Gabarito

Gabarito. Lista de exercicios 2.
1)
O barco produz 12 oscilações em 20 segundos, e decir que fara uma oscilação em
20s/12= 1.6s
Então o periodo é de
T=1.6s,
a frecuencia é o inverso do periodo
f=1/T=0.6 Hz
Uma crista demora 6 segundos em percorrer 12m. Então a velocidade da onda é:
v = 12m/6s= 2m/s
v 2m / s

 3.3m
f 0.6 Hz
b) Supondo as ondas em forma de circunferencia, é possivel escrever estas ondas
em coordenadas polares como:
a) Comprimento da onda: λ=v/f=  
Z (  )  A cos( k  t )
Onde : 2=x2+y2 , tan θ =y/x
2
=3.3

f
Sust. , w, e k:
k
2


θ
=0.6

Z ( x, y, t )  A cos 0.6 x 2  y 2  3.3t

2) Feito em aula (17/03/2006)
3)Feito em aula (17/03/2006)
4) f - frequência da onda em locomotiva ,
f´ - frequência da onda em observador
v – velocidade do som (340 m/s) u – velocidade do trem (72 km/h=20m/s)
a) É conhecido do efeito Doppler para uma fonte em movimento que a nova
frequência escutada será:


 1 
  f  v 
f f
u

vu
1 
v

susutituindo, obtemos:
f=531 Hz


 1 

No caso de afastamento, f   f 
u

1 
v

 v 
f
 = 472 Hz
vu
5)
f - frequência da onda em locomotiva ,
f´ - frequência da onda em observador
v – velocidade do som (340 m/s)
u – velocidade do trem (72 km/h=20m/s)
A onda A viaja hacia a montanha producida por uma fonte em movimento então a
onda refletida pela montanha tera uma frequencia


 1 
  f  v 
f f
u


vu
1 
v

Agora o observador no trem vai ao encontro da onda com uma velocidade u. Neste
caso a frecuencia que ele sente da onda será:
 u
vu
 v  v  u 
vu
f ´ f ´1    f ´
 f

 f
  563Hz
 v
 v 
 v  u  v 
vu
6) f - frequência da onda em locomotiva ,
f´ - frequência da onda em observador
v – velocidade do som (340 m/s)
u – velocidade do observador(15m/s),
V- do trem B (35m/s)
u= 15 m/s
A
V= 35 m/s
B
 u
a) Observador se afastando da fonte com velocidade u. f A  f 1   = 375 Hz
 v
b) Fonte se afastando do observador com velocidade V-u.




1
v

  f 
fB  f 
 = 370 Hz
v V  u 
 V u 

1

v 

A3
1
1 / A  z 2 A3
A  x  vt
a) A por definição y(z) nunca será cero. Ela só pode tender a cero quando o
denominador tender a infinito. Por iso o pulso se extende ate o infinito.Para t=0 a
forma da onda sera:
y ( x, t ) 
7)
2
2
ou y ( z ) 


1.2
1
y( x)
0.5
0
0
15
10
5
 15
0
5
10
x
15
15
b) Abaixo a grafica para t=0.1. No caso de t=0.001s na teve muito desplazamento.
1
y( x)
j( x)
0.5
0
15
10
5
0
5
10
15
x
c) O maximo deslocamento que pode ter o ponto x=4.50 cm em y(x), é 1 que
corresponde com a amplitude da onda.por iso é possivel despear o tempo como:
A3
, sabendo que A=0.01, X4.5=0.045 m, e v= 20 m/s
A 2
A  ( x 4.5  v  t ) 2
Obtemos
t=0.00225 s
Nota: Outra forma de fazer é percever que y(x,t) sera maximo sempre que (x-v*t) seja
cero.
Por tanto só quando v*t=x ou t=x/v correspondera com o maximo.
Para obte t que faça y(x,t)=A/2 procedemos do mesmo jeito ou vemo que quando
(x-vt)=A , y(x,t)=A3/2A2=A/2. Por tanto temos que achar o t que faça x-vt=A.
Ontendo :
t=0,00175 s
d) Da definição de onda. Lembremos que uma função é uma função de onda se
 2 y ( x, t )
1  2 y ( x, t )
o que ao final fazendo a sustituição de z ( x, t )  f ( x, t ) , e


x 2
v 2 t 2
z ( x, t )
1 z ( x, t )

y ( x, t )  y ( z ) obtiamos que era função de onda se:
x
v t
Colocando z=x-vt, vemos que a equação anterior se cumple, demostrando que a
função do problema é uma equação de onda.
Nota: outra possivel solução um póuco mais trabalhosa é fazendo as duas derivações
da função com respeito a x e t, e domstrando que cumplem com a equação de onda.
8)
a) y1 ( x, t )  C cos(1t )sen(k1x) . Os nós cumplem que y1(x,t)=0 independentemente
do tempo. Istó é só possivel si:
sen(k1x)=0 , o qual só é possivel se: k1x  m
onde m=0,1,2....∞. Como falam que y1 é o modo fundamental, então teremos os casos
m=0 e m=1. Obtendo que os nós serão: x=0 , x= /k1.
b) Os nós de y2(x,t), similarmente ficam k2 x  m só que como se fala do segundo
armonico teriamos: m=0, m=1, m=2. Obtendo:
x=0, x= /k2, x= 2/k2
c) Como a longitude da corda é a mesma. Então o nodo final de ambos tem que ser
iguais. Então
x= /k1 = 2/k2 o que implica que k1=k2/2=k
as equações podem ser reescritas como:
y1 ( x, t )  C cos(1t )sen(kx)  C cos(v  k  t )sen(k  x) e
y2 ( x, t )  C cos(2t )sen(2kx)  C cos(v  2k  t )sen(2k  x)
para t=0 as equações ficam
y1 ( x, t )  Csen(k  x) e y2 ( x, t )  Csen(2k  x) onde y3=y1+y2.
(verde-harmônico fundamental, azul-segundo harmônico, vermelho-corda)
2
1
y3( x)
y2( x)
0
y1( x)
1
2
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
Para t=1/f1, temos que w1*t=v1*k1/f1=λ1*k1= 2 , para o caso de w2*t=4,
Ficando
y1 ( x, t )  C cos(2 ) sen(k  x)  Csen(k  x)
y2 ( x, t )  C cos(2 )sen(2k  x)  sen(2k  x)
Ficando os graficos idem ao anterior.
Para t=1/4f1, vamos a obter w1*t= /2 , w2*t=
(verde-harmônico fundamental, azul-segundo harmônico, vermelho-corda)
2
1
y3( x)
y2( x)
0
y1( x)
1
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Para t=1/2f1, vamos ter w1*t=  , w2*t=2
(verde-harmônico fundamental, azul-segundo harmônico, vermelho-corda)
2
1
y3( x)
y2( x)
0
y1( x)
1
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
c) Das figuras anteriores é possivel ver que a onda não é estacionaria ka que não
possui nós.
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