APOSTILA movimento_uniformemente_variado_FLAMINGO

FÍSICA – 1ª SÉRIE
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)
Movimento uniformemente variado é o movimento cuja função horária é do 2º grau em t:
s = so + so t +
1
 t2
2
No movimento uniformemente variado, a velocidade escalar varia com o tempo segundo
uma função do 1º grau:
v = vo +  t
No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar é constante (diferente de zero)
e igual à aceleração escalar média em qualquer intervalo de tempo.
Considere, por exemplo, um movimento uniformemente variado cuja função velocidade é
v = 2 + 5 t, para v em m/s e t em s.
Observe que a cada valor de t corresponde um valor de v.
Assim, temos a tabela:
t (s)
0 1 2
3
v (m/s) 2 7 12 17
Note que de 1 em 1 segundo a velocidade escalar sofre uma variação de 5 m/s. Isso
significa que a velocidade escalar varia de um modo uniforme com o tempo. Daí a
denominação movimento uniformemente variado. No exemplo em questão, a aceleração
escalar é constante e igual a 5 m/s2.
APLICAÇÃO
1) A função horária de um móvel é dada por s = 5 + 3 t + 4 t2 (SI).
a) Verifique se o movimento é uniforme ou uniformemente variado.
b) Determine o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração escalar.
c) Determine a função velocidade.
2) Sendo s = 4 – 2 t + 5 t2, a função horária de um móvel, no SI, determine a sua
função velocidade.
3) A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a expressão
v = 6 – 3 t, para v em m/s e t em s.
a) Complete a tabela abaixo:
t(s)
0
1
2
3
4
v(m/s)
b) Calcule a aceleração escalar α do movimento.
1
c) Para que valores de t o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e
retardado?
d) Em que instante muda o sentido do movimento?
4) A figura representa a posição, no instante t = 0, de
um móvel que realiza movimento uniformemente
variado com aceleração escalar α = 5 m/s2.
Determine:
a) a função horária.
b) a função velocidade.
VERIFICAÇÃO
5) A função horária do movimento de uma partícula é dada por s = - 5 – 4 t + t2 (SI).
Determine:
a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração escalar.
b) a função velocidade.
6) Sendo s = 6 – 8 t + 2 t2, a função horária de um móvel no SI, determine em que
instante sua velocidade escalar é nula.
7) A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a função
v = -20 + 5 t (SI).
a) Complete a tabela abaixo:
t(s)
v(m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
b) Calcule a aceleração escalar α do movimento.
c) Para que valores de t o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e
retardado?
d) Em que instante muda o sentido do movimento?
8) A figura representa a posição, no instante t = 0,
de um móvel que realiza movimento
uniformemente variado, retrógrado e acelerado.
A velocidade inicial e a aceleração escalar são
respectivamente 2 m/s e 4 m/s2, em valor
absoluto. Determine:
a) a função horária.
b) a função velocidade
9) Uma partícula movimenta-se sobre uma reta e a lei horária do movimento é dada
por: s = 2 t2 – 5 t – 2, com s em metros e t em segundos. Qual é a aceleração escalar
do movimento?
2
10) Um móvel descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado numa
trajetória em linha reta e suas posições variam no tempo de acordo com a equação
s = 20 + 2 t + 2 t2, em que s é medido em metros e t em segundos. Determine a
velocidade do móvel quando o tempo t for igual a 10 s.
11) Uma partícula executa um movimento uniformemente variado, em trajetória
retilínea, obedecendo à função horária s = 16 – 40 t + 2,5 t2, onde o espaço é medido
em metros e o tempo t em segundos. Em que instante a partícula muda o sentido do
movimento?
12) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72 km/h quando
acionou os freios e parou em 4 s. Qual foi a aceleração imprimida, em módulo,
pelos freios à motocicleta?
13) Um ponto material parte do repouso e percorre em linha reta 120 m em 60 s, com
aceleração constante. Qual a sua velocidade no instante 60s?
14) No instante em que o carro A passa pelo ponto x
de uma estrada, com velocidade constante de 60
km/h, o carro B parte do repouso também de x, no
mesmo sentido de A, e com aceleração de 60
km/h2. Qual será a distância entre os dois carros,
após 1 h de viagem?
15) Um caminhão move-se em uma estrada reta e horizontal com velocidade constante
de 72 km/h. No momento em que ele ultrapassa um carro em repouso, este arranca
com aceleração constante de 2,5 m/s2. Calcule, em segundos, o tempo necessário
para o carro alcançar o caminhão.
16) Um móvel saindo do repouso mantém aceleração constante de 2 m/s2, indo no
mesmo sentido de outro que se move com velocidade constante de 6 m/s. Sabendose que este se encontra a 16 m do primeiro no instante da partida, depois de quanto
tempo dará o encontro dos móveis?
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Eliminando-se t entre as duas funções (ou equações) apresentadas: s = so + so t +
v = vo +  t
1
 t2
2
resulta a chamada equação de Torricelli para MUV:
v2 = vo2 + 2   s
3
APLICAÇÃO:
17) Deduza a Equação de Torricelli.
18) Um objeto parte do repouso e percorre 50 m com aceleração escalar constante,
atingindo a velocidade de 10 m/s. Determine a aceleração escalar α.
19) Um trem está com velocidade de 20 m/s quando são aplicados os freios que lhe
comunicam uma aceleração escalar de módulo igual a 2 m/s2. Determine a distância
que o trem percorre até parar.
VERIFICAÇÃO
20) Um objeto que se desloca com velocidade de 30 m/s é freado até o repouso, com
aceleração constante. O objeto percorre 50 m até parar. Qual sua aceleração em
valor absoluto?
21) Um trem parte do repouso e atinge a velocidade de 10 m/s, com aceleração
constante igual a 2 m/s2. Determine a distância percorrida pelo trem desde a partida
até atingir 10 m/s.
22) Um ponto material parte do repouso, com movimento retilíneo uniformemente
acelerado, de tal forma que, após percorrer 12 m, está animado de velocidade 6 m/s.
Qual é a sua aceleração?
23) Um carro viaja a 72 km/h e, de repente, o motorista pisa no freio. Sabendo que a
máxima desaceleração que o freio produz é de 4 m/s2, qual a distância mínima em
que o carro pára?
24) Uma partícula com velocidade igual a 10 m/s é acelerada na razão constante de
2 m/s2. Que distância será necessário percorrer para atingir uma velocidade igual a
30 m/s?
25) Um veículo penetra em um túnel com velocidade de 54 km/h, deslocando-se com
movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veículo sai do túnel com
velocidade de 72 km/h. qual é, em metros, o comprimento do túnel?
4
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
ESPAÇO ANGULAR OU FASE (φ)
Considere um móvel P em movimento circular e uniforme.
Já vimos que, para localizarmos P, ao longo da trajetória, em cada
instante, escolhemos um ponto O como origem dos espaços,
orientamos a trajetória e medimos o arco s de O a P.
Além do espaço s, podemos localizar P através do ângulo central φ,
que recebe o nome de espaço angular ou fase.
Para φ medido em radianos, sendo R o raio da circunferência,
temos:
s=φ.R
VELOCIDADE ANGULAR (ω)
Analogamente à definição de velocidade escalar média, podemos
definir velocidade angular média ωm:
ωm =  
t
Estando o móvel em movimento circular e uniforme, a velocidade angular média ωm é
constante e igual à velocidade angular ω em qualquer instante.
A unidade de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/ s).
PERÍODO E FREQÜÊNCIA
Para um móvel em movimento circular e uniforme, definimos:
- Período (T): é o intervalo de tempo decorrido para o móvel completar uma volta.
Por exemplo, se o período de um MCU é 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa
uma volta. Note que em 1 s o móvel completará 5 voltas.
- Freqüência (f): é o número de voltas na unidade de tempo.
No exemplo citado, a freqüência é de 5 voltas por segundo ou 5 rotações por segundo.
O período é medido em s, min, h, etc. e a freqüência em rotações por segundo, que recebe o
nome de hertz (Hz), rotações por minuto (rpm), etc.
5
RELAÇÃO ENTRE PERÍODO (T) E A FREQÜÊNCIA (f)
T  1 volta
1  f voltas

f =
1
T
APLICAÇÃO
1) O espaço de um móvel, que realiza MCU de raio r = 0,1 m, é num certo instante s =
0,5 m. qual o espaço angular φ nesse instante?
2) Um móvel realiza MCU completando 5 voltas em 10 s. Determine seu período e
freqüência
VERIFICAÇÃO
3) O espaço angular de um móvel que realiza movimento circular e uniforme de raio
R = 20 cm, é num certo instante φ = π/2 rad. Determine o seu espaço s do móvel
nesse instante.
4) Um móvel em MCU completa em cada segundo 10 voltas. Determine seu período e
sua freqüência.
5) Um carrossel gira efetuando uma rotação a cada 4 s. Qual é a freqüência em rps
(rotações por segundo) que cada cavalo executa movimento circular uniforme?
RELAÇÃO ENTRE VELOCIDADE ANGULAR ω E O PERÍODO T
De  =

, sendo  = 2π rad e Δt = T, vem:
t


2
T
  2πf
ou
RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE ESCALAR v E A ANGULAR ω
De v =
s
, sendo Δs = 2πR e Δt = T, vem:
t
v=
2R
T

v = ω.R
6
FUNÇÃO HORÁRIA ANGULAR DO MCU
Sendo um movimento uniforme, temos:
s = so + v t
Dividindo ambos os membros pelo raio R, vem:
s
v
= s o + .t
R
R
R

φ = φ +ω.t
APLICAÇÃO
6) A figura indica a posição de um móvel no instante t = 0.
O móvel descreve um movimento circular e uniforme,

cuja velocidade angular é ω =
rad/s.
2
a) Escreva a função horária angular do movimento.
b) Qual o espaço angular no instante t = 2 s?
7) A velocidade angular de uma partícula em MCU é ω = 3π rad/s. Determine o
período e a freqüência.
8) A velocidade escalar de um móvel em MCU de raio R = 0,2 m é v = 5 m/s. Qual sua
velocidade angular ω?
VERIFICAÇÃO / REVISÃO
9) Determine o período e a velocidade do ponteiro dos minutos de um relógio.
10) A figura ao lado fornece a posição inicial de uma partícula
que realiza movimento circular e uniforme, cuja

velocidade angular é ω =
rad/s. Determine:
3
a) a função horária angular do movimento.
b) O espaço angular no instante t = 2,5 s.
11) Um móvel realiza movimento circular e uniforme com velocidade angular ω = 10
rad/s. Sendo R = 0,3 m o raio da trajetória, determine sua velocidade escalar v.
7
12) Um ponto material executa um movimento circular uniforme de raio 0,5 m,
completando uma volta em cada 5 s. Calcule a freqüência e a velocidade angular do
movimento.
13) Calcule os períodos de dois móveis dotados de velocidades angulares
e

2
=
1

rad/s
8
= 4 rad/s, respectivamente.
14) Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 s. Calcule o
período e a freqüência desse movimento.
15) Um ponto material está em movimento circular uniforme em ralação a um dado
referencial. Sua velocidade escalar é v = 4 m/s e a trajetória tem raio R = 2 m.
Determine a velocidade angular ω.
16) Dois patinadores A e B empregam o mesmo tempo para completar uma volta em
torno de uma pista circular. A distância do patinador A ao centro da pista é o dobro
da do patinador B ao mesmo centro. Chamando de vA e vB, respectivamente, as
velocidades de A e B e ωA e ωB as respectivas velocidades angulares, determine:
a) relação entre vA e vB.
b) relação entre ωA e ωB.
17) O ponteiro do minutos de um relógio medem 50 cm.
a) Qual a velocidade angular ω do ponteiro?
b) Calcule a velocidade escalar v da extremidade do ponteiro.
18) Dois pontos A e B situam-se, respectivamente, a 4 cm e 7 cm do eixo de rotação de
uma roda e sobre a mesma.
a) O período de A é maior, igual ou menor que o período de B?
b) A freqüência de A é maior, igual ou menor que a freqüência de B?
c) A velocidade angular de A é maior, igual ou menor que a velocidade angular
de B?
d) A velocidade escalar de A é maior, igual ou menor que a velocidade escalar
de B?
19) Um disco de raio 5 cm gira, em torno do seu eixo de
simetria, com uma freqüência constante de 7200 rotações
por minuto (rpm), conforme o desenho. Calcule:
a) a freqüência do disco, em Hz.
b) o período do movimento.
c) a velocidade angular do disco.
d) a velocidade escalar do ponto P
8
VETORES
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
As grandezas físicas são divididas em dois grupos:
GRANDEZAS ESCALARES: são grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas
quando delas se fornecem o valor numérico e a correspondente unidade. Exemplos:
comprimento, tempo, massa, volume, temperatura, energia, etc.
GRANDEZAS VETORIAIS: são grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando
delas se fornecem o módulo, que corresponde ao valor numérico (não negativo) seguido da
unidade, a direção e o sentido. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força, etc.
As grandezas físicas vetoriais são representadas através de vetores. O vetor se caracteriza
por possuir módulo, direção e sentido, sendo graficamente representado por um segmento
de reta orientado e indicado por uma letra sobre a qual colocamos uma seta.
Exemplos:
a e b possuem direção horizontal.
a tem sentido da esquerda para a direita e b da direita para a
esquerda.
c e d tem direção vertical.
c tem sentido ascendente e d descendente
O módulo do vetor é indicado da seguinte forma: a ou a, b ou b, etc.
Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado, numa certa escala,
corresponde ao módulo do vetor.
SOMA DE VETORES
Considere dois vetores a e b representados pelos segmentos orientados, indicados na
figura abaixo (fig. a). Para somarmos a e b , utilizamos a regra do paralelogramo (fig. a)
ou a regra do polígono (fig.c).
9
Na regra do paralelogramo o vetor soma S é representado pela diagonal do paralelogramo,
que tem origem na origem comum de a e b .
Na regra do polígono o vetor soma S é representado pelo segmento orientado, que tem
origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do segundo.
APLICAÇÃO
1) Os vetores a e b representados na figura têm módulos a = 7 unidades e b = 3
unidades. Obtenha graficamente o vetor soma S dos vetores a e b e determine o
módulo do vetor soma S nos casos:
2) Os vetores a e b representados na figura
têm módulos a = 3 unidades e b = 4
unidades. Obtenha graficamente o vetor
soma S dos vetores a e b e determine o
módulo do vetor soma S .
VERIFICAÇÃO
3) Os vetores a e b representados na figura têm módulos a = 10 unidades e b = 6
unidades. Obtenha graficamente o vetor soma S dos vetores a e b e determine o
módulo do vetor soma S nos casos:
4) Os vetores a e b representados na figura têm
módulos a = 12 unidades e b = 9 unidades.
Obtenha graficamente o vetor soma S dos
vetores a e b e determine o módulo do vetor
soma S .
10
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL n POR UM VETOR v
É o vetor u = n . v que tem as características:
Módulo: u = n . v
Direção: a mesma de v se n  0
Sentido: o mesmo de v se n > 0 e oposto de v se n < 0.
Se n = -1, o vetor u = (-1). v , que tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto
ao de v , recebe o nome de vetor oposto de v e é indicado por - v .
Se n = 0, o vetor u recebe o nome de vetor nulo e é indicado por 0 .
DIFERENÇA DE VETORS
Chama-se diferença dos vetores a e b , nesta ordem,
o vetor d = a - b = a + (- b ).
Isto é, para subtrair b de a , soma-se a com o oposto
de b .
APLICAÇÃO
5) É dado o vetor v de módulo 5 unidades, direção horizontal e sentido da esquerda
para a direita. Dê as características do vetor 3 v .
6) Da figura ao lado, obtenha graficamente:
a) o vetor soma S = a + b
b) o vetor diferença d = a - b
VERIFICAÇÃO
7) É dado o vetor v representado ao lado. Dê as
características dos vetores 2. v , -3 v e - v .
11
8) Obtenha graficamente o vetor d = a - b e calcule o
seu módulo. Sabe-se que a = b = 5 unidades.
9) Na figura estão desenhados dois vetores x e y .
Esses vetores representam deslocamentos
sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor
x+ y?
CIMEMÁTICA VETORIAL
VELOCIDADE VETORIAL INSTANTÂNEA v
Considere uma partícula P, cuja trajetória está indicada na
figura ao lado.
A velocidade vetorial v da partícula, num instante t, tem
as seguintes características:
Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar v no
instante t:
v = v
Direção: da reta tangente à trajetória por P.
Sentido: o do movimento.
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CASOS PARTICULARES:
- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
Nesse caso a velocidade vetorial tem módulo, direção e
sentido constantes. Isto é, no MRU v é constante.
- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Nesse movimento, a velocidade vetorial tem direção
constante, mas módulo variável. Este diminui com o
decorrer do tempo se o movimento for retardado
(fig. a) e aumenta se for acelerado (fig. b).
- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante,
variando em direção e sentido.
- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFIRMEMENTE VARIADO (MCUV)
Nesse caso, a velocidade vetorial varia em módulo, direção e
sentido. A figura ao lado refere-se ao MCUV acelerado.
APLICAÇÃO
1) Analise a proposição a seguir dizendo se está certa ou errada. Justifique.
- “No movimento circular uniforme, a velocidade vetorial é constante”.
2) Qual a trajetória de um móvel cuja velocidade vetorial tem direção constante?
13
3) Classifique o movimento de um ponto material cuja velocidade vetorial tem módulo
constante.
VERIFICAÇÃO
4) Analise as proposições a seguir dizendo se estão certas ou erradas. Justifique:
a) Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial tem módulo constante.
b) Nos movimentos retilíneos, a velocidade vetorial tem direção constante.
c) Nos movimentos curvilíneos, varia a direção da velocidade vetorial.
d) Nos movimentos retilíneos acelerados, a velocidade e a aceleração vetoriais
possuem a mesma direção e sentidos opostos.
e) No movimento circular uniforme, a aceleração vetorial é constante.
5) Complete: A velocidade de uma partícula é uma grandeza ........................., pois para
a sua determinação, é preciso caracterizar sua ........................., ......................... e
.........................
ACELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA a
A aceleração vetorial a indica a variação da velocidade vetorial v no decurso do tempo.
Através dos casos particulares citados no item anterior,
observamos que a velocidade vetorial pode variar em
módulo e em direção. Por isso, a aceleração vetorial a é
decomposta em duas acelerações componentes: aceleração
tangencial a e a aceleração centrípeta a .
t
c
A aceleração tangencial indica a variação do módulo da
velocidade vetorial v e a aceleração centrípeta indica a
variação da direção da velocidade vetorial v .
CARACTERÍSTICAS DA ACELERAÇÃO TANGENCIAL
Módulo: igual ao módulo da aceleração escalar, isto é,
a
t
= 
Direção: da reta tangente à trajetória, isto é, a mesma direção de v .
Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado e oposto ao de v se retardado.
14
CARACTERÍSTICAS DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
Módulo:
a
c
=
v
2
R
Direção: da reta perpendicular a v .
Sentido: para o centro da trajetória.
A aceleração vetorial é, portanto, a =
2
E em módulo:
a
at
t
+
a
c
2
2
=
a
+
ac
, de acordo com o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo sombreado na figura acima.
CASOS PARTICULARES:
- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
No MRU, a velocidade vetorial é constante e, portanto, a aceleração vetorial é nula.
- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Nesse movimento, a
aceleração vetorial é
a aceleração
tangencial, pois a
velocidade vetorial
varia em módulo e
tem direção
constante.
- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
No MCU a aceleração vetorial é a
aceleração centrípeta, pois, a velocidade
vetorial varia em direção e tem módulo
constante.
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- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
No MCUV a aceleração vetorial
apresenta as componentes tangencial e
centrípeta, pois a velocidade vetorial
varia em módulo e em direção.
APLICAÇÃO
6) Uma partícula descreve um movimento circular
uniformemente retardado no sentido horário. Desenhe a
velocidade vetorial, a aceleração centrípeta, a aceleração
tangencial e a aceleração resultante ao passar pelo ponto P
indicado.
7) Um móvel descreve um movimento retilíneo e uniformemente variado de função
horária s = 1 + 2 t + 3 t2 com unidades no SI. Determine o módulo de sua
aceleração vetorial.
8) Uma partícula realiza movimento circular uniforme de raio 0,2 m e velocidade
escalar de 2 m/s. Qual o módulo da aceleração vetorial?
VERIFICAÇÃO
9) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme
no sentido anti-horário. Desenhe a velocidade vetorial e a
aceleração vetorial ao passar pelo ponto P.
16
10) Uma partícula descreve um movimento circular
uniformemente acelerado no sentido anti-horário. Desenhe
a velocidade vetorial, a aceleração centrípeta, a aceleração
tangencial e a aceleração resultante ao passar pelo ponto P.
11) Um móvel descreve um movimento retilíneo e uniformemente variado de função
horária s = 2 – 3 t - 4 t2, com unidades do SI. Determine o módulo de sua aceleração
vetorial.
12) A função horária de um movimento circular uniforme de raio 2 m é s = 2 + 8 t, com
unidades no SI. Determine o módulo da aceleração centrípeta e aceleração
tangencial.
13) A função da velocidade para um móvel em MUV é v = 3 – 8 t, com unidades do SI.
A trajetória é circular, de raio 37 m. Determine os módulos das acelerações
tangencial, centrípeta e resultante no instante t = 5s.
14) Uma partícula realiza movimento circular uniforme de raio 0,5 m e velocidade
escalar 3 m/s. qual o módulo de sua aceleração vetorial?
15) Numa pista circular de raio 2 km, um automóvel se movimenta com velocidade
constante de 60 km/h. Determine o módulo da aceleração resultante do automóvel.
16) O vetor aceleração a , sendo perpendicular ao vetor velocidade v e tendo módulo
constante, que tipo de movimento produzirá num corpo em movimento?
17) Um menino está num carrossel que gira com velocidade angular constante,
executando uma volta completa a cada 10 s. a criança mantém, relativamente ao
carrossel, uma posição fixa, a 2 m do eixo de rotação.
a) Numa circunferência apresentando a trajetória circular do menino,
assinale os vetores velocidade v e a aceleração a correspondentes
a uma posição arbitrária do menino.
b) Calcule os módulos de v e de a .
17