Física Aplicada - UFMS-CPCS

2. Energia Cinética e Trabalho
“Energia é uma grandeza escalar associada ao estado (ou condição) de um ou mais objetos.”
2.1 Energia Cinética
A energia cinética K associada ao movimento de uma partícula de massa m e velocidade de módulo
v , em que v está bem abaixo da velocidade da luz, é
K
1 2
mv .
2
(11)
A energia cinética está associada ao estado de movimento de um objeto. Quanto mais rápido o
objeto se move, maior será sua energia cinética. Quando um objeto está em repouso, sua energia cinética é
nula.
A unidade do SI da energia cinética, e de todas as demais formas de energia, é o joule (J), dado
em termos das unidades de massa e velocidade como:
1 joule = 1 J = 1 kg.m2/s2.
Exemplo: Em 1896, em Waco, Texas, William Crush posicionou duas locomotivas nas extremidades opostas
de uma longa ferrovia de 6,4 km, deu partida nas mesmas com os aceleradores amarrados e permitiu a
colisão frontal na velocidade máxima, diante de 30.000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas
por destroços que voaram; várias foram mortas. Supondo que cada locomotiva pesava 1,2 x 10 6 N e tinha
uma aceleração constante de 0,26m/s 2, qual era a energia cinética das duas locomotivas imediatamente
antes da colisão?
2.2 Trabalho
O trabalho W é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de uma força que
atua sobre o mesmo. Energia transferida para o objeto correspondente a um trabalho positivo, e energia
transferida de objeto correspondente a um trabalho negativo.
Trabalho, então, é energia transferida; “realizar” trabalho é o ato de transferir a energia. O trabalho
tem a mesma unidade da energia e é uma grandeza escalar.


O trabalho realizado sobre uma partícula por uma força constante F em um deslocamento d é
 
W  F d cos   F d


na qual  é o ângulo constante entre os sentidos de F e d .
(12)
Para calcular o trabalho que uma força realiza sobre um objeto quando o mesmo se move através
de um certo deslocamento, usamos apenas a componente da força ao longo do deslocamento do objeto. A
componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho.
Uma força realiza trabalho positivo quando ela tem uma componente vetorial no mesmo sentido
que o deslocamento, e realiza trabalho negativo quando tem uma componente vetorial no sentido contrário
que o deslocamento. Ela realiza um trabalho nulo quando não tiver componente vetorial na direção do
deslocamento.
Quando duas ou mais forças atuam sobre um objeto, o trabalho resultante é a soma dos

trabalhos individuais realizado sobre o objeto pela força resultante Fres dessas forças.
12
2.3 Teorema trabalho-energia cinética
Podemos relacionar uma variação K na energia cinética de uma partícula ao trabalho resultante W
realizado sobre a partícula com
K  K f  K i  W
 variação na energia   trabalho resultante realizado

  
sobre a partícula
 cinética de uma partícula  
(13)



Na qual K i é a energia cinética inicial da partícula e K f é a energia cinética da partícula após o
trabalho ter sido realizado.
Também podemos escrever:
K f  Ki  W
(14)
 energia cinética após o trabalho   energia cinética antes do   o trabalho resultante 

  
  

resultante ser realizado
realizado

  trabalho resultante  

Exemplo: A figura abaixo
 mostra dois espiões empurrando um cofre de 225kg a partir do repouso através
d
de um deslocamento
de módulo 8,5m, diretamente em direção a um caminhão. A intensidade do

empurrão F1 do espião 1 é 12,0N, dirigida segundo um ângulo de 30 0 para baixo em relação à horizontal; o

puxão F2 do espião 2 tem módulo de 10N e está direcionado a 400 para cima em relação à horizontal. Os
módulos e os sentidos dessas forças não variam ao longo do deslocamento do cofre. O atrito entre o cofre e
o piso é desprezível.



(a) Qual é o trabalho resultante realizado pelas forças F1 e F2 sobre o cofre neste deslocamento d ?

(b) Neste mesmo deslocamento, qual é o trabalho Wg realizado sobre o cofre pela força gravitacional Fg e

qual é o trabalho WN realizado sobre o cofre pela força normal FN do piso?
(c) O cofre está inicialmente em repouso. Qual é sua velocidade ao final do deslocamento de 8,5m?
2.4 Trabalho realizado pela Força Gravitacional

O trabalho W g realizado pela força gravitacional Fg sobre um objeto de massa m que se comporta

como uma partícula que se move através de um deslocamento d é dado por
Wg  mgd cos  ,

(15)

na qual  é o ângulo entre F e d .
13
2.4.1 Trabalho realizado no levantamento e no abaixamento de um objeto
O trabalho Wa realizado por uma força aplicada quando um objeto que se comporta como uma
partícula é levantado ou abaixado está relacionado com o trabalho W g realizado pela força gravitacional e a
variação K na energia cinética do objeto por
K  K f  K i  Wa  Wg .
reduz a
(16)
Se a energia cinética no início e no fim de um levantamento são iguais, então a equação anterior se
Wa  Wg ,
(17)
a qual nos diz que a força aplicada transfere tanta energia para o objeto quanto a força gravitacional
transfere do objeto.
Exemplo: Na década 1950, Paul Anderson tornou-se legendário por levantar cargas tremendamente
pesadas. Um de seus levantamentos permanece um recorde: Anderson posicionou-se abaixo de uma
plataforma de madeira reforçada, colocou suas mãos em um apoio e então empurrou a plataforma para
cima com suas costas, levantando-a por uma distância de aproximadamente 1,0cm. Sobre a plataforma
ainda estavam peças automotivas e um cofre com peças de chumbo, com um peso total de 27900N.
(a) Neste levantamento realizado por Anderson, que trabalho foi realizado sobre a carga pela força

gravitacional Fg ?
(b) Que trabalho foi realizado pela força que Anderson aplicou para fazer o levantamento?
2.5 Força Elástica – Lei de Hooke

A força Fm de uma mola é


Fm  kd ,
(18)

em que d é o deslocamento da extremidade livre da mola a partir de sua posição quando a mola está em
seu estado relaxado (nem comprimida nem alongada) e k é a constante elástica (uma medida da rigidez da
mola).
Se um eixo x é traçado ao longo do comprimento da mola, com sua origem na posição da
extremidade livre da mola quando ela está em seus estado relaxado, a equação anterior pode ser escrita
como
Fx  kx .
(19)
Uma força elástica é, portanto, uma força variável: ela varia com o deslocamento da extremidade
livre da mola.
2.6 Trabalho realizado por uma Força Elástica
Se um objeto está preso à extremidade livre da mola, o trabalho W m realizado sobre o objeto pela
força elástica quando o objeto se desloca de uma posição inicial x i para uma posição final x f é
Wm 


1
k xi2  x 2f .
2
(20)
14
Exemplo: Um bloco está sobre um piso sem atrito, preso à extremidade livre de uma mola como no
esquema da figura abaixo. Uma força aplicada para a direita de módulo Fa  4,9 N seria necessária para
segurar o bloco em x1  12 mm.
(a) Que trabalho é realizado sobre o bloco pela força elástica se o
mesmo for puxado para a direita de x 0  0 até x 2  17 mm?
(b) Em seguida, o bloco é deslocado para a esquerda até
x3  12 mm. Que trabalho a força elástica realiza sobre o bloco
neste deslocamento?
2.7 Potência
A potência devida a uma força é a taxa com a qual a força realiza trabalho sobre um objeto. Se a
força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo  t , a potência média devida à força neste intervalo
de tempo é
Pmed 
W
.
t
(21)
A potência instantânea é a taxa instantânea com que o trabalho está sendo realizado:
P

dW
.
dt
(22)
Se o sentido de uma força F está em um ângulo  em relação à velocidade do objeto, a potência
instantânea é

P  F v cos   F v ,
(23)

em que v é a velocidade instantânea do objeto.
A unidade do SI para potência é o joule por segundo. Essa unidade é usada tão freqüentemente que
tem um nome especial, o watt (W).


Exemplo: A figura abaixo mostra as forças constantes F1 e F2 atuando sobre uma caixa quando esta


escorrega para a direita sobre um piso sem atrito. A força F1 é horizontal, com módulo 2,0N; a força F2
está inclinada para cima de um ângulo de 600 em relação ao piso e tem um módulo de 4,0N. O módulo da
velocidade v da caixa em um certo instante é 3m/s.
(a) Qual é a potência associada a cada força que atua sobre a caixa nesse instante, e qual é a potência
resultante? A potência resultante está variando nesse instante?

(b) Se o módulo F2 for 6,0 N, qual é a potência resultante? Ela muda?
15
Exercícios
20. Se um foguete Saturno V e uma espaçonave Apollo acoplada a ele tinham uma massa combinada de
2,9x105kg, qual era a energia cinética quando atingiram uma velocidade de 11,2km/s?
21. Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai.
Aumentando sua velocidade em 1,0m/s, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho. Quais são
os módulos das velocidades iniciais
(a) do pai; e
(b) do filho?
22. Para empurrar um engradado de 52 kg sobre um assoalho, um trabalhador aplica uma força de 190N,
inclinada de 22º para baixo da horizontal. Quando o engradado percorrer 3,3 m, quanto trabalho terá
sido realizado sobre o engradado:
(a) pelo trabalhador;
(b) pela força da gravidade; e
(c) pela força normal do assoalho sobre o engradado?
23. Uma moeda desliza sobre um plano sem atrito através de um sistema de coordenadas xy, da origem até
o ponto de coordenadas (3,0m, 4,0m) enquanto uma força constante atua sobre a mesma. A força tem
módulo de 2,0N e está dirigida em um ângulo de 1000 no sentido anti-horário em relação ao sentido
positivo do eixo x. Qual o trabalho realizado pela força sobre a moeda nesse deslocamento?
24. A figura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se move para a esquerda por 3,0m sobre um
piso sem atrito. Os módulos das forças são F1 = 5,0N, F2 = 9,0N e F3 = 3,0N, e o ângulo indicado é  =
600. Neste deslocamento,
(a) qual é o trabalho resultante realizado sobre o baú pelas três forças?
(b) a energia cinética do baú aumenta ou diminui?
25. Um caixote de 15kg carregado com queijo e inicialmente em repouso é puxado através de um cabo por
uma distância d = 5,7m para cima ao longo de uma rampa sem atrito até uma altura h de 2,5m, onde
ele pára (vide figura abaixo).
(a) Que trabalho Wg é realizado sobre o caixote pela força gravitacional

Fg neste levantamento?

(b) Que trabalho WT foi realizado sobre o caixote pela força T exercida pelo cabo neste levantamento?
16
26. Uma cabine de elevador de massa m = 500kg está descendo com velocidade vi = 4,0m/s quando seu
cabo de sustentação começa a escorregar, permitindo que a cabine caia com aceleração constante
 
a  g / 5 (vide figura abaixo).
(a) Numa queda de uma distância d = 12m, qual é o trabalho Wg realizado sobre a cabine pela força
gravitacional?

(b) Na queda de 12m, qual é o trabalho WT realizado sobre a cabine pela força T , para cima, exercida
pelo cabo?
(c) Qual é o trabalho resultante W realizado sobre a cabine na queda em questão?
(d) Qual é a energia cinética da cabine ao final da queda de 12m?
27. Na figura abaixo, um pote de massa m = 0,40kg desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com
velocidade v = 0,5m/s. O pote então colide e comprime uma mola de constante elástica k = 750N/m.
No instante em que o pote pára devido à ação da mola, de que distância d a mola está comprimida?
28. Um bloco de 100kg é puxado com velocidade constante de 5,0m/s através de um piso por uma força de
122N dirigida em um ângulo de 370 acima da horizontal. Qual é a taxa com que a força realiza trabalho
sobre o bloco?
29. Uma força de 5,0N atua sobre um corpo de 15kg inicialmente em repouso.
(a) Calcule o trabalho realizado pela força no primeiro, segundo e no terceiro segundos;
(b) Calcule a potência instantânea da força no fim do terceiro segundo.
Respostas:
20. 1,8x1013
21. (a) 2,4m/s
22. (a) 580J
(b) 4,8m/s
(b) -630J
(c) zero
23. 4. 6,8J
24. (a) 1,5J
25. (a) -368J
(b) aumenta
(b) 368J
4
26. (a) 5,88x10 J
(b) -4,7x104 J
(c) 1,18x104 J
(d) 1,58x104 J
27. 1,2x10-2m
28. 4,9x102W
29. (a) 0,83J; 2,5J; 4,2J (b) 5,0W
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3. Energia Potencial e Conservação da Energia
3.1 Forças Conservativas
Uma força é uma força conservativa se o trabalho que ela realiza sobre uma partícula que se move
ao longo de qualquer percurso fechado, partindo de um ponto inicial e depois retornando a esse mesmo
ponto, for nulo. Equivalentemente, uma força é conservativa se o trabalho resultante que ela realiza sobre
uma partícula que se move entre dois pontos não depende do caminho seguido pela partícula. A força
gravitacional e a força elástica são forças conservativas; a força de atrito cinético é uma força nãoconservativa.
3.2 Energia Potencial
Uma energia potencial é a energia que está associada com a configuração de um sistema no qual
atua uma força conservativa. Quando a força conservativa realiza trabalho W sobre uma partícula dentro do
sistema, a variação U na energia potencial do sistema é
U  W .
(24)
Se a partícula se move do ponto x i para o ponto x f , a variação na energia potencial do sistema é
U  

xf
xi
F x  dx .
(25)
3.3 Energia Potencial Gravitacional
A energia potencial associada com um sistema formado pela Terra e por uma partícula próxima é a
energia potencial gravitacional. Se a partícula se move da altura y i para a altura y f , a variação na energia
potencial gravitacional do sistema partícula-Terra é


U  mg y f  yi  mg y .
(26)
Se o ponto de referência da partícula é escolhido como y i  0 e a energia potencial correspondente
do sistema é escolhida como U i  0 , então a energia potencial gravitacional U quando a partícula está em
qualquer altura y é
U y  m g y .
(27)
3.4 Energia Potencial Elástica
A energia potencial elástica é a energia associada com o estado de compressão ou alongamento de
um objeto estático. Para uma mola que exerce uma força elástica F   kx quando sua extremidade se
desloca de x, a energia potencial elástica é
U x  
1 2
kx .
2
(28)
A configuração de referência corresponde à mola na sua posição não deformada, na qual x = 0 e U = 0.
Energia Potencial Mecânica
A energia mecânica E mec de um sistema é a soma de sua energia cinética K com sua energia
potencial U:
E mec  K  U .
(29)
Um sistema isolado é um sistema no qual nenhuma força externa causa variações de energia. Se
apenas forças conservativas realizam trabalho dentro de um sistema isolado, então a energia mecânica do
sistema não pode variar. Este princípio de conservação da energia mecânica do sistema é escrito
como
K 2  U 2  K1  U 1 ,
(30)
18
na qual o subscrito se refere a diferentes instantes durante um processo de transferência de energia. Este
princípio de conservação pode também ser escrito como
E mec  K  U ,
(31)
Exemplo: Uma preguiça de 2,0kg está pendurada a 5,0m acima do solo (figura abaixo).
(a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça-Terra se tomarmos o ponto de referência
y = 0 como estando (1) no nível do solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0m acima do solo, (3) no
galho e (4) 1,0m acima do galho? Considere a energia potencial nula em y = 0.
(b) A preguiça cai da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação U na energia
potencial do sistema preguiça-Terra devida à queda?
Exemplo: Na figura abaixo, uma criança de massa m parte do repouso no topo de um toboágua, a uma
altura h = 8,5m acima de sua base. Supondo que o atrito é desprezível devido a presença da água, encontre
a velocidade da criança na base do toboágua.
Exercícios
30. Num ponto A, um corpo armazena uma energia potencial de 20J. Passando para o ponto B, sua energia
potencial passa a valer 52J.
(a) O trabalho das forças conservativas teve que valor?
(b) O movimento do corpo foi espontâneo ou forçado?
(c) Se o corpo tivesse seguido outra trajetória até B, o trabalho das forças conservativas teria sido
diferente? Por quê?
19
31. Um corpo de massa igual a 40kg parte do repouso e cai de uma altura igual a 100m em relação ao solo.
Qual o trabalho do peso, desde o instante em que cai até atingir o solo?
32. Numa mola atua uma força elástica onde k = 150N/m. O comprimento da mola passa então de 2,5cm
para 2,0cm. Por efeito dessa deformação, qual é o aumento de energia potencial acumulada na mola?
33. Na figura dada, um carro de montanha-russa de massa m = 825kg atinge o topo da primeira elevação
com uma velocidade v0 = 17m/s a uma altura h = 42m. O atrito é desprezível. Qual é o trabalho
realizado sobre o carro pela força gravitacional desse ponto para
(a) o ponto A?
(b) o ponto B?
(c) o ponto C?
Se a energia potencial gravitacional do sistema carro-Terra for tomada como nula em C, qual será seu
valor quando o carro estiver
(d) em B?
(e) em A?
34. Se a massa do carro do exercício anterior fosse dobrada, a variação da energia potencial do sistema
entre os pontos A e B aumentaria, diminuiria ou permaneceria a mesma?
35. Considerando ainda o problema 14, calcule a velocidade do carro:
(a) no ponto A;
(b) no ponto B;
(c) no ponto C.
(d) Que altura o carro alcançará na última elevação, que é alta demais para ele cruzar?
36. Se substituíssemos o carro no exercício 14 por um segundo carro com o dobro da massa, quais seriam
então as respostas correspondentes aos itens (a) a (d) do exercício anterior (ex. 16)?
Respostas:
30. (a) -32J
(b) Forçado
4
31. 3,9x10 J
32. 1,875x10-3J
33. (a) 0 (b) 170KJ
(c) 340KJ
(d) 170KJ
(e) 340KJ
34. aumentaria
35. (a) 17m/s
(b) 26,5m/s
(c) 33,4m/s
(d) 56,7m
36. todas as mesmas
20