Segunda Aula - GEOCITIES.ws

SEGUNDA AULA DE ESTATÍSTICA II
1 EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência
do outro.
Exemplo: Lançamento da moeda por duas vezes
A probabilidade de se obter cara ou coroa, no segundo lançamento, não é
afetada pelo resultado do primeiro lance.
A probabilidade de obtermos uma seqüência particular, duas caras, por
exemplo, pode ser associada aos acontecimentos de cada lance. Assim:
P(cc) = P(c (primeiro lançamento)) . P(c (segundo lançamento)) =
1 1 1
 
2 2 4
Dado dois eventos independentes, a probabilidade de ocorrência conjunta é definida
pela regra da multiplicação.
P( A  B)  P( A  B)  P( A)  P( B)
Para n eventos independentes:
P( A1  A2  ...  An )  P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )
Exemplo: Em uma experiência, que consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas
moedas, qual a probabilidade de se obter um “cinco” e duas coroas em uma única jogada
P(5kk)  P(5  k  k )  P(5)  P(k )  P(k ) 
1 1 1 1
  
6 2 2 24
2 PROBABILIDADE CONDICIONADA
A probabilidade condicionada ocorre nos casos em que a condição de independência
estatística não é satisfeita.
Exemplo:
Seja a seguinte tabela de preferências de times de futebol:
Homens
Mulheres
Total
Vasco
40
15
55
Flamengo
10
35
45
Total
50
50
100
Responda às seguintes perguntas:
1)
Nessa amostra, ao se escolher uma pessoa, qual a probabilidade de ela
torcer pelo flamengo
P( Flamengo) 
2)
casosfavoráveisaflamengo 45

 0,45  45%
totaldecasosobserváveis
100
Ao se escolher uma pessoa, dado que ela seja mulher, qual a
probabilidade de ela torcer pelo Vasco
P(TorcerVasco / mulher ) 
3)
casosfavoráveisaVascoemulher 15

 0,3  30%
casosfavoráveisamulher
50
Ao se escolher uma pessoa, sabendo que a mesma torce pelo Vasco, qual
a probabilidade de ser homem
P( SerHomem / Vasco) 
casosfavoráveisa hom emeVasco 40

 0,73  73%
casosfavoráveisaVasco
55
Assim, dados dois eventos A e B, a probabilidade que o evento B ocorra, dado que o
evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por P( B / A) , que lê-se
probabilidade de B dado que A tenha ocorrido.
Consolidando o conceito:
Suponha que existam 10 rótulos de papel que possam ser diferenciados pelo número
e pela cor, por exemplo: os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos e os outros são
brancos. Se todos forem colocados em uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de
extrair um rótulo em particular é igual a 1 . Se porém, após retirar o rótulo ao acaso, ele
10
for amarelo, qual a probabilidade de que o rótulo de número 1 seja extraído
Resposta:
Como já se sabe de antemão que o rótulo escolhido é o amarelo, o número de casos
favoráveis a este evento (retirar um rótulo amarelo) é igual a 3. Por outro lado, o numero de
casos favoráveis a retirar o rótulo 1 amarelo é igual a 1. Assim sendoÇ
P(rótulo1 / amarelo) 
casosfavoráveisarótulo1eamarelo 1

casosfavoráveisaamarelo
3
Dividindo-se o numerador e o denominador pelo número total de casos possíveis,
tem-se:
P(rótulo1 / amarelo) 
casosfavoráveisarótulo1eamarelo
totaldecasospossíveis
casosfavoráveisaamarelo
totaldecasospossíveis

P(rótulo1eamarelo)
P(amarelo)
De um modo geral, dados dois eventos A e B, que não são independentes, a
probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como:
P( A / B) 
P( A  B)
P( B)
Exemplo: Uma carta é retirada de um baralho. Qual a probabilidade de ser um rei preto,
dado que a carta retirada foi uma “figura” (valete, dama ou rei)
Resposta:
Sejam: A = {rei preto} e B = {Figura}, então:
P( A / B) 
P( A  B)

P( A)
2
52
12
52

2 1

12 6
3 REGRA GERAL DA MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
“A probabilidade de ocorrência de dois simultânea de dois eventos A e B, do
mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade condicionada do outro, dado o
primeiro.
P( A  B)  P( A) P( A / B)
ou
P( A  B)  P( B) P( B / A)
Exemplo: Uma urna contém três bolas brancas e oito pretas. Uma bola é retirada ao
acaso e não reposta: então uma outra bola é retirada. Qual a probabilidade de ambas serem
pretas
Solução:
A primeira bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma segunda
bola preta, logo, os eventos não são estatisticamente independentes, logo:
P(ambaspretas)  P( primeirapr eta)  P( segundapreta / primeirapr eta)
P(ambaspretas) 
8 7
56 28
 

11 10 110 55
Ou, de outra forma, sejam os seguintes conjuntos:
A = {preto na primeira} e B = {preto na segunda}
A probabilidade procurada é:
P( A  B)  P( A)  P( B / A) 
8 7
56 28
 

11 10 110 55
Exemplo: Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Se A for o evento “sair
coroa” e B o evento “ocorrer o 3”, constatar que os eventos A e B são independentes.
Solução:
Sejam os conjuntos:
A = {sair coroa} e B = {ocorrer o 3} A  B  {sair coroa e o 3}
Então:
A = {(k,1),(k,2),(k,3),(k,4),(k,5),(k,6)}
B = {(k,3), (c,3)}
A  B  {(k,3)}
S = {(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6),(k,1),(k,2),(k,3),(k,4),(k,5),(k,6)}
Assim:
P ( A) 
6
12
P( B) 
2
12
P( A  B) 
1
12
P( A)  P( B) 
6 2
1
 
 P( A  B)  Os eventos são independentes
12 12 12