Ativ. Orientada sobre Matrizes

ATIVIDADE
PROGRAMADA
SOBRE
MATRIZES
2a SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Prof. Rogério Rodrigues
(LAPLACE)
NOME : .....................................................................................................
NÚMERO: ................... TURMA : ............. DATA : ....../ ........ / ........
2
I - TABELAS E MATRIZES
Matrizes vivas
Um prédio , como o da figura ao lado , é ,
na distribuição de seus habitantes , uma
estrutura de organização dos espaços a
serem ocupados . Os andares são agrupados na vertical e os apartamentos de cada andar são numerados de acordo com
a posição geográfica que ocupam . Imagine que em cada um dos 30 andares há
20 apartamentos que , vistos de fora do
prédio , pela sua frente , cada apartamento apresenta três janelas consecutivas, num
total de 60 janelas . Se os apartamentos
de cada andar são numerados no formato
A – NA , onde A é o número do andar
e NA é o número do apartamento , teremos a família que ocupa , por exemplo , a
posição 3 – 19 , ou seja , terceiro andar
e apartamento 19 . Com os andares em
linhas e os apartamentos em colunas verticais , é possível fazer uma tabela com
as posições de todos os grupos familiares .
Não faremos uma tabela relativa a um prédio de 30 andares com 20 apartamentos por
andar , mas um pequeno prédio com 5 andares e três apartamentos por andar , numerados
no mesmo formato apresentado no texto anterior . A tabela correspondente é
ApartaMento
1
2
3
1-1
1-2
1-3
2-1
2-2
2–3
3-1
3-2
3–3
4-1
4-2
4–3
5-1
5-2
5-3
Andar
1
2
3
4
5
Observe que o apartamento 3 – 2 (numerado usualmente como 302) , por exemplo ,
ocupa a linha 3 e a coluna 2 . Verifique que linhas e que colunas ocupam os apartamentos 1 – 2 , 3 – 1 , 3 – 3 , 4 – 2 , 5 – 1 e 5 – 3 .
3
A estrutura da tabela anterior é matematicamente chamada de MATRIZ .
Apolônio corcovado
Apolônio nunca foi ao corcovado ,
não andou ou voou no bondinho , não
é carioca , nunca foi ao Rio e morre de
medo dessa possibilidade pelas notícias
que lhe são trazidas pela TV .
Que corcovado não é sobrenome já
dá para desconfiar , apesar de não ser
impossível ; pode ser a idéia equivocada de um pai querendo premiar o filho
com a palavra que lhe traz as melhores
recordações de sua vida : um passeio
turístico , talvez o único de sua vida , na
Cidade Maravilhosa e , neste caso , be m
acompanhado .
Mas o apelido do Apolônio se deve
ao seu topo , ou mais propriamente á
sua calvície . É que visto de perfil , o
Apolônio mostra sua careca em monte ,
como o Pão de Açucar .
O drama do Apolônio é que ele é
síndico de um prédio de 5 andares com
3 apartamentos por andar e , dentre tantos problemas que tem que resolver , está a conta de água . Cada apartamento
tem um número diferente de habitantes ,
e isso , como todo condômino paga a
mesma taxa de condomínio , faz a conta
ficar injusta , provocando reclamações .
Então , o Apolônio foi pego em flagrante desabafando com o porteiro do prédio:
“ No 101 até que tem pouca gente , são
4 ; no 202 a coisa aumenta , são 7 ; no
303 , mora uma tribo , são 12 ; no 502
mora um hermitão ; no 403 , além dos
4 da família , tem a sogra com suas 2
filhas solteironas “ .
Pelo desabafo de Apolônio , no texto anterior , percebemos que a história tem tudo em
comum com o primeiro texto . Então , se o interesse é mostrar quantas pessoas moram em cada
apartamento , pode-se escrever a matriz descrita depois do primeiro texto mostrando , em cada
célula – cada posição , o número de habitantes por apartamento . A tabela correspondente à
situação vivida pelo Apolônio Corcovado , copiando os dados da sua conversa com o porteiro e
completando as informações com os dados que ele não citou na conversa , é a seguinte :
4
Apartamento
1
2
3
4
6
0
2
7
5
3
8
12
2
4
7
5
1
6
Andar
1
2
3
4
5
Se o prédio se chamasse A , a representação matemática seria
4 6 0 
4 6 0


2 7 5 
2
7
5





A = 3 8 12 ou
A = 3 8 12  , onde cada elemento seria designado




2
4
7
2
4
7






5 1 6 
5 1 6 
Por ai j , onde i é o número da linha do elemento e j , a sua coluna . O apartamento 101 ,
por exemplo , é o elemento a11 , o apartamento 402 seria o elemento a42 e por aí adiante .
Responda o que se pede a seguir :
1) Quais são os apartamentos da primeira linha na matriz acima ?
2) Quais são os apartamentos de terceira coluna na matriz anterior ?
3) Que apartamentos têm o mesmo número de habitantes ?
4) Quantos apartamentos têm mais do que 5 habitantes ?
5) Que apartamentos têm menos do que 4 habitantes ?
6) Há algum apartamento vago no prédio do Apolônio ? Qual ?
5
Se , ao contrário do que fizemos com o prédio do Apolônio , colocarmos os andares em
linhas e os apartamentos em coluna , teremos a matriz At , chamada de transposta da
matriz A , que é
4 2 3 2 5 


A = 6 7 8 4 1 
 0 5 12 7 6 


t
II – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
O texto a seguir servirá de modelo para estudarmos algumas operações com matrizes .
PLANILHAS E NOTAS
Toda escola registra as notas de seus alunos usando tabelas numéricas que geram matrizes chamadas de planilhas . Como essas matrizes ou têm muitos elementos ou são em grande número , elas são construídas com o auxílio
de computadores , com programas conhecidos ,
como o Excel , por exemplo. Com esses programas é possível efetuar operações com os elementos das matrizes ou planilhas e esses elementos
são posicionados por suas linhas e colunas .
Então , matrizes são construídas para registros
individuais de alunos , de turmas , etc.
 SITUAÇÃO 1 : Numa escola , são adotados três trimestres e , em cada um deles , cada
disciplina distribui os créditos segundo o seguinte critério :
PROVAS ESCRITAS
TRABALHOS
PROJETOS
ATIV. PRÁTICAS
TOTAIS
1o TRIMESTRE
10 Créditos
5 Créditos
5 Créditos
5 Créditos
25 Créditos
2o TRIMESTRE
14 Créditos
7 Créditos
7 Créditos
7 Créditos
35 Créditos
3o TRIMESTRE
16 Créditos
8 Créditos
8 Créditos
8 Créditos
40 Créditos
6
De acordo com o regimento interno dessa escola , no final do ano letivo , o aluno deve ter
60% de rendimento em cada um dos instrumentos de avaliação e não na nota total . Então, o
aluno deve obter pelo menos 60% em provas escritas , 60% em trabalhos , 60% em projetos e
60% nas atividades práticas.
A seguir , apresentaremos os boletins de um determinado aluno , em cada um dos três
trimestres.
1o TRIMESTRE :
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
Matemática
8
3
2
0
13
Português
10
4
5
3
22
História
6
3
3
5
17
Geografia
9
4
5
5
23
Química
5
5
5
5
20
Física
6
4
5
1
16
Português
11
7
7
5
30
História
13
5
6
6
30
Geografia
14
7
5
7
33
Química
13
5
5
5
28
Física
12
4
6
6
28
Português
10
4
8
5
27
História
16
5
6
7
34
Geografia
10
8
5
8
31
Química
11
7
7
8
33
Física
10
5
8
7
30
2o TRIMESTRE :
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
Matemática
10
6
7
7
30
3o TRIMESTRE :
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
Matemática
12
6
8
3
29
Faça o que se pede a seguir :
1) Escreva a matriz relativa às notas de cada trimestre , denominando-as , respectivamente , por A,
B eC.
7
2) Montar uma tabela que registre nas linhas os instrumentos de avaliação (provas,
trabalhos,projetos e atividades práticas ) e nas colunas as disciplinas , considerando os totais
durante o ano letivo . Montar também a matriz correspondente . O formato da tabela deverá ser
Matemática
Português
História
Geografia
Química
Física
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
3) Responda: o que a sentença abaixo tem a ver com as operações feitas no exercício anterior?
8 10
3 4

2 5

0 3
13 22
Resposta:
6 9 5 6  10
3 4 5 4  6
3 5 5 5   7
 
5 5 5 1  7
17 23 20 16 30
11 13 14 13 12  12 10 16 10 11 10  30 31 35 33 29 28
7 5 7 5 4  6 4 5 8 7 5  15 15 13 19 17 13 
7 6 5 5 6   8 8 6 5 7 8   17 20 15 15 17 19 
 
 

5 6 7 5 6  3 5 7 8 8 7  10 13 18 20 18 14 
30 30 33 28 28 29 27 34 31 33 30 72 79 81 87 81 74 
 SITUAÇÃO 2 : Na mesma escola da situação anterior , chegou de transferência um aluno
no final do 1o trimestre . Como o aluno transferido não trouxe nenhuma nota relativa ao 1o
trimestre , a escola resolveu esperar o final do 2o trimestre e considerar suas notas de 1o
trimestre proporcionais às notas que ele obtivesse no 2o trimestre . Suponha que o boletim do
aluno transferido seja o apresentado a seguir e monte seu boletim de 1o bimestre , considerando
5
que o 1o trimestre corresponde , em créditos , a
do 2o trimestre
7
8
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
Matemática
14
3,5
7
4,2
28,7
Português
7
7
3,5
5,6
23,1
História
10,5
0
7
6,3
23,5
Geografia
10,5
3,5
3,5
4,9
22,4
Química
14
7
7
7
35
Física
7
3,5
1,4
3,5
15,4
Responda: O que a equação a seguir tem em comum com os cálculos feitos na questão
anterior ?
7
10,5 10,5 14 7  10
5
14
3,5


7
0
3,5 7 3,5  2,5
5
5 
. 7
3,5
7
3,5 7 1,4   5
2,5
7 
 
6,3 4,9 7 3,5  3
4
4,2 5,6
28,7 23,1 23,5 22,4 35 15,4 20,5 16,5
5 
0 2,5 5 2,5 
5 2,5 5
1 

4,5 3,5 5 2,5 
17 16 25 11
7,5
7,5 10
Resposta:
 SITUAÇÃO 3 : Ainda na mesma escola das questões anteriores , o boletim do 3o trimestre ,
num determinado ano letivo , foi impresso em formato diferente dos anteriores , pelo fato de a
escola ter mudado o programador de seu sistema de informática . Então , o boletim saiu com
as disciplinas em linhas e os instrumentos de avaliação em colunas. Como a escola já tinha
todas as notas referentes aos trimestres anteriores registrados no formato instrumentos X
disciplinas , ou seja , instrumentos de avaliação nas linhas e disciplinas nas colunas , as
planilhas de resultado final tiveram que ser calculadas de outro modo . Considere que um
determinado aluno obteve , no 3o trimestre as notas registradas no boletim a seguir . Obtenha
a tabela e a matriz correspondente à situação do aluno citado no final do ano (Matriz F) ,
considerando que , até o 2o trimestre , seus totais de créditos são aqueles mostrados na
segunda tabela a seguir .
9
-
Boletim do 3o trimestre : (Matriz D)
Matemática
Português
História
Geografia
Química
Física
Provas
14
12
16
15
10
11
Trabalhos
8
8
6
4
0
5
Projetos
6
7
8
5
7
6
Ativ. Práticas
5
8
8
6
7
7
TOTAL
33
35
38
30
24
29
- Totais referentes aos dois primeiros trimestres : (Matriz E)
Provas
Trabalhos
Projetos
At. Práticas
TOTAL
Matemática
21
10
9
11
51
Português
18
11
10
13
52
História
16
9
11
13
49
Geografia
22
10
8
12
52
Química
14
12
9
10
45
Física
17
11
12
8
48
Se for preciso , releia o primeiro parágrafo da página 5 , mas responda: que tipo de operação
matricial foi realizada na experiência anterior ? Indique sua resolução usando as matrizes envolvidas na experiência anterior .
Resposta:
10