pares perfeitos

COMO SE OBTER A FÓRMULA PARA GERAR NÚMEROS PARES PERFEITOS
Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)
E-mail: [email protected]
Definição. Um número inteiro N par é dito perfeito se a soma dos seus divisores próprios (excluindo N) for
igual a N.
N
6
28
Divisores próprios
1, 2, 3
1, 2, 4, 7, 14
Soma dos divisores próprios
1+2+3=6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Somemos os números naturais até obter os números pares: 6, 8, 10, ..., 26 e 28, e em seguida verifiquemos
em quais somas houve repetição de números.
1+2+3=6
1+2+3+2=8
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 2 = 12
1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 14
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 = 18
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 = 20
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 3 = 24
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 = 26
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Analisando cada soma, nota-se que apenas as somas correspondentes aos números 6, 10 e 28 não houve
repetição de números e, além disso, somente os números 6 e 28 podem ser escritos como o produto de dois
números da série: 6 = 2 x 3 e 28 = 4 x 7.
Nota-se ainda que em cada produto ( 2 x 3 e 4 x 7) há um número primo ímpar (3 e 7) e um número cuja
base é 2 (2 = 21 e 4 = 22).
Como os primos 3 e 7 são da forma 4x – 1, conjecturei:
Conjectura (Sebá 1). Todo número perfeito par é da forma 2n (4x – 1).
Após fazer alguns cálculos, cheguei a um contra-exemplo que invalida a conjectura (Sebá 1).
O primo 11 é da forma 4x – 1, mas não existe um número perfeito par da forma: 2n(11).
Após algumas tentativas, consegui escrever 3 e 7 das seguintes maneiras:
3 = 22 – 1 e 7 = 23 – 1
6 = 21(22 – 1) e 28 = 22(23 – 1)
Como 21 = 22 – 1 e 22 = 23 – 1, conjecturei:
Conjectura (Sebá 2). Todo número perfeito par é da forma 2n – 1(2n – 1), desde que 2n – 1 seja primo.
Exemplos:
25 – 1 = 31 (é primo). Logo, 25-1(31) = 496. Os divisores próprios de 496 são: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.
Somando os divisores próprios de 496, obtém-se: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Portanto,
496 é um número perfeito.
27 – 1 = 127 (é primo). Logo, 27-1(127) = 8128. Os divisores próprios de 8128 são: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127,
254, 508, 1016, 2032 e 4064. Somando os divisores próprios de 8128, obtém-se: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +
64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Portanto, 8128 é um número perfeito.
No site: www.profcardy.com/artigos/mersenne.php há o seguinte teorema:
Um número K é um número perfeito par se e somente se ele puder ser escrito na forma 2n – 1(2n – 1), com
2n – 1 um número primo.
Portanto, a conjectura (Sebá 2) é verdadeira. Se é verdadeira, logo, é um teorema.
Curiosidades Sobre os Números Pares Perfeitos
1. Somando os números naturais até obter um número perfeito nenhum número se repete e, além disso,
sempre existem dois números: um eqüidistante dos extremos, o último número da soma é um Primo de
Mersenne (PM) e o produto dos dois é igual ao número perfeito.
6 = 1 + 2 + 3 (nenhum número se repete, 2 é eqüidistante dos extremos, 3 (PM) é o último número da soma
e 2x3 = 6 é um número par perfeito)
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 (nenhum número se repete, 4 é eqüidistante dos extremos, 7 (PM) é o último
número da soma e 4x7 = 28 é um número par perfeito)
496 = 1 + 2 + . . . + 15 + 16 + 17 + 19 + . . . + 30 + 31 (nenhum número se repete, 16 é eqüidistante dos
extremos, 31 (PM) é o último número da soma e 16x31 = 496 é um número par perfeito)
8128 = 1 + 2 + . . . + 63 + 64 + . . . + 126 + 127 (nenhum número se repete, 64 é eqüidistante dos extremos,
127 (PM) é o último número da soma e 64x127 = 8128 é um número par perfeito)
2. Pondo em ordem crescente os divisores (D) de um número perfeito, o número de divisores que antecede
o número 2n – 1 é igual ao número de divisores que sucede um primo de Mersenne (PM).
Exemplos
D(6) = 1, 2, 3, 6.
Um divisor antecede o 2 = 22 – 1 e um divisor sucede o 3 = 22 – 1 (PM)
D(28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Dois divisores antecedem o 4 = 23 – 1 e dois divisores sucedem o 7 = 23 – 1 (PM).
D(496) = 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496.
Quatro divisores antecedem o 16 = 25 – 1 e quatro divisores sucedem o 31 = 25 – 1 (PM)
D(8128) = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128
Seis divisores antecedem o 64 = 27 – 1 e seis divisores sucedem o 127 = 27 – 1 (PM).
3. Somando os números naturais até obter um número perfeito, o número de parcelas que antecede o
número 2n – 1 é igual ao número de parcelas que sucede o número 2n – 1.
Exemplos
6 = 1 + 2 + 3.
2 = 22 – 1: uma parcela antecede o 2 e uma parcela sucede o 2.
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
4 = 23 – 1: três parcelas antecedem o 4 e três parcelas sucedem o 4.
496 = 1 + 2 + . . . + 15 + 16 + 17 + 19 + . . . + 30 + 31.
16 = 25 – 1: quinze parcelas antecedem o 16 e quinze parcelas sucedem o 16..
8128 = 1 + 2 + . . . + 63 + 64 + . . . + 126 + 127.
64 = 27 – 1: sessenta e três parcelas antecedem o 64 e sessenta e três parcelas sucedem o 64.
4. O último número da fatoração de um número perfeito é sempre um PM. Como todo número perfeito é
dado pela forma: 2n – 1(2n – 1) e 2n – 1 é sempre um PM, logo, ao se fatorar um número perfeito, obtém-se:
2n (2n – 1).
Fatorando os números perfeitos: 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, obtémse:
33550336 = 212 x 8191. O número 8191 é o último da fatoração e 8191 = 213 – 1 (PM)
8589869056 = 216 x 131071. O número 131071 é o último da fatoração e 131071 = 217 – 1 (PM)
137438691328 = 218 x 524287. O número 524287 é o último da fatoração e 524287 = 219 – 1 (PM)
2305843008139952128 = 230 x 2147483647. O número 2147483647 é o último da fatoração e
2147483647 = 231 – 1 (PM).
Portanto, essa é outra maneira para se obter a fórmula que gera números perfeitos.
Conjectura (Sebá 1). Todo primo de Mersenne termina em 1 ou 7.
Como 212 e 216 terminam em 6; 218 e 230 terminam em 4, conjecturei:
Conjectura (Sebá 2). Todo número par perfeito termina em 6 (6 x 1) ou em 8 (4x7).
A chance de um número ímpar composto ser um número perfeito é mínima. Se não,vejamos.
Entre 8 e 100 existem três números ímpares compostos com apenas uma propriedade de um número perfeito
par (15, 45 e 55); e um com apenas uma propriedade parcial de um número perfeito par (91).
1) 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Os números da soma não se repetem e, além disso, 3 x 5 = 15;
2) Em ordem crescente os divisores de 15 são: 1, 3, 5, 15. O número de divisores que antecede o 3 é igual
ao número de divisores que sucede o 5, mas 5 não é um primo de Mersenne;
3) 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. O número de parcelas que antecede o 3 é igual ao número de parcelas que
sucede o 3, mas o 3 não é um primo de Mersenne.
1) 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9. Os números da soma não se repetem e, além disso, 5 x 9 = 45
2) Em ordem crescente os divisores de 45 são: 1, 3, 5, 9, 15, 45. O número de divisores que antecede o 5 é
igual ao número de divisores que sucede o 9, mas 9 não é um primo;
3) 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 . O número de parcelas que antecede o número 5 é igual ao
número de parcelas que sucede o número 5, mas 9, o último número da soma, não é um primo.
1) 55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Os números da soma não se repetem, mas não existem dois
números da soma cujo produto seja igual a 55.
2) Em ordem crescente os divisores de 55 são: 1, 5, 11 e 55. O 11 não é um primo de Mersenne.
3) 55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. O número de parcelas que antecede o número 5 não é igual
ao número de parcelas que sucede o número 5 e, além disso, o último algarismo da soma não é um
primo.
1) 91 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13. Os números da soma não se repetem e, além
disso, 7 x 13 = 91.,
2) Em ordem crescente os divisores de 91 são: 1, 7, 13, 91. O número de divisores que antecede o 7 é igual
ao número de divisores que sucede o 13, mas 13 não é um primo de Mersenne;
3) 91 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13. O número de parcelas que antecede o
número 7 é igual ao número de parcelas que sucede o número 7, mas o último número da soma não é
um primo de Mersenne.
Conclusão
Os números 15, 45 e 91 têm apenas uma propriedade de um número perfeito: os números da soma não se
repetem e, além disso, existem dois números da soma cujo produto é igual ao próprio número: 3 x 5 = 15, 5
x 9 = 45 e 7 x 13 = 91.
O número 55 tem apenas uma propriedade parcial de um número perfeito: os números da soma não se
repetem, mas não existem dois números da soma cujo produto seja igual a 55.
Os Dez Primeiros Números Pares Perfeitos
N
a(n)
1
6
2
28
3
496
4
8128
5
33550336
6
8589869056
7
137438691328
8
2305843008139952128
9
2658455991569831744654692615953842176
10
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
Número Ímpar Perfeito de Sebá
Existem alguns números N ímpares com a seguinte propriedade: a raiz quadrada do produto dos divisores
próprios de N (excluindo N) é igual a N.
N
45
153
Divisores próprios
1, 3, 5, 9 e 15
1, 3, 9, 17 e 51
Produto
2025
23409
Raiz quadrada
45
153
Como até a data presente nenhum matemático demonstrou se existe ou não um número ímpar perfeito,
então, dei a seguinte definição para um número ímpar perfeito de Sebá.
Definição.Um número inteiro N ímpar é um número ímpar perfeito de Sebá, se a raiz quadrada do produto
dos seus divisores próprios (excluindo N) for igual a N.
Os divisores próprios de 28, excluindo 28, são: 1, 2, 4, 7 e 14. O produto dos divisores próprios de 28,
excluindo 28, é: 1 x 2 x 4 x 7 x 14 = 784 e 784  28 . Como um número N par é perfeito se a soma dos
seus divisores próprios (excluindo N) é igual a N, e 28 além de ser um número par perfeito, a raiz quadrada
do produto de seus divisores próprios, excluindo 28, é igual a 28, então, 28 é um número par mais-queperfeito de Sebá. Como qualquer número N par perfeito maior que 28, a raiz quadrada dos seus divisores
próprios, excluindo N, é maior que N, então, existe apenas um número par mais-que-perfeito de Sebá que é
o 28.
O autor é professor aposentado da UFCG-PB