Document

FERRAMENTAS MATEMÁTICAS PARA ESTUDO DOS MODELOS DE “PUFFS”
APLICADOS À DISPERSÃO ATMOSFÉRICA – ETAPA 1
Edson Chiaramonte1
1- Programa de Pós-Graduação em Engenharia: Energia, Ambiente e Materiais e Departamento de Engenharia
Química, Ulbra – Canoas - RS
*
AV.Protásio Alves, 1187/ Apt. 02 - CEP 90410-001 - Porto Alegre - RS - Brasil
E-mail:[email protected]
Abstract – The article proposes to apply average values of the properties in the combination puff
models. Mathematical expressions are obtained for the averages in a region of the atmosphere from
the analytical concentration profile. The average of the concentration and longitudinal, lateral and
vertical extensions are obtained for the gaussiana profiles. It is too discussed the application of these
average in the procedures of the puff models.
Resumo – O artigo propõe aplicar valores médios de propriedades nos modelos de combinação de
“puffs”. Expressões matemáticas são obtidas para as médias numa região da atmosfera a partir de
perfis de concentração analíticos. As médias de concentração e extensões longitudinal, transversal e
vertical são obtidas para os perfis gaussianos. Também é discutida a aplicação destas médias nos
modelos de soma de “puffs”.
INTRODUÇÃO
O artigo discute a aplicação de propriedades médias nos modelos de soma de liberações
instantâneas (os denominados modelos de dispersão de “puffs”). Expressões matemáticas são
obtidas para propriedades médias de concentração da liberação total de gases e das extensões
longitudinal, transversal e vertical do “puff” e da pluma gaussiana numa região de prisma com base
retangular da atmosfera, conforme mostrado na Figura 1. Estas relações serão usadas nos critérios
para combinação de “puffs”.
EXPRESSÕES PARA AS PROPRIEDADES MÉDIAS
A expressão de estimativa da concentração para um “puff” e uma pluma gaussiana num
ponto de coordenadas ( x,y,z ) são
m pu
 pu 
 pl 
2 
3

2
 
e
 x2 / 2 x2 e  y 2 / 2 2y  e ( z h )2 / 2 z2


x y z
Q
e
2u y z
 y2 / 2 2y  e ( z h)2 / 2 z2














 ( z  h ) 2
 e

/ 2 z2 








 ( z  h ) 2

 e

/ 2 z2 




(1)
(2)
Onde:
1
pu = concentração do “puff” gaussiano no ponto de coordenadas (x,y,z).
mpu = massa da emissão total.
pl = concentração da pluma gaussiana no ponto de coordenadas (x,y,z).
Q = vazão da emissão total.
x = coeficiente de dispersão do “puff” na direção x.
y = coeficiente de dispersão do “puff” ou da pluma na direção y.
z = coeficiente de dispersão do “puff” ou da pluma na direção z.
x = distância longitudinal em relação ao do centro do “puff”.
y = distância transversal ao centro do “puff”.
z = direção vertical em relação ao solo.
h = altura da fonte de liberação.
Propriedades médias numa região de prisma com base retangular
A expressões da concentração média para um “puff” e uma pluma, numa região de prisma
com base retangular mostrada na Figura 1, é determinada pela relação (quando a metade extensão
vertical da região for menor que a altura da fonte de emissão)
i 
Ly
Lx
Lz
2
2
2
L
L
L
i
 z  y  x
2
2
2
Ly
Lx
Lz
2
2
2
L
L
L
 z  y  x
2
2
2
  
  
 dxdydz
(3)
dxdydz
Onde:
 i = concentração média na região retangular.
i = perfil de concentração.
x = variável na direção do escoamento.
y = variável na direção transversal ao escoamento.
z = variável na direção vertical.
Lx = Extensão longitudinal da região retangular, em m.
Ly = Extensão transversal da região retangular, em m.
Lz = Extensão vertical da região retangular, em m.
2
Dimensão
transversal, Ly
Dimensão
vertical, Lz
Eixo de
escoamento do
“puff”
Dimensão
longitudinal, Lx
Figura 1. Região retangular na atmosfera.
As concentrações médias são dadas pôr
Lz


 L x   L y    L z  1  2h  2


 


m pu erf 
 2 2σ erf  2 2σ  erf  2 2σ   2 erf  2σ


x 
y 
z 
z




 pu 
 pl 
L


 1  2h  z
2
  erf 
 2  2σ z




Lx L y Lz
Lz


 L y    L z  1  2h  2
 erf 
  erf 
Qerf 
 2 2σ    2 2 σ  2  2σ

y 
z 
z




L


 1  2h  z
2
  erf 
 2  2σ z




uL y L z












(4)
(5)
Onde:
 pu = concentração média do “puff” na região retangular.
 pl = concentração média da pluma na região retangular.
E, a concentração média, se metade da extensão vertical for maior que a altura da fonte de
emissão (Lz/2>h), é dada pôr
i 

h
Lz
2
Ly

h
0
Lx
2
L
 x
2
 

0
Lz
2
2
Ly
2
Ly
Lx
2
L
 x
2
 

2
Ly
2
 i dxdydz
(6)
dxdydz
3
A concentrações médias são
L


2h  z




L
 L 
Lx 
2
erf  y  erf  z   erf 



2σ x   2 2σ y    2 2σ z 
 2σ z




2

m pu erf 
 pu 

L x L y  h

 pl
Lz
2




L


 2h  z
 L y   Lz 
2
 erf 
  erf 
Qerf 
 2 2σ    2 2σ 
 2σ z

y 
z 






L
uL y  h z
2

















(7)
(8)
As extensões médias longitudinal, transversal e vertical para um “puff” são obtidas a partir
do perfil de concentração
  
x pu 
   x

0
0
pu
0
  
0
0
0
pu
dxdydz
dxdydz
  
y pu 
   y

0
0
0
pu
  
0
0
pu
0
z pu
0
0
0
  
0
0
0
dxdydz

2

2
dxdydz

dxdydz
2
  
   z



pu
pu dxdydz
x
(9)
y
( 10 )
h


 ze
2 z2
 h 

 2 

z 
 2herf 
( 11 )
Onde:
x pu = extensão longitudinal média do “puff”.
y pu = extensão
transversal média do “puff”.
z pu = extensão vertical média do “puff”.
As mesmas expressões são obtidas para as extensões transversal e vertical média da pluma.
4
A UTILIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES MÉDIAS NOS MODELOS DE COMBINAÇÃO
DE “PUFFS”
Um conjunto de “puffs” é liberado para representar fontes de emissão de poluentes de vazão
contínua ou intermitente nos denominados modelos de combinação de “puffs”, Scire et al. [2]. As
propriedades da liberação contínua são obtidas através da soma das contribuições do conjunto de
“puffs”. Por exemplo, a concentração de poluentes é determinada pela soma das contribuições do
conjunto de “puffs”. Esta seção descreve a aplicação das propriedades médias para o
desenvolvimento de um modelo aproximado de combinação de “puffs”.
Critério de Liberação de “Puffs” na Fonte
Nos modelos de combinação é liberada uma série de “puffs” em seqüência. Existem dois
procedimentos mais usados para a liberação dessa série, conforme Scire et al. [2] e Zannetti [4]. No
primeiro, os “puffs” têm o mesmo tempo de liberação. E, no segundo eles são liberados com tempos
diferentes para possuírem o mesmo afastamento entre os seus centros proporcionais ao coeficiente
de dispersão transversal (y). Neste trabalho analisamos o procedimento de liberação de “puffs”
com o mesmo tempo, ou seja, a cada intervalo de tempo constante é liberado um. O valor adotado é
aquele necessário para o “puff” deixar a fonte de emissão, conforme visto na Figura 2. Este é um
valor mínimo.
Um critério deve ser adotado para determinar-se se o “puff” deixou a fonte de emissão. O
critério aplicado pode ser que uma certa porcentagem da massa total dele deixe a fonte decorrido o
tempo de liberação (por exemplo, 95 % da massa total deixa a fonte de liberação). Então, a
expressão que determina a concentração média, Equações (4) ou (7), é usada para determinar a
dimensão longitudinal, transversal e vertical dele. Também pode ser adotado o critério que a
extensão longitudinal média do “puff”, Equação (9), deixe a fonte.
5
Puff “1”
Puff “2”
Fonte
Fonte
Puff “1”
Figura 2- O tempo de liberação do “puff” na fonte.
Os Critérios de Soma e Combinação de “Puffs” para Representar Emissões Contínuas
Um grande numero de “puffs” é necessário no modelo de combinação, com pequeno valor
de tempo de liberação entre si, para representar uma liberação nas distâncias próximas da fonte de
emissão, onde eles são de tamanho pequeno. Eles possuem extensões maiores em distâncias mais
afastadas. Portanto é necessário um numero bem menor deles nestas regiões, com maior tempo de
liberação. Neste item discutimos procedimentos para determinar o numero de “puffs” numa região
afastada da fonte e um critério de soma de propriedades dos “puffs” para descrever uma liberação.
Um “puff” retangular tem a região definida por suas extensões. Estas são proporcionais aos
parâmetros de dispersão atmosféricos determinados em seu centro (parâmetros x e y no plano
horizontal, conforme a Figura 3). Também pode usar-se os valores de extensões médias mostrados
nas Equações ( 9 ), ( 10 ) e ( 11 ).
Os “puffs” ocupam regiões comuns na atmosfera em distâncias longe da fonte (quando têm
o mesmo tempo de liberação). Então é necessário um critério de soma de “puffs” nestas regiões.
Estes serão convertidos num único com tempo de liberação maior. As propriedades médias de
concentração, extensões longitudinal, transversal e vertical são usadas para identificar a região que
o “puff” ocupa e estabelecer os critérios de combinação.
6
Puff i-1
Puff i
Figura 3. Dois “puffs” numa região definida pelo seu raio de extensão.
CONCLUSÃO
Este artigo obteve relações para as propriedades médias numa região de prisma com base
retangular. Estas serão usadas no desenvolvimento de um modelo de “puffs”. Este modelo
aproximado será usado para representar emissões com vazão contínua ou intermitente. Um método
de combinação de “puffs” liberados da mesma fonte e outro para de fontes diferentes serão também
desenvolvidos.
BIBLIOGRAFIA
1. Greene, P. R., 1989. “A useful approximation to the error function: applications to mass,
momentum and energy transport in shear layers, J. Fluids Engineering, vol. 111, pp. 224-226.
2. Scire J. S., Strimaitis D. G. e Yamartino R. J., 1990. Model formulation and user´s guide for
the CALPUFF dispersion model, Final Report on Contract A5-194-74 for the California Air
Resources Board, Sacramento, CA.
3. Zannetti, P., 1981. “An improved puff algorithm for plume dispersion simulation”, J. Applied
Meteor., vol. 20(10), pp. 1203-1211.
7