i. constante de tempo, integração e diferenciação em circuitos rc

I. CONSTANTE DE TEMPO, INTEGRAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO
EM CIRCUITOS RC
II. Grupo
Davi dos Santos Zocchio - 083414
Francisco Azevedo Alves - 081432
III. Resumo
O experimento tem por objetivo analisar a relação de fase entre os vetores da
tensão e da corrente, e a observação da relação de ressonância no circuito RLC, fato que
ocorre quando a impedância indutiva e a capacitiva são numericamente iguais, e a
impedância do circuito se torna puramente resistiva. Também queremos descobrir qual é
a relação entre a resistência do resistor ( R0 ), do indutor ( Rb ) e R da equação ?????.
A partir do circuito da figura ?????? coletamos dados de freqüência e diferença
de tempo entre máximos para calcular  e  (diferença de fase) a partir deles fazer
uma gráfico  por  .
Tomando um gráfico de X por Y na tela do osciloscópio e variando o valor da
freqüência pretendemos fazer da elipse uma reta, com isso pretendemos descobrir o
valor da freqüência de corte e sua expressão em função de C e L, o valor dessa
freqüência é: ?????? e a relação é : ??????.
IV. Introdução
A proposta do experimento é descobrir qual a relação entre a resistência do
resistor ( R0 ), do indutor ( Rb ) e R da equação ?????, obter experimentalmente o valor
da freqüência de corte e sua relação com C e L num circuito elétrico RLC e compará-lo
com o valor teórico.
Os circuitos RLC são largamente utilizados. Isso porque eles podem ser utilizados para
selecionar certa faixa de freqüências. Seus usos são diversificados, mas uma de sua
principal aplicação é no sistema de rádio e comunicações.
V. Teoria
Os capacitores são componentes que tem a propriedade de armazenar cargas
elétricas (mais especificamente, energia potencial elétrica). Da literatura sabemos que a
carga armazenada em um capacitor (Q) relaciona-se à capacitância do mesmo (C) e à
diferença de potencial que o atravessa (em módulo) por Q  C  V .
Considerando um circuito RC simples, fig.1, podemos obter as equações de
carga e descarga do capacitor.
Consideremos primeiramente o carregamento do capacitor. Aplicando-se as leis
de Kirchhoff ao circuito da fig.1 obtemos:
I
 E  RI 
Q
 0 (*).
C
Mas
dQ
dQ Q
 E  R 
  0 . A solução desta equação diferencial ordinária de
dt
dt C
t
primeira ordem conduz a: Q(t )  E  C (1  e  ) . Derivando-se esta equação em
relação ao tempo obtemos a equação da corrente elétrica no circuito para a situação de
t
t
Ee 
 I oe  .
carregamento do capacitor: I (t ) 
R
Para desenvolver a equação de descarregamento do capacitor partimos da
Q
 0 . Derivando em relação ao tempo chagamos
C
t
dI 1 dQ
dI I
 
 0  R    0  I (t )  I o e  onde Io é a corrente inicial
a: R 
dt C dt
dt C
do circuito e   R  C é a constante e tempo do circuito.
equação (*) e tomamos E=0: R  I 
Substituindo q nas equações de tensão da resistência e do capacitor, teremos
VC  E(1  e
t

) para a carga e VC   Ee
t

para a descarga.
Da curva de carga do capacitor, podemos calcular o valor de  . A partir das
coordenadas de dois pontos A e B, determina-se  pela relação  
(t1  t 2 )
*.
ln( Vc 2 / Vc1 )
 t1
Para encontrar esta relação fazemos VC1  E (1  e  ) e VC 2  E (1  e
Dividindo as duas equações e isolando a constante de tempo encontramos (*).
t 2

).
Este valor é o mesmo esperado se calculado para valores sobre a curva de
descarregamento.
Da curva de descarga do capacitor, podemos calcular o valor de  . A partir das
coordenadas de dois pontos P e Q, determinamos  pela relação  
 t1
(t 2  t1 )
**.
ln( Vc1 / Vc 2 )
Para encontrar esta relação fazemos VC1   Ee  e VC 2   Ee
as duas equações e isolando a constante de tempo encontramos (**).
t 2

. Dividindo
VI. Metodologia experimental
Figura 1
Primeiramente descarregamos o capacitor de
1mF. Em seguida, certos de que o capacitor
está realmente descarregado, montamos o
circuito elétrico esquematizado na figura 1,
com R = 100  e observamos a curva de
carga e descarga na tela do osciloscópio,
depois utilizamos a função “cursor”, do
próprio osciloscópio, para medirmos dois
pontos de tempo e freqüência na curva de
descarga, e depois fizemos o mesmo para a
curva de carga.
Após feitas as medidas realizamos a montagem da figura 2, com R = 1 k e C =
0,047F, colocando o capacitor no lugar da resistência e vice-versa, ou seja, agora os
canais do osciloscópio estão ligados na resistência. Agora tomamos o cuidado de ajustar
a freqüência do gerador de tal forma que RC  1. Essa configuração gerou na tela do
osciloscópio duas curvas, uma era a onda quadrada do gerador, e a outra era a sua
derivada. Realizamos um procedimento análogo para o gerador de onda senoidal e para
o de onda “dente de serra”. Para a montagem da figura 3 utilizamos um circuito
parecido com o da figura um, porém dessa vez com o outro canal do osciloscópio ligado
ao gerador e com outros valores de R e de C (5 k e 1 F). Desta vez tomamos cuidado
para que RC  1, obtendo assim uma onda quadrada e a sua derivada na tela do
osciloscópio, e procedemos de modo análogo com os geradores de onda senoidal e
“dente de serra”.
VII. Resultados e análise dos dados
Com os dados coletados obtemos:
 Carregamento: ?? ln( I )  (0,0224  0,0006)  I  (8,55  0,02) de onde
  (44  2) s ;
 Descarregamento: ?? ln( I )  (0,0249  0,0008)  I  (8,64  0,02) de onde
  (40  3) s .
O valor teórico esperado para a constante de tempo deste circuito é:
  R  C  (100)  (106 µF )  0,1ms .
As figuras abaixo demonstram o que foi visto no laboratório com o uso o
osciloscópio.
Carregamento do capacitor (circ.2)
Figura 4
Descarregamento do capacitor (circ.2)
Figura 5
A constante de tempo para esse circuito é :  
Mas   R  C  R 

C

58,3µs
 1240,4 ,
0,047 µF
(t 2  t1 )
   58,3µs
ln( Vc1 / Vc 2 )
onde
R
é
a
resistência
equivalente
do
circuito,
isto
é,
R  RG  R2  RG  R  R2  240,4 a resistência interna do gerador de onda
quadrada.
VIII. Discussão e conclusão
Os resultados obtidos estão muito próximos do previsto na teoria, o que
demonstra a força desta. Ressaltamos que as discrepâncias observadas devem-se não
somente aos erros sistemáticos, como também aos erros de leitura (paralaxe) e a
resistência dos instrumentos elétricos do circuito (amperímetro, fontes e capacitores).
As constantes de tempo das situações de carregamento e de descarregamento
deram muito próximas (conforme esperado) enquanto a constante de tempo de um
circuito para o outro se mostrou proporcional à variação de valores nominais do resistor
e do capacitor de cada circuito.
O experimento deixou claro ao grupo o princípio básico dos circuitos RC: a
variação temporal da corrente elétrica, diferença de potencial entre as placas do
capacitor (e entre os pólos do resistor), a variação de carga elétrica armazenada no
capacitor e conseqüentemente a variação de energia armazenada no circuito (mais
especificamente no capacitor, uma vez que energia é dissipada do circuito pelas
resistências dos seus elementos, embora em quantidades pequenas quando confrontadas
com a armazenada).
IX. Bibliografia

Livros:
o H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol 3.
o Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos da Física, vol 3.

Apostila:
o Apostila de F429 do curso.