fundação educacional unificada campograndense – feuc

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE – FEUC
FACULDADE DE FILOSOFIA DE CAMPO GRANDE - RJ
CENTRO DE ESTUDOS, PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA – CEPOPE
OS ELEMENTOS – LIVRO I DE EUCLIDES DE ALEXANDRIA
PÁGINA HOSPEDADA EM:
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr
VIVALDO DE ANDRADE BORGES JÚNIOR
RIO DE JANEIRO
2004
OS ELEMENTOS – LIVRO I DE EUCLIDES DE ALEXANDRIA
PÁGINA HOSPEDADA EM:
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr
VIVALDO DE ANDRADE BORGES JÚNIOR
Monografia
apresentada
como
requisito parcial para obtenção do
título de Especialista em Matemática
do Ensino Fundamental e Médio no
Centro de Estudo, Pós-Graduação e
Pesquisa – CEPOPE da Faculdade
de Filosofia de Campo Grande.
Orientador: Prof. Carlos Matias
Rio de Janeiro
Junho / 2004
2
Júnior, Andrade Borges Vivaldo
OS ELEMENTOS – LIVRO I DE EUCLIDES DE
ALEXANDRIA
PÁGINA HOSPEDADA EM:
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr
Rio de Janeiro: Faculdade de Filosofia de Campo
Grande: CEPOPE, 2004.
Monografia de Especialista em Educação Matemática
do Ensino Fundamental e Médio.
1. Educação Matemática
2. Internet
3. Experiência lúdica com Os Elementos, obra de
Euclides de Alexandria.
I. CEPOPE – RJ.
i
VIVALDO DE ANDRADE BORGES JÚNIOR
OS ELEMENTOS – LIVRO I DE EUCLIDES DE ALEXANDRIA
PÁGINA HOSPEDADA EM:
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr
MONOGRAFIA SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO
DOCENTRO DE ESTUDOS, PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA – CEPOPE DA
FACULDADE DE FILOSOFIA DE CAMPO GRANDE COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
ESPECIALISTA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL
E MÉDIO.
Aprovada por:
____________________________________________
Prof Carlos Matias
____________________________________________
Prof Carlos Matias
____________________________________________
Prof Carlos Matias
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
XX DE XXXXXXX DE 2004.
ii
Dedicatória
A Deus, autor e principio da existência;
A minha família;
iii
Agradecimentos
Aos meus professores, pelo incentivo e orientação.
Aos meus sobrinhos: Celton, Emeline e Rafael, a minha filha Verônica, e ao
colega Daniel Liberman pela colaboração nas experiências em campo.
iv
“O homem rude vê as formas geométricas,
mas não as entende; o inculto entende-as,
mas não as admira; o artista, enfim,
enxerga a perfeição das figuras, compreende
o Belo e admira a Ordem e a Harmonia!
Deus é o grande geômetra.
Geometrizou a Terra e o Céu “
Platão.
v
RESUMO
Este trabalho monográfico destina apresentar a experiência obtida com a
publicação, na internet, de um site que apresenta a obra Os Elementos de
Euclides de Alexandria – Livro I – das demonstrações das proposições usando
o software Cinderella para construções “on line” e, para proveito do referido
trabalho para fins educacionais, submetido a estudo por internautas em geral,
estudantes de nível fundamental e superior.
vi
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figuras e ilustrações
Pág.:
Fig.: 1 – Mapa do site hospedado em http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr 14
Fig.: 2 – Título da página
16
Fig.: 3 – Menu principal
16
Fig.: 4 – Página de introdução.
17
Fig.: 5 – Lista das definições.
20
Fig.: 6 – Os postulados e a demonstração do 5º postulado
21
Fig.: 7 – Os axiomas
21
Fig.: 8 – As proposições
26
Fig.: 9 – Organização das páginas de demonstração das proposições
27
Fig.: 10a – Exemplo de construção de demonstração de uma proposição –
Enunciado e estado inicial
28
Fig.: 10b – Exemplo de construção de demonstração – Dica e construção
29
Fig.: 10c – Exemplo de construção de demonstração – Demonstração e
estado final
30
Fig.: 11 – Página de ajuda.
33
Fig.: 12 – Exercício de ajuda do compasso
34
vii
SUMÁRIO
RESUMO.............................................................................................................. vi
LISTA DE ILUSTRAÇÕES..................................................................................
vii
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO............................................................................ 9
CAPÍTULO II – A PÁGINA E SUA ESTRUTURA................................................ 10
CAPÍTULO III – ENSAIOS E EXPERIÊNCIAS.................................................... 11
13
14
16
viii
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO
A aplicabilidade do lúdico no aprendizado em qualquer área tem se
mostrado muito mais proveitoso, haja vista a presença das ilustrações e formas
esquemáticas que povoam nossos livros. A palavra traz muito da essência da
comunicação, mas não basta em si própria. Torna-se ai necessário os
símbolos, as figuras e as formas, que geometricamente dispostas e
harmonizadas com o tema que se quer apresentar, transferem ao pensamento,
a consciência mais aproximada possível da realidade ou da proposta de
conhecimento a ser transmitida. Então o exercício da prática também é um
instrumento preciossisimo na aplicabilidade dessa proposta, literalmente
“metendo a mão na massa” conseguimos alcançar com mais eficiência as
bases do conhecimento.
Com base neste raciocínio, pensamos em expor numa página da
Internet, de forma simples, porém concisa e prática, a riqueza que nos traz a
obra Os Elementos, que tem por seu principal autor Euclides de Alexandria (+/300 a.C.). Composta por quinze livros (ou volumes), onde trata dos acordos da
matemática até então conhecidos. Esta obra é tida como uma das mais
fascinantes da história humana, trata-se do trabalho mais traduzido e estudado,
excetuando-se a Bíblia. Foi, ao longo desses séculos, enriquecida por célebres
matemáticos, dos quais destacamos: Heron, Papus, Proclus, Simplicius, Teão
de Alexandria (séc I a.C.), Hipsicles de Alexandria (séc. VII), Isidro de Mileto
(séc VI), dentre outros. Cada um deles contribuiu para tornar esta obra o mais
interessante possível, se bem que nem todos lograram bons êxitos em suas
propostas, ora por carência de provas mais exatas, ora por preciosismo
exagerado. Dos quinze volumes, atribui a Euclides a composição dos treze
primeiros, os demais foram escritos por outros autores ou discípulos de
Euclides. A autoria de Euclides está assim dividida:

Livro I - Constitui-se por 23 definições, 5 postulados, 5 axiomas ou
noções comum e 48 proposições, onde temos como aspectos
9
relevantes a congruência de triângulos, as propriedades das retas e
paralelas, os paralelogramos e o Teorema de Pitágoras;

Livro II – É constituído por 2 definições e 14 proposições, onde é
tratado, principalmente a álgebra geométrica;

Livro III – Possui 11 definições e 37 proposições, cujo aspecto mais
relevante ali tratado é a teoria dos círculos;

Livro IV – Encontra-se neste volume 7 definições e 16 proposições
que tratam, principalmente, da construção de figuras inscritas e
circunscritas;

Livro V – Dispõe de 18 definições e 25 proposições cujo tema central
é a teoria das proporções de Eudóxio na sua forma puramente
geométrica;

Livro VI – Figuram nesse volume 11 definições e 37 proposições,
onde predominam o estudo das figuras semelhantes e proporções na
geometria, também faz menção ao teorema de Pitágoras e a
generalização do método de aplicação das áreas;

Livro VII – Aqui encontra-se 22 definições e 39 proposições, cuja
relevância abrange a introdução dos números e o algoritmo de
Euclides para determinação do máximo divisor comum entre dois
números;

Livro VIII – É constituído por 27 proposições que tratam,
principalmente, dos números enquanto progressão geométrica;

Livro IX – Neste volume encontramos 36 proposições sobre a
demonstração da existência infinita de números primos;

Livro X – Dispõe de 16 definições e 115 proposições, cujo aspecto
relevante é a teoria dos números irracionais;

Livro XI – Constituído por 28 definições e 39 proposições que tratam
dos sólidos geométricos;

Livro XII – Composto por 18 proposições, onde são tratadas as
medidas de figuras utilizando o método da exaustão;

Livro XIII – São 18 proposições sobre as propriedades dos sólidos
regulares.
10
O foco do nosso trabalho concentra-se, a princípio, no Livro I, onde
estão expostos os tratados da geometria clássica plana. Axiomas, definições,
postulados e proposições estão ali dispostos, de forma que podemos perceber
nos conceitos formulados sua validade, excetuando-se ai o quinto postulado,
objeto de discussão e disputas entre muitos matemáticos. Conta a história que
até mesmo o próprio Euclides suspeitava da não validade deste postulado,
contudo, necessitava dele para dar continuidade ao seu trabalho, ele e muitos
sucessores tentaram demonstrá-lo a partir de outros axiomas geométricos, sem
sucesso. A primeira tentativa, além de Euclides, atribui-se a Ptolomeu de
Alexandria (c. 90 – 168). Proclo Licio (410 – 485) criticou este postulado
escrevendo:
“Este postulado deve ser eliminado da lista, pois é
uma proposição com muitas dificuldades que
Ptolomeu, em certo livro, propôs resolver... A
asserção de que duas retas, por prolongar mais e
mais acabam por se encontrar, é plausível, mas não
necessária (...) É claro, portanto, que devemos
procurar uma demonstração do presente teorema, e
que este é estranho ao caráter especial dos
postulados.” [www.opombo]
Esta disputa continuou até meados do século XIX, quando Karl Gauss
(1777 – 1855), Nicolai Lobachewsky (1792 – 1856), Janos Bolyai (1802 –
1860), entre outros, conseguiram demonstrar a invalidade deste postulado na
recém inaugurada Geometria Hiperbólica. Daí decorre que todas as
proposições dependentes deste postulado, tem seu reflexo inexato na espaço
hiperbólico. Vejamos a contraposta de duas propostas de enunciados para este
postulado:
“Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar
infinitas retas paralelas e esta reta.” (geometria de
Lobachevski);[www.opombo]
“Por um ponto exterior a uma reta, não podemos
traçar nenhuma paralela a esta reta.” (geometria de
Riemann). [www.opombo]
11
Por fim temos que, substituindo o axioma das paralelas, duas outras
geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerente e sem
nenhuma contradição. Estas duas alternativas foi pouco sendo admitida e
reconhecida como legítimas, chegando, até mesmo provar que se houvesse
qualquer
contradição,
a
própria
geometria
euclidiana
seria
também
contraditória. Desde então, estamos perante os três sistemas geométricos
diferentes:

A geometria euclidiana, também chamada parabólica;

A geometria hiperbólica, ou geometria de Lobachevski;

A geometria esférica, ou geometria de Riemann.
A
exposição
do
Livro
I
em
nossa
página
hospedada
em
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr conta com a lista das vinte e três
definições, os cinco postulados, as cinco axiomas e as quarenta e oito
proposições, estas últimas além dos enunciados, usamos o software Cinderella
(Gerbet & Kortenkamp; 1996 – 2003) para construção, em forma de exercícios,
as construções e demonstrações das quarenta e oito proposições constantes
no Livro I. Com isso o usuário poderá verificar a exatidão das proposições,
construindo,
interativamente
comprobatórios.
A
e
potencialidade
em
do
interface
software
amigável
Cinderella
os
gráficos
fornece
as
ferramentas (traço de retas usando régua não graduada, marcação de pontos
de interseção e livres e compasso) necessárias a cada tarefa, mas caso o
usuário desconheça o software Cinderella e suas facilidades, dispomos uma
ajuda on-line, que o capacita a absorver e exercitar o aprendizado das
ferramentas disponíveis, além de um dispositivo (botão) que constrói a
demonstração da proposição automaticamente e apresenta sua conclusão.
A consistência de cada demonstração está garantida, uma vez que o
próprio software Cinderella apresenta excelente qualidade e estabilidade, mas
no entanto, é requerido que o usuário possua em seu computador o suporte a
execução de applets Java (Sum Microsystems - 1992), que é a linguagem
nativa do produto. O HTML (acrônimo de Hiper Text Markup Language –
Linguagem de construção em hiper texto) dinâmico (padrão de linguagem
12
multiplataforma para páginas da Internet) se encarrega de interpretar o script
applets, contido no código Java e expor ao navegador. A disponibilidade dessa
tecnologia apresenta como vantagem relevante numa publicação na Internet,
isto porque apresenta a característica multiplataforma, podendo ser acessada
por computadores baseados na tecnologia Intel (Intel Corporation) ou Apple
(Machintosh Ind. Co.), tanto uma como a outra independe do sistema
operacional, mas, no entanto, verificamos boa performance, tanto em máquinas
que rodam o Linux (Linus Torvalds, 1988), o Windows, em versões superiores
ao Windows 95 e MacOS, superiores ao 5,0.
As fontes de caracteres, porém, podem variar conforme a disponibilidade
das mesmas instaladas nas máquinas do cliente, mas, no entanto, observa-se
boa compatibilidade com as fontes residentes ou substitutas, mesmo em
plataformas Linux e Machintosh, objeto esse que não compromete a
exploração do site.
Outro aspecto que vale a pena ser mencionado, diz respeito a resolução
do monitor, ao qual recomendamos como mínimo 800 x 600 pixels (unidade ou
ponto de resolução em monitores de vídeo, cujo padrão é o SVGA), sendo o
mais recomendado a resolução de 1024 x 768 pixels. A quantidade de cores
requerida é de no mínimo 256 cores para este padrão.
A memória, para se obter uma boa performance, deve situar acima dos
64 Mb de RAM. Mas ressaltamos que para atingir esta boa performance é
requerido que a conexão com a Internet seja de velocidade igual ou superior a
56Kbps, para linhas discadas ou 64 Kbps para tecnologias de conexão de alta
velocidade (ISDN, Cable modem, etc.).
13
CAPÍTULO II – A PÁGINA E SUA ESTRUTURA
Reportemos ao esquema abaixo:
Fig.: 1 – Mapa do site hospedado em http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr
Neste esquema visualizamos a estrutura da página, bem como os
acessos
disponibilizados
pelos
links,
observamos
também
que
o
funcionamento das demonstrações das proposições e ajuda das ferramentas
de construções recorrem a uma biblioteca de funções (arquivo cindyrun.jar) e a
cada um deles estão ligados os respectivos códigos em Java, produzidos pelo
software Cinderella, esses arquivos são a parte funcional das demonstrações.
14
A home page constitui-se por três campos paginados que a subdividem
em:

Cabeçalho: onde reportamos o título da página;
OS ELEMENTOS - Livro I de Euclides de Alexandria
@by Vivaldo Júnior
Fig.: 1 – Título da página

Menu principal: para acesso a introdução (apresentação); aos tópicos
das definições, postulados, axiomas e proposições; links de interesse
inerentes ao tema; pesquisa de opinião; contato com o autor da página;
agradecimentos e links direto com a FEUC e o site do software
Cinderella.
Fig. 2: Menu principal.

Apresentação e Conteúdo: Onde discorremos sobre a importância da
geometria e a influencia da obra de Euclides neste ramo da matemática
(Apresentação) e as demais funcionalidades da home page (Conteúdo).
15
A matemática encontra sua origem nos primórdios da
civilização humana, tão antiga quanto o raciocino lógico e preciso dos primeiros pensadores, é a partir
da evolução da contagem – primeiro elemento fundamentalmente utilizado – chega-se a necessidade
das medições, comparações de espaço e volume, neste momento surge a geometria como o primeiro
ramo da matemática a consolidar-se, é a ferramenta mais utilizada, de forma rústica e sem nenhum
padrão, apenas usada de forma empírica. Deve-se ao trabalho do matemático grego Euclides de
Alexandria (aproximadamente 300 a.C.), que reuniu na obra intitulada Os Elementos todo o
conhecimento matemático da sua época, composta de 13 livros, onde estão descritos as vinte e três
definições, cinco postulados, cinco axiomas e quatrocentos e sessenta e cinco proposições. A
sistematização e a organização como está constituída contribui como qualidade principal que o fez de
obra mais traduzida e estudada, excetuando-se a Bíblia. Esta obra é, no entanto, uma fonte de
estudo e influencia para muitos matemáticos até os dias de hoje. Muito já foi acrescentado, corrigido
em centenas de versões e reedições, mas a mais antiga dessas versões é a de autoria de Teão de
Alexandria, outros ilustres matemáticos também contribuíram para o enriquecimento dessa obra,
dentre eles Heron, Papus, Proclus e Simplicius.
Neste trabalho sintetizamos a obra de Euclides, mais focada no livro I, de forma que o
navegante possa apreciar seus tópicos e, embora, de forma simples, obter uma base suficiente para
compreensão da geometria clássica e seus fundamentos. Nas proposições, além do enunciado,
poderemos verificar a sua demonstração, acessando o link correspondente lá obtemos uma área de
trabalho baseado no software Cinderella e ali construir sua demonstração. Não achamos, necessário
aqui submeter aos mínimo detalhes, mas, no entanto, convidamos o leitor a visitar os sites, abaixo
linkados, neles encontrarão mais subsídios, que, certamente, darão conhecimento dessa apaixonante
obra.
Meus agradecimentos;
Vivaldo de Andrade B. Jr.
Fig.: 3 – Página de introdução.
O menu principal prove acessos aos demais recursos da home page,
que são exibidos no campo apresentação e conteúdo. As definições,
postulados, axiomas e proposições, aparecem em forma de lista, abaixo temos
reproduzidos estas listas e como elas estão dispostas:
16
Definições
Definição 1
Um ponto é o que não tem partes.
Definição 2
Uma linha é o que tem comprimento sem largura.
Definição 3
As extremidades de uma linha são pontos.
Definição 4
Uma linha reta é uma linha que assenta igualmente entre as
suas extremidades.
Definição 5
Uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura.
Definição 6
As extremidades de uma superfície são linhas.
Definição 7
Uma superfície plana é uma superfície sobre a qual assenta toda a linha
reta entre dois pontos quaisquer da superfície.
Definição 8
Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas que
se tocam numa superfície plana e que não fazem parte da
mesma linha reta.
Definição 9
E quando as linhas que contêm o ângulo são linhas retas, o
ângulo chama-se retilíneo.
Definição 10
Quando uma linha reta, incidindo com outra linha reta, fizer
com esta dois ângulos adjacentes iguais, cada um desses
ângulos é reto, e a linha reta incidente diz-se perpendicular à
linha com a qual incide.
Definição 11
Um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
Definição. 12
Um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
17
Definição 13
Uma fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.
Definição 14
Uma figura é aquilo que está contido por uma ou mais
fronteiras.
Definição 15
Um círculo é uma figura plana fechada por uma só linha de
forma que todas as linhas retas, que de um ponto existente no
meio da figura se conduzem para a circunferência, são iguais
entre si.
Definição 16
E o ponto chama-se centro do círculo.
Definição 17
O diâmetro do círculo é uma linha reta que passa pelo centro e
termina, em ambas as direções, na circunferência e tal linha
também bisseta o círculo.
Definição 18
Um semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e
a circunferência que é cortada pelo diâmetro. E o centro do
semicírculo é o mesmo que o do círculo.
Definição 19
Figuras retilíneas são as que são formadas por linhas retas,
sendo as figuras triláteras as que são formadas por três linhas
retas, os quadriláteros as que são formadas por quatro linhas
retas, e as multiláteras as que são formadas por mais de
quatro linhas retas.
Definição 20
Das figuras triláteras, o triângulo equilátero é a que tem três
lados iguais, o triângulo isósceles a que tem dois lados iguais
e o triângulo escaleno a que tem os três lados desiguais.
Definição 21
Das figuras triláteras, o triângulo retângulo é a que tem um
ângulo reto, o triângulo obtusângulo é a que tem um ângulo
obtuso e o triângulo acutângulo é a que tem todos os ângulos
agudos.
Definição 22
Das figuras quadriláteras, o quadrado é a que é
simultaneamente equilátera e retângula; o oblongo é a que é
retângula mas não é equilátera; o rombo é uma figura
equilátera mas não retângula; e o romboide é a que, tendo os
18
lados e ângulos opostos iguais, não é nem equilátera nem
retângula. E todas as outras figuras quadriláteras se chamam
trapézios.
Definição 23
Linhas retas paralelas são linhas retas que, estando na mesma
superfície plana e sendo estendidas indefinidamente em
ambas as direções, nunca se chegam a tocar.
Fig. 4 – Lista das definições.
Postulados
Postulado 1
É possível desenhar uma linha reta de qualquer ponto para
qualquer ponto.
Postulado 2
É possível produzir uma linha reta finita continuamente numa
linha reta.
Postulado 3
É possível descrever um círculo com qualquer raio e centro.
Postulado 4
Todos os ângulos retos são iguais.
Postulado 5
Se uma linha reta, encontrando-se com outras duas linhas
retas, fizer os ângulos internos da mesma parte menores que
dois ângulos retos, então estas duas retas, produzidas
indefinidamente, encontrar-se-ão no lado no qual os ângulos
são menores que dois ângulos retos.
19
Supondo três retas aa’, bb’ e cc’. O postulado 5 diz que se aa’ cortar bb’ e cc’
de modo que os ângulos <D e <E, somados, resultem em um ângulo menor
que dois ângulos retos, então bb’ e cc’ haverão de encontrar-se, desde que
suficientemente prolongados.
Fig.: 5 – Os postulados e a demonstração do 5º postulado.
Axiomas
Axioma 1
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre
si.
Axioma 2
Se iguais forem somados a iguais, então os todos são iguais.
Axioma 3
Se iguais forem subtraídos a iguais então os restos são iguais.
Axioma 4
Coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si.
Axioma 5
O todo é maior que a parte.
Fig.: 6 – Os axiomas.
20
Proposições
Proposição 1
É possível construir um triângulo eqüilátero a partir de uma
dada linha reta finita.
Proposição 2
É possível traçar uma linha reta igual a uma dada linha reta
com extremidade num dado ponto.
Proposição 3
É possível dadas duas linhas retas desiguais, obter da linha
reta maior uma parte igual à linha reta menor.
Proposição 4
Se dois triângulos têm dois lados iguais a outros dois lados
respectivamente, e se os ângulos compreendidos por esses
lados forem também iguais, então, as bases, os triângulos e os
ângulos que são opostos aos lados iguais, também são iguais.
Proposição 5
Em triângulos isósceles os ângulos da base são iguais e, se as
linhas retas iguais forem produzidas, então, os ângulos que se
formam debaixo da base são iguais.
Proposição 6
Se num triângulo dois ângulos são iguais, então, os lados
opostos aos ângulos iguais são também iguais.
Proposição 7
Dadas duas linhas retas que se intersectam num dado ponto,
construídas a partir das extremidades de uma outra linha reta,
não podem ser construídas outras duas linhas retas, a partir
das extremidades da mesma linha reta e do mesmo lado
desta, que se intersectem num outro ponto e que sejam iguais
às duas primeiras linhas retas construídas a partir da mesma
extremidade respectivamente.
Proposição 8
Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados
respectivamente, e bases também iguais, então também os
ângulos formados pela linhas retas iguais são iguais.
Proposição 9
É possível bissetar um dado ângulo reto.
21
Proposição 10
É possível bissetar uma dada linha reta finita.
Proposição 11
É possível traçar uma linha reta que passe por um ponto
contido numa outra linha reta e que faça com esta um ângulo
reto.
Proposição 12
É possível traçar uma linha reta perpendicular a uma dada
linha reta infinita e que passe por um ponto exterior a esta.
Proposição 13
Se uma linha reta cortar outra linha reta, então, esta faz dois
ângulos retos ou ângulos cuja soma é igual a dois ângulos
retos.
Proposição 14
Se em alguma linha reta, e num ponto desta, houver duas
linhas retas que não estão do mesmo lado e cuja soma dos
ângulos adjacentes é igual a dois ângulos retos, então, as
duas linhas retas estão contidas numa única linha reta.
Proposição 15
Se duas linhas retas se interceptam, então, os ângulos opostos
pelo vértice são iguais entre si.
Corolário
Se duas linhas retas se intersectam, então a soma dos ângulos
que fazem no ponto de intercessão é igual a quatro ângulos
retos.
Proposição 16
Em qualquer triângulo, se um dos lados for prolongado, então
o ângulo externo é maior que cada um dos ângulos interno e
oposto.
Proposição 17
Em qualquer triângulo a soma de quaisquer dois ângulos
internos é menor que dois ângulos retos.
Proposição 18
Em qualquer triângulo o ângulo oposto ao maior lado é o
maior ângulo.
Proposição 19
Em qualquer triângulo o lado oposto ao maior ângulo é o
maior lado.
22
Proposição 20
Em qualquer triângulo a soma de quaisquer dois lados é maior
que o outro lado.
Proposição 21
Se a partir das extremidades de um dos lados de um triângulo
forem construídas duas linhas retas que se intersectam dentro
do triângulo, então, a soma das linhas retas construídas é
menor que a soma dos outros dois lados do triângulo, mas as
linhas retas construídas fazem um ângulo maior que o ângulo
feito pelos dois lados restantes do triângulo.
Proposição 22
É possível construir um triângulo a partir de três linhas retas
dadas, sendo necessário que a soma de quaisquer duas retas
seja maior que a terceira.
Proposição 23
É possível construir um ângulo igual a um dado ângulo numa
linha reta e em um ponto desta.
Proposição 24
Se dois triângulos têm dois lados iguais respectivamente, mas
têm um dos ângulos maior que um dos ângulos do outro
triangulo, então, a base de um é maior que a base do outro.
Proposição 25
Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados
respectivamente, mas a base de um triângulo é maior que a
base do outro, então, também este triangulo têm um dos
ângulos formados pelas retas iguais maior que o outro.
Proposição 26
Se dois triângulos têm dois ângulos iguais a dois ângulos
respectivamente, e um lado igual a outro lado, quer estes
lados sejam adjacentes ou opostos a ângulos iguais, então, os
outros dois lados dos triângulos são iguais e o outro ângulo é
igual ao outro ângulo.
Proposição 27
Se uma linha reta, cortando outras duas linhas retas, fizer os
ângulos alternados iguais, então, estas duas retas são
paralelas entre si.
Proposição 28
Se uma reta cortar outras duas e fizer o ângulo externo igual
ao ângulo interno oposto do mesmo lado, ou se a soma dos
ângulos internos no mesmo lado for igual a dois ângulos retos,
então, as linhas retas são paralelas entre si.
23
Proposição 29
Uma reta que corta duas retas paralelas faz os ângulos
alternados iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo
interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado
igual a dois ângulos retos.
Proposição 30
Linhas retas paralelas a uma mesma reta são também
paralelas entre si.
Proposição 31
É possível de um ponto dado construir uma reta paralela a
uma reta dada.
Proposição 32
Em todo o triângulo, se de um dos lados é prolongado, então,
o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos
opostos, e a soma dos três ângulos internos do triângulo é
igual a dois ângulos retos.
Corolário
Em qualquer triangulo, a soma dos ângulos internos é igual a
dois retos.
Proposição 33
Retas que unem as extremidades de duas retas paralelas
iguais, na mesma direção são iguais e paralelas.
Proposição 34
Em áreas paralelogramicas, os lados e os ângulos opostos são
iguais entre si e o diâmetro bisseta a área.
Proposição 35
Os paralelogramos que estão na mesma base e nas mesmas
paralelas são iguais entre si.
Proposição 36
Os paralelogramos que estão em bases iguais e nas mesmas
paralelas são iguais entre si.
Proposição 37
Os triângulos que estão na mesma base e nas mesmas
paralelas são iguais entre si.
Proposição 38
Os triângulos que estão em bases iguais e nas mesmas
paralelas são iguais entre si.
24
Proposição 39
Os triângulos iguais que estão na mesma base e no mesmo
lado também estão nas mesmas paralelas.
Proposição 40
Os triângulos iguais que estão em bases iguais e no mesmo
lado também estão nas mesmas paralelas.
Proposição 41
Se um paralelogramo e um triângulo tiverem a mesma base e
estiverem nas mesmas paralelas, então, o paralelogramo é o
dobro do triângulo.
Proposição 42
É possível construir um paralelogramo igual a um triângulo
dado em um dado ângulo retilíneo.
Proposição 43
Em qualquer paralelogramo, os complementos dos
paralelogramos ao redor do diâmetro são iguais entre si.
Proposição 44
É possível sobre uma linha reta dada e num ângulo retilíneo
dado, construir um paralelogramo igual a um dado triângulo.
Proposição 45
É possível construir um paralelogramo igual a uma dada figura
retilínea num dado ângulo retilíneo.
Proposição 46
É possível descrever um quadrado sobre uma linha reta dada.
Proposição 47
Em triângulos retângulos, o quadrado construído sobre o lado
oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados
construídos sobre os outros lados que fazem o ângulo reto.
Proposição 48
Se num triângulo, o quadrado construído sobre um dos lados
for igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros
dois lados do triângulo, então, o ângulo formado por estes
dois lados é reto.
Fig.: 7 – As proposições.
25
No caso particular das proposições, temos disponível acesso às
demonstrações das referidas proposições, para isto o usuário deve clicar no
título correspondente, onde são exibidas a listas das proposições. As páginas
de demonstrações das proposições são constituídas por alguns itens que tem
por finalidade simplificar o acesso às construções, bem como, melhor
visualização dos recursos (ferramentas para construção; enunciados, dicas e
demonstrações; e área de trabalho). Para melhor disposição desses recursos,
recomendamos ajustar a resolução de monitor para 1024x768.
Vejamos, abaixo, como estão organizadas as nossas páginas de
demonstrações das proposições:
Fig.: 8 – Organização das páginas de demonstração das proposições.
26
Fig.: 9a – Exemplo de construção de demonstração de uma proposição – Enunciado e estado inicial.
27
Fig.: 9b – Exemplo de construção de demonstração – Dica e construção.
28
Fig.:9c – Exemplo de construção de demonstração – Demonstração e estado final.
29
Observemos que a cada passo da construção, a partir do estado inicial o
MemoEdit dos Enunciados, dicas e demonstrações, atualiza a mensagem de
acordo com a evolução da demonstração, contemplando as seguintes fases:

Enunciado: onde propomos o objetivo a ser alcançado com a
demonstração da proposição. A aplicabilidade inicial da proposição se
dá a partir de um elemento previamente disposto na área de trabalho;

Construção: são dicas apresentadas de forma que o usuário possa
orientar-se na construção da demonstração da proposição; e,

Demonstração: o referido texto conclui a proposição, explicando, de
forma sucinta, os argumentos que sustentam sua validade na geometria
plana.
Contudo é possível que a fase construção não seja apresentada, caso o
usuário consiga construir, por conta própria, a demonstração da proposição,
mas, no entanto, é necessário dar um clique no botão
para que a
conclusão da demonstração seja apresentada. Este mesmo botão fornece a
dica de construção e constrói a demonstração, caso o usuário não saiba como
proceder.
Em todas as páginas de demonstrações, dispomos de um link que fornece
ajuda aos usuários que não conhecem o software Cinderella, na página de
ajuda, além de um diagrama esquemático da página de demonstração das
proposições, as descrições dos botões disponíveis na caixa de ferramenta,
temos, também um link que dá acesso a uma página onde pode-se exercitar o
referido recurso. Vejamos a seguir, a página de ajuda:
30
Ajuda
Você mesmo poderá construir a demonstração da proposição, para isto utilize a área de
trabalho, as dicas e as ferramentas disponíveis para desenhar os gráficos.
Ferramentas:


Este botão permite reiniciar a construção;
Este botão permite movimentar a construção sobre a área de trabalho, para
isto basta clicar sobre o ponto que permita tal movimento. Em alguns casos o
movimento do ponto limita-se a uma "estrada" - círculo ou reta - a que o ponto
pertença.
Clique aqui para experimentar esta ferramenta.

Com este botão, pode-se inserir um ponto livremente. Clique nele, mova o
mouse até a área de trabalho, clique e mantenha o botão pressionado enquanto
movimenta o mouse, até encontrar onde se quer localizar o ponto. Caso o ponto
deva pertencer a outros elementos previamente construídos (reta, círculo, curva
ou até mesmo outro ponto), mova-o até o(s) elemento(s) ao(s) qual(is)
31
pertencerá o ponto, ficar(em) "iluminado(s)", daí então libere o botão do mouse
e o ponto então será "atracado" ao(s) elemento(s) selecionado(s);
Clique aqui para experimentar esta ferramenta.

Este botão traça um segmento de reta, da seguinte forma: Marque o ponto
inicial - que pode ser a partir de outro elemento já existente ou livremente mantenha o botão do mouse pressionado e arraste-o até o ponto final onde
desejar. Observe que tal como o ponto, o segmento de reta ao ser traçado,
também "atraca" seu ponto final aos elemento a que deva pertencer;
Clique aqui para experimentar esta ferramenta.

Este é o compasso, o seu traço acontece a partir de um clique sobre um
ponto pré existente, depois arrastado até o ponto que será o centro do círculo,
estes pontos compreendem o raio do círculo, finalizando com dois cliques sobre
o ponto central. Pode-se, também, transportar a medida obtida entre dois pontos
à um outro ponto, neste caso, clique sobre o primeiro ponto, mova o mouse até o
segundo ponto (esses dois pontos delimitam o raio do círculo), agora basta
transportar o círculo que está atracado ao ponteiro do mouse até o ponto que será
o centro do círculo, clique neste último ponto e estará completado o transporte;
Clique aqui para experimentar esta ferramenta.

Este botão desfaz a última ação, e as subseqüentes a partir do segundo
clique ;

Com esse botão, o sistema assume a ação do usuário, construindo, passo a
passo, a demonstração. Serve também para exibir a conclusão da demonstração;
O experimento das duas últimas ferramentas você poderá conferir em
qualquer uma das nossas demonstrações das proposições.
Fig.: 10 – Página de ajuda.
32
Este é o compasso, o seu traço acontece a partir de um clique sobre um ponto pré
existente, depois arrastado até o ponto que será o centro do círculo, estes pontos
compreendem o raio do círculo, finalizando com dois cliques sobre o ponto central. Pode-se,
também, transportar a medida obtida entre dois pontos à um outro ponto, neste caso, clique
sobre o primeiro ponto, mova o mouse até o segundo ponto (esses dois pontos delimitam o
raio do círculo), agora basta transportar o círculo que está atracado ao ponteiro do mouse até
o ponto que será o centro do círculo, clique neste último ponto e estará completado o
transporte.
Experimente: Clique no botão
e depois aponte o mouse na área de trabalho, clique
num dos pontos existentes (não precisa manter o botão esquerdo pressionado) e depois
arraste o mouse até outro ponto onde deseja que seja o ponto final da circunferência, pronto!
está criado o círculo, você pode manter este círculo atracado aos pontos que usou para
construí-lo, bastando clicar mais uma vez no ponto final, ou transportar para outro ponto,
escolha-o e clique nele. Observe que os dois pontos usados pelo compasso define o seu raio,
porém ele é construído de um ponto "extremo" até o seu centro. Após criar alguns círculos,
mova-os e observe os seus efeitos. Insira dois outros pontos quaisquer e trace um círculo a
partir deles. Experimente também criar um círculo e transportar para outro ponto.
Fig.: 11 – Exercício de ajuda do compasso.
33
CAPÍTULO III – ENSAIOS E EXPERIÊNCIAS
Como mencionamos na introdução, este trabalho é parte de uma
proposta de estudos que visa oferecer àqueles que queiram, um estudo mais
prático e lúdico do volume I da obra Os Elementos de Euclides de Alexandria.
Então submetemos nosso trabalho a apreciação de internautas de vários níveis
culturais, em uma primeira instância, apenas para verificar a navegabilidade da
página e a funcionalidade dos seus recursos. O pedido foi enviado por email a
194 pessoas, de diversos níveis do ensino, abrangendo desde aqueles que
apenas possuíam o grau de estudo fundamental, a mestres e doutores em
diversas áreas, e destes obtemos o retorno de 129 respostas que avaliaram as
seguintes questões:

Apresentação;

Conteúdo teórico;

Conteúdo prático;

Facilidade de navegação;

Uso das ferramentas de demonstração;

Ajuda “on line”; e,

Textos dos enunciados, construções e demonstrações.
A fim de manter uniformidade e objetividade das respostas, oferecemos
aos nossos usuários as opções ruim, regular, bom e ótimo, para cada uma das
questões acima e daí obtemos o seguinte retorno:
34

Apresentação:
60%
53%
47%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0%
Ruim
Regular
0%

Bom
Ótimo
Conteúdo teórico:
60%
55%
50%
38%
40%
30%
20%
10%
6%
1%
0%
Ruim

Regular
Bom
Ótimo
Conteúdo prático:
80%
73%
70%
60%
50%
40%
27%
30%
20%
10%
0%
0%
Ruim
Regular
0%
Bom
35
Ótimo

Facilidade de navegação:
50%
45%
37%
40%
30%
20%
12%
10%
0%
0%
Ruim

Regular
Bom
Ótimo
Uso das ferramentas das demonstrações:
70%
59%
60%
50%
38%
40%
30%
20%
10%
0%
3%
0%
Ruim

Regular
Bom
Ótimo
Ajuda “on-line”:
70%
60%
60%
50%
40%
40%
30%
20%
10%
0%
0%
Ruim
Regular
0%
Bom
36
Ótimo

Textos dos enunciados, construções e demonstrações:
80%
68%
70%
60%
50%
40%
30%
16%
20%
16%
10%
0%
0%
Ruim
Regular
Bom
Ótimo
Como podemos observar há algumas coisas que precisam ser
melhoradas, contudo, de um modo geral o site apresenta contextualmente, um
conceito bom verificados nos seguintes índices, que totalizam de uma forma
global todos os índices acima obtidos:
60,00%
54,51%
50,00%
39,91%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
5,33%
1,50%
0,00%
Ruim
Regular
Bom
Ótimo
Um vez obtida estes índices, julgamos suficientemente satisfatório a fim
de apresentar uma proposta de estudos à alunos das classes de ensinos do
nível fundamental e médio de algumas escolas da nossa comunidade, para
tanto propusemos aos alunos elaborar um estudo sobre a obra de Euclides de
Alexandria disposto no site. Esta proposta abrange visitar o site, estudar as
37
listas de axiomas, definições, postulados e proposições, experimentar as
proposições, construir os gráficos e verificar as suas demonstrações.
Nesta fase do trabalho, buscamos essencialmente mensurar a utilidade
do site para fins educacionais, não obstante temos como objetivo propor um
aprendizado fácil e agradável. Aliado a isto, aproveitamos o fascínio que a
Internet e o computador exerce nos adolescentes.
Para isto convocamos, cerca de 60 alunos das escolas próximas e a
eles propusemos este trabalho. Dividimos em dois grupos com cerca de 30
alunos cada e após explicar os objetivos desta tarefa, distribuímos um breve
roteiro (Anexo 1) que descreve de forma sucinta o trabalho proposto.
Elaboramos um plano de aula (Anexo 2) a fim de nos orientar nas etapas
seguintes. Após explicado cada uma das tarefas propostas, pusemos “mãos à
obra”.
Acompanhamento e retorno do trabalho
Em classe podemos acompanhar a aplicação do trabalho acima
proposto. No início notamos os alunos, de um modo geral, reticentes quanto a
novidade, pouco a pouco, com o desenvolvimento das atividades, no entanto,
eles se mostraram mais receptivos, de certa forma alguns ainda transparecia
certa indiferença, mas participavam com a parcela que lhes cabiam.
Ao apresentar as páginas de listas de axiomas e definições, notamos
que eles encaravam como quem diziam: “ – é obvio, mas que novidade tem
isto?...”. Mas quando chegamos aos postulados, especialmente ao quinto,
verificamos um início de debate, em um dos grupos um dos alunos chegou a
desafiar quem provasse a não validade daquele postulado, ai explicamos que
nas geometrias hiperbólica e esférica, tal postulado perderia sua validade,
usando para isto um breve exemplo, tendo como ilustração um globo
38
geográfico, disponível no momento. A seguir foram apresentadas a lista das
proposições, porém, antes de ser apresentado as suas demonstrações,
entramos nas páginas da ajuda on line, onde os alunos aprenderam a
manusear os recursos do software Cinderella. Após isto realizou-se um sorteio
onde a cada aluno foi atribuído uma das demonstrações, a fim de estuda-las e
expô-las ao restante da turma no próximo encontro.
A exposição dos alunos seguiu de forma ordenada de acordo com a
ordem das proposições. O que mais nos impressionou foi a eloqüência que
alguns alunos apresentavam espontaneamente ao fazer a sua explanação.
Alguns poucos, preferiram usar o botão de construção automática, mas mesmo
assim aparentou conhecer os detalhes da construção da demonstração. No
final de cada apresentação atribuímos a cada aluno uma nota mínima de zero e
máxima de 10,0 pontos. Verificamos que tais notas variaram de 7,25 a 10,0 de
acordo com a qualidade da apresentação de cada aluno.
Inserir o gráfico das notas.
A próxima fase dessa nossa proposta solicita que cada aluno avalie o
site e seus recursos disponíveis, em um formulário previamente elaborado
(anexo 3). Pedimos que expusesse, também as suas críticas e sugestões ao
site e ao trabalho com um todo. Abaixo, reproduzimos algumas impressões
expostas pelos alunos:

Interesse pelo tema do site:
39
94%
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
6%
10%
0%
Sim

Não
Apresentação
60,00%
52,94%
50,00%
38,24%
40,00%
30,00%
20,00%
8,82%
10,00%
0,00%
0,00%
Ruim
Regular
Bom
40
Ótimo
Conclusão
Esta é mais uma experiência que vem demonstrar a importância do
lúdico como uma proposta para o aprendizado, tal como um desafio, propomos
aos educadores encontrar meios para sua viabilização nas diversas propostas
de . É, pois, requerido que tais meios busquem sempre
Bibliografia
41
Anexos:
Introdução:
Caros alunos, queremos apresentar a vocês Euclides de Alexandria, um
matemático que viveu na Grécia, berço da civilização humana, da
filosofia e do conhecimento, por volta de 300 anos antes de Cristo.
Fascinado pela matemática, este célebre personagem elaborou uma
obra que até hoje é tida como a mais lida e estudada, depois da Bíblia. A
obra chamada de Os Elementos é composta de 15 livros, que reúne um
conjunto de tratados matemáticos, conhecidos até então, que, entre
outras qualidades, apresenta uma harmonia que lhe é peculiar por quê
apresenta, com muita simplicidade, porém concisa e bem explicada, de
forma progressiva, onde qualquer elemento ali apresentado tem seu
42
fundamento em outro, anteriormente provado, exposto, ou apenas
proposto. Mas para experimentar essa maravilha de forma interativa,
convidamos vocês a visitarem a nossa página hospedada em
http://geocities.yahoo.com.br/telvabjr lá colocamos apenas o primeiro
livro desta Obra, como ponto inicial, outros subsídios mais extensos e
completos podem ser obtidos através dos links ali dispostos, mas por
enquanto concentremos nossos estudos neste primeiro livro a fim de
tomarmos gosto pela matemática e a riqueza de ensinamentos que ela
nos traz. Abaixo propomos um breve roteiro que nos ajudarão neste
projeto:

Primeiro, vamos conhecer o nosso site (aqui uma breve visita ao
site, mostrando as páginas e os recursos nelas disponíveis);
o Nesta fase aproveitemos para um breve “passeio” pela
página de ajuda “on-line” das construções das
demonstrações, nesta página conheceremos alguns
recursos fantásticos encontrados no software Cinderella.

Nesta parte do trabalho, cada aluno deverá escolher uma das
proposições, e após verificar e aprender bem a construção da sua
demonstração, deverá preparar um bom plano para apresentá-la
ao restante da turma;

Por fim, iremos avaliar o site e sua utilidade para o aprendizado
da geometria euclidiana, para isso será distribuído um formulário
onde cada um poderá expressar sua avaliação e considerações
sobre o trabalho realizado.
43