Matemática comercial e Financeira

Matemática comercial e Financeira
Prof.(a): Ana Paula Lyra
PORCENTAGEM
Porcentagem: Valor que representa a quantidade tomada de uma outra,
proporcionalmente a uma taxa.
Razão Centesimal: Tem como conseqüente (Denominador) 100.
Ex:
82% = 82 / 100
3/4 = 75 / 100 = 75%
Elementos do Cálculo Percentual
 Taxa: Valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
 Principal: Valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.
Nota: Alguns livros usam C (capital) para o principal quando este representa dinheiro.
Fórmula para Resolução de Porcentagem.
p
P
=
r
100
ou
p
p
=
i
p = Porcentagem
Onde: P= principal
r = Taxa percentual
i = Taxa unitária
Nota:
* Taxa Unitária (i): Escrita na forma de numero decimal
* Taxa Percentual (r): Escrita na forma de fração centesimal.
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Operações Sobre Mercadorias
Operações que envolvem compras e vendas de mercadorias com (Lucro ou Prejuízo).
Nota: Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço da aquisição, acrescido
das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda das despesas de
administração e funcionamento da empresa.
Com Lucro
Sobre o preço de Custo
Sobre o preço de Venda
Vendas
Sobre o preço de Custo
Com Prejuízo
Sobre o preço de Venda
I - Vendas com Lucro
1. Sobre o preço de custo:
V = (1 + i) .C
2. Sobre o preço de Venda:
V=
C
1–i
II – Vendas com Prejuízo
1. Sobre o preço de custo:
V = (1 – i ) .C
2. Sobre o preço de Venda:
V=
Onde: V = Preço de venda
C = Preço de custo
i = Taxa unitária do lucro
C
1+i
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Correção Monetária
Moeda: Objeto (papel ou metal), que representa o valor dos objetos que por elas se
trocam.
Valor da Moeda (Poder aquisitivo da moeda): É a quantidade de bens adquiridos
com uma unidade monetária.
Moeda Estável: Quando mantém no decorrer do tempo sempre o mesmo poder
aquisitivo.
Inflação: É a depreciação do valor da moeda (ou redução do seu poder aquisitivo)
Inflação: Depreciação do poder da moeda (redução do seu poder aquisitivo).
Inflação Rastejante. É caracterizada por um pequeno e quase imperceptível aumento
de preços. Geralmente ocorre nos paises desenvolvidos.
Hiperinflação (Inflação galopante): Aumento incontrolável do nível dos preços, muito
comum nos paises em desenvolvimento.
Deflação: Redução na circulação do papel - moeda superabundante.
Correção Monetária: Método para amenizar a os efeitos da inflação.
Planos Econômicos
Plano cruzado (Cz$) – 10/03/86
Plano Cruzado Novo ou Plano Verão (NCz$) – 31/01/89
Plano Collor (Cr$) – 12/04/92
Plano Real (CR$) – 01/08/93, posteriormente 01/07/94 (R$).
Câmbio
Câmbio: Operação de troca de moedas de diferentes países, através da taxa de câmbio.
Taxa de Cambio: É a relação de equivalência entre o preço da moeda estrangeira em
termos de moeda nacional.
Conversão de moeda: Para convertemos uma moeda, devemos saber o valor de cada
uma delas e utilizarmos a aplicação de regra de três simples.
Operação Cambial
Transferências que se fazem por intermédio de bancos de mesmo país e de países
distintos.
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Juro Simples
Juro: é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital (principal).
Juro Simples: Calculado unicamente sobre o capital inicial.
J = C.i.n
onde: J = juro simples
C = Capital inicial (principal)
n = O tempo de aplicação
i = Taxa unitária
Nota: O prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo (n) a que se refere
à taxa (i) considerada.
Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
Taxas Proporcionais: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma
proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
i = n
i,
n,
Nota:
i e i, devem ser ambas percentuais ou unitárias.
I é sempre relativa ao maior período
Taxas equivalentes: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo
capital, durante um mesmo período, produzem o mesmo juro.
Nota: Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes.
Juro Simples Comercial: Quando empregamos para o cálculo de juro o período de 360
dias igual a um ano (360 = 1 ano)
Juro Simples Exato: Quando empregamos para o cálculo de juro o período de 365 dias
igual a um ano (365 = 1 ano) ; Se bissexto um ano será 366 dias (366 =1 ano)
Montante
Montante (Valor Nominal): É a soma do capital inicial (Valor Atual) com o juro
relativo ao período da aplicação.
Onde:
M=C + j
ou
M = C (1 + i.n )
M = Montante
C = capital (Principal)
j = Juro
i = Taxa
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Desconto Simples
É uma compensação recebida pelo tomador do empréstimo, pelo pagamento adiantado
da divida, através de títulos, os mais utilizados em uma transação comercial são:
*Nota Promissória: Comprovante de aplicação de um capital com vencimento
predeterminado; muito usado entre pessoas físicas.
*Duplicata: Título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (Física ou
jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos
no futuro.
*Letra de Câmbio: Assim como nota promissória é um comprovante de uma aplicação
de vencimento predeterminado, porém é um título ao portador, emitido exclusivamente
por uma instituição financeira.
Os Títulos de créditos podem ser pagos antes do prazo ou o credor pode necessitar do
seu capital antes da data do vencimento, o que pode ocasionar benefício para ambas as
partes, este benefício recebe o nome de desconto.
Desconto: Quantia a ser abatida do valor nominal; A diferença entre o valor nominal e
o valor atual.
Valor Nominal: Valor indicado no título (valor a ser pago no dia do vencimento),
também conhecido como valor do futuro; de face ou valor de resgate.
Valor Atual: É o liquido pago (recebido) antes do vencimento, também conhecido
como valor descontado.
Tempo ou Prazo: É o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o
título e o de seu vencimento; incluindo-se o primeiro não se inclui o ultimo e vice versa.
Desconto Comercial (Bancário ou por Fora): É o equivalente ao juro simples,
produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e a taxa
fixada.
d = N. i. n
onde:
d = desconto comercial
N =Valor Nominal (pago no dia do
vencimento)
n = Período
i = taxa de desconto
 Desconto Comercial: Empregados em períodos curtos, pois em períodos longos
o desconto pode ultrapassar o V.N. do título.
Fórmula para o cálculo do valor atual comercial ou valor descontado comercial.
A = N–d
Onde:
ou
A = N (1 – i.n)
A = Valor atual comercial (valor descontado)
N = Valor nominal do título (pago antes do vencimento))
d = Desconto comercial
i = taxa
n = período
Taxa de juro efetiva
É a taxa que realmente esta sendo calculada na operação de desconto.
If =
d
A.n
onde:
if = Taxa de juro efetiva
d = Desconto
A = Valor atual
n = período
Equivalência de Capitais
Capitais Equivalentes: São capitais diferidos, que em certa época, apresentam valores
atuais iguais.
Capitais Deferidos: São aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes.
A = À,
A = A1 + A2
Onde
A = Valor atual
A, = Valor atual equivalente
Desconto Racional (Por Dentro)
Desconto Racional: O equivalente ao juro produzido pelo valor atual do futuro numa
taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Nota: - Geralmente utilizamos o desconto comercial, racional usamos apenas em
desconto composto.
- O desconto racional é menor que o desconto comercial.
dr < d
d r = Ar . i . n
onde:
dr = desconto racional
i = taxa
n = período
Ar = valor atual ou valor descontado racional
Valor Descontado Racional em função do Valor Nominal
dr = N . i . n
1+i.n
Valor Atual Racional:
Ar =
N
1+i.n
A = N – dr
ou
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Juro Composto
Juro Composto: É aquele em que cada período financeiro, a partir do segundo, é
calculado sobre montante relativo ao período anterior.
Mo = C (1 + i) n
onde :
M = Montante
C = Capital
i = Taxa
n = Período
(1 + i) = Fator de capitalização (fator de
cumulação do capital)
Fórmula do montante em regime de juro composto também é denominada de Fórmula
Fundamental de juro Composto, para um numero inteiro de períodos.
Tipos de Taxas utilizadas em regime de juro composto
 Taxas equivalentes: São aquelas que, referindo-se a períodos distintos, fazem
com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.
(1 + id) 360 = (1 + im) 12 = (1 + it) 4 = (1 + is) 2 = 1 + i a
 Taxas proporcionais: Em juro composto, são equivalentes. (Vista em juro




simples).
Taxa Nominal: É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele
a que se refere; Geralmente é anual.
Taxa Efetiva: É a taxa anual equivalente.
Taxa Real: É a taxa aparente quando não há inflação.
Taxa Aparente: É aquela que vigora nas operações correntes.
1 + i = (1 + r) (1 + I)
, onde:
i = Taxa aparente
r = Taxa real
I = taxa de Inflação
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Desconto Composto
È o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes do vencimento. É
empregado em operações de longo prazo.
Cálculo do valor atual: Em regime de juro composto, de um capital N disponível
no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a
juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.
An = N (1 + i) –n onde: A = Valor atual
N =Valor nominal
n = Período
ou
i = Taxa
(1 + i) –n = Fator de Descapitalização
An =
N
(1 + i ) n
Equivalência de Capitais Deferidos: Dois ou mais capitais deferidos são
equivalentes, em certa época quando seus valores atuais nessa época são iguais.
Nota: Em regime de capitalização composta a data de comparação pode ser qualquer
uma, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.
A = A , = N (1 + i) –n
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Capitalização e amortização Compostas
Capitalização: É quando queremos fazer um investimento sempre na mesma época.
Ex: Caderneta de poupança; prestações pagas mensalmente.
Capitalização Composta: É dado através da determinação do montante constituído
por depósitos periódicos de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.
Mn = C (1 + i) n
Formula do montante Composto.
Renda: É a sucessão de depósitos ou prestações, em épocas diferentes, destinados a
formar um capital ou pagar uma divida.
Termos da Renda: São os termos de sucessões de depósitos ou prestações.
Período da Renda: É o intervalo de tempo que ocorre entre o vencimento de dois
termos consecutivos.
Ex: Compra de uma TV em 8 prestações mensais de R$ 389,00.
(8 é o período e R$ 389,00 é o termo)
Tipos de Rendas
 Rendas Certas (Anuidades): Números determinados de vencimentos com





valores prefixados. Ex: Compras de bens a prazo.
Rendas Aleatórias: Quando o tempo ou valor não pode ser determinado. Ex:
Seguro de vida.
Renda Periódica: Tem sempre o mesmo período (caso contrario é dita Não
Periódica).
Renda Imediata: Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim
do primeiro período a contar da Data Zero (Na assinatura do contrato) .Ex:
Compra de bens a prazo, em prestações mensais,pagando a primeira prestação
um mês após a assinatura do contrato.
Antecipada: Vencimento do primeiro termo se dá na data zero Ex: Aplicação de
uma mesma quantia em caderneta de poupança, em um determinado período.
Renda Diferida: Vencimento do primeiro termo se dá no final de um
determinado número de períodos, a contar da data zero. Ex: Compra de bens a
prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no final de um
determinado número de meses.
Cálculo do Montante de uma Renda Imediata: Aplicado no final de cada mês.
Sn
i
=T.s
Onde:
n i
T = Valor de depósitos
n = Número de períodos
i = taxa
S = Montante de renda imediata
Cálculo do Montante de uma Renda Antecipada: Aplicado no inicio de cada mês.
S
n
i
=T .( s
n+1
i
- 1 ) Onde:
T = Valor de depósitos
n = Número de períodos
i = taxa
S = Montante de renda antecipada
Amortização Composta: É quando queremos construir um capital ou resgatar uma
divida depositando ou pagando certa quantia, em épocas distintas.
Cálculo para o Valor Atual de Renda imediata: Determina o valor de prestações na
data zero (Na assinatura do contrato).
An
i
=T .a
n
i
onde: An i = Valor atual de renda imediata
T = Valor de depósitos
i = taxa (unitária)
n = Número de períodos
Cálculo para o Valor Atual de Renda antecipada
An
i
= T.( a
n-1
i
+1 )
Cálculo para o Valor Atual de Renda diferida: Apresenta período de carência.
m/ A
n
i
= T( a
m+n
i
– am
i
)
Onde:
m = Período de carência
T = Valor de depósitos
i = taxa (unitária)
n = Número de períodos
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Prof.(a): Ana Paula Lyra
Empréstimos
Confiar alguma coisa a outrem com a obrigatoriedade de restituição.
Os empréstimos podem ser feitos a curto, médio e longo prazo.
Empréstimo é a curto ou médio prazo: quando o prazo total não ultrapassa a 1 ano ou
três anos respectivamente.
Empréstimos a logo prazo: de modo geral, os juros são colocados sempre sobre o
saldo devedor (considerar apenas regime de juro composto).
Sistema Francês de Amortização (SFA). Recebe este nome, pois foi usado
primeiramente na França. O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com
prestações de valor constante, periódicas, imediatas (sucessivas ).
T = Do
am
onde:
i
Do = Divida contraída
n = Numero de prestações
i = Taxa
Determinação do saldo Devedor.
Dk = T . a
n–k
r
ou
D k–1 = T . a
n–k +1 r
Onde : Dk = Divida contraída
n = Numero de prestações
i = Taxa
k = Saldo devedor de um período.
Sistema Price de Amortização: (Caso especial do SFA);Todas as prestações
(pagamentos) são iguais.Apresenta as seguintes características:
 Taxas Anuais
 Prestações mensais
 No cálculo utilizamos a taxa proporcional
Tabela Price. Tábua cujos valores já são conhecidos, lavando em conta a taxa e o juro
proporcional.
T =
Do
an i
onde : Do = Valor de empréstimo
T = Valor da prestação
n = Numero de prestações
i = Taxa unitária
Sistema de Amortização Constante (SAC/ Sistema Hamburguês)
Introduzido em 71, pelo Sistema Financeiro de Habitação, nesse sistema, o mutuário,
também se compromete a amortizar o empréstimo com prestações, periódicas e
imediatas porém, a amortização é constante e em todos os períodos, logo as prestações
são decrescentes.
A = Do
n
onde :
Valor do juro de cada período:
Do = Valor da empréstimo
A= valor de amortização
n = Número total de Prestações
k = Número de prestação que foram pagas
jk = i . D k – 1
Valor da prestação para cada período:
Saldo devedor de cada período:
T k = A + jk
Dk = D k – 1 – A
Determinação do Saldo devedor:
Dk = Do – k . A
Sistema de Amortização Constante com prazo de Carência: Resolver de mesma
forma do SFA.
Sistema de Amortização Misto ( SAM): É a media aritmética entre os sistemas SFA e
SFAC.
Empréstimos com correção monetária: Apresentam inflação e para facilitar o cálculo
acrescentamos colunas para corrigir a divida e amortização acumulada.
Referencias
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira – 11. ed. São Paulo: Saraiva, 2009
MATHIAS, W. F. Matemática Financeira – 2. ed. São Paulo: Atlas, 1993.
PARENTE, E. e CARIBÉ, R. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: FTD,
1996.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada – 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 1999
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira – 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997