Funções Lineares

1
FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE ITUVERAVA
ADMINISTRAÇÃO EM GESTÃO DE NEGÓCIOS – 8º SEMESTRE/2007
DATA: 07/08/2007
PROF. GLAUBER
Pesquisa Operacional
Apresentação
A Pesquisa Operacional como a conhecemos surgiu durante a Segunda Guerra
Mundial, resultado de estudos realizados por equipes interdisciplinares de cientistas
contratados para resolver problemas militares de ordem estratégica e tática.
Sem dúvida nenhuma, o mundo mergulhou profundamente na Era do
Conhecimento, graças a inteligência, às idéias e a criatividade do ser humano.
Na área negocial, buscam-se modelos de atividades e comportamentos
necessários ao fortalecimento da empresa, voltados a oferecer integral satisfação a seus
proprietários, trabalhadores, fornecedores e consumidores.
A disputa pela conquista de maiores fatias do mercado consumidor, o
enfrentamento da concorrência, o volume de investimentos e sua adequada
remuneração, qualidade do serviço ou do produto, a melhoria do ambiente social
tornaram-se desafios constantes em todos os ramos da atividade humana. Maximizar
resultados e minimizar dispêndios, eis a tarefa dedicada a todos que lidam com a
Pesquisa Operacional.
1- Conceito
Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de
problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de
outras áreas científicas para concepção, planejamento ou operação de sistemas para
atingir seu objetivo.
2- Fases de um estudo em Pesquisa Operacional
Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases:






formulação do problema;
construção do modelo do sistema;
cálculo da solução através do modelo;
teste do modelo e da solução;
estabelecimento de controles da solução;
implantação e acompanhamento;
que podem ser descritas como segue:
Formulação do problema – Nesta fase, o administrador do sistema e o responsável
pelo estudo em P.O. deverão discutir, para colocar o problema de maneira clara e
coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos
para que isso ocorra.
2
Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as relações desse
sistema com outros da empresa ou do ambiente externo, com a finalidade de criticar a
validade de possíveis soluções em face destes obstáculos.
Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o sistema que permita ao
administrador ordenar as soluções encontradas, concluindo o processo decisório.
Construção do modelo do sistema – Os modelos que interessam em Pesquisa
Operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de
equações e inequações.
Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada
solução proposta. É a função objetivo ou função de eficiência. As outras equações
geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que
compõem as equações são de dois tipos:
- Variáveis controladas ou de decisão – são variáveis cujo valor está sob controle do
administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas
variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a
quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar.
- Variáveis não controladas – são as variáveis cujos valores são arbitrados por
sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos,
preço de mercado são variáveis não controladas.
Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do
desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é
variável, dependendo do objetivo proposto. Um bom modelo para um objetivo pode ser
péssimo para outro. A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora
características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua
complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custobenefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo.
- Cálculo da solução através do modelo – É feito através de técnicas matemáticas
específicas. A construção do modelo deve levar em consideração a disponibilidade de
uma técnica para o cálculo da solução.
- Teste do modelo e da solução - Esse teste é realizado com dados empíricos do
sistema. Se houver dados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando um
desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado no sistema. Se o desvio
verificado não for aceitável, a reformulação ou mesmo o abandono do modelo será
inevitável. Caso não haja dados históricos, os dados empíricos serão anotados com o
sistema funcionando sem interferência, até que o teste possa ser realizado.
- Estabelecimento de controles da solução - A construção e experimentação com o
modelo identificam parâmetros fundamentais para solução do problema. Qualquer
mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução
adotada. Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de
nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.
- Implementação e acompanhamento – Nesta fase, a solução será apresentada ao
administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. O uso da linguagem
do sistema em estudo facilita a compreensão e gera boa vontade para a implantação que
3
está sendo sugerida. Essa implantação deve ser acompanhada para se observar o
comportamento do sistema com a solução adotada. Algum ajuste pode ser requerido.
COMPLEMENTO DE ÁLGEBRA LINEAR
Uma das mais usadas estruturas algébricas é sem dúvida a matriz. Sua utilização
nas mais variadas formulações matemáticas permite a simplificação não só da parte
teórica, mas também das próprias aplicações. A resolução de Sistemas Lineares está
nesse caso. Na definição e resolução desses sistemas, a forma matricial está sempre
presente, seja na esquematização dos métodos diretos, seja no estudo da convergência
dos métodos iterativos.
Sistemas Lineares
Um sistema linear é a reunião de equações algébricas lineares, que devem ser
resolvidas simultaneamente, isto é, deve haver uma solução única que satisfaça a todas
as equações ao mesmo tempo.
x  y  z  3

Exemplo:  y  z  5
x  y
3

Esse é um sistema de três equações e três incógnitas, cuja solução é x = -2, y = 5 e
z = 0, isto é, esses valores satisfazem as três equações simultaneamente. A solução de
um sistema é, portanto, a solução comum a todas as equações.
Resolva você:
1- Dê o conjunto solução do sistema linear:
 x y z  6

 x  2 y  2 z  11
3x  2 y  z  10

S = {(1,2,3)}
4
2- Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega
cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas
pela matriz:
Matriz
Tipo I Tipo II Tipo III
Recipiente A
4
3
2
Recipiente B
5
2
3
Recipiente C
2
2
3
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a
companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 containers do tipo II e 33
containers do tipo III. A montagem do sistema linear fica na forma:
4x1 + 5x2 + 2x3 = 42
3x1 + 2x2 + 2x3 = 27
2x1 + 3x2 + 3x3 = 33
A resolução do sistema linear indicará o número de containers de cada tipo.
R: A companhia necessitará de 3 containers para o tipo 1; 4 containers para o tipo
2, e 5 containers para o tipo 3.
5
CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM
1- Programação Linear
Objetivos do aprendizado
 compreender os fundamentos de Programação Linear (PL);
 entender o processo de resolução dos problemas de PL com emprego dos métodos
gráfico, matricial, simplex e computacional;
 reconhecer situações nas áreas de Controladoria e Finanças passíveis de aplicação de
PL;
 resolver problemas de PL e efetuar a análise dos resultados encontrados.
INTRODUÇÃO
Diversas decisões tomadas no dia-a-dia das empresas dizem respeito a qual
combinação de recursos produz o resultado ótimo, como: Qual deve ser o mix de
produtos a serem fabricados de forma a atingir a maior margem de contribuição total?
Qual a combinação de investimentos que maximiza o retorno de uma carteira? Qual
composição de insumos em uma mistura corresponde ao custo mínimo?
As empresas utilizam recursos para produzir bens e serviços. Os recursos são
escassos. Daí por que, ao buscarem otimizar a alocação dos recursos, visando produzir o
melhor resultado, as empresas devem levar em conta as limitações ou restrições
existentes.
A Programação Linear é um dos mais importantes instrumentos do campo da
Pesquisa Operacional – área do conhecimento que fornece um conjunto de
procedimentos voltados para tratar problemas que envolvem a escassez de recursos. São
passíveis de solução com o emprego de P.L. os problemas nos quais se busca a melhor
alocação de recursos, de forma a atingir determinado objetivo de otimização, atendendo
a determinadas restrições. Essas limitações podem referir-se ao montante ou à forma de
distribuição dos recursos.
Diversos tipos de problemas em Contabilidade e Finanças podem ser modelados
para resolução com aplicação de Programação Linear, tais como: decisões de
investimento, fluxos de caixa, orçamentos de capital, mix de produção, organização de
transportes, políticas de estoques, etc.
Como o próprio nome indica, as relações matemáticas dos problemas de P.L.
devem se lineares. Embora muitos dos problemas do mundo de negócios tenham um
comportamento de não-linearidade, é certo afirmar que muitos deles podem ser tratados
com emprego da Programação Linear, com razoável nível de aproximação.
Enfim, a Programação Linear é uma técnica de planejamento considerada como
um das mais poderosas e capazes de produzir resultados expressivos em quase todo
ramo da atividade humana, pois o rápido avanço dos computadores fez com que a
Programação Linear passasse a ser utilizada como ferramenta de gestão empresarial.
Seus benefícios são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição
dos custos e aumento dos lucros.
Seja qual for o algoritmo, a formulação do problema a ser resolvido por
programação linear segue alguns passos básicos, tais como:
6
a) deve ser definido o objetivo básico do problema – que a princípio deve ser único –
com respeito à otimização a ser perseguida. Por exemplo: maximização de lucro, ou de
eficiência, ou de bem-estar social; minimização de custos, ou de tempos, ou de perdas, e
assim por diante. Tal objetivo será assim representado por uma função objetivo, a ser
maximizada ou minimizada;
b) para que essa função objetivo possa ser matematicamente especificada, as
alternativas possíveis para a ocorrência de tal otimização – as chamadas variáveis de
decisão envolvidas – deverão ser definidas. Por exemplo, os tipos de cultura e/ou área a
serem explorados; os alimentos candidatos a fazer parte da formulação de ração, as
classes de investimento à disposição de um tomador de decisão, etc. Normalmente,
assume-se que todas essas variáveis possam assumir somente valores positivos;
c) tais variáveis podem estar sujeitas a uma série de limitações – também conhecidas
como restrições do problema -, normalmente representadas por inequações. Por
exemplo, limitações referentes à área total disponível, às exigências nutricionais para
determinado rebanho, à disponibilidade de capital e de mão-de-obra, etc.
2- Estruturação de modelos lineares
Tome-se como referência a seguinte situação:
“ Um determinado produtor rural possui duas fazendas, Morro Branco e Riacho Seco,
onde deseja plantar soja e trigo. Devido às condições de solo específicas, o lucro anual
esperado para a soja é de R$ 4,00/ha (hectare) na Morro Branco e de R$ 6,00/ha
(hectare) na Riacho Seco; e o lucro anual previsto para o trigo é de R$ 8,00/ha
(hectare) na Morro Branco e de R$ 4,00/ha (hectare)na Riacho Seco. Sabe-se ainda
que: a área de soja a ser plantada na Morro Branco deve ter a mesma dimensão da
área plantada de soja do Riacho Seco; a área de trigo plantado na Riacho Seco deve
ter a mesma dimensão da área plantada de trigo da Morro Branco; o lucro anual total
da Morro Branco e da Riacho Seco deve ser R$ 160,00 e R$ 120,00, respectivamente;
as fazendas têm área suficiente para atender aos anseios do produtor.”
7
Para determinar as áreas de soja e trigo a serem cultivadas em cada uma das fazendas,
tal situação pode ser facilmente apresentada por um sistema de equações lineares, com a
seguintes incógnitas:
x1 = número de hectares de soja a serem plantados em cada fazenda;
x 2 = número de hectares de trigo a serem plantados em cada fazenda.
O sistema propriamente dito pode ser então representado por:
4.x1  8.x2  160

6.x1  4.x2  120
 x1  10
 
 x2  15
Métodos algébricos e gráficos
a) Método da Adição
b) Sistema Linear / Regra de Crammer
c) Gráfico
Como as duas equações são lineares, com duas incógnitas, elas podem ser
representadas geometricamente por duas retas. A intersecção entre elas dará a solução
ao problema.
4.x1  8.x2  160 (1)

6.x1  4.x2  120 (2)
Para plotar cada uma delas, bastam dois pontos. Os mais fáceis são aqueles sobre os
eixos das abscissas e ordenadas.
8
 x  0, x2  20
Assim, para a equação (1):  1
 x2  0, x1  40
 x  0, x2  30
para a equação (2):  1
 x2  0, x1  20
Graficamente, temos:
Solução por método gráfico de sistema de duas equações lineares
A maioria dos modelos diz respeito a sistemas de equações, ou inequações lineares, a
partir dos quais deve ser obtida a solução ótima (máximo ou mínimo) para o problema.
Portanto, é de fundamental importância que tais sistemas de equações, ou inequações,
possam ser resolvidos pelo modelador.
Método Simplex
Até então, os métodos apresentados são extremamente eficientes para a resolução de
sistemas de equações lineares. Entretanto, como poderemos observar, normalmente as
restrições a um problema são representadas por inequações. Ainda há a questão da
função objetivo: como ela deve ser tratada, para que se chegue à solução ótima do
problema? Para responder a esse questionamento, o algoritmo Simplex, e posteriormente
os algoritmos de pontos interiores, foram desenvolvidos, tendo como base as premissas
de Gauss-Jordan. Assim, recomenda-se a utilização de software especializado para
programação linear.
2- Formulação de modelos:
Antes de entrar no mérito da resolução de problemas por programação linear, atenção
especial deve ser dispensada ao esforço de modelagem em si. Dado um determinado
problema, o modelador, em função de seu nível de abstração e de experiência vivida,
terá uma maior ou menor facilidade para a representação de objetivos, alternativas e
restrições, por meio de equações e inequações.
Exemplos:
1- Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de
produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção.
A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais
produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas
que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir:
9
Tipo de máquina
A
B
C
Tempo disponível
(horas de máquina)
500
350
150
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é
conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade),
conforme representado a seguir:
Tipo de máquina
A
B
C
Produto 1
9
5
3
Produto 2
3
4
0
Produto 3
5
0
2
O lucro unitário estimado é de R$ 30,00, R$ 12,00 e R$ 15,00, respectivamente, para os
produtos 1, 2 e 3. Determine a quantidade de cada produto que a firma deve produzir
para maximizar seu lucro (adaptado de HILLIER e LIEBERMAN, 1988).
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  quantidade a ser produzida do produto 1 (x1)
 quantidade a ser produzida do produto 2 (x2)
 quantidade a ser produzida do produto 3 (x3)
 tempo disponível de cada máquina (A, B e C)
Restrições:
A estrutura matemática correspondente pode ser expressa como:
Max Z  30.x1  12.x2  15.x3
9 x1  3x2  5 x3  500

sujeito a 5 x1  4 x2
 350
3x 
2 x3  150
 1
A solução ótima é x1  0, x2  87,5, x3  47,5 e Z  R$ 1.762,50 .
2- Uma fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que
proporcionam lucros unitários da ordem de R$ 16,00, R$ 30,00 e R$ 50,00,
respectivamente. As exigências de produção mínimas mensais são de 20 para o modelo
A, 120 para o modelo B e 60 para o modelo C.
Cada tipo de implemento requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das
partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. Especificamente, uma
dúzia de unidades do modelo A requer três horas para fabricar, quatro horas para montar
e uma para testar. Os números correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo
B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma dúzia de unidades do modelo C, são 5, 8 e 3. Durante o
próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de
montagem e 48 horas de testes de qualidade.
10
Formule o problema de programação de produção como um modelo de programação
linear (adaptado de WAGNER, 1986).
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  produção do modelo A (x1)
 produção do modelo B (x2)
 produção do modelo C (x3)
Restrições:
 exigências mínimas de produção de A, B e C
 tempos para fabricar, montar e testar os modelos A, B e C
A estrutura matemática correspondente pode ser expressa como:
Max Z  16.x1  30.x2  50.x3
x1  20


x 2  120


x3  60
sujeito a 
3x1  3,5 x 2  5 x3  1440
4 x1  5 x 2  8 x3  1920

1x1  1,5 x 2  3x3  576
A solução ótima é x1  20, x2  250,67, x3  60 e Z  R$ 10.840,00 .
3- Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se
fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1
unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de
couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de R$ 5,00 e o do cinto é de
R$ 2,00, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é
maximizar seu lucro por hora.
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  número de sapatos por hora (x1)
 número de cintos por hora (x2)
Restrições:
 exigências mínimas para fabricação dos produtos
11
A representação matemática do modelo pode ser dada por:
Max Z  5.x1  2.x2
10.x1  12.x2  60

sujeito a 2.x1  x2  6
x , x  0
 1 2
A solução ótima é x1  30, x2  70 e Z  R$ 1.140,00 .
4- Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos
e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado,
verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, R$150,00 por
unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
Produto
Recurso R1 por
unidade
Recurso R2 por
unidade
Recurso R3 por
unidade
P1
2
3
5
P2
4
2
3
Disponibilidade de
recursos por mês
100
90
120
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa?
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  quantidade a produzir de M1 (x1)
 quantidade a produzir de M2 (x2)
Restrições:
 racionalização de produtos
 possibilidade de fabricação dos produtos P1 e P2
Estrutura matemática:
Max Z  4.x1  3.x2
12



sujeito a 



2.x1  x 2  1000
x1  x 2  800
x1  400
x 2  700
x1 , x 2  0
A solução ótima é x1  3000, x2  0, x3  620 e Z  R$ 8.480,00 .
3- Problema de Planejamento Agrícola
Uma das aplicações mais clássicas de programação linear diz respeito ao planejamento
agrícola, ou mais genericamente, planejamento agroindustrial.. Basicamente, o tomador
de decisão tem à sua disposição determinada área, certa disponibilidade de mão-de-obra
e capital, além de observar uma série de características tecnológicas e de capacidade
organizacional. Seu objetivo principal diz respeito à maximização de lucro, a partir das
opções de negócios (culturas agrícolas, plantéis de animais, papéis de investimento, etc)
disponíveis.
Exemplos:
1- Um produtor comprou uma propriedade com 500 ha (hectare) de pasto. Ele tem um
capital de 10.400 dólares para gastar na compra de gado ovino ou bovino. Os preços de
mercado, os lucros anuais estimados por animal e o número de hectares requeridos por
animal são dados na tabela apresenta a seguir. Determine a melhor combinação de
investimentos a ser perseguida (adaptado de DAELLEN-BACH, GEORGE e MCNICKLE, 1983).
Espécie de ovino
Carneiro Merino
Gado Hereford
Carneiro Romey
Preço de mercado
$ 7,00
$ 100,00
$ 10,00
Hectares por animal
1,0
3,0
0,5
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  ovino Merino (x1)
 gado Hereford (x2)
 ovino Romey (x3)
 capital
Restrições:
 área
Estrutura matemática:
Max Z  12.x1  40.x2  7.x3
7 x1  100 x2  10 x3  10.400
sujeito a 
 x1  3x2  0,5 x3  500
A solução ótima é x1  0, x2  0, x3  1000 e Z  $ 7.000,00 .
Lucro anual estimado
$ 12,00
$ 40,00
$ 7,00
13
2- O Governo Federal colocou 20 ha (hectare) de terras desmatadas à disposição de
produtores locais. Estimula-se que tal área seja utilizada para o plantio de soja e
algodão. Calcula-se que há 1200 homens-horas disponíveis durante o período de
semeadura; e que são necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 120 homenshoras por hectare de algodão. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6.000
(seis mil dólares), dividida da seguinte forma: $ 600,00 (seiscentos dólares) por hectare
de soja e $ 200,00 (duzentos dólares) por hectare de algodão. Como organizar essa área
de plantio se é sabido que as margens de lucro esperadas são $ 50,00 (cinqüenta dólares)
por hectare de soja e $ 25,00 (vinte e cinco dólares) por hectare de algodão?
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  produção de soja (x1)
 produção de algodão (x2)
 área
 disponibilidade de mão-de-obra
Restrições:
 crédito
Estrutura matemática:
Max Z  50.x1  25.x2
x2 
20
 x1 

sujeito a  20 x1  120 x 2  1.200
600 x  200 x  6.000
1
2

A solução ótima é x1  7,06, x2  8,82 e Z  $ 573,53 .
3- Uma família de fazendeiros possui 40 hectares de terra e tem R$ 30.000,00 em
fundos disponíveis para investimento. Seus membros podem produzir um total de 3500
homens-horas de trabalho durante os meses de inverno (meados de setembro a meados
de maio) e 4000 homens-horas durante o verão. Se não forem necessários todos esses
homens-horas, os membros mais jovens da família irão trabalhar numa fazenda vizinha,
onde receberão R$ 4,00/hora durante os meses de inverno e R$ 4,50/hora durante o
verão.
A receita da fazenda pode ser obtida de três plantações e dois tipos de criação: vacas
leiteiras e galinhas poedeiras. Para as plantações não são necessários quaisquer níveis de
investimento. Entretanto, para cada vaca será necessário um investimento de R$ 900,00,
e para cada galinha serão necessários R$ 7,00.
Para cada vaca será necessário 0,6 hectares de terra, 100 homens-horas de trabalho
durante os meses de inverno e 50 homens-horas durante o verão. Cada vaca produzirá
uma receita líquida anual de R$ 800,00 para a família. Os dados correspondentes por
galinha são: nenhum hectare, 0,6 homem-hora durante o inverno, 0,3 homem-hora
durante o verão e uma receita líquida anual de R$ 5,00. O galinheiro pode acomodar um
máximo de 3000 galinhas e o tamanho da fazenda limita o rebanho a um máximo de 32
vacas.
Os homens-horas e receita estimados por hectare plantado em cada uma das três
plantações são:
14
Cultura/Valores
Homens-horas no inverno
Homens-horas no verão
Receita líquida anual (R$)
Soja
50
125
937,5
Milho
87,5
187,5
1375
Aveia
25
100
625
A família deseja determinar quantos hectares deveriam ser cultivados para cada uma das
plantações e quantas vacas e galinhas deveriam ser mantidas para maximizar sua receita
líquida (HILLIER e LIEBERMAN, 1988).
Solução:
Objetivo: Maximização do lucro
Alternativas:  plantação de soja (x1)
 plantação de milho (x2)
 plantação de aveia (x3)
 criação de vacas (x4)
 criação de galinhas (x5)
 homens-hora alocados nos meses de inverno na fazenda vizinha (x6)
 homens-hora alocados nos meses de verão na fazenda vizinha (x7)
 mão-de-obra no inverno
Restrições:
 mão-de-obra no verão
 área total de terra
 investimentos iniciais para a criação de vacas e galinhas
 número máximo de vacas e galinhas
Estrutura matemática:
Max Z  937,5.x1  1375.x2  625.x3  800.x4  5.x5  4.x6  4,5.x7
x2 
x3  0,6 x 4

40
 x1 

900 x 4  7 x5
 30.000

 50 x1  87,5 x 2  25 x3  100 x 4  0,6 x5  x6  3.500
sujeito a 
125 x1  187,5 x 2  100 x3  50 x 4  0,3x5  x7  4.000

x4

32


x5
 3.000
A solução ótima é:
x1  22,5, x2  0, x3  0, x4  5,75, x5  3000, x6  0, x7  0 e Z  R$ 40.693,75 .
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
SILVA, E.M., GONÇALVES, V., SILVA, E.M. et al. Pesquisa Operacional para
Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas S/A, 1998.
FILHO, J.V.C., Pesquisa Operacional: Técnicas de otimização aplicada a Sistemas
Agroindustriais. São Paulo: Atlas S/A, 2004.
FIPECAFI/FEA/USP., Pesquisa Operacional para decisão em Contabilidade e
Administração. São Paulo: Atlas S/A, 2004.