q
ds
T rev.
(6.30)
Q
s2 s1
T rev.
1
(6.31)
Portanto,
2
Para realizar esta integração a relação entre Q e T deverá ser conhecida e podemos
afirmar que a mudança de entropia de uma substância que muda de um estado a outro, é
a mesma para todos os processos reversíveis ou irreversíveis entre os mesmos estados.
6.3:Conceito de entropia absoluta e terceira lei da termodinâmica:
É necessário observar que a equação (6.31) permite calcular mudanças de entropia
mas não fala nada a respeito de valores absolutos de entropia .
Os senhores W. H. Hermst (1864-1941) e Max Planck (1958-1947), formularam
uma teoria chamada terceira lei da termodinâmica que trata da entropia da substância a
temperatura absoluta zero.
A entropia de um cristal perfeito é zero a temperatura zero absoluto.
184
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Ou seja a energia térmica é mínima e a estrutura cristalina deverá ter o máximo
grau de ordem. A evidencia experimental da 3ª lei da termodinâmica está fundamentada
em reações químicas e medidas de capacidade térmica a temperaturas próximas a zero
absoluto.
Da equação (6.30) podemos concluir que para processos reversíveis
Q T .dS
(6.32)
Ou:
q T .ds
(6.33)
Portanto, o calor num diagrama T-s pode ser visualizado, como a área abaixo de um
processo reversível.
2
T
re
ve
rs
ív
el
T
q=Tds
1
ds
s
2
1 Q2 T .ds
(6.34)
1
Onde:
= Entropia de líquido saturado
= Entropia de vapor saturado
= Título
Existem códigos computacionais que permitem obter as propriedades de qualquer
substância normalmente utilizada pelo homem, de forma rápida e precisa o qual exista a
185
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
consulta manual de tabelas; normalmente as propriedades são expressadas na forma de
funções polinomiais (chamadas de funções de Gibbs) , Ex: Equation Engenering Solver,
F-chart Solver, Wisconsin , USA).
Terceira Lei da Termodinâmica e sua importância
A importância da Terceira Lei, é que ela fornece uma base de medida absoluta da
entropia.
Normalmente se encontram tabelas que fornecem a entropia absoluta de gases a 1
bar de pressão e diferentes temperaturas (veja a tabela ( ), no anexo ( )). Como se trata
de gases é sempre suposto ideal. No caso de que a pressão de um gás qualquer a uma
dada temperatura seja diferente de 1 bar; para obter a entropia absoluta de pressões
diferentes de 1 bar será necessário utilizar a equação de estado do gás e relações
termodinâmicas apropriadas, relacionando o comportamento do gás real com o gás ideal.
Metodologia:
Chamaremos a entropia absoluta a 1 bar de S 0 e a entropia a mesma pressão e
qualquer temperatura de ST0 .
6.3.1-Obtenção de entropias absolutas a qualquer pressão e temperatura
Consideremos comportamento de gás ideal a 1 bar de pressão, isto na prática
não implica em grandes erros de cálculo na grande maioria das substâncias gasosas
conhecidas, e podemos afirmar que é bem tolerada na prática profissional.
Portanto:
ST , p ST0 S T ,1 bar T , p
(6.35)
A equação (6.35), é representada em forma gráfica na figura (6.9):
186
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
1 bar
0
p=
cte
T
T,p
T
1
2 T,1bar T,p
(S)
0
ST
S
Figura 6.9: Definição da entropia absoluta.
A mudança de entropia, admitindo comportamento ideal ao longo da isoterma “T”
poderá ser obtido utilizando correlações aplicadas a gás ideal.
S
2
S
2
S
2
T , p dh vdp
Q
T , p0
T rev T , p0 T
rev
S1 T
cp0 dt vdp
T , p0
T
rev
T,p
dt
dp
p
cp0 R R ln
T , p0
T
p rev
p0
S1 T
S1 T
T,p
T,p
Assim:
ST , p ST0 R ln
p
p0
(6.36)
Caso exista um erro considerável, teremos sempre a alternativa de utilizar uma
equação de estado de gás real, válida na faixa de T e P consideradas, ou se encontrarmos
tabelas que cobram esta faixa de pressões será fácil obter ST,P0T,P das tabelas.
Caso a 1 bar de pressão, o gás não apresenta comportamento ideal, será necessário
aplicar as correlações de gás ideal para obter a entropia absoluta a uma pressão
187
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
suficientemente baixa, para supor comportamento ideal desde este estado até as
condições requeridas T, P aplicamos o procedimento acima sugerido.
Exemplo ilustrativo:
Oxigênio a 0,4 bar e 1000 k, qual será a entropia absoluta do oxigênio nestas
condições.
ST , p ST0 S T ,1 bar T , p
ST , p ST0 R ln
p
p0
(6.37)
ST , p ST0 R ln 0, 4
De tabelas de entropia absoluta obteremos: ST0 243,57
Logo: ST , p
kJ
kmol,
kJ
kJ
1
8,316 kmol / K
243,57
ln 0, 4 7,85
kg
kmol 32 kg / kmol
32
kmol
O conceito de entropias absolutas é muito utilizado na área de combustão, (reação de
oxidação) ou reações químicas, porém quando não existe mudança de composição
química, normalmente são dados os valores da entropia relativos a um estado de
referência arbitrário, este método é utilizado pela maioria de tabelas termodinâmicas de
propriedades de substâncias puras.
6.3.2. – Desigualdade de Clausius
Foi estabelecido que a entropia é uma propriedade que somente pode ser avaliada
considerando os processos reversíveis; se temos um caso no qual dois processos partem
do mesmo estado inicial o primeiro processo é reversível, o segundo é irreversível.
Se estes dois processos são realizados entre um reservatório de calor a T 1 e um
sorvedouro ou reservatório de calor a T2, sendo T1 T2, fazendo um ciclo, se colocamos
duas máquinas térmicas entre os dois reservatórios, uma reversível e a outra irreversível,
fornecendo as duas o mesmo calor indo do reservatório a T1 (Q(t) ):
Q
Q
r
Processos reversíveis:
T
T
2
1 r
r
(6.38)
188
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Trabalho gerado no ciclo reversível: Wr Q Q r
Processo irreversível:
Q i
Q
T1 irrev T2 irrev
(6.39)
(6.40)
Trabalho gerado no ciclo irreversível: Wi Q Q i
(6.41)
No ciclo irreversível obteremos menos trabalho, portanto:
(6.42)
Wi Wr
Q Q i Q Q r
Q i Q()r
Conclusão:
Calor rejeitado para o reservatório de calor a T2, pelo ciclo irreversível (Q(-) i ) será
superior ao calor rejeitado pelo ciclo reversível de Carnot (Q(-) i ).
Como conseqüência do exemplo, podemos estabelecer:
Para um ciclo:
Q
0
T rev
Q
T irrev 0
Portanto:
Q
T rev
Q
T irrev
(6.43)
(6.44)
(6.45)
E podemos dizer de forma geral que; para qualquer ciclo reversível ou
irreversível:
Q
0
T
(6.46)
Esta é chamada de desigualdade de Clausius, que é uma conseqüência da segunda
Lei da Termodinâmica.
189
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
6.3.3. – Mudança de Entropia de um processo irreversível
Se considerarmos um ciclo composto por dois processos, como mostrado na
figura (6.51) teremos:
T
2
v)
Re
(
A
v)
Re
(
B
)
ev
Irr
C(
1
S
Figura (6.10): Diagrama T-s de ciclo qualquer.
2A Q
Q
Q
1A
0
T
T rev
T rev
Para o ciclo, o qual o processo do estado 2 ao estado 1 é irreversível teremos:
2A Q
1B Q
Q
1A
2 B
0
T
T rev
T irrev
Para o ciclo reversível:
2A
1A
1B Q
Q
2 B T rev
T rev
(6.47)
Para o ciclo irreversível:
190
Oscar Saul Hernandez Mendoza
2A
1A
Cap.6
1C Q
Q
2C
T rev
T irrev
(6.48)
Igualando as equações (6.48) e (6.49) acima.
1B Q
1C Q
2C
2B
T rev
T irrev
Ou
1C Q
Q
2 B T rev 2C T irrev
1B
(6.49)
Como a entropia é uma propriedade, então pela definição:
1B
1C
Q
dS
2 B T rev 2 B
2C dS
1B
Portanto:
Q
2C T
irrev
dS
1C
2C
1C
(6.50)
(6.51)
Para o caso geral:
Q
dS
T
(6.52)
2 Q
S 2 S1
1
T
(6.53)
Ou
A equação (6.53) é válida para processo reversível ou irreversível.
6.3.4- Princípio do incremento da entropia
Se considerarmos um sistema fechado a temperatura T e seus arredores como o
universo; podemos dizer que quando o sistema realiza uma mudança infinitesimal de
estado na qual recebe uma quantidade infinitesimal de calor dos arredores “Q”.
191
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Então:
dS SIST
Q
dS SIST
Q WPERDIDO
(6.54)
T
Ou
T
(6.55)
T
Se os arredores se encontram a “T0”, e a troca de calor que realiza o sistema é com
os arredores (que podem ser outros sistemas a T0); então podemos dizer que os arredores
sofreram uma mudança de entropia.
dS arred
q
T0
(6.56)
A mudança total de entropia do universo será:
dS SIST dS arred
Q Q
T
(6.57)
T0
Chamando: dS SIST dS arred dS UNIV
dS UNIV Q
dS UNIV
1 1
T T0
(6.58)
Q T0
1
T0 T
Com no caso analisado, T0 > T, o termo 0 1 será sempre positivo e como Q e T0
T
são positivos, teremos que (dS)univ. é positivo, vamos analisar agora o caso do sistema
cedendo calor aos arredores:
T
dS SIST
Q
T
;
dS arred
Q
T0
Neste caso T>T0
dS SIST dS arred dS UNIV
dS UMIV Q
Q Q
T0
T
1 1
T0 T
192
Oscar Saul Hernandez Mendoza
1
Cap.6
1
O termo será neste caso maior que zero porque T > T0, assim (dS)univ.será
T0 T
também positivo. Podemos então concluir:
A mudança de entropia do universo será sempre maior ou no mínimo igual a zero
(processo reversível).
Suniv. 0
Caso Suniv. < 0 este processo viola a Segunda Lei e será impossível caso
Suniv. seja zero o processo será reversível.
Exemplo:
Sistema
( T A)
A
QA
W
E
QB
Sistema
B
( T B)
Figura 6.11. – Máquina Térmica operando entre dois sistemas
Podemos dizer:
Su Ssist . A Ssist .B S E 0
Mais:
S E 0
(6.59)
(máquina cíclica)
QA
TA
Q
B
TB
S SIST . A
S SIST . B
Assim,
Su
QB QA
0
TB TA
(6.60)
193
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Aplicando a 1ª Lei da termodinâmica ao redor da máquina térmica E, teremos:
W QA QB
(6.61)
Da equação 6.61, QB = QA - W , assim a equação 6.60 fica:
QA W Q A
0
TB
TA
Q W Q
Su A A 0
TB TB TA
Su
1 1 W
Su QA 0
TB TA TB
Q T
Su A 1 B W 0
TB TA
T
TB Su QA 1 B W 0
TA
TB Su WMÁX W 0
Mais: WMÁX W WPERDIDIDO 0
Ou seja: TB Su Energia não disponível.
Rendimento de processos
Como conseqüência da 2ª Lei da Termodinâmica, concluímos que todo processo
real causa incremento da entropia, superior ao que seria causado se o processo fosse
reversível.
dS
dQ
T
(6.62)
Vamos analisar as conseqüências das máquinas de fluxo, mais utilizadas em processos e
sistemas térmicos.
1 – Turbinas: Realizam processos tipicamente adiabáticos, operando em regime
de fluxo estável, fazem expansão defluidos gasosos entre duas pressões P 1 P2, sendo
P1 > P2.
194
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
.W
2
Se o processo é reversível:
T
.
..
1
s2 s1
P2
-
T
P1
2
2
S1 = S 2
2
1
Q
T
m 0
s2 s1
S
Se existem irreversibilidades: s '2 s1 0
onde
s ' 2 s1
A turbina é uma máquina de fluxo que produz trabalho, portanto as irreversibilidades
que são processos dissipativos causam uma diminuição do trabalho útil produzido, assim
definimos:
Re n dim ento
Wreal
T
de turbina
Wrev
Sempre 1, 0
(6.63)
195
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Portanto:
T
Cap.6
'
m
h1 h2
m
h1 h2
h2' h1 T h1 h2
(6.64)
Concluímos da equação (6.64), que:
- somente quando
- sempre que
T = 1,0
T < 1,0
Portanto:
;
;
h2’ = h2
h2’ > h2
Wreal m h1 h2' m h1 h2 Wrev
(6.65)
Admitindo que todos os processos dissipativos, convertem a energia perdida em
calor, podemos imaginar um processo real como um processo composto de dois
processos:
1 2 : processo “adiabático” (expansão), reversível, produzindo trabalho.
2 2’ : processo dissipativo “isobárico” no qual a energia é dissipada em forma
de calor.
P1
T
.
. .
1
-
T
2 P
2
2
Q
S1 = S 2
Assim:
S
WrTeal m h1 h2' m h1 h2 m h2' h2
(6.66)
Assim podemos aproximadamente calcular a mudança real de entropia, como:
'
' Q 2 m h2 h2
m s s1 m s s2
TT
TT
'
2
'
2
2
(6.67)
196
Oscar Saul Hernandez Mendoza
s2' s2
Cap.6
h2' h1
TT
Onde:
TT
h2' h2
s2' s2
Esta temperatura média, poderia ser interpretada como a temperatura média da
turbina a qual dissipa calor para os arredores.
2 – Compressores: Realizam processos tipicamente adiabáticos, operando em
regime de fluxo estável, fazem compressão de fluidos gasosos, entre duas pressões P1
P2, sendo P1 < P2.
.
2
W
.m
1
P1
T
.
.
.
1
-
T
2 P2
2
S1 = S 2
Q
S
Se o processo é reversível:
s2 s1
2
1
Q
m 0
T
(6.68)
197
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
s2 s1
Se existem irreversibilidades: s2’ > s1
O compressor é uma máquina de fluxo não cíclica que consome trabalho, portanto
as irreversibilidades que são processos dissipativos, causam um aumento do trabalho
recebido pelo compressor para elevar a pressão do fluido gasoso; definimos então
rendimento como:
Re nimento
Wrev
C
Wreal
do compressor
Sempre
1, 0
(6.69)
Portanto:
C
m
h2 h1
h1 h2
'
h
h
2
1
'
t
m
h1 h2
(6.70)
T
.
.
.
Q
-
Admitindo que todos os processos dissipativos convertem a energia em calor,
podemos imaginar o processo real num compressor, como um processo composto de
dois processos.
2
P2
2
P1
1
S1 = S 2
S2
` S
Assim:
1 2 : processo “adiabático” de compressão reversível.
2 2’: processo dissipativo “isobárico” no qual a energia dissipada se
agrega ao fluido em forma de calor.
198
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
WrealC m h1 h2' m h1 h2 m h2' h2
Portanto:
'
' Q 2 m h2 h2
m s s1 m s s2
TC
TC
'
2
'
2
2
(6.71)
(6.72)
Onde:
h2' h2
TC '
s2 s2
(6.73)
Esta temperatura poderia ser interpretada como a temperatura média do
compressor, o qual cede calor para o fluido, sendo comprimido.
3 – Bombas: Realizam processos tipicamente adiabáticos, operando em regime de
fluxo estável, aumentam a energia potencial de fluidos em fase líquida, entre duas
pressões Z1 Z2, sendo Z1 < Z2. (Obs.: Normalmente, este aumento da energia
potencial é medido em altura em metros de coluna de fluido bombeado).
Exemplo: Caso da água “metros de coluna de água (mca), que pode ser
interpretada como o aumento da pressão do fluido).
T
P2 Z 2
2'
2
.
T
W
2
1
P1
.
Z1
m
1
~
s1=
s2
s
WrevB m h1 h2 mv1 p1 p2
199
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Bomba
Ou:
Cap.6
mv p p2
Wrev
Wreal 1 1
Wreal
Bomba
Wreal mv1 p1 p2 mhreal m cT p1v1 p2' v2
(6.74)
v1 v2
(6.75)
Wreal m cT v1 ( p1 p2' )
(6.76)
Wreal Wrev mcT mv1 (p ' p )
(6.77)
p' p1 p2'
(6.78)
Wreal m cT p1v1 p2' v1
Porque:
Assim:
Onde:
Sendo:
T
;
p p1 p2
v1
(p ' p)
c
No caso da água:
m3
kg
J
c 4180
kgK
v1 0,001
Portanto:
T
v1 (p ' p)
2,3923 107 (p ' p)
c
Onde:
mv1p '
Assim:
p '
mv1p
Bomba
p
Bomba
(6.79)
(6.80)
(6.81)
Portanto:
200
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
p
T 2,3923 107
p
Bomba
1 Bomba
T 2,3923 107 p
Bomba
(6.82)
p 10 bares 10 105 pa
(6.83)
Seja:
Bomba 0, 7
1 0, 7
T 2,3923 10 105
0, 7
T 0, 23923 0, 4285 0,1025 K
Observação:
Esta seria a elevação da temperatura do fluido ao ser bombeada, supondo que a
energia não é dissipada para o ambiente.
4 – Trocadores de calor: Realizam processos de troca de energia em forma de
calor entre fluidos líquidos ou gasosos com ou sem mudança de fase, e não consomem
trabalho eixo. O trocador de calor será mais eficiente quanto mais energia retirar do
fluido quente.
Q m1 hs1 he1 m2 hs2 he2
Qmàx m1 he2 he1 m2 he1 he2
Tr
m h
m2 hs2 he2
2
.
m1
e1 he2
h
h
e1
s2
he2
(6.84)
e1 he2
s1
Q
6
s2
.
e2
m2
201
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
.
Te
1
Ts2
m1,
C1
.
m2 ,
Ts
1
C2
Te2
A
Área de troca (m )
2
Onde: Q. é o calor trocado entre fluidos e Q.max é o máximo calor que poderia ser trocado
entre fluidos.
A Segunda Lei da Termodinâmica para volume de controle
O processo de aplicação da Segunda Lei a VC é similar ao procedimento utilizado com a
Primeira Lei. A segunda lei para aplicação em sistemas fechados tem a forma:
dS
Q WP
T
T
(6.85)
Para uma mudança de entropia no tempo:
dS '
t
SIST
1 W
dV P
t vc
t T
(6.86)
Para obter a equação de rapidez utilizamos a equação generalizada de variação de
uma propriedade extensiva utilizada na 1ª Lei:
dN
t
SIST
dV v dA
t vc
sc
(6.87)
No caso da entropia, teremos:
Qvc
1 Q 1 WP
A dA
s d s v dA
t T t T t vc
T
sc
sc
202
Oscar Saul Hernandez Mendoza
WP
Q
1
V
A dA
T
t sc T
Cap.6
Qvc
dV s dV s v dA
A dA (6.88)
t vc
T
sc
sc
Para reduzir esta equação a uma equação de variação temporal faremos o
seguinte:
Qvc
Q
1
A
A dA
lim
dA
t 0 t T
sc T
sc
WP
WP
1
V
V
lim
dV
t 0 t
T
T
sc
sc
lim s v dA ms ss m e se
t 0
sc
dV
(6.89)
Portanto:
Qvc
WP
dSvc
V
A
ms ss m e se
dA
dt
T
T
sc
sc
dV
(6.90)
A expressão acima é uma equação geral da 2ª Lei, observamos que o segundo termo do
lado direito da equação (6.103) é um termo positivo de produção de irreversibilidade só
qual é difícil, senão impossível de calcular, portanto podemos escrever a 2ª Lei da
seguinte forma:
Qvc
dSvc
A dA
ms ss me se
dt
T
sc
(6.91)
Fluxo estável, estado estável
O fluxo estável foi definido na seção .....o capítulo ...., para este fluxo não existe
variação no tempo da entropia, dentro do VC, portanto:
dSvc d
s d 0
dt
dt vc
(6.92)
Qvc
ms ss m e se T A dA
sc
(6.93)
Para este processo:
203
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Casos particulares:
1 – Quando existe só uma área de entrada e saída do VC, podemos escrever:
Qvc
A dA
m ss se
T
sc
(6.94)
2 – Para processo adiabático:
ss se
(6.95)
Onde a igualdade é somente válida para processos reversíveis.
Fluxo uniforme, estado uniforme
Este processo foi descrito na seção ..., capítulo ..., e portanto, a 2ª Lei pode ser
escrita como:
Qvc
d
ms vc ms ss m e se A dA
dt
T
sc
(6.96)
Integrando no intervalo de tempo “t”, teremos:
d
msvc m2 s2 m1s1 vc
0 dt
t
m s
(6.97)
dt ms ss
(6.98)
m s dt m s
(6.99)
t
0
s s
t
0
e e
e e
Portanto para o intervalo de tempo considerado a segunda lei poderá ser escrita:
Qvc
m2 s2 m1s1 vc ms ss m e se 0 A dAdt
T
sc
t
(6.100)
Porém como neste processo a temperatura dentro do VC, é uniforme através de
todo o VC, a integral do lado direito da equação ficará:
204
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Qvc
t1
tQ
Q
0 sc T A dA dt 0 T sc Tvc dA dt 0 Tvc dt
t
(6.101)
Assim a forma final da equação fica:
Qvc
dt
T
m2 s2 m1s1 vc ms ss m e se 0
t
(6.102)
Exercícios:
1 – Vapor a 6,8 bar e 260 ºC, escoa por um duto distribuidor, ligado ao duto, um
recipiente de 1,4158 m3 e contendo vapor inicialmente a 1 bar e 176 ºC. Abrimos o
registro de ligação duto-recipiente, lentamente, para permitir a entrada de vapor ao
recipiente, até que a pressão no recipiente seja igual a 6,8 bar. Durante o processo de
transferência de vapor a temperatura do vapor no recipiente se mantém, constante (176
ºC). Se os arredores (ambiente) do recipiente estão a 26,6 ºC.
a) Encontrar a massa de vapor que entra no recipiente e o calor transmitido
entre recipiente –ambiente durante o processo.
b) Encontrar a mudança de entropia ocorrida no recipiente durante o
processo.
c) Demonstre que este não viola a 2ª Lei da Termodinâmica.
Procedimento:
Duto distribuidor
{
P=6,8 bar
T=260°C
VC
V=1,4158m
P1=1 bar
T1=176°C
P2=6,8 bar
T2=176°C
Recipiente
205
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
1- Determinamos completamente as propriedades do vapor no recipiente, e duto
distribuidor no início e fim do processo.
Duto distribuidor
Vapor de água:
-
p = 6,8 bar ; t = 260 ºC
h = 2975,58 KJ / Kg
v = 0,354 m3 / Kg
s = 7,16 KJ / Kg.K
Estado inicial:
- p1 = 1 bar ; t = 176 ºC
- h1 = 2828,15 KJ / Kg
- v1 = 2,059 m3 / Kg
- s1 = 7,732 KJ / Kg.K
- u1 = 2622,11 KJ Kg
Recipiente
(início do processo)
Estado final:
- p2 = 6,8 bar ; t2 = 176 ºC
- h2 = 2790,51 KJ / Kg
Recipiente
- v2 = 0,290 m3 / Kg
(final do processo)
- s2 = 6,782 KJ / Kg.K
- u2 = 2593,02 KJ / Kg
Aplicamos a equação da continuidade (conservação de massa ao recipiente), fluxo
uniforme, estado uniforme.
m2 m1 vc ms me 0
m
s
0
;
m2 m1 vc me
m
e
me
(I)
1ª Lei VC, fluxo uniforme, estado uniforme (ao recipiente), considerando o recipiente
como VC.
206
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
2
2
2
ve
vs
v2
Qvc me he
gze Wvc ms hs
gzs m2 u2
gz2
2
2
2
2
v
m1 u1 1 gz1
2
No nosso caso consideramos: Mudanças de energia cinética e potencial no duto e
recipiente desprezíveis, o VC escolhido não realiza trabalho (WVC = 0). Assim:
Qvc me he m2u2 m1u1
( II )
Calculamos as massas no VC e a massa que entrou no VC:
V
0, 688 kg
v1
V
m2
4,878 kg
v2
m1
me m2 m1 vc 4,878 0,,688 4,19 kg
Teremos portanto da equação ( II )
Qvc m2u2 m1u1 me he 1622,97 kJ
Ou seja, o calor está saindo do VC (sinal negativo).
Para obter a mudança de entropia ocorrida no recipiente, aplicamos a 2ª Lei para
VC, estado uniforme, fluxo uniforme ao recipiente.
tQ
m2 s2 m1s1 me se vc dt
0
T
Mudança de entropia
ocorrida no recipiente
sVC
SVC m2 .s2 m1.s2 me .se 2, 239KJ / K
Mudança de entropia do universo
Para calcular a mudança de entropia do universo, precisamos calculara mudança
de entropia causada pelo VC no meio ambiente. Este cálculo é facilmente realizado
considerando o meio ambiente como VC, com temperatura ambiente TA constante.
Portanto o calor obtido para o recipiente é contabilizado com sinal oposto a
respeito do ambiente.
207
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
Q
kJ
Sme vc 5, 41
K
TA
Assim a mudança de entropia do universo será:
SUNIV Svc Sme 0
SUNIV 2,39 5, 41 3,11
kJ
0
K
Como a entropia do universo foi incrementada, isto não viola a 2ª Lei da
Termodinâmica.
2 – Um cilindro isolado está dividido em dois volumes chamados A e B, por um
pistão não condutor de calor que desliza sem atrito. O volume A contém ar a 1 bar e26,6
ºC e o volume B contém vapor de água saturado seco a 1 bar; os volumes iniciais de A e
B são iguais a 0,0283 m3. O volume A está ligado a uma linha distribuidora de ar através
de um registro: O ar na linha está a 6,8 bar e 26,6 ºC. Se abrirmos o registro lentamente,
o ar da linha distribuidora escoa para o volume A até que a pressão em A seja igual à da
linha (6,8 bar).
a) Calcular a temperatura final em cada um dos dois registros.
b) Qual será a massa de ar que entra no volume A.
c) Verificar se no volume A, a 2ª Lei da Termodinâmica não é violada.
Linha distribuidora
{
P=6,8 bar
T=26,6°C
Pistão
P1=1 bar
Ar T1=26,6°C
P2=6,8 bar
A
Vapor água
P1=1 bar
Vapor B
saturado
a) Analisaremos o processo realizado no volume B:
É processo adiabático de compressão de vapor realizado d5e forma reversível,
com trabalho realizado sobre o vapor igual e de sinal contrário ao trabalho realizado
pelo ar.
208
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
6,8 bar
h
.
.
2B
1.0 bar
1B
S
Volume de controle B de massa fixa:
1B
Q 2B U 2B U1B 1BW2B
WVCB 1BW2B m u2B u1B 5, 275 kJ
mB
V1B
v1B
0,017 kg
Calculamos as propriedades de A e B com os dados conhecidos. Como os estados inicial
e final de B são conhecidos, de tabelas de vapor, teremos:
- v1B = 1,693 m3 / Kg
P1B = 1 bar (vapor saturado)
- u1B = 2505,7 KJ /Kg
- s1B = 7,361 KJ / Kg.K
- pe = 6,8 bar
- te = 26,6 ºC
P2B = 6,8 bar
s2B = s1B
- he = 300,2 KJ / Kg
- se = 5,151 KJ / Kg.K
- v2B = 0,392 m3 / Kg
- u2B = 2831,34 KJ /Kg
- h2B = 3088,29 KJ / Kg
O estado inicial de A também pode ser calculado, assim como o estado da massa que
entra em A.
- v1A = 0,8604 m3 / Kg
209
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
p1A = 1 bar
t1A = 26,6ºC
- u1A = 214,1 KJ /Kg
- h1A = 300,2 KJ / Kg
- s1A = 5,701 KJ / Kg.K
Como no volume B, a massa é constante e conhecemos v2B, podemos calcular V2B.
V2B = mB. v2B = 0,007 m3
Sabendo o estado final do volume B, podemos calcular sua temperatura de tabelas.
T2B = 313,9 ºC
Para o volume de controle A, iremos considerar o comportamento do gás como ideal,
submetido a um processo de fluxo uniforme, estado uniforme.
Equação da continuidade (Vol. A)
(m2 – m1)VCA + ms - me= 0
(m2 – m1)VCA = me = me
(I)
1ª Lei da Termodinâmica (Vol. A):
QVCA + me.(he) = WVCA + ms.(hs) + m2.u2 – m1.u1
Nota: Desprezamos mudanças na energia cinética e potencial dos fluxos de massa e do
VCA.
me = me ; QVCA = 0 ; ms.(hs) = 0
me.he = m2.u2 – m1.u1 + WVCA
Fig.
Conhecemos:
WVCA = - WVCB = 5,275 KJ
m1A .u1A = 0,03289. (cv0 . T1A) = -0,03289.(213,88 KJ / Kg) = 7,043 KJ
m1A = V1A / v1A = 0,0283 / 0,98604 = 0,03289
210
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
v1A = 0,863 m3 / Kg = R.T1A / P1A
( III )
Vtotal = 0,0283 m3 . 2 = 0,0566 m3 = V2B + V2A
Cálculo do volume final em A:
V2A = 0,0566 – V2B = 0,0566 – 0,007 = 0,0496 m3
Aplicando a equação de estado de gás ideal no estado final do volume de controle A.
P2A . V2A = m2A . Rar . T2A
m2A =
Onde:
P2 A V2 A P2 B V2 B
Rar T2 A Rar T2 A
P2 A P2 B
6,8 105 N
m2A =
287 J
m2 0, 0496 m3
kg K
T2 A ( K )
117,5
kg
T2 A ( K )
me = m2A – m1A = (117,5 / T2A) – 0,0329
A 1ª Lei ficará:
me.he = m2A.u2A – m1A.u1A + WVCA
117,5
kJ 117,5
0, 0324 299,93
kg T2 A
T2 A
cv0
0,718
T2 A 7, 043 kJ 5, 275 kJ
kJ
kg K
299,93 117,5
117,5 0, 718
299,93 0, 224
T2 A 7, 0 5, 275
T2 A
T2 A
35241, 77
67,18 84,36 7, 0 5, 275
T2 A
T2A = 385 K (111,7 ºC)
m2A = 117,5 / 385 = 0,30535 Kg
211
Oscar Saul Hernandez Mendoza
Cap.6
me = m2A – m1A = 0,30535 – 0,0329 = 0,2724 Kg
Aplicando a 2ª Lei ao volume A:
Q vc
dt
T
m2 s2 m1s1 vc m s ss m e se 0
t
A
(IV)
Como não sai massa do VC: mVC = 0 ; como só entra uma massa no Vc A ; me = me
; como o processo se realiza adiabáticamente Q.VC = 0.
(V)
Assim:
m2A.s2A - m1A.s1A – me.se 0
s2A = 5,403 KJ / Kg.K ; s1A = 5,704 KJ / Kg.K ; se = 5,154 KJ / Kg.K
0,30535 . 5,403 - 0,0329 . 5,704 - 0,2724 . 5,151
0,05892 > 0
As entropias foram obtidas considerando o ar como gás ideal, e utilizando o conceito da
3ª Lei da Termodinâmica.
212
![Roteiro Mensal [1ª série] – MATEMÁTICA – GEOGRAFIA – ARTES](http://s1.studylibpt.com/store/data/000049300_1-949f68ef7c9412fdede4f40a6ddeeffd-300x300.png)
