Turma

Escola Secundária de Caneças
12ºAno
1º Teste de Avaliação de Matemática E
Nov. 2004
Nome _________________________________________N º _______ Turma _____
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de
efectuar e todas as justificações que entender necessárias, incluindo para as questões de
escolha múltipla.
1 Uma caixa contém lâmpadas: 4 de 60W, 3 de 40W e 3 de 75W. Aparentemente, as lâmpadas
são todas iguais. Retira-se uma lâmpada da caixa.
(12) 1.1 Qual a probabilidade de que ela não seja de 60W?
(12) 1.2 Qual a probabilidade de a lâmpada ter potência inferior a 75W?
2 - De uma urna com 12 bolas, 5 amarelas e 7 pretas, retira-se uma bola e, sem a repor, retira-se
uma outra.
(12) 2.1 Qual é a probabilidade de a primeira ser amarela e a segunda verde?
(16) 2.2 Qual é a probabilidade de as duas serem de cor diferente?
3. Sejam A e B dois acontecimentos incompatíveis tais que P A  B  
Determine:
(14) 3.1 P A  B
(12) 3.2 PB  .

5
1
e P  A  .
2
6

(14) 4. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto subconjuntos de S ).
P A  B  1  P( A)  P( B)  P A  B 
Prove que:


(14) 5-A Ana e o Miguel estão estão a jogar, respectivamente, com dois dados diferentes: um
tetraedo com as faces numeradas de 1 a 4 e um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8 .
Lançam os dados e somam os números que saírem.
Se a soma obtida for 2, 3, 4, 5, 10 ou 11 ganha a Ana.
Se a soma obtida for 6, 7, 8, 9 ou 12 ganha o Miguel.
Qual é o que tem maior probabilidade de ganhar?
6. Numa prateleira de uma estante pretende-se colocar 5 livros de Biologia , 3 de Português e 4
de Matemática.
De quantos modos se podem arrumar os livros se
(15) 6.1 os livros da mesma disciplina ficarem todos juntos?
(15)6.2 os livros de Biologia e Português ficarem de qualquer modo e os de Matemática juntos?
(14) 7. Houve um atropelamento e o motorista fugiu.
Ouvidas as testemunhas, chegou-se às seguintes opiniões comuns:
A parte literal da chapa, tem duas letras, aparece no início e é formada por uma vogal seguida de
uma consoante (considere que o alfabeto tem 23 letras);
A parte numérica consta de quatro algarismos diferentes, é um número ímpar e o 3º algarismo é
zero. Quantas são as chapas suspeitas?
(A) 5880
(B) 14700
(C) 25200
(D) 37800
V.S.F.F.
(10) 8. Abre-se, ao acaso, um livro ficando à vista duas páginas numeradas.
A probabilidade de a soma dos números dessas páginas ser par é:
1
1
(A) 1
(B)
(C)
(D) 0
2
3
(16) 9. Uma turma tem 26 alunos: dezasseis raparigas e dez rapazes. O Pedro, delegado de
turma, pretende arranjar quatro colegas de turma para com eles formar uma comissão de 5
elementos, com a finalidade de organizarem a viagem de finalistas.
De quantas maneiras diferentes pode o Pedro escolher os quatro colegas se a comissão tiver
pelo menos duas raparigas.
(14) 10. Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxyz :
 Uma circunferência de raio 1, centrada no ponto 0, 1, 1  e
contida no plano yOz
o ponto A0, 2, 1 
 o ponto B, pertencente ao semieixo positivo Ox
Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre
essa circunferência, dando um volta completa, no sentido
indicado na figura.
Para cada posição do ponto P, seja  a amplitude em
radianos do arco AP (   0, 2  e seja d   a distância de
P ao ponto B.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d ?
Elabore uma pequena composição fundamentando a sua opção.
(10) 10. Na figura está representada parte do gráfico de
uma função f , polinomial do terceiro grau.
2 é um máximo relativo da função f .
Seja h a função de domínio IR definida por
hx  f x  2 .
Quantos são os zeros de h ?
Justifique a sua opção. Pode enriquecer a sua
explicação com o traçado de um ou mais gráficos.
Boa sorte
[email protected]
12º B
Proposta de resolução do 1º Teste E
Out. 2004
1. Há 10 lâmpadas e 4 são de 60 W.
1.1 Pnão ser de 60W  
6 3

10 5
1.2 Seja B:” lâmpada ter potência inferior a 75W” isto é” a lâmpada é de 60W ou de 40W”
Como há 4 de 60W, 3 de 40W então PB  
2.
5 amarelas
12 bolas 
 7 pretas
7
10
sem reposição
2.1 P(primeira ser amarela e a segunda verde)
5 0
 0
12 11
2.2 P(as duas serem da mesma cor) = P(serem as duas amarelas ou as duas pretas)
=
5 4 7 6
62 31
   

12 11 12 11 132 66
P(as duas serem de cor diferente) = 1 - P (as duas serem da mesma cor)  1 
31 35

66 66
Outro processo:
Para serem de cor diferente é necessário que a primeira seja amarela e a segunda preta ou primeira seja
preta e a segunda amarela .
P(as duas serem de cor diferente) 
5 7 7 5
70 35
   

12 11 12 11 132 66
3.1 A e B dois acontecimentos incompatíveis tais que P A  B  
5
1
e P  A 
2
6
Sendo A e B dois acontecimentos incompatíveis então P A  B  0 e P A  B  P A  PB
 


logo P A  B  P A  B  1  P A  B   1  0  1
3.2Se P A  B  P A  PB então
5 1
5 1
1
  P B     P B   P B   .
6 2
6 2
3
 
 PA  B   1  P( A)  P( B)  P A  B 
4- P A  B  1  P( A)  P( B)  P A  B 
pela leis de De Morgan
 1  P A  B  1  P( A)  P( B)  P A  B pelo da probabilidade do acontecimento contrário
 1  P A  PB  P A  B  1  P( A)  P( B)  P A  B Prb. da reunião de dois aconteci.
C.Q.D.
 1  P( A)  P( B)  P A  B  1  P( A)  P( B)  P A  B
5. Se a soma obtida for 2, 3, 4, 5, 10 ou 11 ganha a Ana.
Se a soma obtida for 6, 7, 8, 9 ou 12 ganha o Miguel.
+
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
7
8
9
10
11
8
9
10
11
12
Há 32 casos possíveis dos quais 15 são favoráveis à Ana (a negrito na tabela) e 17 são favoráveis ao
Miguel, assim P(Ana ganhar) =
15
17
e P(Miguel ganhar) =
.
32
32
O Miguel tem maior probabilidade de ganhar.
6 - 5 livros de Biologia , 3 de Português e 4 de Matemática.
6.1 Os três conjuntos de livros podem permutar entre si de 6 modos diferentes (3!)
Para cada uma destes modos, os livros de cada uma das disciplinas também podem permutar entre si. Os
de Biologia de 5! modos diferentes, os de Português de 3! e os de Matemática de 4!.
O número pedido é portanto 3!5!4!3! 6 120  24  6  103 680
Mat
6.2 Os de Matemática podem ficar juntos de 9 modos diferentes
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Mat
Para cada um destes modos quer os livros de Matemática quer os restentes 8 livros podem trocar entre si.
O número pedido é portanto 9  4!8! 9  24  40320  8 709120 .(ou 9!4! 8 709120 )
7- Atendendo a que parte literal da chapa, tem duas letras e é formada por uma vogal das 5 vogais,
seguida de uma das 23-5 consoantes então existem 5  18 formas diferentes possíveis.
A parte numérica consta de quatro algarismos diferentes, é um número ímpar e o 3º algarismo é zero; isto
significa que o último algarismo é 1, 3, 5, 7,ou 9 (5 possibilidades) e como o terceiro é zero, então para o
primeiro existem apenas 8 possibilidades pois como os algarismos são todos diferentes não pode incluir nem
0 nem o o algarismo ímpar que figura na última posição; finalmente para a segunda posição existem apenas
7 possibilidades
8  7 1 5  280
Logo existem 5 18  280 chapas suspeitas, isto é 25 200
R: C
8- Quando se abre um livro de modo que fiquem à vista duas páginas numeradas, uma delas é par e outra
é ímpar e, como a soma de um número par com um número ímpar é sempre ímpar, o acontecimento
“sair soma par” é ímpossível, logo a sua probabilidade é nula.
D
9. A turma tem 26 alunos: dezasseis raparigas e dez rapazes.
Para completar a comissão com 4 pessoas de modo a ter pelo menos duas raparigas terão de ser:
2 raparigas e dois rapazes ou 3 raparigas e um rapaz ou 4 raparigas.
Logo são 16C2 9 C2 16C3 9 C1 16C4 = 120  36 + 560  9 + 1820 = 4320 + 5040 + 1820 =11 180
10. A distância começa por aumentar será máxima pouco depois do início do percurso quando o ponto
estiver no intersecção mais á direita da recta que contém O e o ponto B.
Desta forma não são aceitáveis os gráficos A e C; o primeiro porque considera que a distância é
constante e o segundo porque sugere que essa distância diminui na fase inicial.
Por outro lado se o ponto dá uma volta completa á circunferência e inicia o percurso em A, também
termina o mesmo em A, logo a distância a B terá que ser igual no instante 0 e no instante final. O gráfico
correcto é o D
11. O gráfico de h ,representado na figura ao lado obteve-se a
partir do de f deslocando-o duas unidades para baixo,
logo h tem apenas dois zeros (um é 4 e o outro é inferior a 4 )