Conceitos Básicos - Álgebra - Classe de 2004 de Engenharia da

Engenharia da Computação 2004
Cálculo Diferencial e Integral I
Turma 1aB
Conceitos Básicos - Álgebra
Segue uma lista de conceitos que os alunos devem responder, pesquisando livros de Matemática e de Cálculo
Diferencial e Integral:
Números
1) Que são números primos ? Dê alguns exemplos
2) Que são números fracionários e como são representados ?
3) Que é uma fração própria ?
4) Que é uma fração imprópria ?
5) Que é uma fração mista ?
6) Quando duas frações são ditas equivalentes ?
7) Como se simplifica uma fração ?
8) Que é uma fração irredutível ?
9) Quais são os dez primeiros múltiplos de 3 ? e de 5 ? e de 6 ?
10) Quais são os três primeiros múltiplos comuns de 3 , 5 e 6 ?
11) Qual é o menor (mínimo) dos múltiplos comuns de 3 , 5 e 6 ?
12) Como se compara duas frações que têm mesmo denominador ?
13) Como se compara duas frações que têm denominadores diferentes ?
14) Como se efetua a adição de frações, quando os denominadores são iguais ?
15) Como se efetua a adição de frações quando os denominadores são diferentes ?
16) Como se efetua a subtração de frações, quando os denominadores são iguais ?
17) Como se efetua a subtração de frações quando os denominadores são diferentes ?
18) Como se efetua a multiplicação de duas frações ?
19) Como se efetua a divisão de duas frações ?
20) Que são Números Naturais ?
21) Que são Números Inteiros ?
22) Que são Números Racionais ?
23) Que são Números Irracionais ?
24) Que são Números Reais ?
Números Reais e suas propriedades
25) Como podemos representar graficamente os Números Reais?
26) O que diz a propriedade Associativa da Adição de Números Reais ?
27) O que diz a propriedade Associativa da Multiplicação de Números Reais ?
28) O que diz a propriedade Comutativa da Adição de Números Reais ?
29) O que diz a propriedade Comutativa da Multiplicação de Números Reais ?
30) O que diz a propriedade do Elemento Neutro da Adição de Números Reais ?
31) O que diz a propriedade do Elemento Neutro da Multiplicação de Números Reais ?
32) O que diz a propriedade do Elemento Oposto da Adição de Números Reais ?
33) O que diz a propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação de Números Reais ?
34) O que diz a propriedade Distribuitva da Multiplicação de um Número Real em relação à Adição de outros
Números Reais ?
35) O que diz a propriedade Reflexiva ?
36) O que diz a propriedade Anti-simétrica ?
37) O que diz a propriedade Transitiva ?
38) O que diz a propriedade Dicotômica ?
39) O que diz a propriedade Tricotômica ?
40) O que diz a propriedade do Anulamento do Produto ?
Engenharia da Computação 2004
Cálculo Diferencial e Integral I
Dados quatro números reais quaisquer: x , y , z e w
41) Se
x≤y
então
x + z ≤ y +
42) Se
x≤y
então
x + z ≤ y +
43) Se
x≤y
então
x + z ≥ y +
44) Se
x≤y e z≤w
então
x + z ≤ y +
z
z
z
z
Turma 1aB
quando z ≥ 0
quando z ≤ 0
Regras de Sinais
45) Faça um resumo das Regras dos Sinais para a Adição
46) Faça um resumo das Regras dos Sinais para a Multiplicação
47) O que é Potência inteira n de um número real x
Potência de Números Reais e suas propriedades
48) O que é Potência inteira n de um número real x
49) Faça um resumo das propriedades da potência
Propriedades
x = 1(x diferente de zero)
xm xn = xm+n
xm ym = (xy)m
xm ÷ xn = xm-n
xm ÷ ym = (x/y)m
(xm)n=xmn
xm÷n = (xm)1/n
x-m = 1 ÷ xm
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n
o
Alguns exemplos
5 =1
52 . 54 = 56
52 32 = 152
520 ÷ 54 = 516
52 ÷ 32 = (5/3)2
(53)2 = 1252 = 15625 = 56
53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2 = 1 ÷ (125)1/2
o
Expressões Algébricas
50) O que são expressões algébricas ? Dê exemplos.
51) Qual é a prioridade na execução de operações, numa expressão contendo operações de adição e de
multiplicação ?
52) Escrever a expressão algébrica:
a. do perímetro de um triângulo eqüilátero de lado a
b. do perímetro de um triângulo qualquer de lados a , b e c
c. do quadrado de lado a
d. da área de um triângulo (lado a e altura h)
e. da área de um quadrado de lado a
f. da área de um retângulo de lados a e b
g. da área de um losângo de eixo menor a e eixo maior b
h. do volume de um cubo de aresta a
i. do volume de uma esfera de raio r
j. do volume de um cilindro reto de altura h e base de raio r
53) Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos
seguintes fatos:
a. O dobro desse número
b. O sucessor desse número
c. O antecessor desse número (se existir)
d. A terça parte desse número somado com seu sucessor
e. Considere y = 9 e calcule o valor de cada expressão anterior
54) O que é um monômio ? um binômio ? um trinômio ? um polinômio ?
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Cálculo Diferencial e Integral I
Turma 1aB
Produtos Notáveis
55) Expresse os resultados dos seguintes produtos notáveis:
a. (a + b)2 = (a + b) . (a + b) =
b. (a – b) 2 = (a – b) . (a – b) =
c. (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
d. (a – b) 3 = (a – b) . (a – b) . (a – b) =
e. (a + b) . (a – b) =
f. (a + b) . (a – b) 2 =
g. (a – b) . (a + b) 2 =
Cuidado ! Este erro muito comum: (x+y)2 = x2 + y2 não é verdade a menos que um dos
dois termos seja nulo.
56) Complete as expressões nos lugares de [ ]
a. (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49
b. (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ]
c. [ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81
d. (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ]
e. (c + 8)2 = c2 + [ ] + [ ]
f. (p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ]
57) Desenvolva
a. (a + 8)2 =
b. (4y + 2)2 =
c. (9k/8 + 3)2 =
d. (5x - 9)2 =
e. (k - 6s)2 =
f. (6 - m)(6 + m) =
g. (b + 6)(b - 6) =
h. (6 + b)(b - 6) =
i. (6 + b)(6 - b) =
j. (100 - u)(100 + u) =
k. (u - 100)(100 + u) =
Resolução de Equações
58) Como se resolve a equação do primeiro grau :
a x + b = 0?
2
59) Como se resolve a equação do segundo grau : a x + b x + c = 0?
Fatoração de Expressões Algébricas
60) O que significa fatorar uma expressão algébrica ?
61) Como se expressa o caso de fatoração por evidência ?
62) Como se expressa o caso de fatoração por agrupamento ?
63) Como se expressa o caso de fatoração do trinômio do segundo grau? P(x) = ax2 + bx +c
Sendo ∆ > 0 , x1 e x2 são raízes distintas da equação ax2 + bx +c =0
P(x) = ax2 + bx +c = a.(x – x1). (x – x2)
Sendo ∆ = 0 , x1 e x2 são raízes iguais da equação ax2 + bx +c =0
P(x) = ax2 + bx +c = a.(x – x1) 2
Sendo ∆ < 0 , a equação ax2 + bx +c =0 não possui raízes reais
P(x) não é fatorável
64) Como se fatora um polinômio de grau n ≥ 3? P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ … + an-2x2 + an-1xn-1 + an
Seja o polinômio de grau n ≥ 3: com coeficientes inteiros, isto é:
P( x)  a n x n  a n 1 x n 1  a n  2 x n  2      a 2 x 21  a1 x  a0 , com an  0
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Cálculo Diferencial e Integral I
Turma 1aB
Teorema 1:
Se “um número inteiro α é raiz de um polinômio P(x) ”, então “α é divisor do termo independente”
Teorema 2:
Se “um número inteiro α é raiz de um polinômio P(x) ”, então “P(x) é divisível por (x- α) ”
Obs: Se P(x) é divisível por (x- α), o resto da divisão é nulo.
Nesse caso, podemos escrever que: P(x) = Q(x) . (x- α)
Exercício: Encontrar as raízes inteiras de P(x) = x3 + 2x2 + x – 4
Resolução
1) Os divisores inteiros do termo independente
–4 , –2 , –1 , 1 , 2 , 4
2) Verificar quais deles podem ser raízes ( os α’s)
substituímos cada um desses divisores, e calculamos os valores:
P(4) = 43 + 2.42 + 4 – 4 = 64 + 32 + 4 – 4 = 96
P(2) = 23 + 2.22 + 2 – 4 = 8 + 8 + 2 – 4 = 14
P(1) = 13 + 2.12 + 1 – 4 = 1 + 2 + 1 – 4 = 0
P(-1) = (–1)3 + 2.(–1)2 + (–1) – 4 = –1 + 2 – 1 – 4 = – 4
P(-2) = (–2)3 + 2.(–2)2 + (–2) – 4 = –8 + 8 – 2 – 4 = – 6
P(-4) = (–4)3 + 2.(–4)2 + (–4) – 4 = –64 + 32 – 4 – 4 = – 40
Assim, temos como raiz somente o valor α = 1
Pelo teorema 2, P(x) divisível por (x – 1), isto é: P(x) = Q(x) . (x – 1)
1
1
2
(1.1 + 2)
1
Q(x) = x2 + 3x + 4
3
–4
1
(1.3 + 1)
(1.4 – 4)
4
0
e R(x) = 0
Portanto (x3 + 2x2 + x – 4) = (x2 + 3x + 4) . (x – 1)
Exercícios da página 10 – Guidorizzi: Exercícios 1.2 : 17, 19, 20
Apêndice 1 - Divisão de Polinômios
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Ao dividirmos P(x) por D(x) , podemos encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfazem as
duas condições abaixo:
1ª)
Nessa divisão: P(x) é o dividendo;
P ( x ) D( x )
2ª) ou
D(x) é o divisor;
R( x) Q( x)
Q(x) é o quociente;
R(x) é o resto da divisão.
Turma 1aB
Engenharia da Computação 2004
Cálculo Diferencial e Integral I
Método da Chave
Determinar o quociente de por
Resolução:
x 4  x3  7 x 2  9 x  1
Verificamos que:
x 2  3x  2
 x 4  3x3  2 x 2
x 2  2 x  1  Q( x)
 2 x3  5 x 2  9 x  1
2
x

x
-
7x
9x
- 1  (x 2  3x - 2) (x 2 - 2x  1)  (2x  1)
  


4
3
P(x)
D(x)
Q(x)
R(x)
 2x  6x  4x
3
2
x2  5x  1
 x 2  3x  2
2 x  1  R( x)
Método de Briot-Ruffini
Devemos seguir os passos d
1) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte
de cima da “cerquinha”.
2) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o
produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e
somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e
assim sucessivamente.
5) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números
que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio por (x-2).



2
RAIZ DO DIVISOR
COEFICIENTES DE P(x)




3
5
1
2

3.(2)  5
1.(2)  1
3.(2)  2
3
3

1

4



COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x)
RESTO
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
Estudo de Sinais de Polinômios
65) Sinais da Expressão do Primeiro Grau
66) Sinais do Produto de Várias Expressões do Primeiro Grau
67) Sinais do Quociente de Várias Expressões do Primeiro Grau
Inequações
68) Contendo apenas uma Expressão Algébrica do Primeiro Grau
69) Contendo varias Expressões Algébricas do Primeiro Grau
70) Contendo varias Expressões Algébricas
71) Faça os exercícios de 1 a 20 da serie Exercícios 1.2 : pág 10, 11; 12; 13 – Guidorizzi