TENTANDO DAR UMA DEMONSTRAÇÃO À CONJECTURA DE BEAL

TENTANDO DAR UMA DEMONSTRAÇÃO À CONJECTURA DE BEAL
O enunciado da Conjectura de Beal é o seguinte:
Se A x  B y  C z , A, B, C, x, y, z inteiros positivos e x, y, z > 2, então, A, B, C têm um fator comum.
DEMONSTRAÇÃO
Escrevamos a equação de Beal da seguinte maneira: a x  b y  c z
Multiplicando ambos os membros da (1) por (a x  b y ) m , obtém-se:
(a x  b y ) m (a x  b y )  c z (a x  b y ) m
(1)
(2)
Como c z  a x  b y , logo, substituindo na (2), vem:
(a x  b y ) m (a x  b y )  (a x  b y )(a x  b y ) m
ou
x
x
y m
y
a (a  b )  b (a x  b y ) m  (a x  b y ) m1
(3)
MÉTODO DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BEAL
Exemplo 1. Encontrar soluções em inteiros positivos da equação: A x  B y  C z
Resolução. Seja a equação A3  B 3  C 4 . Como os expoentes de A e B são do 3º grau, e o de C do 4º
grau, logo pela (3), temos que encontrar dois números m e m+1 que sejam, respectivamente, múltiplos
de 3 e 4. Esses números são: m = 12n – 9 e m+1 = 12n – 8.
Substituindo na (3), x = y = 3, m = 12n – 9 e m+1 = 12n – 8 , obtém-se:
a 3 (a 3  b 3 )12n9  b 3 (a 3  b 3 )12n9  (a 3  b 3 )12n8
(4)
Se tomarmos a = b = n = 1 e substituirmos na (4), obtém-se: 2 3  2 3  2 4
Solução: A = B = C = 2 e (a x  b y )  (13  13 )  2 (Fator comum à A, B e C).
Se tomarmos a = 1, b = 2 e n = 2 e substituirmos na (4), vem:
915  8(915 )  916 ou (9 5 ) 3  (2 x9 5 ) 3  (9 4 ) 4
Solução: A  9 5 , B  2x9 5 , C  9 4 e (a x  b y )  (13  2 3 )  9 (Fator comum à A, B e C).
Exemplo 2. Encontrar soluções em inteiros positivos da equação: A x  B y  C z (x ≠ y ≠ z)
Resolução. Seja a equação A 6  B 3  C 7 . Encontrar soluções em inteiros positivos para a
A6  B 3  C 7 , é o mesmo que encontrar soluções em inteiros positivos para a equação A 6  B 6  C 7 .
Como na equação A 6  B 6  C 7 os expoentes de A e B é 6, e o de C é 7, logo pela (3), temos que
encontrar dois números m e m+1 que sejam, respectivamente, múltiplos de 6 e 7. Esses números são: m
= 42n – 36 e m+1 = 42n – 35.
Substituindo na (3), x = y = 6, m = 42n – 36 e m+1 = 42n – 35, vem:
a 6 (a 6  b 6 ) 4236  b 6 (a 6  b 6 ) 42n36  (a 6  b 6 ) 42n35
(5)
Se tomarmos a = b = n = 1 e substituirmos na (5), obtém-se:
2 6  2 6  2 7 ou 2 6  (2 2 ) 3  2 7
Solução: A = C = 2, B = 4 e (a x  b y )  (16  16 )  2 (Fator comum à A, B, C).
Se tomarmos a = n =1, b = 2 e substituirmos na (5), obtém-se:
(65) 6  2 6 (65) 6  (65) 7 ou (65) 6  (130 2 ) 3  (65) 7
Solução: A = C = 65, B = 16.900 e (a x  b y )  (16  2 6 )  65 (Fator comum à A, B, C).
CONCLUSÃO
Pelas soluções em inteiros positivos encontradas nos exemplos 1 e 2, pode-se concluir que: se
na equação de Beal tomarmos x = y e x, y ≠ z ou x ≠ y ≠ z, e na (3) atribuirmos valores para a
≤ b ou a ≥ b, vamos encontrar infinitas soluções em inteiros positivos para a equação
A x  B y  C z com (a x  b y ) sendo o fator comum à A, B e C.